1、2017-2018 学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1 （5 分）设命题 p：xR ，x 2+10，则p 为（ ）Ax 0R，x +10 B x0R，x +10C x0R，x +10 DxR ，x 2+102 （5 分）函数 y=（x2） 2 在 x=1 处的导数等于（ ）A 1 B2 C3 D 43 （5 分）已知ABC 的顶点 B，C 在椭圆 +y2=1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是（ ）A B6 C D124
2、 （5 分）设 xR，则“x1”是“x 2+x20” 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）某公司 10 位员工的月工资（单位：元）为 x1，x 2，x 10，其均值和方差分别为 和 s2，若从下月起每位员工的月工资增加 100 元，则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）A ，s 2+1002 B +100，s 2+1002C ， s2 D +100，s 26 （5 分）已知平面 的法向量是（ 2，3， 1） ，平面 的法向量是（4，2） ，若 ，则 的值是（ ）A 6 B6 C D7 （5 分）计算机是将信息转换成二进制
3、进行处理的，二进制即“逢 2 进 1”，如（1000） 2 表示二进制数，将它转换成十进制形式是 123+021+120=9，那么将二进制数 转换成十进制形式是（ ）A2 92 B2 102C2 101D2 918 （5 分）某校高三年级有 1221 名同学，现采用系统抽样方法抽取 37 名同学做问卷调查，将 1221 名同学按 1，2，3，4， ， 1221 随机编号，则抽取的 37名同学中，标号落入区间496，825的人数有（ ）A12 人 B11 人 C10 人 D9 人9 （5 分）若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为 m，n，则点 P（m，n）在直线 x+y=4 上的概率是（ ）A B
4、 C D10 （5 分）如图程序框图中，若输入 m=4，n=10，则输出 a，i 的值分别是（ ）A12， 4 B16，5 C20，5 D24，611 （5 分）某中学早上 8 点开始上课，若学生小明与小方均在早上 7：40 至8：00 之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小明比小方至少早 5 分钟到校的概率为（ ）A B C D12 （5 分）将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b（ab）同时增加 m（m 0）个单位长度，得到离心率为 e2 的双曲线 C2，则（ ）A对任意的 a，b，e 1e 2B当 ab 时，e 1e 2；当 ab 时，e 1
5、e 2C对任意的 a，b ，e 1e 2D当 ab 时， e1e 2；当 ab 时，e 1e 2二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）函数 f（x ）=x 3+4x 在点（1，f（1） ）处的切线方程是 14 （5 分）如图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员参加 11 场比赛的得分情况画出的茎叶图若甲运动员的中位数为 a，乙运动员的众数为 b，则 ab= 15 （5 分）在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 和 N 分别是 A1B1 和 BB1的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 16 （5 分）已知抛物线 y2=12x 的焦
6、点为 F，若点 A，B 是该抛物线上的点，线段 AB 的中点 M 在抛物线的准线上的射影为 N，则 的最大值为 三解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分）一个盒子中装有 4 张卡片，每张卡片上写有 1 个数字，数字分别是 1、2、3 、4，现从盒子中随机抽取卡片（）若一次抽取 3 张卡片，求 3 张卡片上数字之和大于 7 的概率；（）若第一次抽 1 张卡片，放回后再抽取 1 张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字 3 的概率18 （12 分）某种产品的广告支出 x（单位：万元）与销售收入 y（单位：万元）之间有下列所示的对应数据广告支出 x/万元 1 2 3
7、 4销售收入 y/万元 12 28 42 56（1）求出 y 与 x 的回归直线方程；（2）若广告费为 9 万元，则销售收入约为多少？（参考公式： = = ， = ）19 （12 分）为了调查某校学生体质健康达标情况，现采用随机抽样的方法从该校抽取了 m 名学生进行体育测试根据体育测试得到了这 m 名学生各项平均成绩（满分 100 分） ，按照以下区间分为七组：30，40） ，40，50） ，50，60） ，60，70） ，70 ，80） ，80 ，90 ） ，90，100） ，并得到频率分布直方图（如图，已知测试平均成绩在区间30，60）有 20 人（I）求 m 的值及中位数 n；（）若该校
8、学生测试平均成绩小于 n，则学校应适当增加体育活动时间根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间？20 （12 分）已知直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A、B 两点（1）若|AF|=4，求点 A 的坐标；（2）求线段 AB 的长的最小值21 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ADBC ，AB=AD=AC=3 ，PA=BC=4 ，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N为 PC 的中点（1）证明：MN平面 PAB；（2）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值22 （12 分）如图，椭圆 的左焦点为 F，过点 F 的直线交椭
