1、2016-2017 学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（文科）（A 卷）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）数列的前 4 项为 1， ， ， ，则此数列的通项公式可以是（ ）A （ 1） n B （1） n+1 C （ 1） n D （1） n+12 （5 分） “x2+2x80” 是“x2”成立的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3 （5 分）已知9，a 1，a 2， 1 四个实数成等差数列，9 ，b 1，b 2，b 3，1 五个实数成等比数列，则 b2（a 2a1）=（ ）A8 B8 C8 D4 （5 分）若
2、0，则下列结论不正确的是（ ）Aa 2 b2 Babb 2 Ca+b 0 D|a|+|b |a+b5 （5 分）已知椭圆的中心在原点，离心率 e= ，且它的一个焦点与抛物线y2=8x 的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）A + =1 B + =1C +y2=1D +y2=16 （5 分）已知两函数 y=x21 与 y=1x3 在 x=x0 处有相同的导数，则 x0 的值为（ ）A0 B C0 或 D0 或 17 （5 分）我国古代数典籍九章算术 “盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢 （ ）A3 B
3、4 C5 D6、8 （5 分）已知 F1、F 2 分别为椭圆 +y2=1 的左右两个焦点，过 F1 作倾斜角为的弦 AB，则F 2AB 的面积为（ ）A B C D 19 （5 分）已知直线 y=kx 是 y=lnx 的切线，则 k 的值是（ ）Ae Be C D10 （5 分）已知抛物线 y2=2px（p0）上一点 M 到焦点 F 的距离等于 3p，则直线 MF 的斜率为（ ）A B1 C+ D11 （5 分）已知 f（x ）=ax 3+bx2+cx+d 与 x 轴有 3 个交点（0，0） ， （x 1，0） ，（x 2，0） ，且 f（x）在 x= ，x= 时取极值，则 x1x2 的值为（
4、 ）A4 B2 C6 D不确定12 （5 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，已知a2， b2，c 2 成等差数列，则 sinB 最大值为（ ）A B C D二、填空题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）13 （5 分）命题“x R，4x 23x+20”的否定是 14 （5 分）ABC 的周长等于 3（sinA+sinB +sinC） ，则其外接圆直径等于 15 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 ，则 3xy 的最小值为 16 （5 分）在ABC 中，已知当 A= ， =tanA 时，ABC 的面积为 17 （5 分）如果方程 =1 表示双曲线，
5、那么实数 m 的取值范围是 18 （5 分）若 f（x ）=x 33x+m 有三个零点，则实数 m 的取值范围是 19 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 10 且 = ，则 Sn 为非负值的最大 n 值为 20 （5 分）已知函数 f（ x）=x + ，g（x ）=2 x+a，若x 1 ，3，x 22，3，使得 f（ x1）g （x 2） ，则实数 a 的取值范围 三、解答题（共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分）21 （10 分）已知命题 p：x 2+2mx+（4m 3）0 的解集为 R，命题 q：m+ 的最小值为 4，如果 p 与 q 只有一个真命题，求 m
6、的取值范围22 （10 分）设等差数列a n的公差为 d，前 n 项和为 Sn，已知 a5=9，S 7=49（1）求数列a n的通项公式；（2）令 bn=an2n，求数列b n的前 n 项和23 （10 分）已知ABC 的内角 A，B ，C 所对的边分别为a， b，c ， = （1）求角 A 的大小；（2）若ABC 为锐角三角形，求 的范围24 （10 分）已知椭圆 E： + =1， （ab0）的 e= ，焦距为 2 （1）求 E 的方程；（2）设点 A，B，C 在 E 上运动， A 与 B 关于原点对称，且|AC|=|CB|，当ABC 的面积最小时，求直线 AB 的方程25 （10 分）设函
7、数 f（x）=lnx +x22ax+a2，aR （1）当 a=2 时，求函数 f（x）的单调区间；（2）若函数 f（x）在1， 3上不存在单调增区间，求 a 的取值范围2016-2017 学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（文科） （A 卷）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）数列的前 4 项为 1， ， ， ，则此数列的通项公式可以是（ ）A （ 1） n B （1） n+1 C （ 1） n D （1） n+1【解答】解：数列为分式形式，奇数项为正数，偶数项为负数，则符合可以用（1 ） n+1 表示，每一项的分母和项数 n 对应，用
