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2017-2018学年甘肃省武威高二(上)期末数学理科试卷(3)含答案解析

1、2017-2018 学年甘肃省武威高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)1 (5 分)设集合 A=x| 0,B=y |0y3 ,那么“m A”是“m B”的( )A充分不必要条件 B充分必要条件C必要非充分条件 D既不充分也不必要条件2 (5 分)已知向量 =( 1,1 ,0) , =( 1,0 ,2) ,且 与 互相垂直,则 k 的值是( )A1 B C D3 (5 分)若双曲线 E: =1 的左、右焦点分别为 F1,F 2,点 P 在双曲线E 上,且|PF 1|=3,则|PF 2|等于( )A11 B9 C5 D34 (5 分)已知命题 p:“若 x23x

2、+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x1,则x23x+20”,命题 q:“a ”的充要条件为“lnalnb”,则下列复合命题中假命题是( )Ap q Bpq C (p )q Dp(q )5 (5 分)已知向量 =( 2,4 ,5) , =(3,x,y)分别是直线 l1、l 2 的方向向量,若 l1l 2,则( )Ax=6,y=15 Bx=3 , y= Cx=3 ,y=15 Dx=6,y=6 (5 分)在正三棱柱 ABCA1B1C1 中,若 AB= ,则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为( )A60 B90 C75 D1057 (5 分)函数 f(x )=(x3)e x 的单调递增区间是

3、( )A (0 ,3 ) B (1,4) C (2,+) D ( ,2)8 (5 分)下列说法中正确的是( )A一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真B “ab”与“a +cb+c” 不等价C “a2+b2=0,则 a,b 全为 0”的逆否命题是“ 若 a,b 全不为 0,则 a2+b20”D一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真9 (5 分)已知长方体 ABCDA1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为 0 的是( )A B C D10 (5 分)如图所示,已知空间四边形 OABC,OB=OC,且AOB=AOC= ,则 cos , 的值为( )A B0 C D11 (5 分)过抛物

4、线 y2=2px(p0)的焦点 F 且倾斜角为 60的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A、B 两点,则 的值等于( )A5 B4 C3 D212 (5 分)命题 p:xR ,ax 2+ax+10,若p 是真命题,则实数 a 的取值范围是( )A (0 ,4 B0,4 C ( ,04,+) D (,0)(4,+)二、填空题(每空 5 分,共 20 分)13 (5 分)命题“x0,x 2x0”的否定是 14 (5 分)若双曲线的渐近线方程为 y=3x,它的一个焦点是 ,则双曲线的方程是 15 (5 分) =(2,3,5) , =(3,1,4) ,则| |= 16 (5 分)下列命题是真命

5、题的是 平面内与两个定点 F1,F 2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆;如果向量 是三个不共线的向量, 是空间任一向量,那么存在唯一一组实数 1, 2, 3 使得 ;若命题 p 是命题 q 的充分不必要条件,则p 是 q 的必要不充分条件三、解答题(共 6 小题,满分 70 分)17 (10 分)已知曲线 C:f(x)=x 3x(1)试求曲线 C 在点(1,f(1) )处的切线方程;(2)试求与直线 y=5x+3 平行的曲线 C 的切线方程18 (12 分)已知 aR,命题 p:“ x1,2,x 2a0”,命题q:“x R,x 2+2ax+2a=0”()若命题 p 为真命题,求实数 a 的

6、取值范围;()若命题“p q” 为假命题,求实数 a 的取值范围19 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为菱形, PA平面ABCD,PA=PB=2,E、F 分别为 CD、PB 的中点,AE= ()求证:平面 AEF 平面 PAB()求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值20 (12 分)已知函数 f( x)=x 2+axlnx(a R) (I)当 a=3 时,求函数 f(x )在 ,2上的最大值和最小值;()函数 f(x)既有极大值又有极小值,求实数 a 的取值范围21 (12 分)如图,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,DD

