1、2017-2018 学年甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）设集合 A=x| 0，B=y |0y3 ，那么“m A”是“m B”的（ ）A充分不必要条件 B充分必要条件C必要非充分条件 D既不充分也不必要条件2 （5 分）已知向量 =（ 1，1 ，0） ， =（ 1，0 ，2） ，且 与 互相垂直，则 k 的值是（ ）A1 B C D3 （5 分）若双曲线 E： =1 的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，则|PF 2|等于（ ）A11 B9 C5 D34 （5 分）已知命题 p：“若 x23x
2、+2=0，则 x=1”的逆否命题为“若 x1，则x23x+20”，命题 q：“a ”的充要条件为“lnalnb”，则下列复合命题中假命题是（ ）Ap q Bpq C （p ）q Dp（q ）5 （5 分）已知向量 =（ 2，4 ，5） ， =（3，x，y）分别是直线 l1、l 2 的方向向量，若 l1l 2，则（ ）Ax=6，y=15 Bx=3 ， y= Cx=3 ，y=15 Dx=6，y=6 （5 分）在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 AB= ，则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为（ ）A60 B90 C75 D1057 （5 分）函数 f（x ）=（x3）e x 的单调递增区间是
3、（ ）A （0 ，3 ） B （1，4） C （2，+） D （ ，2）8 （5 分）下列说法中正确的是（ ）A一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B “ab”与“a +cb+c” 不等价C “a2+b2=0，则 a，b 全为 0”的逆否命题是“ 若 a，b 全不为 0，则 a2+b20”D一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真9 （5 分）已知长方体 ABCDA1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为 0 的是（ ）A B C D10 （5 分）如图所示，已知空间四边形 OABC，OB=OC，且AOB=AOC= ，则 cos ， 的值为（ ）A B0 C D11 （5 分）过抛物
4、线 y2=2px（p0）的焦点 F 且倾斜角为 60的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A、B 两点，则 的值等于（ ）A5 B4 C3 D212 （5 分）命题 p：xR ，ax 2+ax+10，若p 是真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）A （0 ，4 B0，4 C （ ，04，+） D （，0）（4，+）二、填空题（每空 5 分，共 20 分）13 （5 分）命题“x0，x 2x0”的否定是 14 （5 分）若双曲线的渐近线方程为 y=3x，它的一个焦点是 ，则双曲线的方程是 15 （5 分） =（2，3，5） ， =（3，1，4） ，则| |= 16 （5 分）下列命题是真命
5、题的是 平面内与两个定点 F1，F 2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；如果向量 是三个不共线的向量， 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 1， 2， 3 使得 ；若命题 p 是命题 q 的充分不必要条件，则p 是 q 的必要不充分条件三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17 （10 分）已知曲线 C：f（x）=x 3x（1）试求曲线 C 在点（1，f（1） ）处的切线方程；（2）试求与直线 y=5x+3 平行的曲线 C 的切线方程18 （12 分）已知 aR，命题 p：“ x1，2，x 2a0”，命题q：“x R，x 2+2ax+2a=0”（）若命题 p 为真命题，求实数 a 的
6、取值范围；（）若命题“p q” 为假命题，求实数 a 的取值范围19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为菱形， PA平面ABCD，PA=PB=2，E、F 分别为 CD、PB 的中点，AE= （）求证：平面 AEF 平面 PAB（）求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值20 （12 分）已知函数 f（ x）=x 2+axlnx（a R） （I）当 a=3 时，求函数 f（x ）在 ，2上的最大值和最小值；（）函数 f（x）既有极大值又有极小值，求实数 a 的取值范围21 （12 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1，DD
