1、2016-2017 学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1 （5 分）命题“若 a=b，则 |a|=|b|”的逆否命题是 2 （5 分）双曲线 =1 的渐近线方程是 3 （5 分）已知复数 为纯虚数，其中 i 是虚数单位，则实数 a 的值是 4 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点（4，3 ）到直线 3x4y+a=0 的距离为1，则实数 a 的值是 5 （5 分）曲线 y=x4 与直线 y=4x+b 相切，则实数 b 的值是 6 （5 分）已知实数 x，y 满足条件 则 z=2x+y 的
2、最大值是 7 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，P 为抛物线C 上一点，且 PF=5，则点 P 的横坐标是 8 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x 2+y2=r2（r 0）与圆 M：（x3）2+（y+4） 2=4 相交，则 r 的取值范围是 9 （5 分）观察下列等式：（sin ） 2+（sin ） 2= 12；（sin ） 2+（sin ） 2+（sin ） 2+sin（ ） 2= 23；（sin ） 2+（sin ） 2+（sin ） 2+sin（ ） 2= 34；（sin ） 2+（sin ） 2+（sin ） 2+sin（
3、） 2= 45；照此规律，（sin ） 2+（sin ） 2+（sin ） 2+（sin ） 2= 10 （5 分）若“x R，x 2+ax+a=0”是真命题，则实数 a 的取值范围是 11 （5 分）已知函数 f（ x）=（x 2+x+m）e x（其中 mR，e 为自然对数的底数）若在 x=3 处函数 f （x）有极大值，则函数 f （ x）的极小值是 12 （5 分）有下列命题：“m 0”是“ 方程 x2+my2=1 表示椭圆”的充要条件；“a=1”是“直线 l1：ax+y1=0 与直线 l2：x+ay 2=0 平行 ”的充分不必要条件；“函数 f （x）=x 3+mx 单调递增”是“m
4、0” 的充要条件；已知 p，q 是两个不等价命题，则“p 或 q 是真命题”是“p 且 q 是真命题”的必要不充分条件其中所有真命题的序号是 13 （5 分）已知椭圆 E： + =1（ab0）的焦距为 2c（c0） ，左焦点为F，点 M 的坐标为（2c，0） 若椭圆 E 上存在点 P，使得 PM= PF，则椭圆 E离心率的取值范围是 14 （5 分）已知 t0，函数 f（x）= ，若函数 g（x）=f（f（ x）1 ）恰有 6 个不同的零点，则实数 t 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分
5、）在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 三个顶点坐标为 A（7，8） ，B（10，4 ） ， C（2，4） （1）求 BC 边上的中线所在直线的方程；（2）求 BC 边上的高所在直线的方程16 （14 分）已知数列a n满足 a1=1， （a n3）a n+1an+4=0（n N*） （1）求 a2， a3，a 4；（2）猜想a n的通项公式，并用数学归纳法证明17 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M 的圆心在直线 y=2x 上，且圆 M 与直线 x+y1=0 相切于点 P（2， 1） （1）求圆 M 的方程；（2）过坐标原点 O 的直线 l 被圆 M 截得的弦长为 ，求
6、直线 l 的方程18 （16 分）某休闲广场中央有一个半径为 1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形 ABCF和梯形 DEFC）构成的六边形 ABCDEF 区域，其中 A、B、C、D、E、F 都在圆周上，CF 为圆的直径（如图） 设AOF=，其中 O 为圆心（1）把六边形 ABCDEF 的面积表示成关于 的函数 f（） ；（2）当 为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积19 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： + =1（ab0）的离心率为 ，两个顶点分别为 A（ a，0） ，B（a，0） ，点 M（1，0
