1、2016-2017 学年山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1 （5 分）设 a，b 是实数，则 “ab”是“a 2b 2”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2 （5 分）圆 x2+y24x4y=0 上的点到直线 x+y6=0 的最大距离和最小距离的差是（ ）A B C D3 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AB，BB 1 的中点，则直线BC1 与 EF 所成角的余弦值是（ ）A B C
2、 D4 （5 分）已知 a、b、c 为三条不重合的直线，下面有三个结论： 若a b，a c 则 bc；若 ab ，a c 则 bc ；若 ab，bc 则 ac其中正确的个数为（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个5 （5 分）若直线 y=kx+2k 与曲线 有两个不同的交点，则 k 的取值范围是（ ）A B C D6 （5 分）已知 f（x ）=alnx+ x2（a0） ，若对任意两个不等的正实数 x1，x 2，都有 2 恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A （0 ，1 B （1，+） C （0，1） D1，+）7 （5 分）如果圆（xa） 2+（ya） 2=8 上总存在两个点到原点的距
3、离为 ，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ 3，1） （1 ，3） B （ 3，3） C1，1 D （3，11，3）8 （5 分）已知三棱锥 PABC 中，PA=4，AB=AC=2 ，BC=6 ，PA面 ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A16 B32 C64 D1289 （5 分）已知 F1（c，0） ，F 2（c，0）为椭圆 的两个焦点，点 P（不在 x 轴上）为椭圆上的一点，且满足 ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D10 （5 分）已知椭圆 x2+2y2=8 的两个焦点分别为 F1，F 2，A 为椭圆上的任意一点，AP 是 F1AF2 的外角平分线，且 ，则点 P
4、 的坐标一定满足（ ）Ax 2+y2=8 Bx 2+y2=1 Cx 2y2=1 D11 （5 分）已知点 F 为抛物线 y 2=8x 的焦点，O 为原点，点 P 是抛物线准线上一动点，点 A 在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（ ）A6 B C D4+212 （5 分）设奇函数 f（ x）在 R 上存在导数 f（x） ，且在（0，+）上 f（x）x 2，若 f（1m）f （m ） ，则实数 m 的取值范围为（ ）A B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）已知函数 f（ x）=ax 3+x+1 的图象在点（1，f （1）
5、）处的切线过点（2，7） ，则 a= 14 （5 分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体的四个面中面积的最大值为 15 （5 分）已知函数 f（ x）=e x2+a 有零点，则实数 a 的取值范围为 16 （5 分）已知椭圆 + =1（ab 0）的离心率 e= ，A，B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于 A，B 的一点，直线 PA，PB 斜倾角分别为 ，则|tantan|的最小值为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17 （10 分）已知集合 ，若tA 是
6、 tB 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面是以 O 为中心的菱形，PO底面为 BC 上一点，且 （1）证明：BC平面 POM；（2）若 MPAP，求四棱锥 PABCD 的体积19 （12 分）已知线段 AB 的端点 B 的坐标为（1， 3） ，端点 A 在圆 C：（x +1）2+y2=4 上运动（1）求线段 AB 的中点 M 的轨迹；（2）过 B 点的直线 L 与圆 C 有两个交点 A，D 当 CACD 时，求 L 的斜率20 （12 分）已知函数 f（ x）=x 3+ax2+bx+c 在 与 x=1 处都取得极值（1）求 a，b 的值
