1、2017-2018 学年衡水市高二（上）第五次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知命题 p： xR，x 2x+10；命题 q：若 a2b 2，则 ab下列命题为真命题的是（ ）Ap q Bpq Cpq Dpq2 （5 分）设命题 p：函数 f（x）=ln 为奇函数；命题 q：x 0（0，2） ，x2 ，则下列命题为假命题的是（ ）Ap q Bp（q） C （p ）q D （p）（q ）3 （5 分）设 R，则“ | | ”是“sin ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充
2、分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）已知等差数列a n的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d 0”是“S4+S62S 5”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）椭圆 的一个焦点为 F1，M 为椭圆上一点，且 |MF1|=2，N是线段 MF1 的中点，则|ON|（O 为坐标原点）为（ ）A3 B2 C4 D86 （5 分）椭圆 上的一点 A 关于原点的对称点为 B，F 为它的右焦点，若 AFBF，则AFB 的面积是（ ）A2 B4 C1 D7 （5 分）如果椭圆 + =1 的弦被点（1 ，1）平分，则这条弦所在的直线方
3、程是（ ）Ax +2y3=0B2xy3=0 C2x+y 3=0 Dx+2y+3=08 （5 分）已知点 P 在曲线 C1： 上，点 Q 在曲线 C2：（x 5） 2+y2=1上，点 R 在曲线 C3：（x+5） 2+y2=1 上，则|PQ| |PR|的最大值是（ ）A6 B8 C10 D129 （5 分）若点 P 到点 F（4，0）的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1，则 P 点的轨迹方程是（ ）Ay 2=16x By 2=32x Cy 2=16x Dy 2=32x10 （5 分）已知椭圆 的左右焦点分别为 F1，F 2，过右焦点 F2 作 x轴的垂线，交椭圆于 A，B 两点若等边ABF
4、 1 的周长为 ，则椭圆的方程为（ ）A B C D11 （5 分）一个椭圆中心在原点，焦点 F1，F 2 在 x 轴上，P（2， ）是椭圆上一点，且|PF 1|、|F 1F2|、|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为（ ）A + =1 B + =1 C + =1 D + =112 （5 分）设 F1、F 2 是椭圆 的两个焦点， P 是椭圆上的一点，且 P到两焦点的距离之差为 2，则PF 1F2 是（ ）A直角三角形 B锐角三角形 C斜三角形 D钝角三角形二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）设有两个命题，p：关于 x 的不等式 ax1（a0，且 a1）
5、的解集是x|x0；q：函数 y=lg（ax 2x+a）的定义域为 R如果 pq 为真命题，pq 为假命题，则实数 a 的取值范围是 14 （5 分）若椭圆两焦点为 F1（4，0） ，F 2（4， 0）点 P 在椭圆上，且PF 1F2的面积的最大值为 12，则此椭圆的方程是 15 （5 分）已知圆 C：（x+3） 2+y2=4 及点 A（3，0） ，Q 为圆周上一点，AQ 的垂直平分线交直线 CQ 于点 M，则动点 M 的轨迹方程为 16 （5 分）已知方程 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
6、算步骤.）17 （10 分）已知 c0，且 c1，设 p：函数 y=cx 在 R 上单调递减，Q：函数f（x）=x 22cx+1 在（ ）上为增函数， “PQ”为假， “PQ”为真，求实数 c的取值范围18 （12 分）已知函数 f（ x）=ka xax（a0 且 a1）是定义在实数集 R 上的奇函数，且 f（1）0 （）试求不等式 的解集；（）当 b0 且 b1 时，设命题 p：实数 b 满足 ，命题 p：函数 y=logb（x+1）在（0，+）上单调递减；若“p 且 q”为假命题， “p 或p”为真命题，求实数 b 的取值范围19 （12 分）已知椭圆 C 的两个焦点是 F1（ 2，0 ）
7、 ，F 2（2，0） ，且椭圆 C 经过点 （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若过椭圆 C 的左焦点 F1（ 2，0）且斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q两点，求线段 PQ 的长20 （12 分）已知抛物线 C 的标准方程是 y2=6x（）求它的焦点坐标和准线方程；（）直线 l 过已知抛物线 C 的焦点且倾斜角为 45，且与抛物线的交点为A、B ，求线段 AB 的长度21 （12 分）已知双曲线 C： =1（a0，b0）的实轴长为 2 ，一个焦点的坐标为 （1）求双曲线的方程；（2）若斜率为 2 的直线 l 交双曲线 C 交于 A，B 两点，且|AB |=4，求直线 l 的方程
