1、2017-2018 学年甘肃省张掖市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）抛物线 y2=4x 的准线方程是（ ）Ax=1 Bx=1 Cx= 2 Dx=22 （5 分）若 x0，则 的最小值为（ ）A2 B3 C2 D43 （5 分）数列a n满足 an=4an1+3（n2 且 nN*） ，a 1=1，则此数列的第 3 项是（ ）A15 B255 C20 D314 （5 分）命题“x 0R， f（x 0）0”的否定是（ ）Ax 0R，f（x 0）0 BxR ，f（x）0 Cx
2、 R，f（x ）0DxR，f（x）05 （5 分）在等差数列a n中，a 2=5，a 6=17，则 a14=（ ）A45 B41 C39 D376 （5 分）设 ， 是非零向量， “ =| | |”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7 （5 分）双曲线 =1 的渐近线方程是（ ）A4x3y=0 B16x9y=0 C3x4y=0 D9x16y=08 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最小值为（ ）A2 B3 C4 D59 （5 分）O 为坐标原点， F 为抛物线 C：y 2=4 x 的焦点，P 为 C
3、上一点，若|PF|=4 ，则POF 的面积为（ ）A2 B2 C2 D410 （5 分）椭圆的一个顶点与其两焦点是一个等边三角形的三个顶点，则它的离心率 e 为（ ）A B C D11 （5 分）与曲线 =1 共焦点，而与曲线 =1 共渐近线的双曲线方程为（ ）A =1 B =1 C =1 D =112 （5 分）当|m|1 时，不等式 12xm（x 21）恒成立，则 x 的取值范围是（ ）A （ 1，3） B C （ 3，1） D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）等比数列a n中，满足 a1=2，公比 q=2则数列a n的前 n 项和 Sn= 14
4、 （5 分）方程 表示焦点在 x 轴上椭圆，则实数 k 的取值范围是 15 （5 分）一元二次不等式 ax2+bx+10 的解集为 ，则 a+b 的值为 16 （5 分）已知 F1，F 2 为椭圆 的左、右焦点，P 是椭圆上的一点，若|PF1|=4，则 F1PF2 等于 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）命题 p：关于 x 的方程 x2+ax+2=0 无实数根，命题 q：函数 f（x）=logax 在（0，+）上单调递增，若“pq”为假命题， “pq” 为真命题，求实数a 的取值范围18 （12 分）解关于 x 的不
5、等式 x2+2x+a019 （12 分）已知 x0，y0，且 2x+8yxy=0，求：（1）xy 的最小值；（2）x+y 的最小值20 （12 分）已知点 P 为曲线 C：x 2+y2=4 上的任意一点，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足，当点 P 在曲线 C 上运动时，求线段 PD 的中点 M 的轨迹方程，并说明点 M 轨迹是什么？21 （12 分）已知数列a n满足 ，且a3+a7=20，a 2+a5=14（1）求a n的通项公式；（2）设 ，数列b n的前 n 项和为 Tn，求证： 22 （12 分）已知椭圆 C： 离心率 e= ，短轴长为 2 （）求椭圆 C 的标准方程；（
6、）如图，椭圆左顶点为 A，过原点 O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆 C交于 P，Q 两点，直线 PA，QA 分别与 y 轴交于 M，N 两点试问以 MN 为直径的圆是否经过定点（与直线 PQ 的斜率无关）？请证明你的结论2017-2018 学年甘肃省张掖市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）抛物线 y2=4x 的准线方程是（ ）Ax=1 Bx=1 Cx= 2 Dx=2【解答】解：根据题意，抛物线的方程为 y2=4x，其开口向右，且 p=2，则其准线方程
