1、2017-2018 学年遵义市习水县高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题 5 分，只有一个正确答案，共 60 分）1 （5 分）如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是（ ）A B C D2 （5 分）直线 3x4y=0 截圆（ x1） 2+（y2） 2=2 所得弦长为（ ）A4 B2 C2 D23 （5 分）， 是三个平面，m，n 是两条直线，下列命题正确的是（ ）A若 =m，n ，mn ，则 B若 ，=m ，=n ，则 mnC若 m，n，m n，则 D若 m 不垂直平面，则 m 不可能垂直于平面 内的无数条直线4 （5
2、分）设 p：a=1，q：直线 l1：ax +y1=0 与 l2： 3x+（a+2）y+1=0 平行，则p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）已知命题 p： xR，使 sinx= ；命题 q：x R，都有 x2+x+10，给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“p（ q） ”是假命题；命题“（ p）q” 是真命题；命题“（ p）（q） ”是假命题其中正确的是（ ）A B C D6 （5 分）如图，将无盖正方体纸盒展开，线段 AB，CD 所在直线在原正方体中的位置关系是（ ）A平行 B相交且垂直 C异面 D相交成 607 （5 分）
3、直线 l：y=kx 与双曲线 C：x 2y2=2 交于不同的两点，则斜率 k 的取值范围是（ ）A （0 ，1 ） B C （ 1，1） D 1，18 （5 分）已知 F1，F 2 分别是椭圆 + =1（ab0）的左、右焦点，若椭圆上存在点 P，使 F 1PF2=90，则椭圆的离心率 e 的取值范围为（ ）A （0 ， B ， 1） C （0， D ，1）9 （5 分）若函数 f（x ）在 R 上可导，且 f（x ）=x 2+2f（2）x 3，则（ ）Af （0）f（4） Bf（0）=f（4） Cf（0）f（4） D以上都不对10 （5 分）已知点 P（x，y）在直线 xy1=0 上运动，则（
4、x2） 2+（y 2） 2 的最小值为（ ）A B C D11 （5 分）已知抛物线 y2=8x 的准线与双曲线 交于 A，B 两点，点 F为抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）A B2 C D12 （5 分）过正方形 ABCD 的顶点 A，作 PA平面 ABCD，若 PA=BA，则平面ABP 和平面 CDP 所成的锐二面角的大小是（ ）A30 B45 C60 D90二、填空题（每小题 5 分共 20 分）13 （5 分）已知直线 l1：ax+3y1=0 和 l2：2x+（a1）y +1=0 垂直，则实数 a 的值为 14 （5 分）已知底面是正方形的直四棱柱 ABC
5、DA1B1C1D1 的外接球的表面积为42，且 ，则 AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值为 15 （5 分）函数 y=x2（x0）的图象在点 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 an+1，n 为正整数，若 a1=16，则 a1+a3+a5= 16 （5 分）， 是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果 mn，m，n ，那么 （2）如果 m，n ，那么 mn（3）如果 ，m，那么 n（4）如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有 （填写所有正确命题的编号）三、解答题（17 题 10 分，其余各题均为 12 分共 70 分）17 （10
6、分）已知命题 p：xR ，x 2+a0，命题 q：xR ，使 x2+（2+a ）x+1=0若命题“p 且 q”为真命题，求实数 a 的取值范围18 （12 分）已知圆 C 经过 A（2，1） ，B（5，0）两点，且圆心 C 在直线 y=2x上（1）求圆 C 的方程；（2）动直线 l：（m+2）x+（2m+1）y 7m8=0 过定点 M，斜率为 1 的直线 m 过点 M，直线 m 和圆 C 相交于 P，Q 两点，求 PQ 的长度19 （12 分）已知过抛物线 y2=8x 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） （x 1x 2）两点（1）求线段 AB 的长度；
