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2016-2017学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

1、2016-2017 学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1 (5 分)命题“若 a=b,则 |a|=|b|”的逆否命题是 2 (5 分)双曲线 =1 的渐近线方程是 3 (5 分)已知复数 为纯虚数,其中 i 是虚数单位,则实数 a 的值是 4 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点(4,3 )到直线 3x4y+a=0 的距离为1,则实数 a 的值是 5 (5 分)曲线 y=x4 与直线 y=4x+b 相切,则实数 b 的值是 6 (5 分)已知实数 x,y 满足条件 则 z=2x+y 的

2、最大值是 7 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C:y 2=4x 的焦点为 F,P 为抛物线C 上一点,且 PF=5,则点 P 的横坐标是 8 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O:x 2+y2=r2(r 0)与圆 M:(x3)2+(y+4) 2=4 相交,则 r 的取值范围是 9 (5 分)观察下列等式:(sin ) 2+(sin ) 2= 12;(sin ) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+sin( ) 2= 23;(sin ) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+sin( ) 2= 34;(sin ) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+sin(

3、) 2= 45;照此规律,(sin ) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+(sin ) 2= 10 (5 分)若“x R,x 2+ax+a=0”是真命题,则实数 a 的取值范围是 11 (5 分)已知函数 f( x)=(x 2+x+m)e x(其中 mR,e 为自然对数的底数)若在 x=3 处函数 f (x)有极大值,则函数 f ( x)的极小值是 12 (5 分)有下列命题:“m 0”是“ 方程 x2+my2=1 表示椭圆”的充要条件;“a=1”是“直线 l1:ax+y1=0 与直线 l2:x+ay 2=0 平行 ”的充分不必要条件;“函数 f (x)=x 3+mx 单调递增”是“m

4、0” 的充要条件;已知 p,q 是两个不等价命题,则“p 或 q 是真命题”是“p 且 q 是真命题”的必要不充分条件其中所有真命题的序号是 13 (5 分)已知椭圆 E: + =1(ab0)的焦距为 2c(c0) ,左焦点为F,点 M 的坐标为(2c,0) 若椭圆 E 上存在点 P,使得 PM= PF,则椭圆 E离心率的取值范围是 14 (5 分)已知 t0,函数 f(x)= ,若函数 g(x)=f(f( x)1 )恰有 6 个不同的零点,则实数 t 的取值范围是 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 (14 分

5、)在平面直角坐标系 xOy 中,已知ABC 三个顶点坐标为 A(7,8) ,B(10,4 ) , C(2,4) (1)求 BC 边上的中线所在直线的方程;(2)求 BC 边上的高所在直线的方程16 (14 分)已知数列a n满足 a1=1, (a n3)a n+1an+4=0(n N*) (1)求 a2, a3,a 4;(2)猜想a n的通项公式,并用数学归纳法证明17 (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 M 的圆心在直线 y=2x 上,且圆 M 与直线 x+y1=0 相切于点 P(2, 1) (1)求圆 M 的方程;(2)过坐标原点 O 的直线 l 被圆 M 截得的弦长为 ,求

6、直线 l 的方程18 (16 分)某休闲广场中央有一个半径为 1(百米)的圆形花坛,现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道,围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形 ABCF和梯形 DEFC)构成的六边形 ABCDEF 区域,其中 A、B、C、D、E、F 都在圆周上,CF 为圆的直径(如图) 设AOF=,其中 O 为圆心(1)把六边形 ABCDEF 的面积表示成关于 的函数 f() ;(2)当 为何值时,可使得六边形区域面积达到最大?并求最大面积19 (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E: + =1(ab0)的离心率为 ,两个顶点分别为 A( a,0) ,B(a,0) ,点 M(1,0

7、) ,且 3 = ,过点 M 斜率为 k(k0)的直线交椭圆 E 于 C,D 两点,其中点 C 在 x 轴上方(1)求椭圆 E 的方程;(2)若 BC CD,求 k 的值;(3)记直线 AD,BC 的斜率分别为 k1,k 2,求证: 为定值20 (16 分)已知函数 f( x)=ax lnx(aR ) (1)当 a=1 时,求 f(x)的最小值;(2)若存在 x1,3,使 +lnx=2 成立,求 a 的取值范围;(3)若对任意的 x1,+) ,有 f(x)f ( )成立,求 a 的取值范围2016-2017 学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、填空题:本大题共