8、22 （12 分）已知抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点为 F（1，0） ，抛物线E： x2=2py 的焦点为 M（1）若过点 M 的直线 l 与抛物线 C 有且只有一个交点，求直线 l 的方程；（2）若直线 MF 与抛物线 C 交于 A、B 两点，求 OAB 的面积2017-2018 学年河北省衡水市阜城中学高二（上）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知命题 p： xR，x 2x+10；命题 q：若 a2b 2，则 ab下列命题为真命题的是（
9、）Ap q Bpq Cpq Dpq【解答】解：命题 p：xR ，x 2x+10，是真命题；命题 q：若 a2b 2，则|a|b|，是假命题，故 pq 是真命题，故选：B2 （5 分）设命题 p：函数 f（x）=ln 为奇函数；命题 q：x 0（0，2） ，x2 ，则下列命题为假命题的是（ ）Ap q Bp（q） C （p ）q D （p）（q ）【解答】解：命题 p：函数 f（x）=ln ，x R，f（x）+f （x）=ln +ln=ln1=0，因此函数 f（x）为奇函数，为真命题；命题 q：不存在 x0（0，2） ，x 2 ，因此是假命题则下列命题为假命题的是（p）q 故选：C3 （5 分）
10、设 R，则“ | | ”是“sin ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：| | 0 ，sin +2k +2k，kZ，则（0， ） +2k， +2k，k Z，可得“| | ”是“sin ”的充分不必要条件故选：A4 （5 分）已知等差数列a n的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d 0”是“S4+S62S 5”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：S 4+S62S 5，4a 1+6d+6a1+15d2（5a 1+10d） ，21d20d ，d0，故“d0”是“S 4+S62S 5”
11、充分必要条件，故选：C5 （5 分）椭圆 的一个焦点为 F1，M 为椭圆上一点，且 |MF1|=2，N是线段 MF1 的中点，则|ON|（O 为坐标原点）为（ ）A3 B2 C4 D8【解答】解：椭圆 的实轴长为 10，a=5，2a=10，由椭圆的定义得|MF 2|=102=8，而 ON 是MF 1F2 的中位线，|ON|=4故选：C6 （5 分）椭圆 上的一点 A 关于原点的对称点为 B，F 为它的右焦点，若 AFBF，则AFB 的面积是（ ）A2 B4 C1 D【解答】解：椭圆 中 a=4，b=2 ，c=2 ，椭圆 上的一点 A 关于原点的对称点为 B，F 为它的右焦点，若AFBF，AO=
12、BO=OF=2 ，设 A（x，y） ，则 x2+y2=12，椭圆 ，联立消去 x，化简可得|y |= ，三角形AF 2B 的面积是 2 2 =4，故选：B7 （5 分）如果椭圆 + =1 的弦被点（1 ，1）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）Ax +2y3=0B2xy3=0 C2x+y 3=0 Dx+2y+3=0【解答】解：设过点 A（1，1）的直线与椭圆相交于两点，E（x 1，y 1） ，F（x 2，y 2） ，由中点坐标公式可知： ，则 ，两式相减得： + =0， = ，直线 EF 的斜率 k= = ，直线 EF 的方程为：y1= （x1） ，整理得：2y+x3=0，故选 A8 （5 分
13、）已知点 P 在曲线 C1： 上，点 Q 在曲线 C2：（x 5） 2+y2=1上，点 R 在曲线 C3：（x+5） 2+y2=1 上，则|PQ| |PR|的最大值是（ ）A6 B8 C10 D12【解答】解：由双曲线的知识可知：C 1 的两个焦点分别是 F1（5，0）与 F2（ 5，0） ，且|PF 1|PF2|=8而这两点正好是两圆（x+ 5） 2+y2=1 和（x 5） 2+y2=1 的圆心，两圆（x+5） 2+y2=4 和（x 5） 2+y2=1 的半径分别是 r1=1，r 2=1，|PQ| max=|PF1|+1，|PR| min=|PF2|1，|PQ|PR|的最大值为：（|PF 1
