1、2016-2017 学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1 （5 分）命题“x 0， ”的否定为 2 （5 分）根据如图所示的伪代码，最后输出的 S 的值为 3 （5 分）如图，四边形 ABCD 是一个 54 的方格纸，向此四边形内抛撒一粒小豆子，则小豆子恰好落在阴影部分内的概率为 4 （5 分）抛物线 y2=4x 上横坐标为 3 的点 P 到焦点 F 的距离为 5 （5 分）将参加环保知识竞赛的学生成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示，则图中 a 的值为 6 （5 分）函数 的图象在 x=1
2、 处的切线方程为 7 （5 分）若双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 m= 8 （5 分） “a=3”是“直线 2x+ay+1=0 和直线（a 1）x+3y2=0 平行”的 条件 （填“充要 ”， “充分不必要”， “必要不充分” ， “既不充分也不必要”）9 （5 分）已知函数 ，若函数 g（x）=f（x）m 有 3 个零点，则 m 的取值范围是 10 （5 分）圆心在 x 轴上且与直线 l：y=2x +1 切于点 P（0，1）的圆 C 的标准方程为 11 （5 分）函数 f（x ）的定义域为 R，且 f（3）=1，f（x ）2 ，则不等式f（x）2x+7 的解集为 12 （5 分）若直线 与
3、圆 x2+y2=1 没有公共点，则此直线倾斜角 的取值范围是 13 （5 分）已知函数 （a0） 若存在 x0，使得 f（x 0）0成立，则 a 的最小值为 14 （5 分）如图，椭圆 的右焦点为 F，过 F 的直线交椭圆于 A，B 两点，点 C 是点 A 关于原点 O 的对称点，若 CFAB 且 CF=AB，则椭圆的离心率为 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15 （14 分）已知命题 p：xR ，x 2+1m；命题 q：方程 表示双曲线（1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围；（2）若命题“p q”
4、为真命题， “pq”为假命题，求实数 m 的取值范围16 （14 分）某学校为了解学生的学习、生活等情况，决定召开一次学生座谈会此学校各年级人数情况如表：年 级性 别高一年级 高二年级 高三年级男 520 y 400女 x 610 600（1）若按年级用分层抽样的方法抽取 n 个人，其中高二年级 22 人，高三年级20 人，再从这 n 个人中随机抽取出 1 人，此人为高三年级的概率为 ，求x、y 的值（2）若按性别用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为 5 的样本，从这 5人中任取 2 人，求至少有 1 人是男生的概率17 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 的左焦点为 F（1，
5、0） ，左顶点为 A，上、下顶点分别为 B，C（1）若直线 BF 经过 AC 中点 M，求椭圆 E 的标准方程；（2）若直线 BF 的斜率为 1，BF 与椭圆的另一交点为 D，求点 D 到椭圆 E 右准线的距离18 （16 分）某公园内直线道路旁有一半径为 10 米的半圆形荒地（圆心 O 在道路上，AB 为直径） ，现要在荒地的基础上改造出一处景观在半圆上取一点C，道路上 B 点的右边取一点 D，使 OC 垂直于 CD，且 OD 的长不超过 20米在扇形区域 AOC 内种植花卉，三角形区域 OCD 内铺设草皮已知种植花卉的费用每平方米为 200 元，铺设草皮的费用每平方米为 100 元（1）设
6、COD=x（单位：弧度） ，将总费用 y 表示为 x 的函数式，并指出 x 的取值范围；（2）当 x 为何值时，总费用最低？并求出最低费用19 （16 分）若圆 C：x 2+y2+Dx+Ey+F=0 的半径为 r，圆心 C 到直线 l：Dx +Ey+F=0的距离为 d，其中 D2+E2=F2，且 F0（1）求 F 的取值范围；（2）求 d2r2 的值；（3）是否存在定圆 M 既与直线 l 相切又与圆 C 相离？若存在，请写出定圆 M的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由20 （16 分）已知函数 f（ x）=lnx a（x1） ，g（x）=e x，其中 e 为自然对数的底数（1）当 a=1