7、1 的中点( I)证明:平面 AED平面 B1FC1;( II)在 AE 上求一点 M,使得 A1M平面 DAE22 (12 分)已知椭圆 的离心率为 ,且经过点()求椭圆 C 的方程;()过点 P(0,2)的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,求 AOB (O 为原点)面积的最大值2017-2018 学年甘肃省武威高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)1 (5 分)设集合 A=x| 0,B=y |0y3 ,那么“m A”是“m B”的( )A充分不必要条件 B充分必要条件C必要非充分条件 D既不充分也不必要条件【解答】解:A=x| 0= x|

8、0x 1,则“mA”是“m B”的充分不必要条件,故选:A2 (5 分)已知向量 =( 1,1 ,0) , =( 1,0 ,2) ,且 与 互相垂直,则 k 的值是( )A1 B C D【解答】解:根据题意,易得 k + =k(1,1,0)+(1,0,2)=(k 1,k ,2) ,2 =2(1,1,0)(1,0,2)= (3,2, 2) 两向量垂直,3(k 1)+2k22=0k= ,故选 D3 (5 分)若双曲线 E: =1 的左、右焦点分别为 F1,F 2,点 P 在双曲线E 上,且|PF 1|=3,则|PF 2|等于( )A11 B9 C5 D3【解答】解:由题意,双曲线 E: =1 中

9、a=3|PF 1|=3, P 在双曲线的左支上,由双曲线的定义可得|PF 2|PF1|=6,|PF 2|=9故选:B4 (5 分)已知命题 p:“若 x23x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x1,则x23x+20”,命题 q:“a ”的充要条件为“lnalnb”,则下列复合命题中假命题是( )Ap q Bpq C (p )q Dp(q )【解答】解:对于命题 p,中括号内【“ 若 x23x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若x1,则 x23x+20” 】整个是 p 命题,而不是单看引号内的命题,p 为真;对于命题 q,当 a=1、b=0 时,a ,但 lnalnb 不成立,q 是假命

10、题,q 是真命题;pq 是假命题,pq、 (p)(q )和 p(q)是真命题故选:B5 (5 分)已知向量 =( 2,4 ,5) , =(3,x,y)分别是直线 l1、l 2 的方向向量,若 l1l 2,则( )Ax=6,y=15 Bx=3 , y= Cx=3 ,y=15 Dx=6,y=【解答】解:l 1l 2,存在非 0 实数 k 使得 , ,解得 ,故选:D6 (5 分)在正三棱柱 ABCA1B1C1 中,若 AB= ,则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为( )A60 B90 C75 D105【解答】解:不妨设 BB1=1,则 AB= , =( )( )= + + +=0+ cos60

11、12+0=0直线 AB1 与 C1B 所成角为 90故选:B7 (5 分)函数 f(x )=(x3)e x 的单调递增区间是( )A (0 ,3 ) B (1,4) C (2,+) D ( ,2)【解答】解:函数 f(x) =(x3)e x,f(x)=e x+(x3)e x=(x 2)e x,令 f(x)=0,解得 x=2;当 x2 时,f(x )0,f(x )是单调增函数,f( x)的单调增区间是( 2,+) 故选:C8 (5 分)下列说法中正确的是( )A一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真B “ab”与“a +cb+c” 不等价C “a2+b2=0,则 a,b 全为 0”的逆否命

12、题是“ 若 a,b 全不为 0,则 a2+b20”D一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真【解答】解:一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真,一个命题为真,则它的逆否命题一定为真,但一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题不一定为真,故 A 错误,D 正确;“ab”“a +cb+c”,故 B 错误;“a2+b2=0,则 a,b 全为 0”的逆否命题是“若 a,b 不全为 0,则 a2+b20”,故 C错误;故选:D9 (5 分)已知长方体 ABCDA1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为 0 的是( )A B C D【解答】解:选项 A,当四边形 ADD1A1 为正方形时,可得 AD1A

13、 1D,而A1DB 1C,可得 AD1B 1C,此时有 =0;选项 B,当四边形 ABCD 为正方形时,可得 ACBD,可得 AC平面 BB1D1D,故有 ACBD 1,此时有 =0;选项 C,由长方体的性质可得 AB平面 ADD1A1,可得 ABAD 1,此时必有=0;选项 D,由长方体的性质可得 BC平面 CDD1C1,可得 BCCD 1,BCD 1 为直角三角形,BCD 1 为直角,故 BC 与 BD1 不可能垂直,即 0故选:D10 (5 分)如图所示,已知空间四边形 OABC,OB=OC,且AOB=AOC= ,则 cos , 的值为( )A B0 C D【解答】解:空间四边形 OAB