7、1 的中点（ I）证明：平面 AED平面 B1FC1；（ II）在 AE 上求一点 M，使得 A1M平面 DAE22 （12 分）已知椭圆 的离心率为 ，且经过点（）求椭圆 C 的方程；（）过点 P（0，2）的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，求 AOB （O 为原点）面积的最大值2017-2018 学年甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）设集合 A=x| 0，B=y |0y3 ，那么“m A”是“m B”的（ ）A充分不必要条件 B充分必要条件C必要非充分条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：A=x| 0= x|
8、0x 1，则“mA”是“m B”的充分不必要条件，故选：A2 （5 分）已知向量 =（ 1，1 ，0） ， =（ 1，0 ，2） ，且 与 互相垂直，则 k 的值是（ ）A1 B C D【解答】解：根据题意，易得 k + =k（1，1，0）+（1，0，2）=（k 1，k ，2） ，2 =2（1，1，0）（1，0，2）= （3，2， 2） 两向量垂直，3（k 1）+2k22=0k= ，故选 D3 （5 分）若双曲线 E： =1 的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，则|PF 2|等于（ ）A11 B9 C5 D3【解答】解：由题意，双曲线 E： =1 中
9、a=3|PF 1|=3， P 在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得|PF 2|PF1|=6，|PF 2|=9故选：B4 （5 分）已知命题 p：“若 x23x+2=0，则 x=1”的逆否命题为“若 x1，则x23x+20”，命题 q：“a ”的充要条件为“lnalnb”，则下列复合命题中假命题是（ ）Ap q Bpq C （p ）q Dp（q ）【解答】解：对于命题 p，中括号内【“ 若 x23x+2=0，则 x=1”的逆否命题为“若x1，则 x23x+20” 】整个是 p 命题，而不是单看引号内的命题，p 为真；对于命题 q，当 a=1、b=0 时，a ，但 lnalnb 不成立，q 是假命
10、题，q 是真命题；pq 是假命题，pq、 （p）（q ）和 p（q）是真命题故选：B5 （5 分）已知向量 =（ 2，4 ，5） ， =（3，x，y）分别是直线 l1、l 2 的方向向量，若 l1l 2，则（ ）Ax=6，y=15 Bx=3 ， y= Cx=3 ，y=15 Dx=6，y=【解答】解：l 1l 2，存在非 0 实数 k 使得 ， ，解得 ，故选：D6 （5 分）在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 AB= ，则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为（ ）A60 B90 C75 D105【解答】解：不妨设 BB1=1，则 AB= ， =（ ）（ ）= + + +=0+ cos60
11、12+0=0直线 AB1 与 C1B 所成角为 90故选：B7 （5 分）函数 f（x ）=（x3）e x 的单调递增区间是（ ）A （0 ，3 ） B （1，4） C （2，+） D （ ，2）【解答】解：函数 f（x） =（x3）e x，f（x）=e x+（x3）e x=（x 2）e x，令 f（x）=0，解得 x=2；当 x2 时，f（x ）0，f（x ）是单调增函数，f（ x）的单调增区间是（ 2，+） 故选：C8 （5 分）下列说法中正确的是（ ）A一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B “ab”与“a +cb+c” 不等价C “a2+b2=0，则 a，b 全为 0”的逆否命
12、题是“ 若 a，b 全不为 0，则 a2+b20”D一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真【解答】解：一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真，一个命题为真，则它的逆否命题一定为真，但一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，故 A 错误，D 正确；“ab”“a +cb+c”，故 B 错误；“a2+b2=0，则 a，b 全为 0”的逆否命题是“若 a，b 不全为 0，则 a2+b20”，故 C错误；故选：D9 （5 分）已知长方体 ABCDA1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为 0 的是（ ）A B C D【解答】解：选项 A，当四边形 ADD1A1 为正方形时，可得 AD1A
