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2016-2017学年山西省晋中市高二(上)期末数学文科试卷(含答案解析)

1、2016-2017 学年山西省晋中市高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1 (5 分)设 a,b 是实数,则 “ab”是“a 2b 2”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2 (5 分)圆 x2+y24x4y=0 上的点到直线 x+y6=0 的最大距离和最小距离的差是( )A B C D3 (5 分)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AB,BB 1 的中点,则直线BC1 与 EF 所成角的余弦值是( )A B C

2、 D4 (5 分)已知 a、b、c 为三条不重合的直线,下面有三个结论: 若a b,a c 则 bc;若 ab ,a c 则 bc ;若 ab,bc 则 ac其中正确的个数为( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个5 (5 分)若直线 y=kx+2k 与曲线 有两个不同的交点,则 k 的取值范围是( )A B C D6 (5 分)已知 f(x )=alnx+ x2(a0) ,若对任意两个不等的正实数 x1,x 2,都有 2 恒成立,则 a 的取值范围是( )A (0 ,1 B (1,+) C (0,1) D1,+)7 (5 分)如果圆(xa) 2+(ya) 2=8 上总存在两个点到原点的距

3、离为 ,则实数 a 的取值范围是( )A ( 3,1) (1 ,3) B ( 3,3) C1,1 D (3,11,3)8 (5 分)已知三棱锥 PABC 中,PA=4,AB=AC=2 ,BC=6 ,PA面 ABC,则此三棱锥的外接球的表面积为( )A16 B32 C64 D1289 (5 分)已知 F1(c,0) ,F 2(c,0)为椭圆 的两个焦点,点 P(不在 x 轴上)为椭圆上的一点,且满足 ,则椭圆的离心率的取值范围是( )A B C D10 (5 分)已知椭圆 x2+2y2=8 的两个焦点分别为 F1,F 2,A 为椭圆上的任意一点,AP 是 F1AF2 的外角平分线,且 ,则点 P

4、 的坐标一定满足( )Ax 2+y2=8 Bx 2+y2=1 Cx 2y2=1 D11 (5 分)已知点 F 为抛物线 y 2=8x 的焦点,O 为原点,点 P 是抛物线准线上一动点,点 A 在抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值为( )A6 B C D4+212 (5 分)设奇函数 f( x)在 R 上存在导数 f(x) ,且在(0,+)上 f(x)x 2,若 f(1m)f (m ) ,则实数 m 的取值范围为( )A B C D二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13 (5 分)已知函数 f( x)=ax 3+x+1 的图象在点(1,f (1)

5、)处的切线过点(2,7) ,则 a= 14 (5 分)某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形,侧视图是边长为 2 的正方形,则此四面体的四个面中面积的最大值为 15 (5 分)已知函数 f( x)=e x2+a 有零点,则实数 a 的取值范围为 16 (5 分)已知椭圆 + =1(ab 0)的离心率 e= ,A,B 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上不同于 A,B 的一点,直线 PA,PB 斜倾角分别为 ,则|tantan|的最小值为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17 (10 分)已知集合 ,若tA 是

6、 tB 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围18 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,底面是以 O 为中心的菱形,PO底面为 BC 上一点,且 (1)证明:BC平面 POM;(2)若 MPAP,求四棱锥 PABCD 的体积19 (12 分)已知线段 AB 的端点 B 的坐标为(1, 3) ,端点 A 在圆 C:(x +1)2+y2=4 上运动(1)求线段 AB 的中点 M 的轨迹;(2)过 B 点的直线 L 与圆 C 有两个交点 A,D 当 CACD 时,求 L 的斜率20 (12 分)已知函数 f( x)=x 3+ax2+bx+c 在 与 x=1 处都取得极值(1)求 a,b 的值

7、;(2)若对 xR,f (x)有三个零点,求实数 c 的取值范围21 (12 分)已知椭圆 的离心率为 ,又点在该椭圆上(1)求椭圆 E 的方程;(2)若斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 B,C,求ABC 的最大面积22 (12 分)已知函数 (1)当 a=0 时,求曲线 y=f(x)在(1,f (1) )处的切线方程;(2)令 g(x)=f(x)ax+1,求函数 g(x)的极大值;(3)若 a=2,正实数 x1,x 2 满足 f(x 1)+f(x 2)+x 1x2=0,证明:2016-2017 年山西省晋中市高二上期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12

