1、2017-2018 学年甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题 5 分，共计 60 分）1 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A2 B C D2 （5 分）过椭圆 4x2+2y2=1 的一个焦点 F1 的直线与椭圆交于 A、B 两点，则A、B 与椭圆的另一焦点 F2 构成ABF 2，那么ABF 2 的周长是（ ）A2 B C D13 （5 分）某中学高一年级 560 人，高二年级 540 人，高三年级 520 人，用分层抽样的方法抽取容量为 81 的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别是（ ）A28、 27、 26 B28、26、24 C2
2、6、27、28 D27、26、254 （5 分）在区间2，3 上随机选取一个数 X，则 X1 的概率为（ ）A B C D5 （5 分）某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是（ ）A “至少 1 名男生 ”与“全是女生”B “至少 1 名男生 ”与“至少有 1 名是女生”C “至少 1 名男生”与“全是男生”D “恰好有 1 名男生”与“恰好 2 名女生”6 （5 分）我校有 3 个不同的文艺社团，甲、乙两名同学各自参加其中 1 个文艺社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺社团的概率为（ ）A B C
3、D7 （5 分）已知 P 是椭圆 上的一点，若 P 到椭圆右准线的距离是 ，则点 P 到左焦点的距离是（ ）A B C D8 （5 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A B C D9 （5 分）已知函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且满足 f（x ）=2xf （1）+lnx，则f（1 ） =（ ）A e B1 C1 De10 （5 分）甲、乙、丙等 6 个人排成一排照相，且甲、乙不在丙的同侧，则不同的排法共有（ ）A480 B240 C120 D36011
4、 （5 分）某中学高三从甲、乙两个班中各选出 7 名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分 100 分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是 85，乙班学生成绩的中位数是 83，则 x+y 的值为（ ）A7 B10 C9 D812 （5 分）甲、乙、丙三人随意坐下，乙不坐中间的概率为（ ）A B C D二、填空题（每小题 5 分，共计 20 分）13 （5 分）已知甲、乙、丙 3 类产品共 1200 件，且甲、乙、丙三类产品的数量之比为 3：4：5，现采用分层抽样的方法抽取 60 件，则乙类产品抽取的件数是 14 （5 分）二进制 110011（2） 化成十进制数为 15 （5 分）用 0，
5、1，2 ，3，4，5，6 可以组成 个无重复数字的四位偶数16 （5 分）以双曲线 =1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是 三、解答题（每小题 10 分，共计 40 分）17 （10 分）已知椭圆 C： =1（ab0）的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）设斜率为 1 的直线 l 经过左焦点与椭圆 C 交于 A、B 两点，求弦 AB 的长18 （10 分）设 p：方程 x2+mx+1=0 有两个不等的实根， q：不等式4x2+4（m2）x+10 在 R 上恒成立，若p 为真，pq 为真，求实数 m 的取值范围19 （10 分）某中学组织了一次高二文科学
6、生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取 100 人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图（）若所得分数大于等于 80 分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（）在（）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取 5 人，从这 5 人中任意选取 2 人，求至少有一名男生的概率20 （10 分）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中：（1）求异面直线 BC1 与 AA1 所成的角的大小；（2）求三棱锥 B1A1C1B 的体积；（3）求证：B 1D平面 A1C1B2017-2018 学年甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（理科）
7、参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，共计 60 分）1 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A2 B C D【解答】解：当 k=0 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，当 k=1 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S= ，当 k=2 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S= ，当 k=3 时，不满足进行循环的条件，故输出结果为： ，故选：C2 （5 分）过椭圆 4x2+2y2=1 的一个焦点 F1 的直线与椭圆交于 A、B 两点，则A、B 与椭圆的另一焦点 F2 构成ABF 2，那么ABF 2 的周长是（ ）A2 B
