1、2017-2018 学年甘肃天水市武山高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）已知命题 p： x ，sinx1，则p 为（ ）A x ，sinx1 Bx ，sinx1 Cx ，sinx1Dx ，sinx12 （5 分）设ABC 的内角 A，B ，C 所对边分别为 a，b ，c 若 a=3， ，则 B=（ ）A B C 或 D3 （5 分）若数列a n满足 a1=1，a n+1=3an+1，则 a4=（ ）A7 B13 C40 D1214 （5 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c，若 a2+b2=c2
2、ab，则C=（ ）A60 B120 C45 D305 （5 分）已知等差数列a n满足 a2+a4=4，a 3+a5=10，则它的前 10 项的和S10=（ ）A123 B105 C95 D236 （5 分）已知空间四边形 OABC，其对角线 OB、AC，M、N 分别是边 OA、CB的中点，点 G 在线段 MN 上，且使 MG=2GN，用向量 ，表示向量是（ ）A BC D7 （5 分）当点 P 在圆 x2+y2=1 上变动时，它与定点 Q（3，0）相连，线段 PQ的中点 M 的轨迹方程是（ ）A （x 3） 2+y2=1 B （2x3） 2+4y2=1 C （x+3） 2+y2=4 D （2
3、x+3） 2+4y2=48 （5 分）我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其大意为：“ 有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地 ”则此人第一天走的路程为（ ）A192 里 B96 里 C63 里 D6 里9 （5 分）设椭圆的两个焦点分别为 F1、F 2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若 F 1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A B C D10 （5 分）用数学归纳法证明 1+2+3+n2=
4、，则当 n=k+1 时左端应在n=k 的基础上加上（ ）Ak 2+1 B （k+1） 2C D （k 2+1）+（k 2+2）+（k 2+3）+（k+1） 211 （5 分）设点 F1，F 2 分别是双曲线 的左、右焦点，过点F1 且与 x 轴垂直的直线 l 与双曲线 C 交于 A，B 两点若ABF 2 的面积为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D12 （5 分）已知直线 l1：2xy+2=0 和直线 l2：x= 1，抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是（ ）A2 B C3 D二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分
5、）13 （5 分）已知角 A 是ABC 的内角，则“ ”是“ ”的 条件（填“充分不必要 ”、 “必要不充分”、 “充要条件” 、 “既不充分又不必要”之一） 14 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则 z=x2y 的最大值为 15 （5 分）已知正数 x、y，满足 + =1，则 x+2y 的最小值 16 （5 分）若（m+1）x 2（m 1）x+3（m1）0 对任何实数 x 恒成立，则实数m 的取值范围是 三、解答题（22 题 10 分，其余各题每题 12 分，共 70 分 ）17 （12 分）已知 m0，p：x 22x80，q：2 mx 2+m（1）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实
6、数 m 的取值范围；（2）若 m=5， “pq”为真命题， “pq”为假命题，求实数 x 的取值范围18 （12 分）如图，设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，且 |MD|= |PD|（1）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程（2）求过点（3，0） ，且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度19 （12 分）已知椭圆 C 的对称中心为原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 ，且点（1， ）在该椭圆上（）求椭圆 C 的方程；（）过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若AOB 的面积为 ，