8、 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1 (5 分)设 a,b 是实数,则 “ab”是“a 2b 2”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解:因为 a,b 都是实数,由 ab ,不一定有 a2b 2,如 23,但(2 ) 2(3) 2,所以“ab” 是“a 2b 2”的不充分条件;反之,由 a2b 2 也不一定得 ab ,如(3) 2(2) 2,但3 2,所以“a b”是“a 2b 2”的不必要条件故选 D2 (5 分)圆 x2+y24x4y=0 上的点到直线 x+y6=0 的最大距离

9、和最小距离的差是( )A B C D【解答】解:圆 x2+y24x4y=0 的圆心(2,2) ,半径是 2 ,圆心到直线 x+y6=0 的距离:d= = 2圆 x2+y24x4y=0 上的点到直线 x+y6=0 的最大距离和最小距离的差是 3 0=3故选 B3 (5 分)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AB,BB 1 的中点,则直线BC1 与 EF 所成角的余弦值是( )A B C D【解答】解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴, DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,设正方体 ABCDA1B1C1D1 中棱长为 2,则 E(2,1 , 0) ,F

10、(2 , 2,1) ,B(2,2,0) ,C 1(0,2,2) ,=( 2,0,2) , =( 0,1,1) ,设直线 BC1 与 EF 所成角为 ,则 cos=|cos , |= = = 直线 BC1 与 EF 所成角的余弦值是 故选:B4 (5 分)已知 a、b、c 为三条不重合的直线,下面有三个结论: 若a b,a c 则 bc;若 ab ,a c 则 bc ;若 ab,bc 则 ac其中正确的个数为( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【解答】解:两条直线都与第三条直线垂直,只两条直线之间的位置关系不能确定,故不正确,若 ab,bc 则 ac,这里符合两条直线的关系,是我们求两条

11、直线的夹角的方法,故正确,综上可知有一个正确的说法,故选 B5 (5 分)若直线 y=kx+2k 与曲线 有两个不同的交点,则 k 的取值范围是( )A B C D【解答】解:由 得 x2+y2=1, (y 0) ,对应的轨迹为上半圆,直线 y=kx+2k 过定点 A(2,0) ,由圆心到直线的距离 d= =1,可得 k= ,若直线 y=kx+2k 与曲线 有两个不同的交点,则 0k ,故选 B6 (5 分)已知 f(x )=alnx+ x2(a0) ,若对任意两个不等的正实数 x1,x 2,都有 2 恒成立,则 a 的取值范围是( )A (0 ,1 B (1,+) C (0,1) D1,+)

12、【解答】解:对任意两个不等的正实数 x1,x 2,都有 2 恒成立则当 x0 时,f(x )2 恒成立f(x )= +x2 在(0,+ )上恒成立则 a(2xx 2) max=1故选 D7 (5 分)如果圆(xa) 2+(ya) 2=8 上总存在两个点到原点的距离为 ,则实数 a 的取值范围是( )A ( 3,1) (1 ,3) B ( 3,3) C1,1 D (3,11,3)【解答】解:问题可转化为圆(xa) 2+(ya) 2=8 和圆 x2+y2=2 相交,两圆圆心距 d= = |a|,由 Rr |OO1|R +r 得 ,解得:1|a|3,即 a( 3,1)(1,3)故选 A8 (5 分)

13、已知三棱锥 PABC 中,PA=4,AB=AC=2 ,BC=6 ,PA面 ABC,则此三棱锥的外接球的表面积为( )A16 B32 C64 D128【解答】解:底面ABC 中,AB=AC=2 ,BC=6,cosBAC= =sin BAC= ,ABC 的外接圆半径 r= =2 ,所以三棱锥外接球的半径 R2=r2+( ) 2=(2 ) 2+22=16,所以三棱锥 PABC 外接球的表面积 S=4R2=64故选:C9 (5 分)已知 F1(c,0) ,F 2(c,0)为椭圆 的两个焦点,点 P(不在 x 轴上)为椭圆上的一点,且满足 ,则椭圆的离心率的取值范围是( )A B C D【解答】解:设

14、P(x 0,y 0) , (ax 0a) ,则 + =1, = 则 c2= =(cx 0) (cx 0)+ ,2c 2= + ,化为:3c 2=a2+ , = 0,1) ,解得: ,解得 e 故选:C10 (5 分)已知椭圆 x2+2y2=8 的两个焦点分别为 F1,F 2,A 为椭圆上的任意一点,AP 是 F1AF2 的外角平分线,且 ,则点 P 的坐标一定满足( )Ax 2+y2=8 Bx 2+y2=1 Cx 2y2=1 D【解答】解:椭圆 x2+2y2=8 的两个焦点分别为 F1,F 2,A 为椭圆上的任意一点,椭圆的标准方程为 ,F 1(2,0) ,F 2( 2,0) ,可设 A(0,

