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2017-2018学年甘肃省白银市高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

1、2017-2018 学年甘肃省白银市高二(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题的 4 个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 (5 分)在等差数列 51、47、43, 中,第一个负数项为( )A第 13 项 B第 14 项 C第 15 项 D第 16 项2 (5 分)在ABC 中,已知 a2=b2+c2+bc,则角 A 为( )A B C D 或3 (5 分)已知命题 p:0,q :1 1,2,由它们组成的 “pq”, “pq”和“p” 形式的复合命题中,真命题有( )个A0 B1 C2 D34 (5 分)双曲线 =1 的渐近线方程是( )Ay

2、= x By= x Cy= x Dy= x5 (5 分)在ABC 中, a=8,B=60 ,C=75,则 b=( )A B C D6 (5 分)设 a0,b0若 是 3a 与 3b 的等比中项,则 的最小值为( )A8 B4 C1 D7 (5 分)如果等差数列a n中,a 3+a4+a5=12,那么 a1+a2+a7=( )A14 B21 C28 D358 (5 分)准线方程为 x=1 的抛物线的标准方程是( )Ay 2=2x By 2=4x Cy 2=2x Dy 2=4x9 (5 分)若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则 p 的值为( )A 2 B2 C4 D41

3、0 (5 分) ”mn0” 是”方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件11 (5 分)已知函数 f( x)的导函数 f(x)的图象如图所示,那么函数 f(x)的图象最有可能的是( )A B C D12 (5 分)设变量 x,y 满足约束条件 ,则目标函数 z=4x+2y 的最大值为( )A12 B10 C8 D2二、填空题(每题 5 分,共 20 分)13 (5 分)数列a n的通项公式是 an= (n N*) ,则 a3= 14 (5 分)求 y=x3+3x2+6x10 的导数 y= 15 (5

4、分)若在ABC 中, A=60,b=1,S ABC = ,则 = 16 (5 分)有下列命题:(log ax) ;(cosx)=sinx ;( );其中是真命题的有: (把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题(本大题共 7 小题,满分 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17 (10 分)在ABC 中,角 A,B ,C 的对边分别是(1)求 sinC 的值;(2)求ABC 的面积18 (12 分)命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的正实数根;命题 q:方程4x2+4(m+2)x+1=0 无实数根,若“p 或 q”为真命题,求 m 的取值范围19 (12 分)已知函数 f

5、( x)=ax 33x2+x+b,其中 a,b R,a 0,又 y=f(x )在x=1 处的切线方程为 2x+y+1=0,求函数 f(x )的解析式20 (12 分)已知函数 f( x)=x 33x,求函数 f(x )在3, 上的最大值和最小值21 (12 分)设数列a n的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2an2n(n N+) ,令 bn= (1)求证:数列b n为等差数列; (2)求数列a n的通项公式22 (12 分)已知椭圆 + =1(ab 0)的左、右焦点分别为 F1,F 2,点 P在此椭圆上,且 PF1F 1F2,|PF 1|= ,|PF 2|= (1)求椭圆的方程;(2)若直线

6、 l 过圆 x2+y2+4x2y=0 的圆心 M 且交椭圆于 A,B 两点,且 A,B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程23 (理科)如图,在三棱锥 ABCD 中,侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜边,且 AD= ,BD=CD=1,另一个侧面 ABC 是正三角形(1)求证:AD BC;(2)求二面角 BACD 的余弦值2017-2018 学年甘肃省白银市高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题的 4 个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 (5 分)在等差数列 51、47、43, 中,第一个负数项

7、为( )A第 13 项 B第 14 项 C第 15 项 D第 16 项【解答】解:因为数列 51、47、43, 为等差数列,所以公差 d=4751=4,首项为 51,所以通项 an=51+(n1 )( 4)=55 4n所以令 554n0 解得 n ,因为 n 为正整数,所以最小的正整数解为 14,所以第一个负数项为第 14 项故选 B2 (5 分)在ABC 中,已知 a2=b2+c2+bc,则角 A 为( )A B C D 或【解答】解:由 a2=b2+c2+bc,则根据余弦定理得:cosA= = = ,因为 A(0,) ,所以 A= 故选 C3 (5 分)已知命题 p:0,q :1 1,2,