7、；（2）若对 xR，f （x）有三个零点，求实数 c 的取值范围21 （12 分）已知椭圆 的离心率为 ，又点在该椭圆上（1）求椭圆 E 的方程；（2）若斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，求ABC 的最大面积22 （12 分）已知函数 （1）当 a=0 时，求曲线 y=f（x）在（1，f （1） ）处的切线方程；（2）令 g（x）=f（x）ax+1，求函数 g（x）的极大值；（3）若 a=2，正实数 x1，x 2 满足 f（x 1）+f（x 2）+x 1x2=0，证明：2016-2017 年山西省晋中市高二上期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12
8、 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1 （5 分）设 a，b 是实数，则 “ab”是“a 2b 2”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：因为 a，b 都是实数，由 ab ，不一定有 a2b 2，如 23，但（2 ） 2（3） 2，所以“ab” 是“a 2b 2”的不充分条件；反之，由 a2b 2 也不一定得 ab ，如（3） 2（2） 2，但3 2，所以“a b”是“a 2b 2”的不必要条件故选 D2 （5 分）圆 x2+y24x4y=0 上的点到直线 x+y6=0 的最大距离
9、和最小距离的差是（ ）A B C D【解答】解：圆 x2+y24x4y=0 的圆心（2，2） ，半径是 2 ，圆心到直线 x+y6=0 的距离：d= = 2圆 x2+y24x4y=0 上的点到直线 x+y6=0 的最大距离和最小距离的差是 3 0=3故选 B3 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AB，BB 1 的中点，则直线BC1 与 EF 所成角的余弦值是（ ）A B C D【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴， DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCDA1B1C1D1 中棱长为 2，则 E（2，1 ， 0） ，F
10、（2 ， 2，1） ，B（2，2，0） ，C 1（0，2，2） ，=（ 2，0，2） ， =（ 0，1，1） ，设直线 BC1 与 EF 所成角为 ，则 cos=|cos ， |= = = 直线 BC1 与 EF 所成角的余弦值是 故选：B4 （5 分）已知 a、b、c 为三条不重合的直线，下面有三个结论： 若a b，a c 则 bc；若 ab ，a c 则 bc ；若 ab，bc 则 ac其中正确的个数为（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【解答】解：两条直线都与第三条直线垂直，只两条直线之间的位置关系不能确定，故不正确，若 ab，bc 则 ac，这里符合两条直线的关系，是我们求两条
11、直线的夹角的方法，故正确，综上可知有一个正确的说法，故选 B5 （5 分）若直线 y=kx+2k 与曲线 有两个不同的交点，则 k 的取值范围是（ ）A B C D【解答】解：由 得 x2+y2=1， （y 0） ，对应的轨迹为上半圆，直线 y=kx+2k 过定点 A（2，0） ，由圆心到直线的距离 d= =1，可得 k= ，若直线 y=kx+2k 与曲线 有两个不同的交点，则 0k ，故选 B6 （5 分）已知 f（x ）=alnx+ x2（a0） ，若对任意两个不等的正实数 x1，x 2，都有 2 恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A （0 ，1 B （1，+） C （0，1） D1，+）
12、【解答】解：对任意两个不等的正实数 x1，x 2，都有 2 恒成立则当 x0 时，f（x ）2 恒成立f（x ）= +x2 在（0，+ ）上恒成立则 a（2xx 2） max=1故选 D7 （5 分）如果圆（xa） 2+（ya） 2=8 上总存在两个点到原点的距离为 ，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ 3，1） （1 ，3） B （ 3，3） C1，1 D （3，11，3）【解答】解：问题可转化为圆（xa） 2+（ya） 2=8 和圆 x2+y2=2 相交，两圆圆心距 d= = |a|，由 Rr |OO1|R +r 得 ，解得：1|a|3，即 a（ 3，1）（1，3）故选 A8 （5 分）
13、已知三棱锥 PABC 中，PA=4，AB=AC=2 ，BC=6 ，PA面 ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A16 B32 C64 D128【解答】解：底面ABC 中，AB=AC=2 ，BC=6，cosBAC= =sin BAC= ，ABC 的外接圆半径 r= =2 ，所以三棱锥外接球的半径 R2=r2+（ ） 2=（2 ） 2+22=16，所以三棱锥 PABC 外接球的表面积 S=4R2=64故选：C9 （5 分）已知 F1（c，0） ，F 2（c，0）为椭圆 的两个焦点，点 P（不在 x 轴上）为椭圆上的一点，且满足 ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D【解答】解：设
