1、2017-2018 学年黑龙江省哈尔滨高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题，60 分）1 （5 分）已知命题 p：xR ，sinx1，则（ ）Ap：x R，sinx1 Bp：x R，sinx1C p：xR，sinx1 Dp：x R，sinx 12 （5 分）下列双曲线中，离心率为 的是（ ）A B C D3 （5 分） “m= ”是“ 直线（ m+2）x+3my+1=0 与直线（m2）x+（m+2）y3=0 相互垂直”的（ ）A充分必要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）已知双曲线 的一条渐近线为 ，则实数 a 的
2、值为（ ）A B2 C D45 （5 分）取一个正方形及其外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为（ ）A B C D6 （5 分）如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm） ，则此几何体的表面积是（ ）A B C D7 （5 分）一直三棱柱的每条棱长都是 3，且每个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的半径为（ ）A B C D38 （5 分）在一组样本数据（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ， （x n，y n）（n2，x 1，x 2， ，x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，n）都在直线 y= x+1 上，则这组样本数据的
3、样本相关系数为（ ）A 1 B0 C D19 （5 分）过抛物线 x2=4y 的焦点 F 作直线交抛物线于 P1（x 1、y 1） ，P2（x 2、y 2）两点，若 y1+y2=6，则|P 1P2|的值为（ ）A5 B6 C8 D1010 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x，t 均为 2，则输出的 S=（ ）A4 B5 C6 D711 （5 分）已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为 2 的正三角形，俯视图是直径为 2 的圆，则此几何体的外接球的表面积为（ ）A B C D 12 （5 分）过抛物线 y2=2px（p0）的焦点 F 且倾斜角为 60的直线 l 与抛物线在第一、四象
4、限分别交于 A、B 两点，则 的值等于（ ）A5 B4 C3 D2二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，20 分）13 （5 分）某单位 200 名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取 40 名职工作样本，若用分层抽样方法，则 40 岁以下年龄段应抽取 人14 （5 分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 15 （5 分）某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如下表：学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号甲班 6 7 7 8 7乙班 6 7 6
5、 7 9则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2= 16 （5 分）已知圆 C 的圆心是直线 xy+1=0 与 y 轴的交点，且圆 C 与直线x+y+3=0 相切，则圆的标准方程为 三、解答题（本题共 6 大题，共 70 分）选修 4-4：坐标系与参数方程17 （10 分）已知曲线 C1： （t 为参数） ，C 2： （ 为参数） （1）化 C1，C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ，Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C1： （t 为参数）距离的最小值18 （12 分）一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示
6、意图如图所示，在正方体中，设 BC 的中点为 M，GH 的中点为 N（1）请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） ；（2）证明：直线 MN平面 BDH；（3）过点 M，N ，H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比19 （12 分）从某学校的 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高，被测学生身高全部介于 155cm 和 195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155， 160） ，第二组 160，165 ） ，第八组190 ，195 ，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为 4 人（）求第