7、（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若 ，求 的值20 （12 分）四棱锥 PABCD 中，PD=PC，底面 ABCD 为直角梯形，ABBC，ABCD ，CD=2AB，点 M 为 CD 的中点（1）求证：AM平面 PBC；（2）求证：CDPA21 （12 分）已知函数 f（ x）=（x 2+mx）e x（其中 e 为自然对数的底数） （1）当 m=2 时，求函数 f（x）的单调递增区间；（2）若函数 f（x）在区间 1，3上单调递减，求 m 的取值范围22 （12 分）已知椭圆 过点 ，且离心率 e= （）求椭圆方程；（）若直线 l：y=kx+m（k0）与椭圆交于不同的两点 M、N，且线
8、段 MN 的垂直平分线过定点 ，求 k 的取值范围2017-2018 学年贵州省遵义市习水县高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，只有一个正确答案，共 60 分）1 （5 分）如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是（ ）A B C D【解答】解：由三视图可知几何体为圆台，上底小，下底大，向容器内注水时，水位高度 h 增加的速度越来越快，故选 A2 （5 分）直线 3x4y=0 截圆（ x1） 2+（y2） 2=2 所得弦长为（ ）A4 B2 C2 D2【解答】解：圆（x1） 2+（y 2） 2=2
9、 的圆心坐标为（1，2） ，半径为 ，则圆心（1，2）到直线 3x4y=0 的距离 d= ，由垂径定理可得直线 3x4y=0 截圆（x 1） 2+（y2） 2=2 所得弦长为 2故选：D3 （5 分）， 是三个平面，m，n 是两条直线，下列命题正确的是（ ）A若 =m，n ，mn ，则 B若 ，=m ，=n ，则 mnC若 m，n，m n，则 D若 m 不垂直平面，则 m 不可能垂直于平面 内的无数条直线【解答】解：由 ， 是三个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，知：在 A 中，若 =m，n ，mn ，则 与 相交但不一定垂直，故 A 错误；在 B 中，若 ，=m，=n ，则 m 与 n
10、相交、平行或异面，故 B 错误；在 C 中，若 m，n ，mn，则由面面平行的判定定理得 ，故 C 正确在 D 中，若 m 不垂直平面 ，则 m 有可能垂直于平面 内的无数条平行直线，故 D 错误；故选：C4 （5 分）设 p：a=1，q：直线 l1：ax +y1=0 与 l2： 3x+（a+2）y+1=0 平行，则p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：对于命题 q：由 a（a+2） 3=0，解得 a=1 或3a=3 时，两条直线重合，舍去a=1 p 是 q 的充要条件故选：C5 （5 分）已知命题 p： xR，使 sinx= ；命
11、题 q：x R，都有 x2+x+10，给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“p（ q） ”是假命题；命题“（ p）q” 是真命题；命题“（ p）（q） ”是假命题其中正确的是（ ）A B C D【解答】解：|sinx|1 ，：x R，使 sinx= 错误，即命题 p 是假命题，判别式=14=30，x R，都有 x2+x+10 恒成立，即命题 q 是真命题，则命题“p q”是假命题；故 错误，命题“p（ q） ”是假命题；故 正确，命题“（ p）q” 是真命题；故 正确，命题“（ p）（q） ”是真命题故错误，故选：B6 （5 分）如图，将无盖正方体纸盒展开，线段 AB，CD 所在直线在原正
12、方体中的位置关系是（ ）A平行 B相交且垂直 C异面 D相交成 60【解答】解：把正方体展开图还原成如图所示的正方体，ABEC， ECD 是线段 AB，CD 所在直线所成的角，EC=CD=ED，ECD=60，线段 AB，CD 所在直线在原正方体中的位置关系是异面相交成 60故选：C7 （5 分）直线 l：y=kx 与双曲线 C：x 2y2=2 交于不同的两点，则斜率 k 的取值范围是（ ）A （0 ，1 ） B C （ 1，1） D 1，1【解答】解：双曲线 C： x2y2=2 的渐近线方程为： y=x，直线 l： y=kx 与双曲线 C：x 2y2=2 交于不同的两点，则斜率 k 的取值范围