7、） ，且 3 = ，过点 M 斜率为 k（k0）的直线交椭圆 E 于 C，D 两点，其中点 C 在 x 轴上方（1）求椭圆 E 的方程；（2）若 BC CD，求 k 的值；（3）记直线 AD，BC 的斜率分别为 k1，k 2，求证： 为定值20 （16 分）已知函数 f（ x）=ax lnx（aR ） （1）当 a=1 时，求 f（x）的最小值；（2）若存在 x1，3，使 +lnx=2 成立，求 a 的取值范围；（3）若对任意的 x1，+） ，有 f（x）f （ ）成立，求 a 的取值范围2016-2017 学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共
8、14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1 （5 分）命题“若 a=b，则 |a|=|b|”的逆否命题是 若|a|b|，则 ab 【解答】解：命题“ 若 a=b，则|a|= |b|”的逆否命题是命题“若|a|b|，则a b”，故答案为：“ 若|a |b|，则 ab”2 （5 分）双曲线 =1 的渐近线方程是 y= 2x 【解答】解：双曲线标准方程为 =1，其渐近线方程是 =0，整理得 y=2x故答案为 y=2x3 （5 分）已知复数 为纯虚数，其中 i 是虚数单位，则实数 a 的值是 2 【解答】解： = = ，复数 为纯虚数， ，解得 a=2故答案为：24 （5
9、 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点（4，3 ）到直线 3x4y+a=0 的距离为1，则实数 a 的值是 5 【解答】解：由题意， =1，a=5故答案为55 （5 分）曲线 y=x4 与直线 y=4x+b 相切，则实数 b 的值是 3 【解答】解：设直线与曲线的切点为 P（m，n）则有： ，化简求：m=1 ，b=n4；又因为点 P 满足曲线 y=x4，所以：n=1；则：b=n4= 3；故答案为：36 （5 分）已知实数 x，y 满足条件 则 z=2x+y 的最大值是 9 【解答】解：实数 x，y 满足条件 作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=2x+y 得 y=2x+z，平移直线 y=2x
10、+z，则当直线 y=2x+z 经过点 A 时，直线的截距最大，此时 z 最大，由 可得 A（3，3） 此时 z=9，故答案为：97 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，P 为抛物线C 上一点，且 PF=5，则点 P 的横坐标是 4 【解答】解：抛物线 y2=4x=2px，p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，|PF |=x+1=5，x=4，故答案为：48 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x 2+y2=r2（r 0）与圆 M：（x3）2+（y+4） 2=4 相交，则 r 的取值范围是 3r 7 【解
11、答】解：由题意，圆心距为 5，|r2|5r+2，3r7故答案为 3r79 （5 分）观察下列等式：（sin ） 2+（sin ） 2= 12；（sin ） 2+（sin ） 2+（sin ） 2+sin（ ） 2= 23；（sin ） 2+（sin ） 2+（sin ） 2+sin（ ） 2= 34；（sin ） 2+（sin ） 2+（sin ） 2+sin（ ） 2= 45；照此规律，（sin ） 2+（sin ） 2+（sin ） 2+（sin ） 2= n（n+1） 【解答】解：观察下列等式：（sin ） 2+（sin ） 2= 12；（sin ） 2+（sin ） 2+（sin ）
12、2+sin（ ） 2= 23；（sin ） 2+（sin ） 2+（sin ） 2+sin（ ） 2= 34；（sin ） 2+（sin ） 2+（sin ） 2+sin（ ） 2= 45；照此规律（sin ） 2+（sin ） 2+（sin ） 2+（sin ）2= n（n+1） ，故答案为： n（n+1）10 （5 分）若“x R，x 2+ax+a=0”是真命题，则实数 a 的取值范围是 （ ，04，+） 【解答】解：若“ xR，x 2+ax+a=0”是真命题，则=a 24a0，解得：a （，04，+） ，故答案为：（，0 4，+）11 （5 分）已知函数 f（ x）=（x 2+x+m）e
13、 x（其中 mR，e 为自然对数的底数）若在 x=3 处函数 f （x）有极大值，则函数 f （ x）的极小值是 1 【解答】解：f（x）=（x 2+x+m）e x，f（x ）=（x 2+3x+m+1）e x，若 f（x）在 x=3 处函数 f （x）有极大值，则 f（3 ）=0，解得：m=1，故 f（x）= （x 2+x1）e x，f（x ）=（x 2+3x）e x，令 f（x）0，解得：x 0，令 f（x）0，解得：x 3，故 f（x）在（，3）递增，在（ 3，0）递减，在（0，+）递增，故 f（x） 极小值 =f（0）=1，故答案为：112 （5 分）有下列命题：“m 0”是“ 方程 x
