1、2016-2017 学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1 （5 分）命题“x R，x 29”的否定是 2 （5 分）抛物线 y2=2x 的焦点坐标为 3 （5 分）过点 P（0，1） ，且与直线 2x+3y4=0 垂直的直线方程为 4 （5 分）直线 3x4y12=0 与两条坐标轴分别交于点 A，B，O 为坐标原点，则ABO 的面积等于 5 （5 分）函数 y=x32x2+x 的单调递减区间为 6 （5 分） “m=1”是“ 直线 l1：mx2y 1=0 和直线 l2：x（m 1）y+2=0 相互平行”的 条件 （用“充分不
2、必要 ”， “必要不充分条件”， “充要 ”， “既不充分也不必要”填空）7 （5 分）函数 y=x2xlnx 在区间1，3上的最小值等于 8 （5 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，则下列结论：AD平面 PBC；平面 PAC平面 PBD；平面 PAB平面 PAC；平面 PAD平面 PDC其中正确的结论序号是 9 （5 分）已知圆 C：x 2+y24x2y+1=0 上存在两个不同的点关于直线 x+ay1=0 对称，过点 A（4，a）作圆 C 的切线，切点为 B，则|AB|= 10 （5 分）已知圆柱甲的底面半径 R 等于圆锥乙的底面直径，若圆柱甲的
3、高为R，圆锥乙的侧面积为 ，则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为 11 （5 分）已知函数 在区间（m，m+2）上单调递减，则实数 m 的取值范围为 12 （5 分）在平面直角坐标系 xoy 中，已知直线 l：ax+y+2=0 和点 A（3，0） ，若直线 l 上存在点 M 满足 MA=2MO，则实数 a 的取值范围为 13 （5 分）在平面直角坐标系 xoy 中，直线 y=2x+b 是曲线 y=2alnx 的切线，则当 a0 时，实数 b 的最小值是 14 （5 分）已知 F 是椭圆 的左焦点，A，B 为椭圆 C 的左、右顶点，点 P 在椭圆 C 上，且 PFx 轴，过点 A 的直线与线段 PF 交
4、与点M，与 y 轴交与点 E，直线 BM 与 y 轴交于点 N，若 NE=2ON，则椭圆 C 的离心率为 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15 （14 分）已知圆 M 的圆心在直线 y=x 上，且经过点 A（3，0） ，B（1 ，2） （1）求圆 M 的方程；（2）直线 l 与圆 M 相切，且 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上截距的两倍，求直线l 的方程16 （14 分）如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 为矩形，平面 CDD1C1平面 ABCD，E，F 分别是 CD，AB 的中点，求证：（1）ADCD；（2）E
5、F平面 ADD1A117 （14 分）从旅游景点 A 到 B 有一条 100km 的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时 3240 元，游轮最大时速为 50km/h，当游轮的速度为 10km/h 时，燃料费用为每小时 60 元，设游轮的航速为 vkm/h，游轮从 A 到 B 一个单程航行的总费用为 S 元（1）将游轮从 A 到 B 一个单程航行的总费用 S 表示为游轮的航速 v 的函数S=f（v） ；（2）该游轮从 A 到 B 一个单程航行的总费用最少时，游轮的航速为多少，并求出最小总费用18 （16 分）已知椭圆 C： + =1
6、（ab0）上的左、右顶点分别为A，B ，F 1 为左焦点，且|AF 1|=2，又椭圆 C 过点 （）求椭圆 C 的方程；（）点 P 和 Q 分别在椭圆 C 和圆 x2+y2=16 上（点 A，B 除外） ，设直线PB， QB 的斜率分别为 k1， k2，若 k1= ，证明：A，P，Q 三点共线19 （16 分）已知函数 f（ x）=a（x 1）lnx （a 为实数） ，g（x）=x1，h（x）=（1）当 a=1 时，求函数 f（x）=a（x 1）lnx 在点（1，f（1） ）处的切线方程；（2）讨论函数 f（x）的单调性；（3）若 h（x）=f（x） ，求实数 a 的值20 （16 分）在平面
7、直角坐标系 xOy 中，圆 O：x 2+y2=1，P 为直线l：x=t （1t 2 ）上一点（1）已知 t= 若点 P 在第一象限，且 OP= ，求过点 P 的圆 O 的切线方程；若存在过点 P 的直线交圆 O 于点 A，B，且 B 恰为线段 AP 的中点，求点 P 纵坐标的取值范围；（2）设直线 l 与 x 轴交于点 M，线段 OM 的中点为 Q，R 为圆 O 上一点，且RM=1，直线 RM 与圆 O 交于另一点 N，求线段 NQ 长的最小值第二卷（附加题.每题 10 分。 ）21求曲线 f（x ）= 在 x=2 处的切线与 x 轴交点 A 的坐标22已知点 P 是圆 x2+y2=1 上的一