13、 1D，而A1DB 1C，可得 AD1B 1C，此时有 =0；选项 B，当四边形 ABCD 为正方形时，可得 ACBD，可得 AC平面 BB1D1D，故有 ACBD 1，此时有 =0；选项 C，由长方体的性质可得 AB平面 ADD1A1，可得 ABAD 1，此时必有=0；选项 D，由长方体的性质可得 BC平面 CDD1C1，可得 BCCD 1，BCD 1 为直角三角形，BCD 1 为直角，故 BC 与 BD1 不可能垂直，即 0故选：D10 （5 分）如图所示，已知空间四边形 OABC，OB=OC，且AOB=AOC= ，则 cos ， 的值为（ ）A B0 C D【解答】解：空间四边形 OAB
14、C 中，OB=OC，AOB=AOC= ， = ， = （ ）= =| | |cos | | |cos= | |（ | | |）=0，cos ， = =0故选：B11 （5 分）过抛物线 y2=2px（p0）的焦点 F 且倾斜角为 60的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A、B 两点，则 的值等于（ ）A5 B4 C3 D2【解答】解：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ， ，又 ，可得 ，则 ，故选 C12 （5 分）命题 p：xR ，ax 2+ax+10，若p 是真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）A （0 ，4 B0，4 C （ ，04，+） D （，0）（4，+）
15、【解答】解：命题 p 的否定是p ：x R，ax 2+ax+10 成立，即 ax2+ax+10 成立是真命题；当 a=0 时，10，不等式不成立；当 a0 时，要使不等式成立，须 a24a0，解得 a4，或 a0，即 a4；当 a0 时，不等式一定成立，即 a0；综上，a 的取值范围是（，0）（4，+） 故选：D二、填空题（每空 5 分，共 20 分）13 （5 分）命题“x0，x 2x0”的否定是 x 0，x 2x0 【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则命题的否定是：x0， x2x0，故答案为：x0，x 2x014 （5 分）若双曲线的渐近线方程为 y=3x，它的一个焦点是 ，则双曲线的
16、方程是 【解答】解：因为双曲线的渐近线方程为 y=3x，则设双曲线的方程是 ，又它的一个焦点是故 +9=10=1，故答案为：15 （5 分） =（2，3，5） ， =（3，1，4） ，则| |= 【解答】解： =（2，3，5） ， =（3，1， 4） ， =（8，5，13） ，| |= = 故答案为：16 （5 分）下列命题是真命题的是 平面内与两个定点 F1，F 2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；如果向量 是三个不共线的向量， 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 1， 2， 3 使得 ；若命题 p 是命题 q 的充分不必要条件，则p 是 q 的必要不充分条件【解答】解：平面内与两个定
17、点 F1，F 2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆，不正确，由椭圆的定义可得应为距离之和大于|F 1F2|，否则为线段或轨迹不存在；如果向量 是三个不共线的向量，不一定不共面，故它们不一定能作为空间基底，是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 1， 2， 3 使得，不正确；若命题 p 是命题 q 的充分非必要条件，则q 是 p 的充分非必要条件，则p 是q 的必要非充分条件，正确故答案为：三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17 （10 分）已知曲线 C：f（x）=x 3x（1）试求曲线 C 在点（1，f（1） ）处的切线方程；（2）试求与直线 y=5x+3 平行的曲线 C 的切线方程【
18、解答】 （10 分）解：（1）f（x）=x 3x，f（1）=0，求导数得 f（x）=3x 21，切线的斜率为 k=f（1）=2 ，所求切线方程为 y=2（ x1） ，即 2xy2=0（2）设与直线 y=5x+3 平行的切线的切点为（ x0，y 0） ，则切线的斜率为 ，解得 ，代入曲线方程 f（x ）=x 3x 得切点为 或 ，所求切线方程为 或 ，即 或 18 （12 分）已知 aR，命题 p：“ x1，2，x 2a0”，命题q：“x R，x 2+2ax+2a=0”（）若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围；（）若命题“p q” 为假命题，求实数 a 的取值范围【解答】解：（I）由命题
19、 p 为真命题，ax 2min，a 1；（ II）由命题“pq” 为假命题，所以 p 为假命题或 q 为假命题，p 为假命题时，由（I）a 1；q 为假命题时=4a 24（2a）0， 2a1，综上：a （2，1）（1，+） 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为菱形， PA平面ABCD，PA=PB=2，E、F 分别为 CD、PB 的中点，AE= （）求证：平面 AEF 平面 PAB（）求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值【解答】解：（）证明：四边形 ABCD 是菱形，AD=CD=AB=2，在ADE 中，AE= ，DE=1 ，AD 2=DE2+AE2，