7、七组的频率；（）估计该校的 800 名男生的身高的中位数以及身高在 180cm 以上（含180cm）的人数；（）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求抽出的两名男生是在同一组的概率20 （12 分）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期 3 月 1日3 月 2日3 月 3 日3 月 4日3 月 5日温差 x（） 10 11 13 12 8发芽数 y（颗） 23 25 30 26 16（1）从 3 月 1 日至 3
8、月 5 日中任选 2 天，记发芽的种子数分别为 m，n，求事件“m， n 均小于 25”的概率；（2）请根据 3 月 2 日至 3 月 4 日的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x（参考公式：回归直线方程为 = x ，其中 = ， = x）21 （12 分）如图，已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面边长为 3，侧棱长为4，连结 A1B，过 A 作 AFA 1B，垂足为 F，且 AF 的延长线交 B1B 于 E（I）求证：D 1B平面 AEC；（II）求 B 到平面 AEC 的距离22 （12 分）已知椭圆 （ab0）的离心率为 ，且过点A（0 ，1 ） （1）求椭圆的标准
9、方程；（2）过点 A 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 M，N 两点求证：直线 MN恒过定点 2017-2018 学年黑龙江省哈尔滨高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题，60 分）1 （5 分）已知命题 p：xR ，sinx1，则（ ）Ap：x R，sinx1 Bp：x R，sinx1C p：xR，sinx1 Dp：x R，sinx 1【解答】解：p 是对 p 的否定p：x R，sinx1故选 C2 （5 分）下列双曲线中，离心率为 的是（ ）A B C D【解答】解： ，可得离心率为：e= = ；，可得离心率为：e= = ；，可得离心率为
10、：e= = ；，可得离心率为：e= ；，故选：C3 （5 分） “m= ”是“ 直线（ m+2）x+3my+1=0 与直线（m2）x+（m+2）y3=0 相互垂直”的（ ）A充分必要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：当 m= 时，直线（m+2）x+3my +1=0 的斜率是 ，直线（m2）x+（ m+2）y3=0 的斜率是 ，满足 k1k2=1，“m= ”是“直线（m+2）x +3my+1=0 与直线（m 2）x+（m+2）y3=0 相互垂直”的充分条件，而当（m+2） （m2）+3m（m+2）=0 得：m= 或 m=2“m= ”是“直线（m+2）x
11、 +3my+1=0 与直线（m 2）x+（m+2）y3=0 相互垂直”充分而不必要条件故选：B4 （5 分）已知双曲线 的一条渐近线为 ，则实数 a 的值为（ ）A B2 C D4【解答】解：双曲线 的渐近线为 ， ，解得 a=4，故选 45 （5 分）取一个正方形及其外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为（ ）A B C D【解答】解：设正方形的边长为 1，由已知易得：S 正方形 =1S 外接圆 =故豆子落入正方形外的概率 P= =故选 B6 （5 分）如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm） ，则此几何体的表面积是（ ）A B C D【解答】解：由已知中的三视图，
12、可知该几何体是一个四棱柱（正方体）与四棱锥的组合体，四棱柱（正方体）的棱长为 2cm，故每个面的面积为：22=4cm 2，四棱锥的底面边长为 2cm，高为 1cm，故侧高为： cm，故每个侧面的面积为： 2= cm2，故组合体的表面积 S=54+4 = ，故选：B7 （5 分）一直三棱柱的每条棱长都是 3，且每个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的半径为（ ）A B C D3【解答】解：正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，所以，r= = 故选：A8 （5 分）在一组样本数据（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ， （x n，y n）（n2，x
13、1，x 2， ，x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，n）都在直线 y= x+1 上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）A 1 B0 C D1【解答】解：由题设知，所有样本点（x i，y i） （i=1，2，n）都在直线y= x+1 上，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为 1，故选 D9 （5 分）过抛物线 x2=4y 的焦点 F 作直线交抛物线于 P1（x 1、y 1） ，P2（x 2、y 2）两点，若 y1+y2=6，则|P 1P2|的值为（ ）A5 B6 C8 D10【解答】解：x 2=4y 的焦点为（0，1） ，设过焦点（0，1）的直线为 y=
14、kx+1则令 kx+1= ，即 x24kx4=0由韦达定理得 x1+x2=4k，x 1x2=4y1=kx1+1，y 2=kx2+1所以 y1+y2=k（x 1+x2）+2=4k 2+2=6，所以 k2=1所以|AB|=|x 1x2| = = =8故选 C10 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x，t 均为 2，则输出的 S=（ ）A4 B5 C6 D7【解答】解：若 x=t=2，则第一次循环，12 成立，则 M= ，S=2+3=5，k=2，第二次循环，22 成立，则 M= ，S=2+5=7，k=3，此时 32 不成立，输出 S=7，故选：D11 （5 分）已知一个几何体的主视图及左视