7、时，求函数 y=f（x）的单调区间；（2）求函数 y=f（x）在区间1，e上的值域；（3）若 a0，过原点分别作曲线 y=f（x） 、y=g（x ）的切线 l1、l 2，且两切线的斜率互为倒数，求证： 2016-2017 学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1 （5 分）命题“x 0， ”的否定为 x0， 【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即x0， ，故答案为：x0，2 （5 分）根据如图所示的伪代码，最后输出的 S 的值为 15 【解答】解：分析程序中各变量
8、、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+2+3+4+5 的值；S=1+2+3+4+5=15，故输出的 S 值为 15故答案为：153 （5 分）如图，四边形 ABCD 是一个 54 的方格纸，向此四边形内抛撒一粒小豆子，则小豆子恰好落在阴影部分内的概率为 【解答】解：由四边形 ABCD 是一个 54 的方格纸，知基本事件总数 n=54=20 个小方格，小豆子恰好落在阴影部分内包含怕小方格的个数 m=4，小豆子恰好落在阴影部分内的概率 p= 故答案为： 4 （5 分）抛物线 y2=4x 上横坐标为 3 的点 P 到焦点 F 的距离为 4 【解答】解：物
9、线 y2=4x 上横坐标为 3 的点 P 到焦点 F 的距离为，就是这点到抛物线的准线的距离抛物线的准线方程为：x= 1，所以抛物线 y2=4x 上横坐标为 3 的点 P 到焦点 F 的距离为=3（1）=4故答案为：45 （5 分）将参加环保知识竞赛的学生成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示，则图中 a 的值为 0.028 【解答】解：根据频率和为 1，得（0.006 +0.01+a+0.034+0.022）10=1 ，解得 a=0.028故答案为：0.0286 （5 分）函数 的图象在 x=1 处的切线方程为 y=x +1 【解答】解：f（x ）=2x ，f（1）=2，f（1）=1，故切线
10、方程是：y2=x1，即：y=x+1，故答案为：y=x +17 （5 分）若双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 m= 【解答】解：双曲线 的渐近线方程为 y= ，由一条渐近线方程为 ，可得 m= ，故答案为： 8 （5 分） “a=3”是“直线 2x+ay+1=0 和直线（a 1）x+3y2=0 平行”的 充分不必要 条件 （填“充要 ”， “充分不必要”， “必要不充分” ， “既不充分也不必要”）【解答】解：a=3 时，2x+3y+1=0 和 2x+3y2=0 平行，是充分条件，若直线 2x+ay+1=0 和直线（a1）x+3y 2=0 平行，则 = ，解得：a=3 或 a=2，不是必要条件，
11、故答案为：充分不必要9 （5 分）已知函数 ，若函数 g（x）=f（x）m 有 3 个零点，则 m 的取值范围是 （ ，0） 【解答】解：函数 g（x）=f （x）m 有 3 个零点，即为 f（ x）=m 有 3 个不同实数根当 x0 时，f（x）=2x 0；当 x0 时，f（x）=xe x，导数 f（x ）=（1+x ）e x，当1 x0 时，f（x ）0，f（x）递增；当 x1 时，f（x ）0，f（x）递减可得 f（ x）在 x0 时由最小值，且为 画出 f（ x）的图象，可得当 m0，函数 f（x）和直线 y=m 有 3 个交点，函数 g（x ）=f（x）m 有 3 个零点故答案为：（
12、 ，0） 10 （5 分）圆心在 x 轴上且与直线 l：y=2x +1 切于点 P（0，1）的圆 C 的标准方程为 （x2） 2+y2=5 【解答】解：设圆的标准方程为（xa） 2+（yb ） 2=r2，圆心在 x 轴上，b=0， （1）与直线 l：y=2x+1 切于点 P（0 ，1） ， = ， （2） ，由（1） 、 （2） ，得 a=2，b=0，又P 点在圆上，代入圆的方程得 r2=5，所求圆的标准方程为（x2） 2+y2=5故答案为（x2） 2+y2=511 （5 分）函数 f（x ）的定义域为 R，且 f（3）=1，f（x ）2 ，则不等式f（x）2x+7 的解集为 （， 3） 【解
13、答】解：设 F（x）=f（x ） （2x +7）=f（x ） 2x7，则 F（ x）=f（x）2，f（x）2，F （ x）=f（ x）20 ，F（x）=f（x）2x7 在 R 上递增，f（ 3）=1，F（3）=f（3）2（3）7=0，f（ x）2x+7，F（x）=f（x）2x70，x3，故答案为：（，3） 12 （5 分）若直线 与圆 x2+y2=1 没有公共点，则此直线倾斜角 的取值范围是 0， ）（ ，） 【解答】解：直线 与圆 x2+y2=1 没有公共点， 1，k（1，1） ，0， ）（ ， ） 故答案为：0， ）（ ，） 13 （5 分）已知函数 （a0） 若存在 x0，使得 f（x