7、求圆心在原点 O 且与直线 l 相切的圆的方程20 （12 分）如图，在棱长为 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F、G 分别是CB、 CD、CC 1 的中点（1）求直线 A1C 与平面 ABCD 所成角的正弦的值；（2）求证：平面 A B1D1平面 EFG；（3）求证：平面 AA1C面 EFG21 （12 分）已知双曲线 的渐近线方程为 ，左焦点为 F，过A（a ，0 ） ，B （0， b）的直线为 l，原点到直线 l 的距离是 （1）求双曲线的方程；（2）已知直线 y=x+m 交双曲线于不同的两点 C， D，问是否存在实数 m，使得以 CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点 F若存在
8、，求出 m 的值；若不存在，请说明理由选修 4-5：不等式选讲22 （10 分） （1）如果关于 x 的不等式|x+1|+|x 5| m 的解集不是空集，求实数 m 的取值范围；（2）若 a，b 均为正数，求证： aabba bba2017-2018 学年甘肃省天水市武山高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）已知命题 p： x ，sinx1，则p 为（ ）A x ，sinx1 Bx ，sinx1 Cx ，sinx1Dx ，sinx1【解答】解：由特称命题的否定是全称命题，所以命题 p：x ，sinx 1，则
9、p 为x ，sinx1故选：A2 （5 分）设ABC 的内角 A，B ，C 所对边分别为 a，b ，c 若 a=3， ，则 B=（ ）A B C 或 D【解答】解：a=3， ， ，由正弦定理可得：sinB= = = ，a b ，B 为锐角，B= 故选：A3 （5 分）若数列a n满足 a1=1，a n+1=3an+1，则 a4=（ ）A7 B13 C40 D121【解答】解：a n+1=3an+1，变形为： an+1+ =3（a n+ ） ，数列 是等比数列，公比为 3，首项为 a 4+ = 33= ，解得 a4=40故选：C4 （5 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b
10、，c，若 a2+b2=c2ab，则C=（ ）A60 B120 C45 D30【解答】解：ABC 中，a 2+b2=c2ab，a 2+b2c2=ab，由余弦定理得cosC= = = ；又 C（0，180） ，C=120故选：B5 （5 分）已知等差数列a n满足 a2+a4=4，a 3+a5=10，则它的前 10 项的和S10=（ ）A123 B105 C95 D23【解答】解：在等差数列a n中，由 a2+a4=4，a 3+a5=10，得 a3=2，a 4=5，d=a 4a3=52=3，则 a1=a32d=26=4， 故选：C6 （5 分）已知空间四边形 OABC，其对角线 OB、AC，M、N
11、 分别是边 OA、CB的中点，点 G 在线段 MN 上，且使 MG=2GN，用向量 ，表示向量是（ ）A BC D【解答】解： =故选 C7 （5 分）当点 P 在圆 x2+y2=1 上变动时，它与定点 Q（3，0）相连，线段 PQ的中点 M 的轨迹方程是（ ）A （x 3） 2+y2=1 B （2x3） 2+4y2=1 C （x+3） 2+y2=4 D （2x+3） 2+4y2=4【解答】解：设动点 P（x 0，y 0） ，PQ 的中点为 M（x，y） ，可得 x= （3+x 0） ，y= y0，解出 x0=2x3，y 0=2y，点 P（x 0， y0）即 P（2x3，2y）在圆 x2+y2
12、=1 上运动，（2x3） 2+（2y） 2=1，化简得（2x3） 2+4y2=1，即为所求动点轨迹方程故选：A8 （5 分）我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其大意为：“ 有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地 ”则此人第一天走的路程为（ ）A192 里 B96 里 C63 里 D6 里【解答】解：根据题意，设此人每天所走的程为数列a n，其首项为 a1，即此人第一天走的路程为 a1，又由从第二天起脚痛每天走的路程为前
13、一天的一半，则a n是以为 a1 首项，为公比的等比数列，又由 S6=378，即有 =378，解可得：a 1=192；即此人第一天走了 192 里；故选：A9 （5 分）设椭圆的两个焦点分别为 F1、F 2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若 F 1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A B C D【解答】解：设点 P 在 x 轴上方，坐标为 ，F 1PF2 为等腰直角三角形|PF 2|=|F1F2|，即 ，即故椭圆的离心率 e=故选 D10 （5 分）用数学归纳法证明 1+2+3+n2= ，则当 n=k+1 时左端应在n=k 的基础上加上（ ）Ak 2+1 B （k+1