8、C D1【解答】解：椭圆 4x2+2y2=1 即 ，a= ，b= ，c= ABF 2 的周长是 （|AF 1|+|AF2|）+（|BF 1|+|BF2|）=2a+2a=4a=2 ，故选 B3 （5 分）某中学高一年级 560 人，高二年级 540 人，高三年级 520 人，用分层抽样的方法抽取容量为 81 的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别是（ ）A28、 27、 26 B28、26、24 C26、27、28 D27、26、25【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为= ，则在高一年级抽取的人数是 560 =28 人，高二年级抽取的人数是 540 =27 人，高三年
9、级抽取的人数是 520 =26 人，故选：A4 （5 分）在区间2，3 上随机选取一个数 X，则 X1 的概率为（ ）A B C D【解答】解：在区间2， 3上随机选取一个数 X，则2 X3 ，则 X1 的概率 P= ，故选：B5 （5 分）某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是（ ）A “至少 1 名男生 ”与“全是女生”B “至少 1 名男生 ”与“至少有 1 名是女生”C “至少 1 名男生”与“全是男生”D “恰好有 1 名男生”与“恰好 2 名女生”【解答】解：从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名学生参加演讲比赛，
10、“至少 1 名男生” 与“ 全是女生 ”是对立事件；“至少 1 名男生” 与“ 至少有 1 名是女生”不互斥；“至少 1 名男生” 与“ 全是男生 ”不互斥；“恰好有 1 名男生” 与“ 恰好 2 名女生”是互斥不对立事件；故选：D6 （5 分）我校有 3 个不同的文艺社团，甲、乙两名同学各自参加其中 1 个文艺社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺社团的概率为（ ）A B C D【解答】解：我校有 3 个不同的文艺社团，甲、乙两名同学各自参加其中 1 个文艺社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，基本事件总数 n=33=9，这两位同学参加同一个文艺社团包含的基本事
11、件个数 m= ，这两位同学参加同一个文艺社团的概率为 p= = 故选：D7 （5 分）已知 P 是椭圆 上的一点，若 P 到椭圆右准线的距离是 ，则点 P 到左焦点的距离是（ ）A B C D【解答】解：因为 P 到椭圆右准线的距离是 ，所以 P 到椭圆右焦点的距离是 ，根据椭圆的定义可得：P 到椭圆右焦点的距离+点 P 到左焦点的距离=2a=20，所以点 P 到左焦点的距离为 故选 B8 （5 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A B C D【解答】解：根据
12、图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为 2，则黑色部分的面积 S= ，则对应概率 P= = ，故选：B9 （5 分）已知函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且满足 f（x ）=2xf （1）+lnx，则f（1 ） =（ ）A e B1 C1 De【解答】解：函数 f（x ）的导函数为 f（x） ，且满足 f（x ）=2xf （1）+ln x， （ x 0）f（x）=2f（1）+ ，把 x=1 代入 f（x）可得 f（1）=2f（1）+1，解得 f（1）=1 ，故选 B；10 （5 分）甲、乙、丙等 6 个人排成一排照相，且甲、乙不在丙的同侧，则不同的排法共有
13、（ ）A480 B240 C120 D360【解答】解：根据题意，设 6 人中除甲乙丙之外的三人为 A、B、C，甲、乙、丙等 6 个人排成一排照相，若甲、乙不在丙的同侧，则甲乙在丙的两侧，先排甲、乙、丙三人，丙在中间，甲乙在两边，有 A22=2 种排法，3 人排好后，有 4 个空位可用，在 4 个空位中任选 1 个，安排 A，有 C41=4 种情况，4 人排好后，有 5 个空位可用，在 5 个空位中任选 1 个，安排 B，有 C51=5 种情况，5 人排好后，有 6 个空位可用，在 5 个空位中任选 1 个，安排 C，有 C61=5 种情况，则不同的排法共有 2456=240 种；故选：B11
14、 （5 分）某中学高三从甲、乙两个班中各选出 7 名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分 100 分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是 85，乙班学生成绩的中位数是 83，则 x+y 的值为（ ）A7 B10 C9 D8【解答】解：甲班学生成绩的众数是 85，乙班学生成绩的中位数是 83， ，解得 x=5，y=3，x+y=5+3=8故选：D12 （5 分）甲、乙、丙三人随意坐下，乙不坐中间的概率为（ ）A B C D【解答】解：所有的坐法共有 =6 种，乙正好坐中间的坐法有 =2 种，故乙正好坐中间的概率为 = ，故乙不坐中间的概率是 故选：A二、填空题（每小题 5 分，共计 20 分
