1、2017-2018 学年甘肃省白银市高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题的 4 个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）在等差数列 51、47、43， 中，第一个负数项为（ ）A第 13 项 B第 14 项 C第 15 项 D第 16 项2 （5 分）在ABC 中，已知 a2=b2+c2+bc，则角 A 为（ ）A B C D 或3 （5 分）已知命题 p：0，q ：1 1，2，由它们组成的 “pq”， “pq”和“p” 形式的复合命题中，真命题有（ ）个A0 B1 C2 D34 （5 分）双曲线 =1 的渐近线方程是（ ）Ay
2、= x By= x Cy= x Dy= x5 （5 分）在ABC 中， a=8，B=60 ，C=75，则 b=（ ）A B C D6 （5 分）设 a0，b0若 是 3a 与 3b 的等比中项，则 的最小值为（ ）A8 B4 C1 D7 （5 分）如果等差数列a n中，a 3+a4+a5=12，那么 a1+a2+a7=（ ）A14 B21 C28 D358 （5 分）准线方程为 x=1 的抛物线的标准方程是（ ）Ay 2=2x By 2=4x Cy 2=2x Dy 2=4x9 （5 分）若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合，则 p 的值为（ ）A 2 B2 C4 D41
3、0 （5 分） ”mn0” 是”方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件11 （5 分）已知函数 f（ x）的导函数 f（x）的图象如图所示，那么函数 f（x）的图象最有可能的是（ ）A B C D12 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=4x+2y 的最大值为（ ）A12 B10 C8 D2二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）数列a n的通项公式是 an= （n N*） ，则 a3= 14 （5 分）求 y=x3+3x2+6x10 的导数 y= 15 （5
4、分）若在ABC 中， A=60，b=1，S ABC = ，则 = 16 （5 分）有下列命题：（log ax） ；（cosx）=sinx ；（ ）；其中是真命题的有： （把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共 7 小题，满分 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）17 （10 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别是（1）求 sinC 的值；（2）求ABC 的面积18 （12 分）命题 p：方程 x2+mx+1=0 有两个不等的正实数根；命题 q：方程4x2+4（m+2）x+1=0 无实数根，若“p 或 q”为真命题，求 m 的取值范围19 （12 分）已知函数 f
5、（ x）=ax 33x2+x+b，其中 a，b R，a 0，又 y=f（x ）在x=1 处的切线方程为 2x+y+1=0，求函数 f（x ）的解析式20 （12 分）已知函数 f（ x）=x 33x，求函数 f（x ）在3， 上的最大值和最小值21 （12 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 Sn=2an2n（n N+） ，令 bn= （1）求证：数列b n为等差数列； （2）求数列a n的通项公式22 （12 分）已知椭圆 + =1（ab 0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 P在此椭圆上，且 PF1F 1F2，|PF 1|= ，|PF 2|= （1）求椭圆的方程；（2）若直线
6、 l 过圆 x2+y2+4x2y=0 的圆心 M 且交椭圆于 A，B 两点，且 A，B 关于点 M 对称，求直线 l 的方程23 （理科）如图，在三棱锥 ABCD 中，侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且 AD= ，BD=CD=1，另一个侧面 ABC 是正三角形（1）求证：AD BC；（2）求二面角 BACD 的余弦值2017-2018 学年甘肃省白银市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题的 4 个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）在等差数列 51、47、43， 中，第一个负数项
7、为（ ）A第 13 项 B第 14 项 C第 15 项 D第 16 项【解答】解：因为数列 51、47、43， 为等差数列，所以公差 d=4751=4，首项为 51，所以通项 an=51+（n1 ）（ 4）=55 4n所以令 554n0 解得 n ，因为 n 为正整数，所以最小的正整数解为 14，所以第一个负数项为第 14 项故选 B2 （5 分）在ABC 中，已知 a2=b2+c2+bc，则角 A 为（ ）A B C D 或【解答】解：由 a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA= = = ，因为 A（0，） ，所以 A= 故选 C3 （5 分）已知命题 p：0，q ：1 1，2，