14、P（x 0，y 0） ， （ax 0a） ，则 + =1， = 则 c2= =（cx 0） （cx 0）+ ，2c 2= + ，化为：3c 2=a2+ ， = 0，1） ，解得： ，解得 e 故选：C10 （5 分）已知椭圆 x2+2y2=8 的两个焦点分别为 F1，F 2，A 为椭圆上的任意一点，AP 是 F1AF2 的外角平分线，且 ，则点 P 的坐标一定满足（ ）Ax 2+y2=8 Bx 2+y2=1 Cx 2y2=1 D【解答】解：椭圆 x2+2y2=8 的两个焦点分别为 F1，F 2，A 为椭圆上的任意一点，椭圆的标准方程为 ，F 1（2，0） ，F 2（ 2，0） ，可设 A（0，
15、2） ，P（x，y） ，则 =（x ，y2） ， =（2， 2） ， =（2，2） ，=（ x2， y） ，AP 是 F 1AF2 的外角平分线，且 ， =（ x，y2）（x 2，y ）=x 22x+y22y=0，cos =cos ， ，即= ，联立，解得 x=y=2点 P 的坐标一定满足 x2+y2=8故选：A11 （5 分）已知点 F 为抛物线 y 2=8x 的焦点，O 为原点，点 P 是抛物线准线上一动点，点 A 在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（ ）A6 B C D4+2【解答】解：|AF|=4，由抛物线的定义得，A 到准线的距离为 4，即 A 点的横坐标为2
16、，又点 A 在抛物线上，从而点 A 的坐标 A（ 2，4） ；坐标原点关于准线的对称点的坐标为 B（4，0）则|PA|+| PO|的最小值为：|AB|= =故选 C12 （5 分）设奇函数 f（ x）在 R 上存在导数 f（x） ，且在（0，+）上 f（x）x 2，若 f（1m）f （m ） ，则实数 m 的取值范围为（ ）A B C D【解答】解：令 ， ，函数 g（x ）为奇函数，x（0，+）时，g（x ）=f（x）x 20 ，函数 g（x ）在 x（0，+）为减函数，又由题可知，f（0）=0， g（0）=0 ，所以函数 g（ x）在 R 上为减函数，即 g（1 m）g（m） ，1 mm，
17、 故选 B二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）已知函数 f（ x）=ax 3+x+1 的图象在点（1，f （1） ）处的切线过点（2，7） ，则 a= 1 【解答】解：函数 f（x） =ax3+x+1 的导数为：f （x）=3ax 2+1，f（1）=3a +1，而 f（1）=a+2，切线方程为：ya2=（3a+1） （x 1） ，因为切线方程经过（2，7） ，所以 7a2=（3a+1） （2 1） ，解得 a=1故答案为：114 （5 分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体
18、的四个面中面积的最大值为 2 【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥 SABD，其中 SC平面 ABCD；四面体SABD 的四个面中 SBD 面的面积最大，三角形 SBD 是边长为 2 的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为 =2 故答案为 2 15 （5 分）已知函数 f（ x）=e x2+a 有零点，则实数 a 的取值范围为 a2 【解答】解：函数 g（x）=e x2 函数是增函数，g （x）2，函数 f（ x）=e x2+a 有零点，可得 a=2ex，可得 a2故答案为：a216 （5 分）已知椭圆 + =1（ab 0）的离心率 e= ，A，B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不
19、同于 A，B 的一点，直线 PA，PB 斜倾角分别为 ，则|tantan|的最小值为 1 【解答】解：离心率 e= = = ， = 设 P（ x0，y 0） ，椭圆顶点 A（ a，0） ，B（a，0） ，k PA= ，kPAkPB= ，又 =1， ，k PAkPB= ，即 tantan= = ，|tantan|=|tan|+|tan|2 =1当且仅当|tan|=|tan|=1 时取等号|tantan|的最小值为 1，故答案为：1三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17 （10 分）已知集合 ，若tA 是 tB 的充分不必要条件，求实数 m 的
20、取值范围【解答】解：对于 A： ，f（x）=y= + ， =2，f（2）=2 ，f（x） =A对于 B：x1+m 或 xm1即 B=（ ，m1m+1，+） t A 是 tB 的充分不必要条件， m+1，或 2m1，解得 m ，或 m3实数 m 的取值范围是 3，+） 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面是以 O 为中心的菱形，PO底面为 BC 上一点，且 （1）证明：BC平面 POM；（2）若 MPAP，求四棱锥 PABCD 的体积【解答】 （1）证明：如图所示，ABD 为正三角形， OB= BD=1在OBM 中，由余弦定理可得：OM 2= = ，OM 2+BM2=OB2=1，