14、0）0成立，则 a 的最小值为 16 【解答】解：若存在 x0，使得 f（x 0）0 成立，即存在 x0（ 0， ，使得 0 时成立，即存在 x0（ 0， ，使得3x 4+ax3a20 成立，则函数 g（x ）=3x 4+ax3a2（a0）的 x（0， 最大值大于等于 0，g（x）=12x 3+3ax2当 x（0， ）时，g （x）0当 x（ ， 时，g（x）0当 x= 时，函数 f（x）取最大值 a4，故 a40，解得：a16，故答案为：1614 （5 分）如图，椭圆 的右焦点为 F，过 F 的直线交椭圆于 A，B 两点，点 C 是点 A 关于原点 O 的对称点，若 CFAB 且 CF=AB
15、，则椭圆的离心率为 【解答】解：作另一焦点 F，连接 AF和 BF和 CF，则四边形 FAFC为平行四边形，AF=CF=AB，且 AFAB，则三角形 ABF为等腰直角三角形，设 AF=AB=x，则 ，即 ， ，在三角形 AFF中由勾股定理得（ AF） 2+（AF） 2=（2c） 2， 则 e= 故答案为： 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15 （14 分）已知命题 p：xR ，x 2+1m；命题 q：方程 表示双曲线（1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围；（2）若命题“p q” 为真命题， “pq”为
16、假命题，求实数 m 的取值范围【解答】解：（1）对于任意 xR，x 2+11，若命题 p 为真命题，则（x 2+1） minm，所以 m1；（5 分）（2）若命题 q 为真命题，则（m 2） （m+2）0，所以2m2，（8 分）因为命题“p q”为真命题， “pq”为假命题，则 p，q 至少有一个假命题，所以 p，q 一个为真命题，一个为假命题（10分）当命题 p 为真命题，命题 q 为假命题时， ，则 m 2，当命题 p 为假命题，命题 q 为真命题时， ，则 1m 2 ，综上，m2 或 1m2 （14 分）16 （14 分）某学校为了解学生的学习、生活等情况，决定召开一次学生座谈会此学校各
17、年级人数情况如表：年 级性 别高一年级 高二年级 高三年级男 520 y 400女 x 610 600（1）若按年级用分层抽样的方法抽取 n 个人，其中高二年级 22 人，高三年级20 人，再从这 n 个人中随机抽取出 1 人，此人为高三年级的概率为 ，求x、y 的值（2）若按性别用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为 5 的样本，从这 5人中任取 2 人，求至少有 1 人是男生的概率【解答】解：（1）依题意得： ，解得 n=66（2 分）所以高一年级被抽取的人数为 662220=24所以 ，解得 x=680，y=490（6 分）（2）若用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为 5 的样本，
18、设抽取男生的人数为 m，则 ，解得 m=2，所以应抽取男生 2 人，女生 3 人，分别记作 A1、A 2；B 1、B 2、B 3（8 分）记“从中任取 2 人，至少有 1 人是男生”为事件 A从中任取 2 人的所有基本事件共 10 个：（A 1，A 2） ， （A 1，B 1） ， （A 1，B 2） ，（A 1，B 3） ，（A 2，B 1） ， （A 2，B 2） ， （A 2，B 3） ， （B 1，B 2） ， （B 1，B 3） ， （B 2，B 3） 其中至少有 1 人为男生的基本事件有 7 个：（A 1，A 2） ， （A 1，B 1） ， （A 1，B 2） ， （A 1，B
19、3） ， （A 2，B 1） ， （A 2，B 2） ， （A 2，B 3） 所以从中从中任取 2 人，至少有 1 人是男生的概率为 （13 分）至少有 1 人是男生的概率 （14 分）17 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 的左焦点为 F（1，0） ，左顶点为 A，上、下顶点分别为 B，C（1）若直线 BF 经过 AC 中点 M，求椭圆 E 的标准方程；（2）若直线 BF 的斜率为 1，BF 与椭圆的另一交点为 D，求点 D 到椭圆 E 右准线的距离【解答】解：（1）由题意，A（ a，0） ，B（0，b） ，C（0，b） ，又 F（1，0） ，c=1，直线 BF：y=bx+bM