14、|+1）（|PF 2|1）=|PF1|PF2|+2=8+2=10，故选 C9 （5 分）若点 P 到点 F（4，0）的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1，则 P 点的轨迹方程是（ ）Ay 2=16x By 2=32x Cy 2=16x Dy 2=32x【解答】解：点 P 到点（4，0）的距离比它到直线 x+5=0 的距离少 1，将直线 x+5=0 右移 1 个单位，得直线 x+4=0，即 x=4，可得点 P 到直线 x=4 的距离等于它到点（4，0）的距离根据抛物线的定义，可得点 P 的轨迹是以点（4，0）为焦点，以直线 x=4 为准线的抛物线设抛物线方程为 y2=2px，可得 =4，得
15、 2p=16，抛物线的标准方程为 y2=16x，即为 P 点的轨迹方程故选：C10 （5 分）已知椭圆 的左右焦点分别为 F1，F 2，过右焦点 F2 作 x轴的垂线，交椭圆于 A，B 两点若等边ABF 1 的周长为 ，则椭圆的方程为（ ）A B C D【解答】解：由题意可得等边ABF 1 的边长为 ，则 AB= ，由椭圆的定义可得 2a=AF1+AF2= + =2 ，即为 a= ，由 F1F2=2c= =2，即有 c=1，则 b= = ，则椭圆方程为 + =1故选：A11 （5 分）一个椭圆中心在原点，焦点 F1，F 2 在 x 轴上，P（2， ）是椭圆上一点，且|PF 1|、|F 1F2|
16、、|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为（ ）A + =1 B + =1 C + =1 D + =1【解答】解：|PF 1|，|F 1F2|，|PF 2|成等差数列，P 是椭圆上的一点，2|F 1F2|=|PF2|+|PF1|=2a，a=2c设椭圆方程为 ，则解得 a=2 ，c= ，b 2=6故椭圆的方程为 + =1故选 A12 （5 分）设 F1、F 2 是椭圆 的两个焦点， P 是椭圆上的一点，且 P到两焦点的距离之差为 2，则PF 1F2 是（ ）A直角三角形 B锐角三角形 C斜三角形 D钝角三角形【解答】解：由椭圆 ，得 a2=16，b 2=12，c 2=a2b2=1612=4，则 F1
17、（2，0 ） ，F 2（2，0 ） ，由椭圆的定义得：|PF 1|+|PF2|=2a=8 ，又 P 到两焦点的距离之差为 2，不妨设|PF 1| |PF2|，则| PF1|PF2|=2 ，联立得：|PF 1|=5，|PF 2|=3，又|F 1F2|=2c=4， ，PF 1F2 是直角三角形故选：A二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）设有两个命题，p：关于 x 的不等式 ax1（a0，且 a1）的解集是x|x0；q：函数 y=lg（ax 2x+a）的定义域为 R如果 pq 为真命题，pq 为假命题，则实数 a 的取值范围是 或 a1 【解答】解：p：关于
18、 x 的不等式 ax1（a0，且 a1）的解集是x|x 0，则 0a1 ；q：函数 y=lg（ax 2x+a）的定义域为 R，a=0 时不成立，a0 时，则，解得 如果 pq 为真命题，p q 为假命题，则命题 p 与 q 必然一真一假 ，或 ，解得则实数 a 的取值范围是故答案为： 或 a114 （5 分）若椭圆两焦点为 F1（4，0） ，F 2（4， 0）点 P 在椭圆上，且PF 1F2的面积的最大值为 12，则此椭圆的方程是 【解答】解：设 P 点坐标为（x ，y） ，则 ，显然当|y|取最大时，三角形面积最大因为 P 点在椭圆上，所以当 P 在 y 轴上，此时|y|最大，所以 P 点的
19、坐标为（0，3） ，所以 b=3a 2=b2+c2，所以 a=5椭圆方程为 故答案为15 （5 分）已知圆 C：（x+3） 2+y2=4 及点 A（3，0） ，Q 为圆周上一点，AQ 的垂直平分线交直线 CQ 于点 M，则动点 M 的轨迹方程为 【解答】解：由 AQ 的垂直平分线交直线 CQ 于点 M，得|MA|=|MQ|，圆的半径为 2所以|MC|MA|=2|AC|=6，故 M 的轨迹是以 C，A 为焦点的双曲线所以由题意得 2a=2，2c=6所以 a=1，c=3 ，b 2=c2a2=8焦点在 x 轴上，故所求方程为 故答案为 16 （5 分）已知方程 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实
20、数 k 的取值范围是 1k2 【解答】解：方程 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，2k 12k01k 2故答案为：1k2三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）已知 c0，且 c1，设 p：函数 y=cx 在 R 上单调递减，Q：函数f（x）=x 22cx+1 在（ ）上为增函数， “PQ”为假， “PQ”为真，求实数 c的取值范围【解答】解：函数 y=cx 在 R 上单调递减，0 c1即 p：0c 1，c0 且 c 1，p：c 1又f（ x）=x 22cx+1 在（ ，+）上为增函数，c 即 q：0c ，c0 且 c 1，q：