20、AED=90 ，即 AECDABCD，AEABPA 平面 ABCD，AE 平面 ABCD，PA AEPA AB=A，AE平面 PAB，AE 平面 AEF，平面 AEF平面 PAB（6 分）（）解法一：由（1）知 AE平面 PAB，而 AE平面 PAE，平面 PAE平面 PAB，（6 分）PA 平面 ABCD，PACD由（）知 AECD，又 PAAE=A ，CD平面 PAE，又 CD平面 PCD，平面 PCD 平面 PAE平面 PAE 是平面 PAB 与平面 PCD 的公垂面（8 分）所以，APE 就是平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的平面角 （9 分）在 RTPAE 中， PE2=
21、AE2+PA2=3+4=7，即 （10 分）PA=2， 所以，平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值为 （12 分）（）解法二：以 A 为原点，AB 、AE 分别为 x 轴、y 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Axyz，如图所示因为 PA=AB=2，AE= ，所以 A（0，0，0） 、P（0，0，2） 、E（0， ，0） 、C（ 1， ，0） ，则 ， ， ，（7 分）由（）知 AE平面 PAB，故平面 PAB 的一个法向量为 ，（8 分）设平面 PCD 的一个法向量为 ，则 ，即 ，令 y=2，则 （10 分） = = 所以，平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值
22、为 （12 分）20 （12 分）已知函数 f（ x）=x 2+axlnx（a R） （I）当 a=3 时，求函数 f（x ）在 ，2上的最大值和最小值；（）函数 f（x）既有极大值又有极小值，求实数 a 的取值范围【解答】解：（）a=3 时，f （x）=2x+3 = = ，函数 f（ x）在区间（ ， 2）仅有极大值点 x=1，故这个极大值点也是最大值点，故函数在 ，2最大值是 f（1）=2 ，又 f（2）f（ ）= （2 ln2）（ +ln2）= 2ln20，故 f（2）f（ ） ，故函数在 ，2上的最小值为 f（2）=2 ln2（）若 f（x）既有极大值又有极小值，则必须 f（x）=0
23、有两个不同正根x1， x2，即 2x2ax+1=0 有两个不同正根故 a 应满足 ，函数 f（x ）既有极大值又有极小值，实数 a 的取值范围是 21 （12 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1，DD 1 的中点（ I）证明：平面 AED平面 B1FC1；（ II）在 AE 上求一点 M，使得 A1M平面 DAE【解答】解：（）证明：建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，不妨设正方体的棱长为 2，则 A（0，0 ， 0） ，E （2，0，1） ，D（0，2，0） ，F（0，2，1 ） ，B 1（2，0 ，2） ，C 1（2，2，2） ；设平面 AED 的法
24、向量为 =（x 1，y 1，z 1） ，则令 x1=1，得 =（1，0，2） ，同理可得平面 B1FC1 的法向量 =（1，0，2） ；平面 AED 平面 B1FC1；（）由于点 M 在 AE 上，可设 = =（2，0，1）=（2，0， ） ，可得 M（2，0 ，） ，于是 =（2，0，2） ；要使 A1M平面 DAE，需 A1MAE ， =（ 2，0 ，2） （2，0，1）=52=0，解得 = ；故当 AM= AE 时，A 1M平面 DAE22 （12 分）已知椭圆 的离心率为 ，且经过点（）求椭圆 C 的方程；（）过点 P（0，2）的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，求 AOB （O 为原
25、点）面积的最大值【解答】 （本小题满分 14 分）（）解：由 ，得 （2 分）由椭圆 C 经过点 ，得 （3 分）联立，解得 b=1， （4 分） 所以椭圆 C 的方程是 （5 分）（）解：易知直线 AB 的斜率存在，设其方程为 y=kx+2将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立，消去 y 得 （1+3k 2）x 2+12kx+9=0（7 分）令=144k 236（1 +3k2） 0，得 k21设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ， （9 分）所以 （10 分）因为 ，设 k21=t（t 0） ，则 （13 分）当且仅当 ，即 时等号成立，此时AOB 面积取得最大值 （14 分）