8、14 小题,每小题 5 分,共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1 (5 分)命题“若 a=b,则 |a|=|b|”的逆否命题是 若|a|b|,则 ab 【解答】解:命题“ 若 a=b,则|a|= |b|”的逆否命题是命题“若|a|b|,则a b”,故答案为:“ 若|a |b|,则 ab”2 (5 分)双曲线 =1 的渐近线方程是 y= 2x 【解答】解:双曲线标准方程为 =1,其渐近线方程是 =0,整理得 y=2x故答案为 y=2x3 (5 分)已知复数 为纯虚数,其中 i 是虚数单位,则实数 a 的值是 2 【解答】解: = = ,复数 为纯虚数, ,解得 a=2故答案为:24 (5

9、 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点(4,3 )到直线 3x4y+a=0 的距离为1,则实数 a 的值是 5 【解答】解:由题意, =1,a=5故答案为55 (5 分)曲线 y=x4 与直线 y=4x+b 相切,则实数 b 的值是 3 【解答】解:设直线与曲线的切点为 P(m,n)则有: ,化简求:m=1 ,b=n4;又因为点 P 满足曲线 y=x4,所以:n=1;则:b=n4= 3;故答案为:36 (5 分)已知实数 x,y 满足条件 则 z=2x+y 的最大值是 9 【解答】解:实数 x,y 满足条件 作出不等式组对应的平面区域如图:由 z=2x+y 得 y=2x+z,平移直线 y=2x

10、+z,则当直线 y=2x+z 经过点 A 时,直线的截距最大,此时 z 最大,由 可得 A(3,3) 此时 z=9,故答案为:97 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C:y 2=4x 的焦点为 F,P 为抛物线C 上一点,且 PF=5,则点 P 的横坐标是 4 【解答】解:抛物线 y2=4x=2px,p=2,由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,|PF |=x+1=5,x=4,故答案为:48 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O:x 2+y2=r2(r 0)与圆 M:(x3)2+(y+4) 2=4 相交,则 r 的取值范围是 3r 7 【解

11、答】解:由题意,圆心距为 5,|r2|5r+2,3r7故答案为 3r79 (5 分)观察下列等式:(sin ) 2+(sin ) 2= 12;(sin ) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+sin( ) 2= 23;(sin ) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+sin( ) 2= 34;(sin ) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+sin( ) 2= 45;照此规律,(sin ) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+(sin ) 2= n(n+1) 【解答】解:观察下列等式:(sin ) 2+(sin ) 2= 12;(sin ) 2+(sin ) 2+(sin )

12、2+sin( ) 2= 23;(sin ) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+sin( ) 2= 34;(sin ) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+sin( ) 2= 45;照此规律(sin ) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+(sin )2= n(n+1) ,故答案为: n(n+1)10 (5 分)若“x R,x 2+ax+a=0”是真命题,则实数 a 的取值范围是 ( ,04,+) 【解答】解:若“ xR,x 2+ax+a=0”是真命题,则=a 24a0,解得:a (,04,+) ,故答案为:(,0 4,+)11 (5 分)已知函数 f( x)=(x 2+x+m)e

13、 x(其中 mR,e 为自然对数的底数)若在 x=3 处函数 f (x)有极大值,则函数 f ( x)的极小值是 1 【解答】解:f(x)=(x 2+x+m)e x,f(x )=(x 2+3x+m+1)e x,若 f(x)在 x=3 处函数 f (x)有极大值,则 f(3 )=0,解得:m=1,故 f(x)= (x 2+x1)e x,f(x )=(x 2+3x)e x,令 f(x)0,解得:x 0,令 f(x)0,解得:x 3,故 f(x)在(,3)递增,在( 3,0)递减,在(0,+)递增,故 f(x) 极小值 =f(0)=1,故答案为:112 (5 分)有下列命题:“m 0”是“ 方程 x

14、2+my2=1 表示椭圆”的充要条件;“a=1”是“直线 l1:ax+y1=0 与直线 l2:x+ay 2=0 平行 ”的充分不必要条件;“函数 f (x)=x 3+mx 单调递增”是“m 0” 的充要条件;已知 p,q 是两个不等价命题,则“p 或 q 是真命题”是“p 且 q 是真命题”的必要不充分条件其中所有真命题的序号是 【解答】解:对于,当 m=1 时,方程 x2+my2=1 表示圆,故错;对于,a=1 时,直线 l1 与直线 l2 都平行,故正确; 对于,若函数 f (x)=x 3+mx 单调递增 m0,故错;对于,p 或 q 是真命题p 且 q 不一定是真命题; p 且 q 是真