8、由它们组成的 “pq”, “pq”和“p” 形式的复合命题中,真命题有( )个A0 B1 C2 D3【解答】解:因为0,所以命题 p 为真因为:11,2,所以命题 q 为假所以 pq 为真,pq 为假,p 为假故真命题的个数为 1 个故选 B4 (5 分)双曲线 =1 的渐近线方程是( )Ay= x By= x Cy= x Dy= x【解答】解:化已知双曲线的方程为标准方程 ,可知焦点在 y 轴,且 a=3,b=2,故渐近线方程为 y= =故选 A5 (5 分)在ABC 中, a=8,B=60 ,C=75,则 b=( )A B C D【解答】解:由内角和定理得:A=180 6075=45,根据

9、正弦定理得: = ,又 a=8,sinA= ,sinB= ,则 b= = =4 故选 C6 (5 分)设 a0,b0若 是 3a 与 3b 的等比中项,则 的最小值为( )A8 B4 C1 D【解答】解:因为 3a3b=3,所以 a+b=1,当且仅当 即 时“=”成立,故选择 B7 (5 分)如果等差数列a n中,a 3+a4+a5=12,那么 a1+a2+a7=( )A14 B21 C28 D35【解答】解:a 3+a4+a5=3a4=12,a 4=4,a 1+a2+a7= =7a4=28故选 C8 (5 分)准线方程为 x=1 的抛物线的标准方程是( )Ay 2=2x By 2=4x Cy

10、 2=2x Dy 2=4x【解答】解:由题意可知: =1,p=2 且抛物线的标准方程的焦点在 x 轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为:y 2=2px将 p 代入可得 y2=4x故选:B9 (5 分)若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则 p 的值为( )A 2 B2 C4 D4【解答】解:由椭圆 a= ,b= ,c2=a2 c2=4,则椭圆的焦点右焦点 F(2,0) ,由抛物线 y2=2px 的焦点 ,则 =2,则 p=4,故选:D10 (5 分) ”mn0” 是”方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C

11、充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解:将方程 mx2+ny2=1 转化为 ,根据椭圆的定义,要使焦点在 y 轴上必须满足 ,且 ,即mn0反之,当 mn0,可得出 0 ,此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之, ”mn0” 是”方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充要条件故选 C11 (5 分)已知函数 f( x)的导函数 f(x)的图象如图所示,那么函数 f(x)的图象最有可能的是( )A B C D【解答】解:由导函数图象可知,f(x)在(,2) , (0,+)上单调递减,在(2,0)上单调递增,故选 A12 (5 分)设变量 x,y 满足约束条件 ,则目标函数 z=4

12、x+2y 的最大值为( )A12 B10 C8 D2【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分) 由 z=4x+2y 得 y=2x+ z,平移直线 y=2x+ z,由图象可知当直线 y=2x+ z 经过点 C 时,直线 y=2x+ 的截距最大,此时 z 最大由 ,解得 ,即 C(2,1) ,代入目标函数 z=4x+2y 得 z=42+21=10即目标函数 z=4x+2y 的最大值为 10故选:B二、填空题(每题 5 分,共 20 分)13 (5 分)数列a n的通项公式是 an= (n N*) ,则 a3= 【解答】解:a n= (n N*) ,a 3= = ,故答案为: 14 (

13、5 分)求 y=x3+3x2+6x10 的导数 y= 3x 2+6x+6, 【解答】解:函数的导数为 y=3x2+6x+6,故答案为:3x 2+6x+6,15 (5 分)若在ABC 中, A=60,b=1,S ABC = ,则 = 【解答】解:由A=60,得到 sinA= ,cosA= ,又 b=1,S ABC = , bcsinA= 1c = ,解得 c=4,根据余弦定理得:a 2=b2+c22bccosA=1+164=13,解得 a= ,根据正弦定理 = = = = ,则 = 故答案为:16 (5 分)有下列命题:(log ax) ;(cosx)=sinx ;( );其中是真命题的有: (

14、把你认为正确命题的序号都填上)【解答】解:(log ax)= ;故错误,(cosx)=sinx;故正确,( )= ,故错误,故真命题为,故答案为:三、解答题(本大题共 7 小题,满分 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17 (10 分)在ABC 中,角 A,B ,C 的对边分别是(1)求 sinC 的值;(2)求ABC 的面积【解答】解:(1)在ABC 中,cosA= B=则:sinA= ,所以:sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,= (2)利用正弦定理得: ,由于:B= ,b= ,sinA= ,解得:a= ,所以: ,= 18 (12 分)命题 p:方