15、图均是边长为 2 的正三角形，俯视图是直径为 2 的圆，则此几何体的外接球的表面积为（ ）A B C D 【解答】解：设该圆锥的外接球的球心为 O，半径为 R，球心 O 到圆锥底面的距离为 x，则可得到 ，解之得 R= ，所以此几何体的外接球的表面积=4（ ） 2= 故选：C12 （5 分）过抛物线 y2=2px（p0）的焦点 F 且倾斜角为 60的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A、B 两点，则 的值等于（ ）A5 B4 C3 D2【解答】解：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ， ，又 ，可得 ，则 ，故选 C二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，20 分）13
16、 （5 分）某单位 200 名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取 40 名职工作样本，若用分层抽样方法，则 40 岁以下年龄段应抽取 20 人【解答】解：由年龄分布情况图可得 40 岁以下年龄段应抽取 4050%=20 人故答案为：2014 （5 分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 【解答】解：所有的选法共有 33=9 种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有 3 种，故他们选择相同颜色运动服的概率为 = ，故答案为： 15 （5 分）某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人
17、投 10 次，投中的次数如下表：学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号甲班 6 7 7 8 7乙班 6 7 6 7 9则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2= 【解答】解析：甲班的方差较小，数据的平均值为 7，故方差 故填： 16 （5 分）已知圆 C 的圆心是直线 xy+1=0 与 y 轴的交点，且圆 C 与直线x+y+3=0 相切，则圆的标准方程为 x 2+（y 1） 2=8 【解答】解：对于直线 xy+1=0，令 x=0，得到 y=1，即圆心 C（0，1） ，圆 C 与直线 x+y+3=0 相切，圆心 C 到直线的距离 d=r，即 r=d= =2 ，则圆 C 的标准方程为 x2+
18、（y1） 2=8故答案为：x 2+（y1） 2=8三、解答题（本题共 6 大题，共 70 分）选修 4-4：坐标系与参数方程17 （10 分）已知曲线 C1： （t 为参数） ，C 2： （ 为参数） （1）化 C1，C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ，Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C1： （t 为参数）距离的最小值【解答】解：（1）把曲线 C1： （t 为参数）化为普通方程得：（x+4） 2+（y3） 2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（4，3） ，半径 1 的圆；把 C2： （ 为参数）化为普通方程得
19、： + =1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴为 8，短半轴为 3 的椭圆；（2）把 t= 代入到曲线 C1 的参数方程得：P （ 4，4） ，把直线 C3： （t 为参数）化为普通方程得：x 2y7=0，设 Q 的坐标为 Q（8cos，3sin） ，故 M（2+4cos，2+ sin）所以 M 到直线的距离 d= = ， （其中sin= ，cos= ）从而当 cos= ，sin= 时， d 取得最小值 18 （12 分）一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设 BC 的中点为 M，GH 的中点为 N（1）请将字母 F，G，H 标
20、记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） ；（2）证明：直线 MN平面 BDH；（3）过点 M，N ，H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比【解答】解：（1）点 F， G，H 的位置如图所示证明：（2）连结 BD，设 O 为 BD 的中点，连结 OM、OH、AC、BH、MN ，M， N 分别是 BC，GH 的中点，OMCD，且 OM= CD，NHCD，且 NH= CD，OMNH，OM=NH，则四边形 MNHO 是平行四边形， MN OH，MN平面 BDH，OH 平面 BDH，MN平面 BDH解：（3）由（2）知 OMNH ，OM=NH，连结 GM、MH，过点 M、N 、H 的平面就是