15、命题p 或 q一定是真命题,故正确;故答案为:13 (5 分)已知椭圆 E: + =1(ab0)的焦距为 2c(c0) ,左焦点为F,点 M 的坐标为(2c,0) 若椭圆 E 上存在点 P,使得 PM= PF,则椭圆 E离心率的取值范围是 【解答】解:设 P(x ,y) ,由 PM= PFPM2=2PF2(x+2c) 2+y2=2(x+c)2+2y2x2+y2=2c2,椭圆 E 上存在点 P,使得 PM= PF,则圆 x2+y2=2c2 与椭圆E: + =1(ab0)有公共点,b a 故答案为: 14 (5 分)已知 t0,函数 f(x)= ,若函数 g(x)=f(f( x)1 )恰有 6 个

16、不同的零点,则实数 t 的取值范围是 (3 ,4) 【解答】解:函数 f(x )= ,函数 f(x) = ,当 x ,或 xt 时,f(x )0,函数为增函数,当 xt 时, f(x)0,函数为减函数,故当 x= 时,函数 f(x)取极大值 ,函数 f( x)有两个零点 0 和 t,若函数 g(x )=f(f(x)1)恰有 6 个不同的零点,则方程 f(x )1=0 和 f(x)1=t 各有三个解,即函数 f(x )的图象与 y=1 和 y=t+1 各有三个零点,由 y|x=t= = ,故 ,= (t 3) (2t +3) 20 得:t3,故不等式的解集为:t ( 3,4) ,故答案为:(3,

17、4)二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知ABC 三个顶点坐标为 A(7,8) ,B(10,4 ) , C(2,4) (1)求 BC 边上的中线所在直线的方程;(2)求 BC 边上的高所在直线的方程【解答】解:(1)由 B( 10,4) ,C (2,4) ,得 BC 中点 D 的坐标为(6,0) ,(2 分)所以 AD 的斜率为 k= =8,(5 分)所以 BC 边上的中线 AD 所在直线的方程为 y0=8(x 6) ,即 8xy48=0 (7 分)(2)由 B(10,

18、4) ,C ( 2,4) ,得 BC 所在直线的斜率为 k= =1,(9分)所以 BC 边上的高所在直线的斜率为 1,(12 分)所以 BC 边上的高所在直线的方程为 y8=1(x7) ,即 x+y15=0 (14 分)16 (14 分)已知数列a n满足 a1=1, (a n3)a n+1an+4=0(n N*) (1)求 a2, a3,a 4;(2)猜想a n的通项公式,并用数学归纳法证明【解答】解:(1)令 n=1,2a 2+3=0,a 2= ,令 n=2, a3 +4=0,a 3= ,令 n=3, a4 +4=0,a 4= (2)猜想 an= (nN *) 证明:当 n=1 时,a 1

19、=1= ,所以 an= 成立,假设当 n=k 时,a n= 成立,即 ak= ,则(a k3)a k+1ak+4=0,即( 3)a k+1 +4=0,所以 ak+1= ,即 ak+1= = ,所以当 n=k+1 时,结论 an= 成立综上,对任意的 nN*,a n= 成立17 (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 M 的圆心在直线 y=2x 上,且圆 M 与直线 x+y1=0 相切于点 P(2, 1) (1)求圆 M 的方程;(2)过坐标原点 O 的直线 l 被圆 M 截得的弦长为 ,求直线 l 的方程【解答】解:(1)过点(2,1)且与直线 x+y1=0 垂直的直线方程为xy3=

20、0,(2 分)由 解得 ,所以圆心 M 的坐标为(1, 2) , (4 分)所以圆 M 的半径为 r= ,(6 分)所以圆 M 的方程为 (x1) 2+(y +2) 2=2 (7 分)(2)因为直线 l 被圆 M 截得的弦长为 ,所以圆心 M 到直线 l 的距离为 d= = ,(9 分)若直线 l 的斜率不存在,则 l 为 x=0,此时,圆心 M 到 l 的距离为 1,不符合题意若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx,即 kxy=0,由 d= = ,(11 分)整理得 k2+8k+7=0,解得 k=1 或7,(13 分)所以直线 l 的方程为 x+y=0 或 7x+y=0 (1