13、是（1 ，1） 故选：C8 （5 分）已知 F1，F 2 分别是椭圆 + =1（ab0）的左、右焦点，若椭圆上存在点 P，使 F 1PF2=90，则椭圆的离心率 e 的取值范围为（ ）A （0 ， B ， 1） C （0， D ，1）【解答】解：F 1，F 2 分别是椭圆 + =1（ab0）的左、右焦点，若椭圆上存在点 P，使F 1PF2=90，可得以原点为圆心以 c 为半径的圆与椭圆有交点，可得 bc，即 b2c 2，a 2c2c 2，a 22c 2，因为 0e1，即可得 1e ，所以则椭圆的离心率 e 的取值范围为： ，1） 故选：B9 （5 分）若函数 f（x ）在 R 上可导，且 f（
14、x ）=x 2+2f（2）x 3，则（ ）Af （0）f（4） Bf（0）=f（4） Cf（0）f（4） D以上都不对【解答】解：函数的导数 f（x ）=2x +2f（2） ，令 x=2，得 f（2）=4+2f（2） ，即 f（2）= 4，f（x）=x 28x3，f（ 0）=3，f （4）=1632 3=19，则 f（0）f（4） ，故选：C10 （5 分）已知点 P（x，y）在直线 xy1=0 上运动，则（x2） 2+（y 2） 2 的最小值为（ ）A B C D【解答】解：点（2，2）到直线 xy1=0 的距离 d= = ，（x2） 2+（y2） 2 的最小值为 故选 A11 （5 分）已
15、知抛物线 y2=8x 的准线与双曲线 交于 A，B 两点，点 F为抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）A B2 C D【解答】解：抛物线 y2=8x 的焦点 F（2，0） ，准线 x=2，代入双曲线 ，得 y= ，不妨设 A（2， ） ，B（ 2， ） ，FAB 是等腰直角三角形， =4，解得 m= ，c 2=a2+b2= +1= ，e= = ，故选 D12 （5 分）过正方形 ABCD 的顶点 A，作 PA平面 ABCD，若 PA=BA，则平面ABP 和平面 CDP 所成的锐二面角的大小是（ ）A30 B45 C60 D90【解答】解：以 A 为原点，AB 为 x
16、轴，AD 为 y 轴， AD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 PA=BA=1，则 C（ 1，1，0） ，D（0， 1，0） ，P（0，0，1） ，=（1，1，1） ， =（0 ，1，1） ，设平面 PCD 的法向量 =（x，y ，z） ，则 ，取 y=1，得 =（0，1，1） ，平面 ABP 的法向量 =（0，1，0） ，设平面 ABP 和平面 CDP 所成的锐二面角的大小为 ，则 cos= = = ，=45 ，平面 ABP 和平面 CDP 所成的锐二面角的大小为 45故选：B二、填空题（每小题 5 分共 20 分）13 （5 分）已知直线 l1：ax+3y1=0 和 l2：2x+（a1）
17、y +1=0 垂直，则实数 a 的值为 【解答】解：a=1 时，两条直线不垂直，舍去a 1 时，由 =1，解得 a= 故答案为： 14 （5 分）已知底面是正方形的直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的外接球的表面积为42，且 ，则 AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值为 【解答】解：设 CC1=h，则 AC= AB= ，AC 1= = ，棱柱外接球的半径 r= AC1= 外接球的表面积 S=4r2=（h 2+6）=42 ，解得 h=6tanC 1AC= = = 故答案为： 15 （5 分）函数 y=x2（x0）的图象在点 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 an+1，n 为正整数，若 a
18、1=16，则 a1+a3+a5= 21 【解答】解：依题意，y=2x，函数 y=x2（x0）的图象在点（a n，a n2）处的切线方程为 yan2=2an（xa n） ，令 y=0，可得 x= an，即 an+1= an，数列a n为等比数列 an=16（ ） n1，a 1+a3+a5=16+4+1=21故答案为：2116 （5 分）， 是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果 mn，m，n ，那么 （2）如果 m，n ，那么 mn（3）如果 ，m，那么 n（4）如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有 （2） （4） （填写所有正确命题的