21、c 且 c1又“PQ”为假， “PQ”为真，p 真 q 假，或 p 假 q 真当 p 真，q 假时，c|0 c 1c|c ，且 c1=c| c1当 p 假，q 真时，c|c 1c|0c =综上所述，实数 c 的取值范围是c | c118 （12 分）已知函数 f（ x）=ka xax（a0 且 a1）是定义在实数集 R 上的奇函数，且 f（1）0 （）试求不等式 的解集；（）当 b0 且 b1 时，设命题 p：实数 b 满足 ，命题 p：函数 y=logb（x+1）在（0，+）上单调递减；若“p 且 q”为假命题， “p 或p”为真命题，求实数 b 的取值范围【解答】解：（）因为f（x ）是定
22、义在 R 上的奇函数，f（ 0）=0，k1=0，k=1，当 k=1 时 f（ x）=a xax=f（ x） ，满足f（x ）是定义在 R 上的奇函数，又f（ 1）0 ， ，又 a0 故 a1 ，（3 分）易知 f（ x）在 R 上单调递增，原不等式化为： ，所以 ，即 ，解得 x ；不等式的解集为 或 （6 分）（）若 p 为真，由（）得 b 或 0b ，若 q 为真，则 0b1；（8 分）依题意得，p、p 一真一假，（1）当 p 真 q 假，则 ；（2）当 p 假 q 真，则 ；综上，b 的取值范围是 （12 分）19 （12 分）已知椭圆 C 的两个焦点是 F1（ 2，0 ） ，F 2（2
23、，0） ，且椭圆 C 经过点 （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若过椭圆 C 的左焦点 F1（ 2，0）且斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q两点，求线段 PQ 的长【解答】解：（1）由已知得，椭圆 C 的焦点在 x 轴上可设椭圆 C 的方程为 ，点 是椭圆 C 短轴的一个顶点，可得 ，由题意可知 c=2，则有 ，故椭圆 C 的标准方程为 ；（2）由已知得，直线 l 的方程为 y=x+2，代入方程 并整理，得 14x2+36x9=0=36 2+36140，设 P（ x1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，则 ，则= = 20 （12 分）已知抛物线 C 的标准方程是 y2=6x
24、（）求它的焦点坐标和准线方程；（）直线 l 过已知抛物线 C 的焦点且倾斜角为 45，且与抛物线的交点为A、B ，求线段 AB 的长度【解答】解：（）抛物线 C 的标准方程是 y2=6x，抛物线 C 的焦点为 F（ ，0） ，准线方程： （）直线 l 过抛物线 C 的焦点 F（ ，0） ，且倾斜角为 45，直线 l 的方程为 y=x ，联立 ，得 y26y9=0，=36+36=720，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 y1+y2=6，y 1y2=9，线段 AB 的长度|AB|= =1221 （12 分）已知双曲线 C： =1（a0，b0）的实轴长为 2 ，一个焦点的坐标为
25、 （1）求双曲线的方程；（2）若斜率为 2 的直线 l 交双曲线 C 交于 A，B 两点，且|AB |=4，求直线 l 的方程【解答】解：（1）实轴长为 2 ，一个焦点的坐标为 ， ，得 ， ，b 2=c2a2=2，双曲线 C 的方程为 （2）设直线 l 的方程为 y=2x+m，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由 ，得 10x2+12mx+3（m 2+2）=0，=24（m 210）0，得 ，弦长 ，解得 ，直线 l 的方程为 或 22 （12 分）已知抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点为 F（1，0） ，抛物线E： x2=2py 的焦点为 M（1）若过点 M 的直线 l
26、与抛物线 C 有且只有一个交点，求直线 l 的方程；（2）若直线 MF 与抛物线 C 交于 A、B 两点，求 OAB 的面积【解答】解：（1）抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点为 F（1，0） ，抛物线E： x2=2py 的焦点为 M，p=2，M（0，1）斜率不存在时，x=0，满足题意；斜率存在时，设方程为 y=kx+1，代入 y2=4x，可得 k2x2+（2k4）x+1=0，k=0 时，x= ，满足题意，方程为 y=1；k0 时， =（2k4） 24k2=0，k=1 ，方程为 y=x+1，综上，直线 l 的方程为 x=0 或 y=1 或 y=x+1；（2）直线 MF 的方程为 y=x+1，代入 y2=4x，可得 y2+4y4=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 y1+y2=4，y 1y2=4，OAB 的面积 S= |OF|y1y2|= =2