14、2+my2=1 表示椭圆”的充要条件；“a=1”是“直线 l1：ax+y1=0 与直线 l2：x+ay 2=0 平行 ”的充分不必要条件；“函数 f （x）=x 3+mx 单调递增”是“m 0” 的充要条件；已知 p，q 是两个不等价命题，则“p 或 q 是真命题”是“p 且 q 是真命题”的必要不充分条件其中所有真命题的序号是 【解答】解：对于，当 m=1 时，方程 x2+my2=1 表示圆，故错；对于，a=1 时，直线 l1 与直线 l2 都平行，故正确； 对于，若函数 f （x）=x 3+mx 单调递增 m0，故错；对于，p 或 q 是真命题p 且 q 不一定是真命题； p 且 q 是真
15、命题p 或 q一定是真命题，故正确；故答案为：13 （5 分）已知椭圆 E： + =1（ab0）的焦距为 2c（c0） ，左焦点为F，点 M 的坐标为（2c，0） 若椭圆 E 上存在点 P，使得 PM= PF，则椭圆 E离心率的取值范围是 【解答】解：设 P（x ，y） ，由 PM= PFPM2=2PF2（x+2c） 2+y2=2（x+c）2+2y2x2+y2=2c2，椭圆 E 上存在点 P，使得 PM= PF，则圆 x2+y2=2c2 与椭圆E： + =1（ab0）有公共点，b a 故答案为： 14 （5 分）已知 t0，函数 f（x）= ，若函数 g（x）=f（f（ x）1 ）恰有 6 个
16、不同的零点，则实数 t 的取值范围是 （3 ，4） 【解答】解：函数 f（x ）= ，函数 f（x） = ，当 x ，或 xt 时，f（x ）0，函数为增函数，当 xt 时， f（x）0，函数为减函数，故当 x= 时，函数 f（x）取极大值 ，函数 f（ x）有两个零点 0 和 t，若函数 g（x ）=f（f（x）1）恰有 6 个不同的零点，则方程 f（x ）1=0 和 f（x）1=t 各有三个解，即函数 f（x ）的图象与 y=1 和 y=t+1 各有三个零点，由 y|x=t= = ，故 ，= （t 3） （2t +3） 20 得：t3，故不等式的解集为：t （ 3，4） ，故答案为：（3，
17、4）二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 三个顶点坐标为 A（7，8） ，B（10，4 ） ， C（2，4） （1）求 BC 边上的中线所在直线的方程；（2）求 BC 边上的高所在直线的方程【解答】解：（1）由 B（ 10，4） ，C （2，4） ，得 BC 中点 D 的坐标为（6，0） ，（2 分）所以 AD 的斜率为 k= =8，（5 分）所以 BC 边上的中线 AD 所在直线的方程为 y0=8（x 6） ，即 8xy48=0 （7 分）（2）由 B（10，
18、4） ，C （ 2，4） ，得 BC 所在直线的斜率为 k= =1，（9分）所以 BC 边上的高所在直线的斜率为 1，（12 分）所以 BC 边上的高所在直线的方程为 y8=1（x7） ，即 x+y15=0 （14 分）16 （14 分）已知数列a n满足 a1=1， （a n3）a n+1an+4=0（n N*） （1）求 a2， a3，a 4；（2）猜想a n的通项公式，并用数学归纳法证明【解答】解：（1）令 n=1，2a 2+3=0，a 2= ，令 n=2， a3 +4=0，a 3= ，令 n=3， a4 +4=0，a 4= （2）猜想 an= （nN *） 证明：当 n=1 时，a 1
19、=1= ，所以 an= 成立，假设当 n=k 时，a n= 成立，即 ak= ，则（a k3）a k+1ak+4=0，即（ 3）a k+1 +4=0，所以 ak+1= ，即 ak+1= = ，所以当 n=k+1 时，结论 an= 成立综上，对任意的 nN*，a n= 成立17 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M 的圆心在直线 y=2x 上，且圆 M 与直线 x+y1=0 相切于点 P（2， 1） （1）求圆 M 的方程；（2）过坐标原点 O 的直线 l 被圆 M 截得的弦长为 ，求直线 l 的方程【解答】解：（1）过点（2，1）且与直线 x+y1=0 垂直的直线方程为xy3=
20、0，（2 分）由 解得 ，所以圆心 M 的坐标为（1， 2） ， （4 分）所以圆 M 的半径为 r= ，（6 分）所以圆 M 的方程为 （x1） 2+（y +2） 2=2 （7 分）（2）因为直线 l 被圆 M 截得的弦长为 ，所以圆心 M 到直线 l 的距离为 d= = ，（9 分）若直线 l 的斜率不存在，则 l 为 x=0，此时，圆心 M 到 l 的距离为 1，不符合题意若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y=kx，即 kxy=0，由 d= = ，（11 分）整理得 k2+8k+7=0，解得 k=1 或7，（13 分）所以直线 l 的方程为 x+y=0 或 7x+y=0 （1