21、4 分)18 (16 分)某休闲广场中央有一个半径为 1(百米)的圆形花坛,现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道,围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形 ABCF和梯形 DEFC)构成的六边形 ABCDEF 区域,其中 A、B、C、D、E、F 都在圆周上,CF 为圆的直径(如图) 设AOF=,其中 O 为圆心(1)把六边形 ABCDEF 的面积表示成关于 的函数 f() ;(2)当 为何值时,可使得六边形区域面积达到最大?并求最大面积【解答】 (本题满分 16 分)解:(1)作 AHCF 于 H,则 OH=cos,AB=2OH=2cos,AH=sin ,(2 分)则六边形的面积为 f ()=2

22、(AB+CF)AH=(2cos+2)sin=2(cos+1)sin , ( 0, ) (6 分)(2)f( )=2sinsin+(cos +1)cos=2(2cos 2+cos1)=2(2cos 1) (cos+1) (10 分)令 f()=0,因为 ( 0, ) ,所以 cos= ,即 = ,(12 分)当 (0 , )时,f()0,所以 f ()在( 0, )上单调递增;当 ( , )时,f()0,所以 f ()在( , )上单调递减,(14 分)所以当 = 时,f ()取最大值 f ( ) =2(cos +1)sin = (15 分)答:当 = 时,可使得六边形区域面积达到最大,最大面积

23、为 平方百米(16 分)19 (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E: + =1(ab0)的离心率为 ,两个顶点分别为 A( a,0) ,B(a,0) ,点 M(1,0) ,且 3 = ,过点 M 斜率为 k(k0)的直线交椭圆 E 于 C,D 两点,其中点 C 在 x 轴上方(1)求椭圆 E 的方程;(2)若 BC CD,求 k 的值;(3)记直线 AD,BC 的斜率分别为 k1,k 2,求证: 为定值【解答】解:(1)因为 3 = ,所以 3(1+a, 0)= (a+1,0) ,解得 a=2 (2 分)又因为 = ,所以 c= ,所以 b2=a2c2=1,所以椭圆 E 的方程为

24、 +y2=1 (4 分)(2)设点 C 的坐标为(x 0,y 0) ,y 00,则 =( 1x0, y0) , =(2x 0, y0) 因为 BCCD,所以(1x 0) ( 2x0)+y 02=0 (6 分)又因为 +y02=1,联立,解得 x0= ,y 0= ,(8 分)所以 k= =2 (10 分)(3) ,设 C( x0,y 0) ,则 CD:y= (x +1) ( 2x 02 且 x01) ,由 消去 y,得 x2+8y02x+4y024(x 0+1) 2=0(12 分)又因为 +y02=1,所以得 D( , ) ,(14 分)所以 = = =3,所以 为定值 (16 分)20 (16

25、 分)已知函数 f( x)=ax lnx(aR ) (1)当 a=1 时,求 f(x)的最小值;(2)若存在 x1,3,使 +lnx=2 成立,求 a 的取值范围;(3)若对任意的 x1,+) ,有 f(x)f ( )成立,求 a 的取值范围【解答】解:(1)f(x) =xlnx(x0)的导数为 f(x)=1 = ,当 x1 时,f(x )0,f(x )递增;当 0x1 时,f(x)0,f (x)递减即有 f( x)在 x=1 处取得极小值,也为最小值,且为 1;(2)存在 x1,3,使 +lnx=2 成立,即为 =2lnx,即有 a= ,设 g( x)= ,x 1,3,则 g(x)=(1ln

26、x) (1+ ) ,当 1xe 时,g(x )0,g(x)递增;当 ex3 时,g(x )0,g (x )递减则 g( x)在 x=e 处取得极大值,且为最大值 e+ ;g( 1)=2,g (3)=3 (2ln3)+ 2,则 a 的取值范围是2,e+ ;(3)若对任意的 x1,+) ,有 f(x)f ( )成立,即为 axlnx ln ,即有 a(x )2lnx,x 1,令 F(x)=a ( x ) 2lnx,x1,F( x)=a(1+ ) ,当 x=1 时,原不等式显然成立;当 x1 时,由题意可得 F(x)0 在(1,+)恒成立,即有 a(1+ ) 0,即 a ,由 = =1,则 a1综上可得 a 的取值范围是1,+)