9、圆于 A，B 两点当直线 AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 60（）求该椭圆的离心率；（）设线段 AB 的中点为 G，AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D，E 两点记GFD 的面积为 S1，OED（O 为原点）的面积为 S2，求 的取值范围2017-2018 学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1 （5 分）设命题 p：xR ，x 2+10，则p 为（ ）Ax 0R，x +10 B x0R，x +10C x0R，x +10 DxR ，x 2
10、+10【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：x R，x 2+10，则p 为：x 0R，x +10故选：B2 （5 分）函数 y=（x2） 2 在 x=1 处的导数等于（ ）A 1 B2 C3 D 4【解答】解：函数的导数为 y=2x4，y| x=1=2，故选 B3 （5 分）已知ABC 的顶点 B，C 在椭圆 +y2=1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是（ ）A B6 C D12【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a，可得ABC 的周长为 4a= ，故选 C4 （5 分）设 xR，则“x1”
11、是“x 2+x20” 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：由不等式 x2+x20，得 x1 或 x2，所以由 x1 可以得到不等式 x2+x20 成立，但由 x2+x20 不一定得到 x1，所以 x1 是 x2+x20 的充分不必要条件，故选 A5 （5 分）某公司 10 位员工的月工资（单位：元）为 x1，x 2，x 10，其均值和方差分别为 和 s2，若从下月起每位员工的月工资增加 100 元，则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）A ，s 2+1002 B +100，s 2+1002C ， s2 D +100，s 2
12、【解答】解：由题意知 yi=xi+100，则 = （x 1+x2+x10+10010）= （x 1+x2+x10）= +100，方差 s2= （x 1+100（ +100） 2+（x 2+100（ +100） 2+（x 10+100（ +100）2= （x 1 ） 2+（x 2 ） 2+（x 10 ） 2=s2故选：D6 （5 分）已知平面 的法向量是（ 2，3， 1） ，平面 的法向量是（4，2） ，若 ，则 的值是（ ）A 6 B6 C D【解答】解：由题意可知：平面 和 的法向量分别是（ 2，3，1）和（4，2 ） ，由平面 ，可得它们的法向量垂直，故（2，3，1）（4， 2）=8 +3
13、+2=0，解得 = ，故选 C7 （5 分）计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢 2 进 1”，如（1000） 2 表示二进制数，将它转换成十进制形式是 123+021+120=9，那么将二进制数 转换成十进制形式是（ ）A2 92 B2 102C2 101D2 91【解答】解：由题意得，二进制数=129+128+120= =2101故选：C8 （5 分）某校高三年级有 1221 名同学，现采用系统抽样方法抽取 37 名同学做问卷调查，将 1221 名同学按 1，2，3，4， ， 1221 随机编号，则抽取的 37名同学中，标号落入区间496，825的人数有（ ）A12 人 B1
14、1 人 C10 人 D9 人【解答】解：使用系统抽样方法，从 1221 人中抽取 37 人，即从 33 人抽取 1人从区间496，825 共 330 人中抽取 10 人故选：C9 （5 分）若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为 m，n，则点 P（m，n）在直线 x+y=4 上的概率是（ ）A B C D【解答】解：连续抛掷两次骰子出现的结果共有 66=36，其中每个结果出现的机会都是等可能的，点 P（ m，n）在直线 x+y=4 上包含的结果有（1，3） ， （2，2） ， （3，1）共三个，所以点 P（m，n ）在直线 x+y=4 上的概率是 ，故选 D10 （5 分）如图程序框图中，若输入
15、m=4，n=10，则输出 a，i 的值分别是（ ）A12， 4 B16，5 C20，5 D24，6【解答】解：模拟执行程序，可得m=4，n=10，i=1a=4，不满足条件 n 整除 a，i=2，a=8不满足条件 n 整除 a，i=3，a=12不满足条件 n 整除 a，i=4，a=16不满足条件 n 整除 a，i=5，a=20满足条件 n 整除 a，退出循环，输出 a 的值为 20，i 的值为 5故选：C11 （5 分）某中学早上 8 点开始上课，若学生小明与小方均在早上 7：40 至8：00 之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小明比小方至少早 5 分钟到校的概率为（ ）A