20、 为 AC 的中点， ，代入直线 BF：y=bx +b，得 a=3，由 a2=b2+c2=b2+1，得 b2=8，椭圆 E 的标准方程是 ；（2）直线 BF 的斜率为 1，则 ，椭圆 ，又直线 BF：y=x +1，联立 ，解得 x=0（舍） ，或 ，右准线的方程为 x=2，点 D 到右准线的距离为 18 （16 分）某公园内直线道路旁有一半径为 10 米的半圆形荒地（圆心 O 在道路上，AB 为直径） ，现要在荒地的基础上改造出一处景观在半圆上取一点C，道路上 B 点的右边取一点 D，使 OC 垂直于 CD，且 OD 的长不超过 20米在扇形区域 AOC 内种植花卉，三角形区域 OCD 内铺设
21、草皮已知种植花卉的费用每平方米为 200 元，铺设草皮的费用每平方米为 100 元（1）设COD=x（单位：弧度） ，将总费用 y 表示为 x 的函数式，并指出 x 的取值范围；（2）当 x 为何值时，总费用最低？并求出最低费用【解答】解：（1）因为扇形 AOC 的半径为 10 m，AOC=x（rad） ，所以扇形 AOC 的面积为， ；（3 分）在 RtCOD 中，OC=10，CD=10tanx ，所以COD 的面积为SCOD = OCCD=50tanx；（5 分）所以 y=100SCOD +200S 扇形 AOC=5000（tanx +22x） ， ；（8 分）（注：没有 x 的范围，扣
22、1 分）（2）设 ，则 ，令 f（x）=0，解得 ，（11 分）从而当 时，f（x ）0；当 ，f（x ）0；因此 f（ x）在区间 上单调递减；在区间 上单调递增；当 时，f（x）取得最小值，且 ；（14 分）所以 y 的最小值为（5000+7500）元； （15 分）答：当 时，改造景观的费用最低，最低费用为（5000+7500）元 （16 分）19 （16 分）若圆 C：x 2+y2+Dx+Ey+F=0 的半径为 r，圆心 C 到直线 l：Dx +Ey+F=0的距离为 d，其中 D2+E2=F2，且 F0（1）求 F 的取值范围；（2）求 d2r2 的值；（3）是否存在定圆 M 既与直线
23、 l 相切又与圆 C 相离？若存在，请写出定圆 M的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆，则 D2+E24F，又 D2+E2=F2，且 F0 ，所以中 F24F，且 F0，解得 F4； （3 分）（2）圆 C：x 2+y2+Dx+Ey+F=0 的圆心为 C（ ， ） ，半径 r= = ，圆心 C 到直线 l 的距离为d= =| |，所以 d2r2= =1； （8 分）（3）存在定圆 M：x 2+y2=1 满足题意，下证之：（10 分）1因为 M（0，0）到直线 l 的距离为 =1=R，所以圆 M 与直线 l 相切；2因为 CM=
24、= ，且 R+1= +1，而 +1，即 ，即 40，故 CMR+1，所以圆 M 与圆 C 相离；由 1、 2得，存在定圆 M：x 2+y2=1 满足题意 （16 分）20 （16 分）已知函数 f（ x）=lnx a（x1） ，g（x）=e x，其中 e 为自然对数的底数（1）当 a=1 时，求函数 y=f（x）的单调区间；（2）求函数 y=f（x）在区间1，e上的值域；（3）若 a0，过原点分别作曲线 y=f（x） 、y=g（x ）的切线 l1、l 2，且两切线的斜率互为倒数，求证： 【解答】解：（1）当 a=1 时，f （x）=lnx x+1，定义域为（0，+） ，令 f（x）0，得增区间
25、为（0，1） ；令 f（x ）0，得减区间为（1，+） （2 分）（2） 当 时，f（x ）0 ，f（x）在1，e上为增函数，故 f（1）f（x ）f（ e） ，从而 f（ x）的值域为0， 1+aae；当 a1 时，f（x）0，f（x）在1 ，e 上为减函数，故 f（e）f （x）f（ 1） ，从而 f（ x）的值域为1+a ae，0；当 时， 时 f（x ）0，f（x）递增； 时 f（x）0，f（x ）递减故 f（x）的最大值为 ；最小值为 f（1）与 f（e ）中更小的一个，当 时 f（e）f（1） ，最小值为 f（1）=0；当 时，f（e）f（1） ，最小值为 f（e）=1+aae综上
26、所述，当 时，值域为0，1+aae ；当 时，值域为0，lna1+a；当 时，值域为1+aae ，lna1+a；当 a1 时，值域为1+aae ，0 （8 分）（3）设切线 l2 对应切点为 ，切线方程为 ，将（0，0）代入，解得 x0=1， ，从而 设 l1 与曲线 y=f（x）的切点为（ x1，lnx 1a（x 11） ） ， ，得切线 l1 方程为 ，将（ 0，0）代入，得将代入，得 令 ，则 ，m（x）在区间（ 0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增若 x1（0，1） ，由 ， ，则 而 在 上单调递减，故 ；若 x1（1，+ ） ，因 m（x ）在区间（1，+）上单调增，且 m（e）=0，所以 ，与题设 a0 矛盾，故不可能综上所述， （16 分）