15、）13 （5 分）已知甲、乙、丙 3 类产品共 1200 件，且甲、乙、丙三类产品的数量之比为 3：4：5，现采用分层抽样的方法抽取 60 件，则乙类产品抽取的件数是 20 【解答】解：甲、乙、丙三类产品，其数量之比为 3：4：5，从中抽取 120 件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为60 =20，故答案为：2014 （5 分）二进制 110011（2） 化成十进制数为 51 【解答】解：110011 （2） =1+12+022+023+124+125=51故答案为：5115 （5 分）用 0，1，2 ，3，4，5，6 可以组成 420 个无重复数字的四位偶数【解答】解：根据题意，分
16、2 种情况讨论：、0 在个位，在 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字中任选 3 个，安排在前三个数位，有 A63=120 个四位偶数，、0 不在个位，需要在 2、4、6 三个数字中任选 1 个，安排在个位，有 3 种情况，在除 0 和个位数字之外的 5 个数字中，任选 1 个，安排在首位，有 5 种情况，在剩余的 5 个数字中任选 2 个，安排在中间两个数位，有 A52=20 种情况，则有 3520=300 个四位偶数；则一共可以组成 120+300=420 个四位偶数；故答案为：42016 （5 分）以双曲线 =1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是 +=1 【解答】解：双曲线 的顶点
17、为（2，0）和（ 2，0） ，焦点为（4 ，0）和（4，0） 椭圆的焦点坐标是（2，0）和（2，0） ，顶点为（ 4，0）和（4，0） 椭圆方程为 + =1故答案为： + =1三、解答题（每小题 10 分，共计 40 分）17 （10 分）已知椭圆 C： =1（ab0）的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）设斜率为 1 的直线 l 经过左焦点与椭圆 C 交于 A、B 两点，求弦 AB 的长【解答】解：（1）根据题意，椭圆 C 的短轴一个端点到右焦点的距离为 ，则有 a= ，又由椭圆 C 的离心率为 ，则有 e= = ，则有 c= ，则 b2=a2c2=32
18、=1，则椭圆的标准方程为：（2）由（1）可得：椭圆的标准方程为： ，则其左焦点的坐标为（ ，0） ，则直线 l 的方程为：则得 ，则有 ， ，18 （10 分）设 p：方程 x2+mx+1=0 有两个不等的实根， q：不等式4x2+4（m2）x+10 在 R 上恒成立，若p 为真，pq 为真，求实数 m 的取值范围【解答】解：P 为真，Pq 为真P 为假，q 为真 （2 分）P 为真命题，则 ，m2 或 m2（4 分）P 为假时，2m2 （5 分）若 q 为真命题，则 （7 分）即 1m3 （8 分）由可知 m 的取值范围为 1m2 （10 分）19 （10 分）某中学组织了一次高二文科学生数
19、学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取 100 人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图（）若所得分数大于等于 80 分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（）在（）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取 5 人，从这 5 人中任意选取 2 人，求至少有一名男生的概率【解答】解：（）由题意可得，男生优秀人数为 100（0.01+0.02）10=30人，女生优秀人数为 100（0.015+0.03 ）10=45 人（）因为样本容量与总体中的个体数的比是 ，所以样本中包含男生人数为 人，女生人数为 人，设两名男生为 A1，A 2，三名女生为
20、B1，B 2，B 3，则从 5 人中任意选取 2 人构成的所有基本事件为：A1，A 2，A 1，B 1，A 1，B 2，A 1，B 3，A 2，B 1，A2，B 2，A 2，B 3，B 1，B 2，B 1，B 3，B 2，B 3共 10 个，每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的记事件 C：“选取的 2 人中至少有一名男生”，则事件 C 包含的基本事件有：A1，A 2，A 1，B 1，A 1，B 2，A 1，B 3，A2，B 1，A 2，B 2，A 2，B 3共 7 个，所以 ，即选取的 2 人中至少有一名男生的概率为 20 （10 分）如图，在棱长为 1 的正方体 ABC
21、DA1B1C1D1 中：（1）求异面直线 BC1 与 AA1 所成的角的大小；（2）求三棱锥 B1A1C1B 的体积；（3）求证：B 1D平面 A1C1B【解答】解：（1）由于 A1A 和 B1B 平行且相等，故异面直线 BC1 与 AA1 所成的角的大小即为 BB1 与 BC1 城的角，故B 1BC1（或其补角）为所求再由正方体的性质可得B 1BC1 为等腰直角三角形，故B 1BC1=45，即异面直线 BC1 与 AA1 所成的角的大小为 45（2）三棱锥 B1A1C1B 的体积即 = BB1= （ ）1= （3）证明：由正方体的性质可得，B 1D 在上底面 A1B1C1D1 内的射影为 B1D1，且A1C1B 1D1由三垂线定理可得 B1DA 1C1同理可证，B 1DA 1B而 A1C1 和 A1B 是平面 A1C1B 内的两条相交直线，根据直线和平面垂直的判定定理，可得 B1D平面 A1C1B