16、 B C D【解答】解：设小明到校的时间为 x，小方到校的时间为 y；（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为 =（x，y）|40x60，40y60 是一个矩形区域，对应的面积为 S=2020=400，则小明比小方至少早 5 分钟到校为事件 A=x|yx 5；作出符合题意的图象，如图所示；则符合题意的区域为ABC，联立 得 C（55 ，60） ，由 得 B（40，45） ，则 SABC = 1515，由几何概率模型可知小明比小方至少早 5 分钟到校的概率为P= = 故选：A12 （5 分）将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b（ab）同时增加 m（m
17、0）个单位长度，得到离心率为 e2 的双曲线 C2，则（ ）A对任意的 a，b，e 1e 2B当 ab 时，e 1e 2；当 ab 时，e 1e 2C对任意的 a，b ，e 1e 2D当 ab 时， e1e 2；当 ab 时，e 1e 2【解答】解：由题意，双曲线 C1：c 2=a2+b2，e 1= ；双曲线 C2：c 2=（a+m） 2+（b+m ） 2，e 2= ， = = ，当 ab 时，e 1e 2；当 ab 时，e 1e 2，故选：B二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）函数 f（x ）=x 3+4x 在点（1，f（1） ）处的切线方程是 y=x+
18、2 【解答】解：函数 f（x） =x3+4x，可得 f（x ）= 3x2+4：，f（1）=1，f （1）=3，所以切线方程为 y3=x1，即 y=x+2故答案为：y=x +214 （5 分）如图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员参加 11 场比赛的得分情况画出的茎叶图若甲运动员的中位数为 a，乙运动员的众数为 b，则 ab= 8 【解答】解：由茎叶图可知甲运动员得分从小到大排列为7，8 ，9 ，15 ，17 ，19，23，24，26，32，41；所以甲的中位数为 a=19，乙运动员得分为 5，7，8，11，11，13，20 ，22， 30，31，40，所以乙的众数为 b=11，所以 ab=8故答
19、案为：815 （5 分）在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 和 N 分别是 A1B1 和 BB1的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴， DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图，M（1， ，1 ） ，N （1，1， ） ，A（1，0，0） ，C （ 0，1，0） ， =（ 0， ，1） ， =（1，0， ） cos = = = 即直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 故答案为： 16 （5 分）已知抛物线 y2=12x 的焦点为 F，若点 A，B 是该抛物线上的点，线段 AB 的中点 M
20、在抛物线的准线上的射影为 N，则 的最大值为 【解答】解：设|AF|=a，|BF|=bA 、B 在准线上的射影点分别为 Q、P ，连接AQ、BQ，由抛物线定义，得 AF|=|AQ|且|BF|=|BP|在梯形 ABPQ 中根据中位线定理，得 2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b由勾股定理得|AB| 2=a2+b2，配方得|AB| 2=（a+b） 22ab，又ab（ ） 2，（a +b） 22ab（a+b） 22（ ） 2= （a+b） 2，得到|AB| （a+b） 所以 = ，即 的最大值为 故答案为： 三解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分）一个盒子中
21、装有 4 张卡片，每张卡片上写有 1 个数字，数字分别是 1、2、3 、4，现从盒子中随机抽取卡片（）若一次抽取 3 张卡片，求 3 张卡片上数字之和大于 7 的概率；（）若第一次抽 1 张卡片，放回后再抽取 1 张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字 3 的概率【解答】解：（）由题意知本题是一个古典概型，设 A 表示事件“ 抽取 3 张卡片上的数字之和大于 7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3） ， （1、2、4） ，（1、3、4 ） ， （2、3、4 ） ，其中数字之和大于 7 的是（1、3、4） ， （2、3、4） ， （）设 B 表示事件“ 至少一次抽到 3”
22、，每次抽 1 张，连续抽取两张全部可能的基本结果有：（1、1） （1、2） （1、3）（1、4） （2 、1） （2、2 ） （2、3） （2、4） （3 、1） （3、2） （3、3） （3、4）（4、1） （4 、2） （4、3 ） （4、4） ，共 16 个基本结果事件 B 包含的基本结果有（ 1、3） （2、3） （3、1） （3、2） （3、3 ） （3、4）（4、3） ，共 7 个基本结果所求事件的概率为 18 （12 分）某种产品的广告支出 x（单位：万元）与销售收入 y（单位：万元）之间有下列所示的对应数据广告支出 x/万元 1 2 3 4销售收入 y/万元 12 28 42
23、56（1）求出 y 与 x 的回归直线方程；（2）若广告费为 9 万元，则销售收入约为多少？（参考公式： = = ， = ）【解答】解：（1） = ， = ，=30， xiyi=418，所以 = ， = =2，所以 = x2（2）若广告费为 9 万元，代入方程为 = 92=129.4，即销售收入约为 129.4 万元19 （12 分）为了调查某校学生体质健康达标情况，现采用随机抽样的方法从该校抽取了 m 名学生进行体育测试根据体育测试得到了这 m 名学生各项平均成绩（满分 100 分） ，按照以下区间分为七组：30，40） ，40，50） ，50，60） ，60，70） ，70 ，80） ，8