15、2) ,P(x,y) ,则 =(x ,y2) , =(2, 2) , =(2,2) ,=( x2, y) ,AP 是 F 1AF2 的外角平分线,且 , =( x,y2)(x 2,y )=x 22x+y22y=0,cos =cos , ,即= ,联立,解得 x=y=2点 P 的坐标一定满足 x2+y2=8故选:A11 (5 分)已知点 F 为抛物线 y 2=8x 的焦点,O 为原点,点 P 是抛物线准线上一动点,点 A 在抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值为( )A6 B C D4+2【解答】解:|AF|=4,由抛物线的定义得,A 到准线的距离为 4,即 A 点的横坐标为2

16、,又点 A 在抛物线上,从而点 A 的坐标 A( 2,4) ;坐标原点关于准线的对称点的坐标为 B(4,0)则|PA|+| PO|的最小值为:|AB|= =故选 C12 (5 分)设奇函数 f( x)在 R 上存在导数 f(x) ,且在(0,+)上 f(x)x 2,若 f(1m)f (m ) ,则实数 m 的取值范围为( )A B C D【解答】解:令 , ,函数 g(x )为奇函数,x(0,+)时,g(x )=f(x)x 20 ,函数 g(x )在 x(0,+)为减函数,又由题可知,f(0)=0, g(0)=0 ,所以函数 g( x)在 R 上为减函数,即 g(1 m)g(m) ,1 mm,

17、 故选 B二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13 (5 分)已知函数 f( x)=ax 3+x+1 的图象在点(1,f (1) )处的切线过点(2,7) ,则 a= 1 【解答】解:函数 f(x) =ax3+x+1 的导数为:f (x)=3ax 2+1,f(1)=3a +1,而 f(1)=a+2,切线方程为:ya2=(3a+1) (x 1) ,因为切线方程经过(2,7) ,所以 7a2=(3a+1) (2 1) ,解得 a=1故答案为:114 (5 分)某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形,侧视图是边长为 2 的正方形,则此四面体

18、的四个面中面积的最大值为 2 【解答】解:由三视图知该几何体为棱锥 SABD,其中 SC平面 ABCD;四面体SABD 的四个面中 SBD 面的面积最大,三角形 SBD 是边长为 2 的等边三角形,所以此四面体的四个面中面积最大的为 =2 故答案为 2 15 (5 分)已知函数 f( x)=e x2+a 有零点,则实数 a 的取值范围为 a2 【解答】解:函数 g(x)=e x2 函数是增函数,g (x)2,函数 f( x)=e x2+a 有零点,可得 a=2ex,可得 a2故答案为:a216 (5 分)已知椭圆 + =1(ab 0)的离心率 e= ,A,B 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上不

19、同于 A,B 的一点,直线 PA,PB 斜倾角分别为 ,则|tantan|的最小值为 1 【解答】解:离心率 e= = = , = 设 P( x0,y 0) ,椭圆顶点 A( a,0) ,B(a,0) ,k PA= ,kPAkPB= ,又 =1, ,k PAkPB= ,即 tantan= = ,|tantan|=|tan|+|tan|2 =1当且仅当|tan|=|tan|=1 时取等号|tantan|的最小值为 1,故答案为:1三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17 (10 分)已知集合 ,若tA 是 tB 的充分不必要条件,求实数 m 的

20、取值范围【解答】解:对于 A: ,f(x)=y= + , =2,f(2)=2 ,f(x) =A对于 B:x1+m 或 xm1即 B=( ,m1m+1,+) t A 是 tB 的充分不必要条件, m+1,或 2m1,解得 m ,或 m3实数 m 的取值范围是 3,+) 18 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,底面是以 O 为中心的菱形,PO底面为 BC 上一点,且 (1)证明:BC平面 POM;(2)若 MPAP,求四棱锥 PABCD 的体积【解答】 (1)证明:如图所示,ABD 为正三角形, OB= BD=1在OBM 中,由余弦定理可得:OM 2= = ,OM 2+BM2=OB2=1,