19、编号）【解答】解：（1）如果 mn ，m ，n ，那么 或 、 相交，故（1）错；（2）如果 m，n ，过 n 的平面与 的交线 l 平行于 n，且 ml，那么mn，故（2）正确；（3）如果 ，m，由面面平行的性质可得 m，故（3）错；（4）如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等，正确故答案为：（2） （4） 三、解答题（17 题 10 分，其余各题均为 12 分共 70 分）17 （10 分）已知命题 p：xR ，x 2+a0，命题 q：xR ，使 x2+（2+a ）x+1=0若命题“p 且 q”为真命题，求实数 a 的取值范围【解答】解：若 p 为真命题，则 ax 2
20、在 xR 上恒成立，即a0，即a 0；（3 分）若 q 为真命题，则=（2+a） 240，即 a4 或 a0 （5 分）命题“p 且 q”为真命题，即 p 为真命题且 q 为真命题，所以 （8 分）故 a 的取值范围为0，+）（10 分）18 （12 分）已知圆 C 经过 A（2，1） ，B（5，0）两点，且圆心 C 在直线 y=2x上（1）求圆 C 的方程；（2）动直线 l：（m+2）x+（2m+1）y 7m8=0 过定点 M，斜率为 1 的直线 m 过点 M，直线 m 和圆 C 相交于 P，Q 两点，求 PQ 的长度【解答】解：（1）设圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，则
21、，解得 D=4，E=8，F=5，圆 C 的方程： x2+y24x8y5=0；（2）动直线 l 的方程为（x+2y 7）m+2x +y8=0则 得 ，动直线 l 过定点 M（3 ，2） ，直线 m：y=x 1，圆心 C（2， 4）到 m 的距离为 ，PQ 的长为 19 （12 分）已知过抛物线 y2=8x 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） （x 1x 2）两点（1）求线段 AB 的长度；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若 ，求 的值【解答】解：（1）直线 AB 的方程是 y=2 （x2） ，与 y2=8x 联立，消去 y 得x25x+4=0，
22、由根与系数的关系得 x1+x2=5由抛物线定义得|AB|=x 1+x2+p=9，（2）由 x25x+4=0，得 x1=1，x 2=4，从而 A（1， 2 ） ，B（4，4 ） 设 =（ x3， y3）=（1，2 ）+（4，4 ）=（4+1，4 2 ） ，又 y2=8x3，即2 （21） 2=8（4+1） ，即（21 ） 2=4+1，解得 =0 或 =220 （12 分）四棱锥 PABCD 中，PD=PC，底面 ABCD 为直角梯形，ABBC，ABCD ，CD=2AB，点 M 为 CD 的中点（1）求证：AM平面 PBC；（2）求证：CDPA【解答】证：（1） 四边形 ABCM 为平行四边形（3
23、 分）（6 分）（2） （9 分） （12 分）21 （12 分）已知函数 f（ x）=（x 2+mx）e x（其中 e 为自然对数的底数） （1）当 m=2 时，求函数 f（x）的单调递增区间；（2）若函数 f（x）在区间 1，3上单调递减，求 m 的取值范围【解答】解：（1）当 m=2 时，f （x）=（x 22x）e x，f（x ）=（x 22）e x，令 f（x）0，解得：x 或 x ，f（ x）在（， ） ， （ ，+）递增；（2）f（x ）= x2+（m+2）x+me x，由题意得 f（ x）0 对于 x1，3恒成立，x 2+（m +2）x+m 0，即 m =（x+1）+ ，令 g
24、（ x）= （x+1）+ ，则 g（x ）= 1 0 恒成立，g （x）在区间1，3递减，g（x） min=g（3）= ，m 的范围是（， 22 （12 分）已知椭圆 过点 ，且离心率 e= （）求椭圆方程；（）若直线 l：y=kx+m（k0）与椭圆交于不同的两点 M、N，且线段 MN 的垂直平分线过定点 ，求 k 的取值范围【解答】解：（）由题意椭圆的离心率 a=2cb 2=a2c2=3c2椭圆方程为 又点 在椭圆上 c 2=1椭圆的方程为 （4 分）（）设 M（ x1，y 1） ，N（x 2，y 2）由消去 y 并整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4m212=0（6 分）直线 y=kx+m 与椭圆有 两个交点=（8km） 24（3+4k 2） （4m 212）0，即m2 4k2+3（8 分）又 MN 中点 P 的坐标为 （9 分）设 MN 的垂直平分线 l方程：p 在 l上 即 4k2+8km+3=0 （11 分）将上式代入得即 或 ，k 的取值范围为