7、为：x= 1；故选：A2 （5 分）若 x0，则 的最小值为（ ）A2 B3 C2 D4【解答】解：x0 =4当且仅当 即 x=2 时取等号所以 的最小值为 4故选 D3 （5 分）数列a n满足 an=4an1+3（n2 且 nN*） ，a 1=1，则此数列的第 3 项是（ ）A15 B255 C20 D31【解答】解：数列a n满足 an=4an1+3（n2 且 nN*） ，a 1=1，a2=4a1+3=7，a3=4a2+3=31故选：D4 （5 分）命题“x 0R， f（x 0）0”的否定是（ ）Ax 0R，f（x 0）0 BxR ，f（x）0 Cx R，f（x ）0DxR，f（x）0【
8、解答】解：命题“ x0R，f （x 0）0” 是特称命题否定命题为：xR ，f （x ）0故选 C5 （5 分）在等差数列a n中，a 2=5，a 6=17，则 a14=（ ）A45 B41 C39 D37【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，由 a2=5，a 6=17 得， =3，则 a14=a6+（146）3=17+24=41 ，故选：B6 （5 分）设 ， 是非零向量， “ =| | |”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：（1） ； 时，cos =1； ； ；“ ”是“ ”的充分条件；（2） 时， 的夹角为 0 或
9、 ； ，或 ；即 得不到 ；“ ”不是“ ”的必要条件；总上可得“ ”是“ ”的充分不必要条件故选 A7 （5 分）双曲线 =1 的渐近线方程是（ ）A4x3y=0 B16x9y=0 C3x4y=0 D9x16y=0【解答】解：双曲线方程为 ，a=3，b=4，由双曲线的焦点在 x 轴上， 渐近线方程为 y= = x化简，得，4x3y=0故选 A8 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最小值为（ ）A2 B3 C4 D5【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由 z=x+2y，得 y= ，平移直线 y= ，由图象可知当直线 y= 经过点 B（1，1）时，直线 y=
10、的截距最小，此时 z 最小此时 z 的最小值为 z=1+21=3，故选：B9 （5 分）O 为坐标原点， F 为抛物线 C：y 2=4 x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|=4 ，则POF 的面积为（ ）A2 B2 C2 D4【解答】解：抛物线 C 的方程为 y2=4 x2p=4 ，可得 = ，得焦点 F（ ）设 P（ m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+ =4 ，即 m+ =4 ，解得 m=3点 P 在抛物线 C 上，得 n2=4 3 =24n= =|OF|=POF 的面积为 S= |OF|n|= =2故选：C10 （5 分）椭圆的一个顶点与其两焦点是一个等边三角形的三个顶点，则
11、它的离心率 e 为（ ）A B C D【解答】解：根据题意，椭圆短轴的端点与其两个焦点构成等边三角形设椭圆的方程为 （ab0）可得椭圆的短轴的顶点为（0，b） ，焦点坐标为（c，0） ，其中 c=椭圆的短轴的端点与其两个焦点构成等边三角形，b= c，可得 = c，平方化简得 a=2c因此该椭圆的离心率 e= 故选：A11 （5 分）与曲线 =1 共焦点，而与曲线 =1 共渐近线的双曲线方程为（ ）A =1 B =1 C =1 D =1【解答】解：由题意得，曲线 =1 是焦点在 y 轴上的椭圆，且c= = =5，所以双曲线焦点的坐标是（0、5） 、 （0，5） ，因为双曲线与曲线 =1 共渐近线
12、，所以设双曲线方程为，即 ，则6436=25 ，解得 = ，所以双曲线方程为 ，故选：A12 （5 分）当|m|1 时，不等式 12xm（x 21）恒成立，则 x 的取值范围是（ ）A （ 1，3） B C （ 3，1） D【解答】解：构造函数 f（m）=（x 21）m+2x1，则由题意 f（m ）在 1，1上恒大于 0， ， ，1 + x2故选：B二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）等比数列a n中，满足 a1=2，公比 q=2则数列a n的前 n 项和 Sn= 2n+12 【解答】解：数列a n的前 n 项和 Sn= =2n+12故答案为：2 n+