21、4 分）18 （16 分）某休闲广场中央有一个半径为 1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形 ABCF和梯形 DEFC）构成的六边形 ABCDEF 区域，其中 A、B、C、D、E、F 都在圆周上，CF 为圆的直径（如图） 设AOF=，其中 O 为圆心（1）把六边形 ABCDEF 的面积表示成关于 的函数 f（） ；（2）当 为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积【解答】 （本题满分 16 分）解：（1）作 AHCF 于 H，则 OH=cos，AB=2OH=2cos，AH=sin ，（2 分）则六边形的面积为 f （）=2
22、（AB+CF）AH=（2cos+2）sin=2（cos+1）sin ， （ 0， ） （6 分）（2）f（ ）=2sinsin+（cos +1）cos=2（2cos 2+cos1）=2（2cos 1） （cos+1） （10 分）令 f（）=0，因为 （ 0， ） ，所以 cos= ，即 = ，（12 分）当 （0 ， ）时，f（）0，所以 f （）在（ 0， ）上单调递增；当 （ ， ）时，f（）0，所以 f （）在（ ， ）上单调递减，（14 分）所以当 = 时，f （）取最大值 f （ ） =2（cos +1）sin = （15 分）答：当 = 时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积
23、为 平方百米（16 分）19 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： + =1（ab0）的离心率为 ，两个顶点分别为 A（ a，0） ，B（a，0） ，点 M（1，0） ，且 3 = ，过点 M 斜率为 k（k0）的直线交椭圆 E 于 C，D 两点，其中点 C 在 x 轴上方（1）求椭圆 E 的方程；（2）若 BC CD，求 k 的值；（3）记直线 AD，BC 的斜率分别为 k1，k 2，求证： 为定值【解答】解：（1）因为 3 = ，所以 3（1+a， 0）= （a+1，0） ，解得 a=2 （2 分）又因为 = ，所以 c= ，所以 b2=a2c2=1，所以椭圆 E 的方程为
24、 +y2=1 （4 分）（2）设点 C 的坐标为（x 0，y 0） ，y 00，则 =（ 1x0， y0） ， =（2x 0， y0） 因为 BCCD，所以（1x 0） （ 2x0）+y 02=0 （6 分）又因为 +y02=1，联立，解得 x0= ，y 0= ，（8 分）所以 k= =2 （10 分）（3） ，设 C（ x0，y 0） ，则 CD：y= （x +1） （ 2x 02 且 x01） ，由 消去 y，得 x2+8y02x+4y024（x 0+1） 2=0（12 分）又因为 +y02=1，所以得 D（ ， ） ，（14 分）所以 = = =3，所以 为定值 （16 分）20 （16
25、 分）已知函数 f（ x）=ax lnx（aR ） （1）当 a=1 时，求 f（x）的最小值；（2）若存在 x1，3，使 +lnx=2 成立，求 a 的取值范围；（3）若对任意的 x1，+） ，有 f（x）f （ ）成立，求 a 的取值范围【解答】解：（1）f（x） =xlnx（x0）的导数为 f（x）=1 = ，当 x1 时，f（x ）0，f（x ）递增；当 0x1 时，f（x）0，f （x）递减即有 f（ x）在 x=1 处取得极小值，也为最小值，且为 1；（2）存在 x1，3，使 +lnx=2 成立，即为 =2lnx，即有 a= ，设 g（ x）= ，x 1，3，则 g（x）=（1ln
26、x） （1+ ） ，当 1xe 时，g（x ）0，g（x）递增；当 ex3 时，g（x ）0，g （x ）递减则 g（ x）在 x=e 处取得极大值，且为最大值 e+ ；g（ 1）=2，g （3）=3 （2ln3）+ 2，则 a 的取值范围是2，e+ ；（3）若对任意的 x1，+） ，有 f（x）f （ ）成立，即为 axlnx ln ，即有 a（x ）2lnx，x 1，令 F（x）=a （ x ） 2lnx，x1，F（ x）=a（1+ ） ，当 x=1 时，原不等式显然成立；当 x1 时，由题意可得 F（x）0 在（1，+）恒成立，即有 a（1+ ） 0，即 a ，由 = =1，则 a1综上可得 a 的取值范围是1，+）