8、个动点，定点 M（1，2） ，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且 ，求点 Q 的轨迹方程23如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ADAB，AB DC，AD=DC=AP=2 ，AB=1 ，点 E 为棱 PC 的中点（）证明：BEDC；（）求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；（）若 F 为棱 PC 上一点，满足 BFAC，求二面角 FABP 的余弦值24如图，已知抛物线 y2=4x，过点 P（2，0）作斜率分别为 k1，k 2 的两条直线，与抛物线相交于点 A、B 和 C、D ，且 M、N 分别是 AB、CD 的中点（1）若 k1+k2=0， ，求线段 MN 的长；（2）
9、若 k1k2=1，求PMN 面积的最小值2016-2017 学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1 （5 分）命题“x R，x 29”的否定是 x R，x 29 【解答】解：命题“ xR，x 29”的否定是命题“x R，x 29” ，故答案为：xR ，x 292 （5 分）抛物线 y2=2x 的焦点坐标为 【解答】解：抛物线 y2=2x 的焦点在 x 轴的正半轴上，且 p=1， = ，故焦点坐标为（ ，0） ，故答案为：（ ，0） 3 （5 分）过点 P（0，1） ，且与直线 2x+3y4=0 垂直的直线方程
10、为 3x2y+2=0 【解答】解：直线 2x+3y4=0 的斜率 k= ，与直线 2x+3y4=0 垂直的直线的斜率为 则点 P（0 ，1） ，且与直线 2x+3y4=0 垂直的直线方程为 y1= （x0） ，整理得：3x2y+2=0故答案为：3x2y+2=04 （5 分）直线 3x4y12=0 与两条坐标轴分别交于点 A，B，O 为坐标原点，则ABO 的面积等于 6 【解答】解：直线 3x4y12=0 与两条坐标轴分别交于点 A（4，0） ，B（0， 3） ，S ABO = =6故答案为：65 （5 分）函数 y=x32x2+x 的单调递减区间为 （ ，1） 【解答】解：y=3x 24x+1
11、=（3x1） （x1） ，令 y0 ，解得： x 1，故函数在（ ，1）递减，故答案为：（ ，1） 6 （5 分） “m=1”是“ 直线 l1：mx2y 1=0 和直线 l2：x（m 1）y+2=0 相互平行”的 充分不必要 条件 （用“充分不必要” ， “必要不充分条件” ， “充要”， “既不充分也不必要”填空）【解答】解：若直线 l1： mx2y1=0 和直线 l2：x（ m1）y+2=0 相互平行，则 m（m 1）=2，解得：m=2 或 m=1，故 m=1 是直线平行的充分不必要条件，故答案为：充分不必要7 （5 分）函数 y=x2xlnx 在区间1，3上的最小值等于 0 【解答】解：
12、y=2x1 = ，由 x1，3，故 y0 在1 ，3 恒成立，故函数在1，3递增，x=1 时，函数取最小值，函数的最小值是 0，故答案为：08 （5 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，则下列结论：AD平面 PBC；平面 PAC平面 PBD；平面 PAB平面 PAC；平面 PAD平面 PDC其中正确的结论序号是 【解答】解：由底面为正方形，可得 ADBC，AD平面 PBC，BC 平面 PBC，可得 AD平面 PBC；在正方形 ABCD 中，ACBD，PA底面 ABCD，可得 PABD，PAAC=A，可得 BD平面 PAC，BD平面 PBD，即有平面
13、PAC平面 PBD；PA 底面 ABCD，可得 PAAB ，PA AC ，可得BAC 为二面角 BPAC 的平面角，显然BAC=45 ，故平面 PAB平面 PAC 不成立；在正方形 ABCD 中，可得 CDAD ，PA底面 ABCD，可得 PACD，PAAD=A，可得 CD平面 PAD，CD平面 PCD，即有平面 PAD平面 PDC综上可得，正确故答案为：9 （5 分）已知圆 C：x 2+y24x2y+1=0 上存在两个不同的点关于直线 x+ay1=0 对称，过点 A（4，a）作圆 C 的切线，切点为 B，则|AB|= 6 【解答】解：圆 C：x 2+y24x2y+1=0，即（x2） 2+（y