14、） 2C D （k 2+1）+（k 2+2）+（k 2+3）+（k+1） 2【解答】解：当 n=k 时，等式左端=1+2+k 2，当 n=k+1 时，等式左端=1+2+k 2+k2+1+k2+2+（ k+1） 2，增加了项（k 2+1）+（k 2+2）+（ k2+3）+ +（k+1） 2故选 D11 （5 分）设点 F1，F 2 分别是双曲线 的左、右焦点，过点F1 且与 x 轴垂直的直线 l 与双曲线 C 交于 A，B 两点若ABF 2 的面积为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D【解答】解：设 F1（c，0） ，A （c，y 0） ，c 2=a2+2，则 =1，则 y02=2
15、= ，又 S =2 ，即为 2c|2y0|= =2 ，即为 = ，则 = = ，故该双曲线的渐近线方程为 y= x故选：D12 （5 分）已知直线 l1：2xy+2=0 和直线 l2：x= 1，抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是（ ）A2 B C3 D【解答】解：由抛物线 y2=4x，得焦点坐标为 F（1，0） ，准线方程为 l2：x= 1，由抛物线定义知，P 到直线 l2 的距离等于 P 到抛物线焦点 F 得距离故问题化为在抛物线 y2=4x 上找一点 P，使得 P 到 F 的距离和到直线l1：2x y+2=0 的距离和最小最小值为 F 到 l
16、1：2xy+2=0 的距离，等于 故选：B二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知角 A 是ABC 的内角，则“ ”是“ ”的 充分不必要 条件（填“ 充分不必要” 、 “必要不充分”、 “充要条件 ”、 “既不充分又不必要”之一） 【解答】解：由 cosA= ，得 A=120，故 sinA= ，是充分条件，由 sinA= ，得 A=60或 120，故 cosA= 或 ，不是必要条件，故答案为：充分不必要14 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则 z=x2y 的最大值为 6 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 A（2， 2） ，化目
17、标函数 z=x2y 为 y= ，由图可知，当直线 y= 过点 A（2， 2）时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 6故答案为：615 （5 分）已知正数 x、y，满足 + =1，则 x+2y 的最小值 18 【解答】解：正数 x、 y，满足 + =1，x+2y= =10+ =18当且仅当x0，y0， ， ，解得 x=12，y=3x+2y 的最小值是 18故答案为 1816 （5 分）若（m+1）x 2（m 1）x+3（m1）0 对任何实数 x 恒成立，则实数m 的取值范围是 m 【解答】解：当 m+1=0 即 m=1 时，不等式即为：2x60x3，与题意不合，故 m1当 m+10 时
18、，只需 ，解得综合有，故答案为：三、解答题（22 题 10 分，其余各题每题 12 分，共 70 分 ）17 （12 分）已知 m0，p：x 22x80，q：2 mx 2+m（1）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围；（2）若 m=5， “pq”为真命题， “pq”为假命题，求实数 x 的取值范围【解答】解：（1）由 x22x80 得 2x 4，即 p：2x4，记命题 p 的解集为 A=2，4，命题 q 的解集为 B=2m，2+m，q 是p 的充分不必要条件，p 是 q 的充分不必要条件，AB， ，解得：m4（2）“p q”为真命题， “pq”为假命题，命题 p 与 q 一
19、真一假，若 p 真 q 假，则 ，无解，若 p 假 q 真，则 ，解得：3x2 或 4x7综上得：3x2 或 4 x718 （12 分）如图，设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，且 |MD|= |PD|（1）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程（2）求过点（3，0） ，且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度【解答】解：（1）设 M 的坐标为（x，y ） ，P 的坐标为（ x，y ） ，由|MD |= |PD|，解得：P 在圆上，x 2+y2=25，即 ，整理得： ，即 C 的方程为： ；（4 分）（2）过点（3，0）