8、由它们组成的 “pq”， “pq”和“p” 形式的复合命题中，真命题有（ ）个A0 B1 C2 D3【解答】解：因为0，所以命题 p 为真因为：11，2，所以命题 q 为假所以 pq 为真，pq 为假，p 为假故真命题的个数为 1 个故选 B4 （5 分）双曲线 =1 的渐近线方程是（ ）Ay= x By= x Cy= x Dy= x【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程 ，可知焦点在 y 轴，且 a=3，b=2，故渐近线方程为 y= =故选 A5 （5 分）在ABC 中， a=8，B=60 ，C=75，则 b=（ ）A B C D【解答】解：由内角和定理得：A=180 6075=45，根据
9、正弦定理得： = ，又 a=8，sinA= ，sinB= ，则 b= = =4 故选 C6 （5 分）设 a0，b0若 是 3a 与 3b 的等比中项，则 的最小值为（ ）A8 B4 C1 D【解答】解：因为 3a3b=3，所以 a+b=1，当且仅当 即 时“=”成立，故选择 B7 （5 分）如果等差数列a n中，a 3+a4+a5=12，那么 a1+a2+a7=（ ）A14 B21 C28 D35【解答】解：a 3+a4+a5=3a4=12，a 4=4，a 1+a2+a7= =7a4=28故选 C8 （5 分）准线方程为 x=1 的抛物线的标准方程是（ ）Ay 2=2x By 2=4x Cy
10、 2=2x Dy 2=4x【解答】解：由题意可知： =1，p=2 且抛物线的标准方程的焦点在 x 轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y 2=2px将 p 代入可得 y2=4x故选：B9 （5 分）若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合，则 p 的值为（ ）A 2 B2 C4 D4【解答】解：由椭圆 a= ，b= ，c2=a2 c2=4，则椭圆的焦点右焦点 F（2，0） ，由抛物线 y2=2px 的焦点 ，则 =2，则 p=4，故选：D10 （5 分） ”mn0” 是”方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C
11、充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：将方程 mx2+ny2=1 转化为 ，根据椭圆的定义，要使焦点在 y 轴上必须满足 ，且 ，即mn0反之，当 mn0，可得出 0 ，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之， ”mn0” 是”方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充要条件故选 C11 （5 分）已知函数 f（ x）的导函数 f（x）的图象如图所示，那么函数 f（x）的图象最有可能的是（ ）A B C D【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（，2） ， （0，+）上单调递减，在（2，0）上单调递增，故选 A12 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=4
12、x+2y 的最大值为（ ）A12 B10 C8 D2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=4x+2y 得 y=2x+ z，平移直线 y=2x+ z，由图象可知当直线 y=2x+ z 经过点 C 时，直线 y=2x+ 的截距最大，此时 z 最大由 ，解得 ，即 C（2，1） ，代入目标函数 z=4x+2y 得 z=42+21=10即目标函数 z=4x+2y 的最大值为 10故选：B二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）数列a n的通项公式是 an= （n N*） ，则 a3= 【解答】解：a n= （n N*） ，a 3= = ，故答案为： 14 （
13、5 分）求 y=x3+3x2+6x10 的导数 y= 3x 2+6x+6， 【解答】解：函数的导数为 y=3x2+6x+6，故答案为：3x 2+6x+6，15 （5 分）若在ABC 中， A=60，b=1，S ABC = ，则 = 【解答】解：由A=60，得到 sinA= ，cosA= ，又 b=1，S ABC = ， bcsinA= 1c = ，解得 c=4，根据余弦定理得：a 2=b2+c22bccosA=1+164=13，解得 a= ，根据正弦定理 = = = = ，则 = 故答案为：16 （5 分）有下列命题：（log ax） ；（cosx）=sinx ；（ ）；其中是真命题的有： （