15、程 x2+mx+1=0 有两个不等的正实数根;命题 q:方程4x2+4(m+2)x+1=0 无实数根,若“p 或 q”为真命题,求 m 的取值范围【解答】解:“p 或 q”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题,当 p 为真命题时,则 ,解得 m2,当 q 为真命题时,则=16(m+2) 2160,得3m1当 p 真 q 假时,得 m3当 q 真 p 假时,得2m 1当 p 真 q 真时,3m2综上,m1m 的取值范围是(,1) 19 (12 分)已知函数 f( x)=ax 33x2+x+b,其中 a,b R,a 0,又 y=f(x )在x=1 处的切线方程为 2x+y+1=0,求函数 f

16、(x )的解析式【解答】解:函数 f(x) =ax33x2+x+b,则:f(x)=3ax 26x+1,由于:y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 2x+y+1=0,则:f(1)=2 ,即:3a 6+1=2,解得:a=1又:当 x=1 时,y= 3,则(1,3)满足函数 f(x)=x 33x2+x+b,解得:b=2故函数的解析式为:f(x )=x 33x2+x220 (12 分)已知函数 f( x)=x 33x,求函数 f(x )在3, 上的最大值和最小值【解答】解:f(x )=3x 23=3(x+1) (x 1) ,令 f(x)0,解得:x 1 或 x 1,令 f(x)0,解得:1x 1,故

17、 f(x)在3,1)递增,在( 1,1)递减,在(1, 递增,而 f(3)=27+9=18,f ( 1)=2 ,f(1)=2,f( )= ,故函数的最大值是 2,最小值是1821 (12 分)设数列a n的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2an2n(n N+) ,令 bn= (1)求证:数列b n为等差数列; (2)求数列a n的通项公式【解答】 (1)证明:由 Sn=2an2n(nN +) ,n=1 时,a 1=S1=2a12,解得 a1=2n2 时,a n=SnSn1=2an2n( ) ,化为:a n2an1=2n1,化为: = 令 bn= 则 bnbn1= ,b 1= =1数列b n为

18、等差数列,首项为 1,公差为 (2)解:由(1)可得:b n=1+ (n 1)= = a n=(n+1 )2 n122 (12 分)已知椭圆 + =1(ab 0)的左、右焦点分别为 F1,F 2,点 P在此椭圆上,且 PF1F 1F2,|PF 1|= ,|PF 2|= (1)求椭圆的方程;(2)若直线 l 过圆 x2+y2+4x2y=0 的圆心 M 且交椭圆于 A,B 两点,且 A,B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程【解答】解:()因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3在 RtPF 1F2 中, ,故椭圆的半焦距 c= ,从而 b2=a2c2=4,所以

19、椭圆 C 的方程为 =1()解法一:设 A,B 的坐标分别为(x 1,y 1) 、 (x 2,y 2) 已知圆的方程为(x+2) 2+(y1) 2=5,所以圆心 M 的坐标为(2,1) 从而可设直线 l 的方程为y=k(x+2 )+1,代入椭圆 C 的方程得(4+9k 2)x 2+(36k 2+18k)x+36k 2+36k27=0因为 A,B 关于点 M 对称所以 解得 ,所以直线 l 的方程为 ,即 8x9y+25=0(经检验,所求直线方程符合题意)()解法二:已知圆的方程为(x+2) 2+(y1) 2=5,所以圆心 M 的坐标为(2,1) 设 A,B 的坐标分别为(x 1,y 1) ,

20、(x 2,y 2) 由题意 x1x 2 且 , ,由得 因为 A、B 关于点 M 对称,所以 x1+x2=4,y 1+y2=2,代入得 = ,即直线 l 的斜率为 ,所以直线 l 的方程为 y1= (x +2) ,即 8x9y+25=0(经检验,所求直线方程符合题意 )23 (理科)如图,在三棱锥 ABCD 中,侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜边,且 AD= ,BD=CD=1,另一个侧面 ABC 是正三角形(1)求证:AD BC;(2)求二面角 BACD 的余弦值【解答】证明:(1)方法一:作 AH面 BCD 于 H,连 DHABBD,HBBD,又 AD= ,BD=1,AB= =BC=AC,BDDC ,又 BD=CD,则 BHCD 是正方形,则 DHBC,AD BC方法二:取 BC 的中点 O,连 AO、DO,则有 AOBC,DO BC,BC面 AOD,BC AD(2)作 BMAC 于 M,作 MNAC 交 AD 于 N,则BMN 就是二面角 BACD 的平面角,因为 AB=AC=BC= ,M 是 AC 的中点,则 BM= ,MN= CD= ,BN= AD= ,由余弦定理可求得 cosBMN= ,二面角 BACD 的余弦值为