24、0 ，90 ） ，90，100） ，并得到频率分布直方图（如图，已知测试平均成绩在区间30，60）有 20 人（I）求 m 的值及中位数 n；（）若该校学生测试平均成绩小于 n，则学校应适当增加体育活动时间根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间？【解答】解：（）由频率分布直方图知，第 1 组的频率为 0.00210=0.02，第 2 组的频率为 0.00210=0.02，第 3 组的频率为 0.00610=0.06，则 m（0.02+0.02+0.06） =20，解得 m=200；由直方图可知，中位数 n 位于70，80） ，则0.02+0.02+0.06+0.22+0.04（n
25、70）=0.5，解得 n=74.5； （4 分）（）设第 i 组的频率和频数分别为 pi 和 xi，由图知，p1=0.02，p 2=0.02，p 3=0.06，p 4=0.22，p 5=0.40，p 6=0.18，p 7=0.10，则由 xi=200pi，可得x1=4，x 2=4，x 3=12，x 4=44，x 5=80，x 6=36，x 7=20，（8 分）故该校学生测试平均成绩是= =7474.5，（11 分）所以学校应该适当增加体育活动时间（12 分）20 （12 分）已知直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A、B 两点（1）若|AF|=4，求点 A 的坐标；
26、（2）求线段 AB 的长的最小值【解答】解：由 y2=4x，得 p=2，其准线方程为 x=1，焦点 F（1 ，0） 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） （1）由抛物线的定义可知，|AF|=x 1+ ，从而 x1=3代入 y2=4x，解得 y1=2 点 A 的坐标为（3，2 ）或（3， 2 ） （2）斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=k（x 1） ，代入 y2=4x 整理得：k2x2（2k 2+4）x +k2=0再设 B（x 2，y 2） ，则 x1+x2=2+ |AB|=x 1+x2+2=4+ 4斜率不存在时，|AB|=4，线段 AB 的长的最小值为 421 （12 分）如图
27、，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ADBC ，AB=AD=AC=3 ，PA=BC=4 ，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N为 PC 的中点（1）证明：MN平面 PAB；（2）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值【解答】 （1）证明：法一、如图，取 PB 中点 G，连接 AG，NG，N 为 PC 的中点，NGBC，且 NG= ，又 AM= ，BC=4，且 ADBC，AMBC ，且 AM= BC，则 NGAM，且 NG=AM，四边形 AMNG 为平行四边形，则 NMAG ，AG平面 PAB，NM 平面 PAB，MN平面 PAB；法二、在PAC 中，过 N 作 NEAC，垂
28、足为 E，连接 ME，在ABC 中，由已知 AB=AC=3，BC=4 ，得 cosACB= ，ADBC，cos ，则 sin EAM= ，在EAM 中，AM= ，AE= ，由余弦定理得：EM= = ，cosAEM= ，而在ABC 中，cos BAC= ，cosAEM=cosBAC ，即AEM=BAC ，ABEM，则 EM平面 PAB由 PA 底面 ABCD，得 PAAC ，又 NEAC，NEPA，则 NE平面 PABNEEM=E，平面 NEM 平面 PAB，则 MN平面 PAB；（2）解：在AMC 中，由 AM=2，AC=3，cos MAC= ，得CM2=AC2+AM22ACAMcosMAC=
29、 AM 2+MC2=AC2，则 AMMC，PA 底面 ABCD，PA 平面 PAD，平面 ABCD平面 PAD，且平面 ABCD平面 PAD=AD，CM平面 PAD，则平面 PNM平面 PAD在平面 PAD 内，过 A 作 AFPM，交 PM 于 F，连接 NF，则ANF 为直线 AN 与平面 PMN 所成角在 RtPAC 中，由 N 是 PC 的中点，得 AN= = ，在 RtPAM 中，由 PAAM=PMAF，得 AF= ，sin 直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 22 （12 分）如图，椭圆 的左焦点为 F，过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点当直线 AB 经过椭圆的一个顶
30、点时，其倾斜角恰为 60（）求该椭圆的离心率；（）设线段 AB 的中点为 G，AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D，E 两点记GFD 的面积为 S1，OED（O 为原点）的面积为 S2，求 的取值范围【解答】解：（）依题意，当直线 AB 经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为 60设 F（c，0 ） ，则 将 代入 a2=b2+c2，得 a=2c所以椭圆的离心率为 （）由（） ，椭圆的方程可设为 ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 依题意，直线 AB 不能与 x，y 轴垂直，故设直线 AB 的方程为 y=k（x +c） ，将其代入 3x2+4y2=12c2，整理得 （4k 2+3）x 2+8ck2x+4k2c212c2=0则 ， ，所以 因为 GDAB ，所以 ， 因为GFD OED，所以 =所以 的取值范围是（9，+）