13、1214 （5 分）方程 表示焦点在 x 轴上椭圆，则实数 k 的取值范围是 （ ，1） 【解答】解：方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆，2 k2k 10，解得 k1实数 k 的取值范围是（ ，1） 故答案为：（ ，1） 15 （5 分）一元二次不等式 ax2+bx+10 的解集为 ，则 a+b 的值为 5 【解答】解：一元二次不等式 ax2+bx+10 的解集为 x|1x ，方程 ax2+bx+1=0 的解为1， ，1 + = = ， （1） = = ，a=3，b= 2，a +b=5，故答案为：516 （5 分）已知 F1，F 2 为椭圆 的左、右焦点，P 是椭圆上的一点，若|PF1|=4，则
14、 F1PF2 等于 120 【解答】解：F 1，F 2 为椭圆 的左、右焦点，若|PF 1|=4，则|PF2|=2，|F 1F2|=2c=2 ，cosF 1PF2= = = F 1PF2=120故答案为：120三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）命题 p：关于 x 的方程 x2+ax+2=0 无实数根，命题 q：函数 f（x）=logax 在（0，+）上单调递增，若“pq”为假命题， “pq” 为真命题，求实数a 的取值范围【解答】解：若 x2+ax+2=0 无实数根，则判别式=a 280，得2 a 2 ，即 p：2
15、a2 ，函数 f（ x）=log ax 在（0，+）上单调递增，则 a1，即 q：a1，若“pq”为假命题， “pq”为真命题，则 p，q 一个为真一个为假，若 p 真 q 假，则 ，即2 a1 ，若 p 假 q 真，则 ，得 a2 ，综上实数 a 的取值范围是 a2 或2 a118 （12 分）解关于 x 的不等式 x2+2x+a0【解答】解：方程 x2+2x+a=0 中=44a=4 （1a） ，当 1a0 即 a1 时，不等式的解集是 R，当 1a=0，即 a=1 时，不等式的解集是 x|x1，当 1a0 即 a1 时，由 x2+2x+a=0 解得：x 1=1 ，x 2=1+ ，a 1 时
16、，不等式的解集是x |x 1+ 或 x1 ，综上，a1 时，不等式的解集是 R，a=1 时，不等式的解集是x |x1，a 1 时，不等式的解集是x |x 1+ 或 x 1 19 （12 分）已知 x0，y0，且 2x+8yxy=0，求：（1）xy 的最小值；（2）x+y 的最小值【解答】解：（1）x 0，y0，2x+8y xy=0，xy=2x +8y2 ， 8，xy64当且仅当 x=4y=16 时取等号故 xy 的最小值为 64（2）由 2x+8y=xy，得： + =1，又 x0，y0，x+y=（x+y ）（ + ）=10+ + 10+2 =18当且仅当 x=2y=12 时取等号故 x+y 的
17、最小值为 1820 （12 分）已知点 P 为曲线 C：x 2+y2=4 上的任意一点，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足，当点 P 在曲线 C 上运动时，求线段 PD 的中点 M 的轨迹方程，并说明点 M 轨迹是什么？【解答】解：设 P（x 0，y 0） ，M（x，y ） ，D （x 0，0） ，M 是 PD 的中点， ，又 P 在圆 x2+y2=4 上，x 02+y02=4，即 x2+4y2=4， +y2=1线段 PD 的中点 M 的轨迹方程是 +y2=1轨迹是椭圆21 （12 分）已知数列a n满足 ，且a3+a7=20，a 2+a5=14（1）求a n的通项公式；（2）设
18、，数列b n的前 n 项和为 Tn，求证： 【解答】解：（1）数列a n满足 ，则数列a n为等差数列由于：且 a3+a7=20，a 2+a5=14则： ，即： ，解得： ，所以：a n=2+2（n1 ）=2n （2）由于： ，则： = ，所以： ，= 故： 22 （12 分）已知椭圆 C： 离心率 e= ，短轴长为 2 （）求椭圆 C 的标准方程；（）如图，椭圆左顶点为 A，过原点 O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆 C交于 P，Q 两点，直线 PA，QA 分别与 y 轴交于 M，N 两点试问以 MN 为直径的圆是否经过定点（与直线 PQ 的斜率无关）？请证明你的结论【解答】 （）解：由短轴长为 ，得 b= ，由 = ，得 a2=4，b 2=2椭圆 C 的标准方程为 （）结论：以 MN 为直径的圆过定点 F（ ， 0） 证明如下：设 P（x 0，y 0） ，则 Q（ x0，y 0） ，且 ，即 ，A（2 ，0） ，直线 PA 方程为： ， M （0， ） ，直线 QA 方程为： ，N（0 ， ） ，以 MN 为直径的圆为 ，即 ， ， ，令 y=0，则 x22=0，解得 x= 以 MN 为直径的圆过定点 F（ ，0）