14、1） 2 =4，表示以 C（2， 1）为圆心、半径等于 2 的圆由题意可得，直线 l：x+ay 1=0 经过圆 C 的圆心（ 2，1） ，故有 2+a1=0，a=1，点 A（ 4，1） AC= =2 ，CB=R=2，切线的长|AB|= =6故答案为 610 （5 分）已知圆柱甲的底面半径 R 等于圆锥乙的底面直径，若圆柱甲的高为R，圆锥乙的侧面积为 ，则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为 24 【解答】解：圆柱甲的底面半径 R 等于圆锥乙的底面直径，圆柱甲的高为 R，圆锥乙的侧面积为 ， ，解得 l= ，圆锥乙的高 h= = ，圆柱甲和圆锥乙的体积之比为：= =24故答案为：2411 （5 分）已知函
15、数 在区间（m，m+2）上单调递减，则实数 m 的取值范围为 1，1 【解答】解：f（x ）= ，令 f（x）0，解得：1x 3，故 f（x）在（1，3）递减，故（m，m +2） （1，3） ，故 ，解得：1m1 ，故答案为：1，112 （5 分）在平面直角坐标系 xoy 中，已知直线 l：ax+y+2=0 和点 A（3，0） ，若直线 l 上存在点 M 满足 MA=2MO，则实数 a 的取值范围为 a0，或 a 【解答】解：取 M（x，2 ax） ，直线 l 上存在点 M 满足 MA=2MO， =2 ，化为：（a 2+1）x 2+（4a2）x +1=0，此方程有实数根，= （ 4a2） 24
16、（a 2+1）0，化为 3a24a 0，解得 a0，或 a 故答案为：a0，或 a 13 （5 分）在平面直角坐标系 xoy 中，直线 y=2x+b 是曲线 y=2alnx 的切线，则当 a0 时，实数 b 的最小值是 2 【解答】解：y=2alnx 的导数为 y= ，由于直线 y=2x+b 是曲线 y=2alnx 的切线，则设切点为（m，n） ，则 2= ，n=2m +b，n=2alnm，即有 b=2alna2a（a0） ，b=2（lna+1）2=2lna，当 a1 时，b 0，函数 b 递增，当 0a1 时，b 0，函数 b 递减，即有 a=1 为极小值点，也为最小值点，且最小值为：2ln
17、1 2=2故答案为：214 （5 分）已知 F 是椭圆 的左焦点，A，B 为椭圆 C 的左、右顶点，点 P 在椭圆 C 上，且 PFx 轴，过点 A 的直线与线段 PF 交与点M，与 y 轴交与点 E，直线 BM 与 y 轴交于点 N，若 NE=2ON，则椭圆 C 的离心率为 【解答】解：由题意可设 F（c，0） ，A（ a，0） ，B （a ，0） ，令 x=c，代入椭圆方程可得 y=b = ，可得 P（c ， ） ，设直线 AE 的方程为 y=k（x+a ） ，令 x=c，可得 M（ c，k（ac） ） ，令 x=0，可得 E（0，ka） ，直线 BM 与 y 轴交于点 N，NE=2ON
18、，N（0， ） ，由 B，N，M 三点共线，可得 kBN=kBM，即为 = ，化简可得 = ，即为 a=2c，可得 e= = 故答案为： 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15 （14 分）已知圆 M 的圆心在直线 y=x 上，且经过点 A（3，0） ，B（1 ，2） （1）求圆 M 的方程；（2）直线 l 与圆 M 相切，且 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上截距的两倍，求直线l 的方程【解答】解：（1）设圆心坐标为（a，a） ，则（a+3） 2+a=（a 1） 2+（a2） 2，解得 a=1，r= ，圆 M 的方程为（ x+1） 2+
19、（y1） 2=5，（2）由题意，直线 l 不过原点，设方程为 =1，即 2x+y2a=0，直线 l 与圆 M 相切， = ，a=2 或3，直线 l 的方程为 2x+y4=0 或 2x+y+6=016 （14 分）如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 为矩形，平面 CDD1C1平面 ABCD，E，F 分别是 CD，AB 的中点，求证：（1）ADCD；（2）EF平面 ADD1A1【解答】证明：（1）由底面 ABCD 为矩形可得 ADCD又平面 C1D1DC平面 ABCD，平面 C1D1DC平面 ABCD 平面=CD ，AD平面 C1D1DC 又CD 1面 C1D1DC，ADCD
20、 1 （2）设 DD1 中点为 G，连结 EG，AG E ，G 分别为 CD1，DD 1 的中点，EGCD，EG= CD在矩形 ABCD 中，F 是 AB 的中点，AF= CD 且 AFCD ，EGAF，且 EG=AF四边形 AFEG 是平行四边形，EF AG又AG平面 ADD1A1，EF平面 ADD1A1，EF 平面 ADD1A117 （14 分）从旅游景点 A 到 B 有一条 100km 的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时 3240 元，游轮最大时速为 50km/h，当游轮的速度为 10km/h 时，燃料费用为每小时 60