21、OMBC PO平面 ABCD,POBC由 POOM=O,BC 平面 POM(2)解:由(1)可得:OPOM,OP OA,MP 2=OP2+ ,AP 2=在ABM 中,由余弦定理可得:AM 2=22+ = MPAP , AP 2+MP2= +OP2+ =AM2= ,OP= SABCD= = =2 V PABCD= = =119 (12 分)已知线段 AB 的端点 B 的坐标为(1, 3) ,端点 A 在圆 C:(x +1)2+y2=4 上运动(1)求线段 AB 的中点 M 的轨迹;(2)过 B 点的直线 L 与圆 C 有两个交点 A,D 当 CACD 时,求 L 的斜率【解答】解(1)设 A(x

22、 1,y 1) ,M(x ,y) ,由中点公式得 x1=2x1,y 1=2y3因为 A 在圆 C 上,所以(2x ) 2+(2y 3) 2=4,即 x2+(y 1.5) 2=1点 M 的轨迹是以(0,1.5)为圆心,1 为半径的圆;(2)设 L 的斜率为 k,则 L 的方程为 y3=k(x 1) ,即 kxyk+3=0因为 CACD,CAD 为等腰直角三角形,由题意知,圆心 C(1,0)到 L 的距离为 由点到直线的距离公式得 = ,4k 212k+9=2k2+22k 212k+7=0,解得 k=3 20 (12 分)已知函数 f( x)=x 3+ax2+bx+c 在 与 x=1 处都取得极值

23、(1)求 a,b 的值;(2)若对 xR,f (x)有三个零点,求实数 c 的取值范围【解答】解:(1)f(x )=3x 2+2ax+b由已知有 ,解得 a= ,b=2;(2)由(1)得:f (x ) =x3 x22x+c,f(x )=由 f( x)0 得 x1 或 x ,由 f(x)0 得 x 1,故当 x= 时, f(x)有极大值 c+ ,当 x=1 时,f(x)有极小值 c ,若对 xR,f ( x)有三个零点,则 ,解得: c 21 (12 分)已知椭圆 的离心率为 ,又点在该椭圆上(1)求椭圆 E 的方程;(2)若斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 B,C,求ABC 的最

24、大面积【解答】解:(1)依题意,得 ,解得 ,椭圆的方程为 + =1(2)设 B(x 1,y 1) ,C(x 2,y 2) ,BC 的方程为 y= x+m,则有 ,整理,得 4x2+2 mx+(m24)=0,由= ( 2 m) 216(m 24)= 8m2+640,解得2 m2 ,由根与系数的关系,得:x 1+x2= m,x 1x2= ,|BC|= = |x1x2|= ,设 d 为点 A 到直线 BC 的距离,则 d= = |m|,S ABC = |BC|d= =4,当且仅当 m=2 时取等号,当 m=2 时,ABC 的面积取得最大值 22 (12 分)已知函数 (1)当 a=0 时,求曲线

25、y=f(x)在(1,f (1) )处的切线方程;(2)令 g(x)=f(x)ax+1,求函数 g(x)的极大值;(3)若 a=2,正实数 x1,x 2 满足 f(x 1)+f(x 2)+x 1x2=0,证明:【解答】解:(1)a=0 时,f (x)=lnx+x,f(x )= +1,故 f(1)=1,f(1)=2,故切线方程是:y1=2(x 1) ,整理得:2xy1=0;(2)g(x)=f(x)(ax1)=lnx ax2+(1 a)x +1,所以 g(x)= ax+(1a)= ,当 a0 时,因为 x0,所以 g(x )0所以 g(x )在(0,+)上是递增函数,当 a0 时,g(x)= ,令

26、g(x)=0,得 x= ,所以当 x(0, )时,g(x)0;当 x( , +)时,g(x)0,因此函数 g( x)在 x(0, )是增函数,在( ,+)是减函数综上,当 a0 时,函数 g(x)的递增区间是(0, +) ,无递减区间,无极大值;当 a0 时,函数 g(x )的递增区间是(0, ) ,递减区间是( ,+) ;故 g( x) 极大值 =g( )= lna;证明:(3)由 f(x 1)+f ( x2)+x 1x2=0,即 lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x2=0,从而(x 1+x2) 2+(x 1+x2)=x 1x2ln(x 1x2) ,令 t=x1x2,则由 (t)=tlnt,由 x10,x 20,即 x1+x20(t)= , (t 0) ,可知,(t )在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+)上单调递增所以 (t )(1)=1,所以(x 1+x2) 2+(x 1+x2)1,解得 x1+x2 或 x1+x2 ,又因为 x10,x 20,因此 x1+x2 成立