21、平面 GMH，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是 GH，底面分别是四边形 BMGF 和三角形 MGC，体积比等底面积之比，即 3：119 （12 分）从某学校的 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高，被测学生身高全部介于 155cm 和 195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155， 160） ，第二组 160，165 ） ，第八组190 ，195 ，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为 4 人（）求第七组的频率；（）估计该校的 800 名男生的身高的中位数以及身高在 180cm 以上（含180cm）的人数；（）
22、若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求抽出的两名男生是在同一组的概率【解答】解：（）第六组的频率 =0.08，所以第七组的频率为10.085（0.0082+0.016+0.042+0.06 ）=0.06；（）身高在第一组155，160）的频率为 0.0085=0.04，身高在第二组160，165 ）的频率为 0.0165=0.08，身高在第三组165，170 ）的频率为 0.045=0.2，身高在第四组170，175 ）的频率为 0.045=0.2，由于 0.04+0.08+0.2=0.320.5 ，0.04+0.08 +0.2+0.2=0.520.5，估计这所学校的 80
23、0 名男生的身高的中位数为 m，则 170m175，由 0.04+0.08+0.2+（m 170）0.04=0.5 得 m=174.5所以可估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 174.5，由直方图得后三组频率为 0.06+0.08+0.0085=0.18，所以身高在 180cm 以上（含 180cm）的人数为 0.18800=144 人；（）第六组180，185 ）的人数为 4 人，设为 a， b，c ，d ，第八组190，195 的人数为 2 人，设为 A，B，则从中抽两名的情况有ab， ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB ，dB ，AB 共
24、15 种，其中抽出的两名男生是在同一组的有 ab，ac，ad， bc，bd ，cd ，AB 共 7 种情况，故抽出的两名男生是在同一组的概率为 20 （12 分）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期 3 月 1日3 月 2日3 月 3 日3 月 4日3 月 5日温差 x（） 10 11 13 12 8发芽数 y（颗） 23 25 30 26 16（1）从 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选 2 天，记发芽的种子数分别为 m，n，
25、求事件“m， n 均小于 25”的概率；（2）请根据 3 月 2 日至 3 月 4 日的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x（参考公式：回归直线方程为 = x ，其中 = ， = x）【解答】解：（1）m，n 构成的基本事件（m，n）有：（23，25 ） ， （23，30） ，（23，26 ） ， （23 ，16） ， （25，30 ） ， （25，26） ， （25 ，16） ， （30 ，26） ，（30，16 ） ， （26 ，16） ，共有 10 个其中“m，n 均小于 25”的有 1 个，其概率为 （2） ，于是， ，故所求线性回归方程为 21 （12 分）如图，已知正四
26、棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面边长为 3，侧棱长为4，连结 A1B，过 A 作 AFA 1B，垂足为 F，且 AF 的延长线交 B1B 于 E（I）求证：D 1B平面 AEC；（II）求 B 到平面 AEC 的距离【解答】证明：（1）根正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面边长为 3，侧棱长为4，连结 A1B，过 A 作 AFA 1B，垂足为 F，且 AF 的延长线交 B1B 于 E以 D 为原点， DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则 A（3，0 ， 0） ，B（3 ，3，0） ，C（0，3，0） ，D 1（0，0，4） ，A
27、 1（0，0，4） ，设 E（3，3 ， t） ，则 =（ 0，3，t ） ， =（3，3，4） ，过 A 作 AFA 1B，垂足为 F，且 AF 的延长线交 B1B 于 E =94t=0，解得 t= ，E（3，3， ） ， =（3 ，3，4） ， =（0，3， ） ， =（ 3，3，0） =0， =0D 1BAE， D1BAC ，AE AC=A D 1B平面 AEC解：（2）D 1B平面 AEC， =（3，3，4）是平面 AEC 的一个法向量 =（ 0，3，0） ，B 到平面 AEC 的距离 d= = = 22 （12 分）已知椭圆 （ab0）的离心率为 ，且过点A（0 ，1 ） （1）求椭圆的标准方程；（2）过点 A 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 M，N 两点求证：直线 MN恒过定点 【解答】 （1）解：由题意知， ，b=1，所以 a2c2=1，解得 a=2，所以椭圆的标准方程为 （2）证明设直线 l1 的方程为 y=kx+1，联立方程组得（4k 2+1）x 2+8kx=0，解得 ，x 2=0，所以 ， 同理可得 ， ，则 ， ，所以 kMP=kNP，故直线 MN 恒过定点