21、 元，设游轮的航速为 vkm/h，游轮从 A 到 B 一个单程航行的总费用为 S 元（1）将游轮从 A 到 B 一个单程航行的总费用 S 表示为游轮的航速 v 的函数S=f（v） ；（2）该游轮从 A 到 B 一个单程航行的总费用最少时，游轮的航速为多少，并求出最小总费用【解答】解：（1）设游轮以每小时 vkm/h 的速度航行，游轮单程航行的总费用为 f（ v）元，游轮的燃料费用每小时 kv3 元，依题意 k103=60，则 k=0.06，S=f（v）= +3240 =6v2+ （0v 50） ；（2）f（v ）= ，f（v） =0 得，v=30，当 0v30 时，f（v ）0，此时 f（v）
22、单调递减；当 30v50 时，f（v）0，此时 f（v）单调递增；故当 v=30 时， f（v）有极小值，也是最小值，f （30）=16200，所以，轮船公司要获得最大利润，游轮的航速应为 30km/h18 （16 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）上的左、右顶点分别为A，B ，F 1 为左焦点，且|AF 1|=2，又椭圆 C 过点 （）求椭圆 C 的方程；（）点 P 和 Q 分别在椭圆 C 和圆 x2+y2=16 上（点 A，B 除外） ，设直线PB， QB 的斜率分别为 k1， k2，若 k1= ，证明：A，P，Q 三点共线【解答】解：（）由已知可得 ac=2， ，又 b2=a2c2=
23、12，解得 a=4故所求椭圆 C 的方程为 =1（）由（）知 A（4，0） ，B（4，0） 设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ， P（x 1，y 1）在椭圆 C 上， ，即 又 ，k PAk2=1由已知点 Q（ x2，y 2）在圆 x2+y2=16 上，AB 为圆的直径，QA QBk QAk2=1由可得 kPA=kQA直线 PA， QA 有共同点 A，A，P ，Q 三点共线19 （16 分）已知函数 f（ x）=a（x 1）lnx （a 为实数） ，g（x）=x1，h（x）=（1）当 a=1 时，求函数 f（x）=a（x 1）lnx 在点（1，f（1） ）处的切线方程；（2）讨
24、论函数 f（x）的单调性；（3）若 h（x）=f（x） ，求实数 a 的值【解答】解：（1）当 a=1 时，f （x）=x 1lnx，f（1）=0，f（x）=1 ，f（1 ）=0 ，函数 f（x ）=a（x1）lnx 在点（1，f（1 ） ）处的切线方程为 y=0；（2）f（x）=a （x0） ，a 0，f （x ）0，函数在（0，+）上单调递减；a 0，由 f（x）0，解得 x ，函数的单调递增区间是（ ，+） ，f（x ）0，0x ，函数的单调递减区间是（0， ） ；（3）令 G（x）=f（x）g（x）= （a 1） （x 1）lnx，定义域（ 0，+） ，G （1）=0h（x）=f（x）
25、 ，x 0 ，G （x）0 成立；a 1，G （x）=a1 0，G（x ）在（0，+）单调递减，G（2）G（1）=0，此时题设不成立；a 1 时，G（x）在（0， ）上单调递减， （ ）上单调递增，G（x） min=2a+ln（a1） ，2 a+ln（a1）0 恒成立，令 t=a1，t0，则 1t+lnt0 恒成立，令 H（ t）=1t+lnt（t0） ，则 H（1）=0，H（t）= ，H （t ）在（0，1）上单调递增， （1，+）上单调递减，H （t ） max=H（1）=0，H （t ）0（t=1 时取等号） ，t0 时， 1t+lnt=0 的解为 t=1，即 a=220 （16 分）在
26、平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x 2+y2=1，P 为直线l：x=t （1t 2 ）上一点（1）已知 t= 若点 P 在第一象限，且 OP= ，求过点 P 的圆 O 的切线方程；若存在过点 P 的直线交圆 O 于点 A，B，且 B 恰为线段 AP 的中点，求点 P 纵坐标的取值范围；（2）设直线 l 与 x 轴交于点 M，线段 OM 的中点为 Q，R 为圆 O 上一点，且RM=1，直线 RM 与圆 O 交于另一点 N，求线段 NQ 长的最小值【解答】解：（1）设点 P 的坐标为（ ，y 0） ，因为 OP= ，所以（ ）2+y02=（ ） 2，解得 y0=1又点 P 在第一象限，所以 y