20、 ，斜率为 k= ，的直线方程为： ，（6 分）设直线与 C 的交点为 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，将直线方程 代入 C 的方程，得 ，整理得：x23x8=0（8 分）由韦达定理可知：x 1+x2=3，x 1x2=8， （10 分）线段 AB 的长度为 ，线段 AB 的长度丨 AB 丨= （12 分）19 （12 分）已知椭圆 C 的对称中心为原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 ，且点（1， ）在该椭圆上（）求椭圆 C 的方程；（）过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若AOB 的面积为 ，求圆心在原点 O 且与直线 l 相切的圆的方程
21、【解答】解：（）设椭圆 C 的方程为 ，由题意可得，又 a2=b2+c2，所以因为椭圆 C 经过（ 1， ） ，代入椭圆方程有解得 a=2所以 c=1，b 2=41=3 故椭圆 C 的方程为 （）当直线 lx 轴时，计算得到： ，不符合题意当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为：y=k（x +1） ，k 0由 ，消去 y，得（3+4k 2）x 2+8k2x+4k212=0显然0 成立，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ，又=即又圆 O 的半径所以化简，得 17k4+k218=0，即（ k21） （17k 2+18）=0 ，解得 （舍）所以， ，故圆 O 的方
22、程为： 20 （12 分）如图，在棱长为 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F、G 分别是CB、 CD、CC 1 的中点（1）求直线 A1C 与平面 ABCD 所成角的正弦的值；（2）求证：平面 A B1D1平面 EFG；（3）求证：平面 AA1C面 EFG【解答】解：（1）A 1C平面 ABCD=C，在正方体 ABCDA1B1C1D1，A 1A平面ABCDAC 为 A1C 在平面 ABCD 的射影A 1CA 为 A1C 与平面 ABCD 所成角正方体的棱长为 aAC= a，A 1C= asin A 1CA= = ；（2）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中连接 BD，因为 DD1
23、B 1B，DD 1=B1B，DD 1BB1 为平行四边形所以 D1B1DBE ，F 分别为 BC，CD 的中点EF BD，EF D 1B1EF 平面 GEF，D 1B1平面 GEF，D 1B1平面 GEF同理 AB1平面 GEFD 1B1AB 1=B1平面 A B1D1平面 EFG （3）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中有 AA1平面 ABCD，EF 平面 ABCDAA 1EFABCD 为正方形ACBDEF BDACEF又因为 AA1AC=A，所以 EF平面 AA1CEF 平面 EFG平面 AA1C面 EFG21 （12 分）已知双曲线 的渐近线方程为 ，左焦点为 F，过A（a ，0 ）
24、 ，B （0， b）的直线为 l，原点到直线 l 的距离是 （1）求双曲线的方程；（2）已知直线 y=x+m 交双曲线于不同的两点 C， D，问是否存在实数 m，使得以 CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点 F若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1） ， （2 分）原点到直线 AB： 的距离， （4 分） 故所求双曲线方程为 （6 分）（2）把 y=x+m 代入 x23y2=3 中消去 y，整理得 2x2+6mx+3m2+3=0 （8 分）设 C（ x1，y 1） ，D （x 2，y 2） ，则 ，F（ 2，0） ，因为以 CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点 F，所以 ，
25、（10 分）可得 （x 1+2） （x 2+2）+y 1y2=0 把 y1=x1+m，y 1=x1+m 代入，解得： （13 分）解0，得 m22， 满足0， （14 分）选修 4-5：不等式选讲22 （10 分） （1）如果关于 x 的不等式|x+1|+|x 5| m 的解集不是空集，求实数 m 的取值范围；（2）若 a，b 均为正数，求证： aabba bba【解答】解：（1）令 y=|x+1|+|x5|= ，可知|x+1|+|x 5|6，故要使不等式|x+1|+|x5| m 的解集不是空集，有 m6证明：（2）由 a，b 均为正数，则要证 aabba bba，只需证 aabbba1 ，整理得 ，由于当 ab 时，ab0 ，可得 ，当 ab 时，ab0 ，可得 ，可知 a，b 均为正数时 ，当且仅当 a=b 时等号成立，从而 aabba bba 成立