21、OMBC PO平面 ABCD，POBC由 POOM=O，BC 平面 POM（2）解：由（1）可得：OPOM，OP OA，MP 2=OP2+ ，AP 2=在ABM 中，由余弦定理可得：AM 2=22+ = MPAP ， AP 2+MP2= +OP2+ =AM2= ，OP= SABCD= = =2 V PABCD= = =119 （12 分）已知线段 AB 的端点 B 的坐标为（1， 3） ，端点 A 在圆 C：（x +1）2+y2=4 上运动（1）求线段 AB 的中点 M 的轨迹；（2）过 B 点的直线 L 与圆 C 有两个交点 A，D 当 CACD 时，求 L 的斜率【解答】解（1）设 A（x
22、 1，y 1） ，M（x ，y） ，由中点公式得 x1=2x1，y 1=2y3因为 A 在圆 C 上，所以（2x ） 2+（2y 3） 2=4，即 x2+（y 1.5） 2=1点 M 的轨迹是以（0，1.5）为圆心，1 为半径的圆；（2）设 L 的斜率为 k，则 L 的方程为 y3=k（x 1） ，即 kxyk+3=0因为 CACD，CAD 为等腰直角三角形，由题意知，圆心 C（1，0）到 L 的距离为 由点到直线的距离公式得 = ，4k 212k+9=2k2+22k 212k+7=0，解得 k=3 20 （12 分）已知函数 f（ x）=x 3+ax2+bx+c 在 与 x=1 处都取得极值
23、（1）求 a，b 的值；（2）若对 xR，f （x）有三个零点，求实数 c 的取值范围【解答】解：（1）f（x ）=3x 2+2ax+b由已知有 ，解得 a= ，b=2；（2）由（1）得：f （x ） =x3 x22x+c，f（x ）=由 f（ x）0 得 x1 或 x ，由 f（x）0 得 x 1，故当 x= 时， f（x）有极大值 c+ ，当 x=1 时，f（x）有极小值 c ，若对 xR，f （ x）有三个零点，则 ，解得： c 21 （12 分）已知椭圆 的离心率为 ，又点在该椭圆上（1）求椭圆 E 的方程；（2）若斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，求ABC 的最
24、大面积【解答】解：（1）依题意，得 ，解得 ，椭圆的方程为 + =1（2）设 B（x 1，y 1） ，C（x 2，y 2） ，BC 的方程为 y= x+m，则有 ，整理，得 4x2+2 mx+（m24）=0，由= （ 2 m） 216（m 24）= 8m2+640，解得2 m2 ，由根与系数的关系，得：x 1+x2= m，x 1x2= ，|BC|= = |x1x2|= ，设 d 为点 A 到直线 BC 的距离，则 d= = |m|，S ABC = |BC|d= =4，当且仅当 m=2 时取等号，当 m=2 时，ABC 的面积取得最大值 22 （12 分）已知函数 （1）当 a=0 时，求曲线
25、y=f（x）在（1，f （1） ）处的切线方程；（2）令 g（x）=f（x）ax+1，求函数 g（x）的极大值；（3）若 a=2，正实数 x1，x 2 满足 f（x 1）+f（x 2）+x 1x2=0，证明：【解答】解：（1）a=0 时，f （x）=lnx+x，f（x ）= +1，故 f（1）=1，f（1）=2，故切线方程是：y1=2（x 1） ，整理得：2xy1=0；（2）g（x）=f（x）（ax1）=lnx ax2+（1 a）x +1，所以 g（x）= ax+（1a）= ，当 a0 时，因为 x0，所以 g（x ）0所以 g（x ）在（0，+）上是递增函数，当 a0 时，g（x）= ，令
26、g（x）=0，得 x= ，所以当 x（0， ）时，g（x）0；当 x（ ， +）时，g（x）0，因此函数 g（ x）在 x（0， ）是增函数，在（ ，+）是减函数综上，当 a0 时，函数 g（x）的递增区间是（0， +） ，无递减区间，无极大值；当 a0 时，函数 g（x ）的递增区间是（0， ） ，递减区间是（ ，+） ；故 g（ x） 极大值 =g（ ）= lna；证明：（3）由 f（x 1）+f （ x2）+x 1x2=0，即 lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x2=0，从而（x 1+x2） 2+（x 1+x2）=x 1x2ln（x 1x2） ，令 t=x1x2，则由 （t）=tlnt，由 x10，x 20，即 x1+x20（t）= ， （t 0） ，可知，（t ）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增所以 （t ）（1）=1，所以（x 1+x2） 2+（x 1+x2）1，解得 x1+x2 或 x1+x2 ，又因为 x10，x 20，因此 x1+x2 成立