14、C 中,OB=OC,AOB=AOC= , = , = ( )= =| | |cos | | |cos= | |( | | |)=0,cos , = =0故选:B11 (5 分)过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 且倾斜角为 60的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A、B 两点,则 的值等于( )A5 B4 C3 D2【解答】解:设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) , ,又 ,可得 ,则 ,故选 C12 (5 分)命题 p:xR ,ax 2+ax+10,若p 是真命题,则实数 a 的取值范围是( )A (0 ,4 B0,4 C ( ,04,+) D (,0)(4,+)

15、【解答】解:命题 p 的否定是p :x R,ax 2+ax+10 成立,即 ax2+ax+10 成立是真命题;当 a=0 时,10,不等式不成立;当 a0 时,要使不等式成立,须 a24a0,解得 a4,或 a0,即 a4;当 a0 时,不等式一定成立,即 a0;综上,a 的取值范围是(,0)(4,+) 故选:D二、填空题(每空 5 分,共 20 分)13 (5 分)命题“x0,x 2x0”的否定是 x 0,x 2x0 【解答】解:全称命题的否定是特称命题,则命题的否定是:x0, x2x0,故答案为:x0,x 2x014 (5 分)若双曲线的渐近线方程为 y=3x,它的一个焦点是 ,则双曲线的

16、方程是 【解答】解:因为双曲线的渐近线方程为 y=3x,则设双曲线的方程是 ,又它的一个焦点是故 +9=10=1,故答案为:15 (5 分) =(2,3,5) , =(3,1,4) ,则| |= 【解答】解: =(2,3,5) , =(3,1, 4) , =(8,5,13) ,| |= = 故答案为:16 (5 分)下列命题是真命题的是 平面内与两个定点 F1,F 2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆;如果向量 是三个不共线的向量, 是空间任一向量,那么存在唯一一组实数 1, 2, 3 使得 ;若命题 p 是命题 q 的充分不必要条件,则p 是 q 的必要不充分条件【解答】解:平面内与两个定

17、点 F1,F 2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆,不正确,由椭圆的定义可得应为距离之和大于|F 1F2|,否则为线段或轨迹不存在;如果向量 是三个不共线的向量,不一定不共面,故它们不一定能作为空间基底,是空间任一向量,那么存在唯一一组实数 1, 2, 3 使得,不正确;若命题 p 是命题 q 的充分非必要条件,则q 是 p 的充分非必要条件,则p 是q 的必要非充分条件,正确故答案为:三、解答题(共 6 小题,满分 70 分)17 (10 分)已知曲线 C:f(x)=x 3x(1)试求曲线 C 在点(1,f(1) )处的切线方程;(2)试求与直线 y=5x+3 平行的曲线 C 的切线方程【

18、解答】 (10 分)解:(1)f(x)=x 3x,f(1)=0,求导数得 f(x)=3x 21,切线的斜率为 k=f(1)=2 ,所求切线方程为 y=2( x1) ,即 2xy2=0(2)设与直线 y=5x+3 平行的切线的切点为( x0,y 0) ,则切线的斜率为 ,解得 ,代入曲线方程 f(x )=x 3x 得切点为 或 ,所求切线方程为 或 ,即 或 18 (12 分)已知 aR,命题 p:“ x1,2,x 2a0”,命题q:“x R,x 2+2ax+2a=0”()若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围;()若命题“p q” 为假命题,求实数 a 的取值范围【解答】解:(I)由命题

19、 p 为真命题,ax 2min,a 1;( II)由命题“pq” 为假命题,所以 p 为假命题或 q 为假命题,p 为假命题时,由(I)a 1;q 为假命题时=4a 24(2a)0, 2a1,综上:a (2,1)(1,+) 19 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为菱形, PA平面ABCD,PA=PB=2,E、F 分别为 CD、PB 的中点,AE= ()求证:平面 AEF 平面 PAB()求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值【解答】解:()证明:四边形 ABCD 是菱形,AD=CD=AB=2,在ADE 中,AE= ,DE=1 ,AD 2=DE2+AE2,