27、0=1，即点 P 的坐标为（ ，1） ，易知过点 P 的圆 O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为 k，则切线为 y1=k（x ） ，即 kxy+1 k=0，于是有 =1，解得 k=0 或k= 因此过点 P 的圆 O 的切线方程为：y=1 或 24x7y25=0设 A（x，y） ，则 B（ ， ） ，因为点 A、B 均在圆 O 上，所以有，即 该方程组有解，即圆 x2+y2=1 与圆（x + ） 2+（y +y0） 2=4 有公共点于是 1 3，解得 y 0 ，即点 P 纵坐标的取值范围是， （2）设 R（x 2，y 2） ，则 ，解得 x2= ， =1 直线 RM 的方程为： （x t） 由
28、 可得 N 点横坐标为 ，所以 NQ= = ，所以当 t2= ，即 t=时，NQ 最小为 第二卷（附加题.每题 10 分。 ）21求曲线 f（x ）= 在 x=2 处的切线与 x 轴交点 A 的坐标【解答】解：f（x）= 的导数为 f（x ）= = ，可得曲线 f（x）= 在 x=2 处的切线斜率为 f（2）= ，切点为（2， ） ，则曲线 f（x ）= 在 x=2 处的切线方程为 y = （x2） ，可令 y=0，则 x= 即有切线与 x 轴交点 A 的坐标为（ ，0） 22已知点 P 是圆 x2+y2=1 上的一个动点，定点 M（1，2） ，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且 ，求点 Q
29、 的轨迹方程【解答】解：设 P 的坐标为（x ，y） ，Q （a，b ） ，则 ，定点 M（1，2） ，x=2a3，y=2b+6Q 是圆 x2+y2=1 上的动点x 2+y2=1（2a 3） 2+（ 2b+6） 2=1即动点 Q 的轨迹方程是（x + ） 2+（y 3） 2= 23如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ADAB，AB DC，AD=DC=AP=2 ，AB=1 ，点 E 为棱 PC 的中点（）证明：BEDC；（）求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；（）若 F 为棱 PC 上一点，满足 BFAC，求二面角 FABP 的余弦值【解答】证明：（I）PA底面 ABCD
30、，ADAB，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，AD=DC=AP=2，AB=1，点 E 为棱 PC 的中点B（1，0，0） ，C （2，2 ，0） ，D（0，2，0） ，P （0，0，2） ，E（1，1，1） =（ 0，1，1） ， =（2，0，0） =0，BE DC；（） =（1，2，0） ， =（1，0，2） ，设平面 PBD 的法向量 =（x，y ，z） ，由 ，得 ，令 y=1，则 =（2，1 ，1） ，则直线 BE 与平面 PBD 所成角 满足：sin= = = ，故直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 （） =（1，2，0） ， =（ 2，2，2） ， =（2
31、，2，0） ，由 F 点在棱 PC 上，设 = =（ 2， 2，2 ） （01） ，故 = + =（12 ，22，2） （0 1） ，由 BFAC，得 =2（12）+2（2 2）=0，解得 = ，即 =（ ， ， ） ，设平面 FBA 的法向量为 =（a，b ，c ） ，由 ，得令 c=1，则 =（0，3，1） ，取平面 ABP 的法向量 =（0，1，0） ，则二面角 FABP 的平面角 满足：cos= = = ，故二面角 FABP 的余弦值为：24如图，已知抛物线 y2=4x，过点 P（2，0）作斜率分别为 k1，k 2 的两条直线，与抛物线相交于点 A、B 和 C、D ，且 M、N 分别是
32、 AB、CD 的中点（1）若 k1+k2=0， ，求线段 MN 的长；（2）若 k1k2=1，求PMN 面积的最小值【解答】解：（1）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，不妨设 y10，则设直线 AB 的方程为 y=k1（x 2） ，代入 y2=4x，可得 y2 y8=0y 1+y2= ， y1y2=8， ，y 1=2y2，y 1=4，y 2=2，y M=1，k 1+k2=0，线段 AB 和 CD 关于 x 轴对称，线段 MN 的长为 2；（2）k 1k2=1，两直线互相垂直，设 AB：x=my+2，则 CD：x= y+2，x=my+2 代入 y2=4x，得 y24my8=0，则 y1+y2=4m，y 1y2=8，M（ 2m2+2，2m） 同理 N（ +2， ） ，|PM|=2 |m| ，|PN|= ，|S PMN = |PM|PN|= （m 2+1）=2（|m|+ ）4，当且仅当 m=1 时取等号，PMN 面积的最小值为 4