14、把你认为正确命题的序号都填上）【解答】解：（log ax）= ；故错误，（cosx）=sinx；故正确，（ ）= ，故错误，故真命题为，故答案为：三、解答题（本大题共 7 小题，满分 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）17 （10 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别是（1）求 sinC 的值；（2）求ABC 的面积【解答】解：（1）在ABC 中，cosA= B=则：sinA= ，所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，= （2）利用正弦定理得： ，由于：B= ，b= ，sinA= ，解得：a= ，所以： ，= 18 （12 分）命题 p：方
15、程 x2+mx+1=0 有两个不等的正实数根；命题 q：方程4x2+4（m+2）x+1=0 无实数根，若“p 或 q”为真命题，求 m 的取值范围【解答】解：“p 或 q”为真命题，则 p，q 中至少有一个为真命题，当 p 为真命题时，则 ，解得 m2，当 q 为真命题时，则=16（m+2） 2160，得3m1当 p 真 q 假时，得 m3当 q 真 p 假时，得2m 1当 p 真 q 真时，3m2综上，m1m 的取值范围是（，1） 19 （12 分）已知函数 f（ x）=ax 33x2+x+b，其中 a，b R，a 0，又 y=f（x ）在x=1 处的切线方程为 2x+y+1=0，求函数 f
16、（x ）的解析式【解答】解：函数 f（x） =ax33x2+x+b，则：f（x）=3ax 26x+1，由于：y=f（x）在 x=1 处的切线方程为 2x+y+1=0，则：f（1）=2 ，即：3a 6+1=2，解得：a=1又：当 x=1 时，y= 3，则（1，3）满足函数 f（x）=x 33x2+x+b，解得：b=2故函数的解析式为：f（x ）=x 33x2+x220 （12 分）已知函数 f（ x）=x 33x，求函数 f（x ）在3， 上的最大值和最小值【解答】解：f（x ）=3x 23=3（x+1） （x 1） ，令 f（x）0，解得：x 1 或 x 1，令 f（x）0，解得：1x 1，故
17、 f（x）在3，1）递增，在（ 1，1）递减，在（1， 递增，而 f（3）=27+9=18，f （ 1）=2 ，f（1）=2，f（ ）= ，故函数的最大值是 2，最小值是1821 （12 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 Sn=2an2n（n N+） ，令 bn= （1）求证：数列b n为等差数列； （2）求数列a n的通项公式【解答】 （1）证明：由 Sn=2an2n（nN +） ，n=1 时，a 1=S1=2a12，解得 a1=2n2 时，a n=SnSn1=2an2n（ ） ，化为：a n2an1=2n1，化为： = 令 bn= 则 bnbn1= ，b 1= =1数列b n为
18、等差数列，首项为 1，公差为 （2）解：由（1）可得：b n=1+ （n 1）= = a n=（n+1 ）2 n122 （12 分）已知椭圆 + =1（ab 0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 P在此椭圆上，且 PF1F 1F2，|PF 1|= ，|PF 2|= （1）求椭圆的方程；（2）若直线 l 过圆 x2+y2+4x2y=0 的圆心 M 且交椭圆于 A，B 两点，且 A，B 关于点 M 对称，求直线 l 的方程【解答】解：（）因为点 P 在椭圆 C 上，所以 2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3在 RtPF 1F2 中， ，故椭圆的半焦距 c= ，从而 b2=a2c2=4，所以
19、椭圆 C 的方程为 =1（）解法一：设 A，B 的坐标分别为（x 1，y 1） 、 （x 2，y 2） 已知圆的方程为（x+2） 2+（y1） 2=5，所以圆心 M 的坐标为（2，1） 从而可设直线 l 的方程为y=k（x+2 ）+1，代入椭圆 C 的方程得（4+9k 2）x 2+（36k 2+18k）x+36k 2+36k27=0因为 A，B 关于点 M 对称所以 解得 ，所以直线 l 的方程为 ，即 8x9y+25=0（经检验，所求直线方程符合题意）（）解法二：已知圆的方程为（x+2） 2+（y1） 2=5，所以圆心 M 的坐标为（2，1） 设 A，B 的坐标分别为（x 1，y 1） ，
20、（x 2，y 2） 由题意 x1x 2 且 ， ，由得 因为 A、B 关于点 M 对称，所以 x1+x2=4，y 1+y2=2，代入得 = ，即直线 l 的斜率为 ，所以直线 l 的方程为 y1= （x +2） ，即 8x9y+25=0（经检验，所求直线方程符合题意 ）23 （理科）如图，在三棱锥 ABCD 中，侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且 AD= ，BD=CD=1，另一个侧面 ABC 是正三角形（1）求证：AD BC；（2）求二面角 BACD 的余弦值【解答】证明：（1）方法一：作 AH面 BCD 于 H，连 DHABBD，HBBD，又 AD= ，BD=1，AB= =BC=AC，BDDC ，又 BD=CD，则 BHCD 是正方形，则 DHBC，AD BC方法二：取 BC 的中点 O，连 AO、DO，则有 AOBC，DO BC，BC面 AOD，BC AD（2）作 BMAC 于 M，作 MNAC 交 AD 于 N，则BMN 就是二面角 BACD 的平面角，因为 AB=AC=BC= ，M 是 AC 的中点，则 BM= ，MN= CD= ，BN= AD= ，由余弦定理可求得 cosBMN= ，二面角 BACD 的余弦值为