20、AED=90 ,即 AECDABCD,AEABPA 平面 ABCD,AE 平面 ABCD,PA AEPA AB=A,AE平面 PAB,AE 平面 AEF,平面 AEF平面 PAB(6 分)()解法一:由(1)知 AE平面 PAB,而 AE平面 PAE,平面 PAE平面 PAB,(6 分)PA 平面 ABCD,PACD由()知 AECD,又 PAAE=A ,CD平面 PAE,又 CD平面 PCD,平面 PCD 平面 PAE平面 PAE 是平面 PAB 与平面 PCD 的公垂面(8 分)所以,APE 就是平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的平面角 (9 分)在 RTPAE 中, PE2=

21、AE2+PA2=3+4=7,即 (10 分)PA=2, 所以,平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值为 (12 分)()解法二:以 A 为原点,AB 、AE 分别为 x 轴、y 轴的正方向,建立空间直角坐标系 Axyz,如图所示因为 PA=AB=2,AE= ,所以 A(0,0,0) 、P(0,0,2) 、E(0, ,0) 、C( 1, ,0) ,则 , , ,(7 分)由()知 AE平面 PAB,故平面 PAB 的一个法向量为 ,(8 分)设平面 PCD 的一个法向量为 ,则 ,即 ,令 y=2,则 (10 分) = = 所以,平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值

22、为 (12 分)20 (12 分)已知函数 f( x)=x 2+axlnx(a R) (I)当 a=3 时,求函数 f(x )在 ,2上的最大值和最小值;()函数 f(x)既有极大值又有极小值,求实数 a 的取值范围【解答】解:()a=3 时,f (x)=2x+3 = = ,函数 f( x)在区间( , 2)仅有极大值点 x=1,故这个极大值点也是最大值点,故函数在 ,2最大值是 f(1)=2 ,又 f(2)f( )= (2 ln2)( +ln2)= 2ln20,故 f(2)f( ) ,故函数在 ,2上的最小值为 f(2)=2 ln2()若 f(x)既有极大值又有极小值,则必须 f(x)=0

23、有两个不同正根x1, x2,即 2x2ax+1=0 有两个不同正根故 a 应满足 ,函数 f(x )既有极大值又有极小值,实数 a 的取值范围是 21 (12 分)如图,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,DD 1 的中点( I)证明:平面 AED平面 B1FC1;( II)在 AE 上求一点 M,使得 A1M平面 DAE【解答】解:()证明:建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz,不妨设正方体的棱长为 2,则 A(0,0 , 0) ,E (2,0,1) ,D(0,2,0) ,F(0,2,1 ) ,B 1(2,0 ,2) ,C 1(2,2,2) ;设平面 AED 的法

24、向量为 =(x 1,y 1,z 1) ,则令 x1=1,得 =(1,0,2) ,同理可得平面 B1FC1 的法向量 =(1,0,2) ;平面 AED 平面 B1FC1;()由于点 M 在 AE 上,可设 = =(2,0,1)=(2,0, ) ,可得 M(2,0 ,) ,于是 =(2,0,2) ;要使 A1M平面 DAE,需 A1MAE , =( 2,0 ,2) (2,0,1)=52=0,解得 = ;故当 AM= AE 时,A 1M平面 DAE22 (12 分)已知椭圆 的离心率为 ,且经过点()求椭圆 C 的方程;()过点 P(0,2)的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,求 AOB (O 为原

25、点)面积的最大值【解答】 (本小题满分 14 分)()解:由 ,得 (2 分)由椭圆 C 经过点 ,得 (3 分)联立,解得 b=1, (4 分) 所以椭圆 C 的方程是 (5 分)()解:易知直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y=kx+2将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立,消去 y 得 (1+3k 2)x 2+12kx+9=0(7 分)令=144k 236(1 +3k2) 0,得 k21设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,则 , (9 分)所以 (10 分)因为 ,设 k21=t(t 0) ,则 (13 分)当且仅当 ,即 时等号成立,此时AOB 面积取得最大值 (14 分)