8、 表示，则数列的通项公式可以为（1） n+1 ，故选：B2 （5 分） “x2+2x80” 是“x2”成立的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：由 x2+2x80，解得：x2 或 x 4，故“x 2+2x80” 是“x2” 成立的必要不充分条件，故选：A3 （5 分）已知9，a 1，a 2， 1 四个实数成等差数列，9 ，b 1，b 2，b 3，1 五个实数成等比数列，则 b2（a 2a1）=（ ）A8 B8 C8 D【解答】解：由题得 ，又因为 b2 是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即 b2=3b 2（a 2a1）= 8故选 B4 （
9、5 分）若 0，则下列结论不正确的是（ ）Aa 2 b2 Babb 2 Ca+b 0 D|a|+|b |a+b【解答】解： 0，可得：ab0，|a|b|，a 2b 2，显然 A 不对，故选：A5 （5 分）已知椭圆的中心在原点，离心率 e= ，且它的一个焦点与抛物线y2=8x 的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）A + =1 B + =1C +y2=1D +y2=1【解答】解：椭圆的中心在原点，离心率 e= ，且它的一个焦点与抛物线y2=8x 的焦点（ 2，0）重合，可得 c=2，则 a=4，b=2 ，则此椭圆方程为： + =1故选：A6 （5 分）已知两函数 y=x21 与 y=1x3 在 x=
10、x0 处有相同的导数，则 x0 的值为（ ）A0 B C0 或 D0 或 1【解答】解：y=x 21，y=2x， =2x0，y=1x 3，y=3x 2， ，两函数 y=x21 与 y=1x3 在 x=x0 处有相同的导数， ，解得 x0=0 或 x0= 故选：C7 （5 分）我国古代数典籍九章算术 “盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢 （ ）A3 B4 C5 D6、【解答】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，前 n 天打洞之和为 =2n1，同理，小老
11、鼠每天打洞的距离 =2 ，2 n1+2 =10，解得 n（3 ，4） ，取 n=4即两鼠在第 4 天相逢故选：B8 （5 分）已知 F1、F 2 分别为椭圆 +y2=1 的左右两个焦点，过 F1 作倾斜角为的弦 AB，则F 2AB 的面积为（ ）A B C D 1【解答】解：椭圆 +y2=1 的左右两个焦点（1，0） ，过 F1 作倾斜角为 的弦AB，可得直线 AB 的方程为：y=x+1，把 y=x+1 代入 x2+2y2=2 得 3x2+4x=0，解得 x1=0 x2= ，y 1=1，y 2= ，S= |F1F2|y1y2|= = 故选：B9 （5 分）已知直线 y=kx 是 y=lnx 的
12、切线，则 k 的值是（ ）Ae Be C D【解答】解：y=lnx，y= ，设切点为（m，lnm） ，得切线的斜率为 ，所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y lnm= （xm） 它过原点，lnm=1，m=e ，k= 故选 C10 （5 分）已知抛物线 y2=2px（p0）上一点 M 到焦点 F 的距离等于 3p，则直线 MF 的斜率为（ ）A B1 C+ D【解答】解：根据定义，点 P 与准线的距离也是 3P，设 M（ x0，y 0） ，则 P 与准线的距离为：x 0+ ，x 0+ =3p， x0= p，y 0= p，点 M 的坐标（ p， p） 直线 MF 的斜率为： = 故选：D1
13、1 （5 分）已知 f（x ）=ax 3+bx2+cx+d 与 x 轴有 3 个交点（0，0） ， （x 1，0） ，（x 2，0） ，且 f（x）在 x= ，x= 时取极值，则 x1x2 的值为（ ）A4 B2 C6 D不确定【解答】解：f（0）=0 ，d=0f（x ）=3ax 2+2bx+c，f（ x）在 x= ，x= 时取极值，f（ ） =0，f（ ）=0，a 0，可得 2 + +3=0，4 + +12=0，解得： =6，又 f（x）=x（ ax2+bx+c） ，f（x 1）=f（x 2）=0，x 1，x 20x 1x2= =2， 故选：B12 （5 分）在ABC 中，内角 A，B ，C
14、 所对的边分别为 a，b ，c ，已知a2， b2，c 2 成等差数列，则 sinB 最大值为（ ）A B C D【解答】解：由题意可得 2b2=a2 +c2 ，由余弦定理可得 cosB= = ，当且仅当 a=c 时，等号成立又 0B，0B ，sinB 在（0， 单调递增，可得 sinB 的最大值是 sin = 故选：D二、填空题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）13 （5 分）命题“x R，4x 23x+20”的否定是 xR ，4x 23x+20 【解答】解：原命题为“ xR，4x 23x+20原命题为全称命题其否定为存在性命题，且不等号须改变原命题的否定为：x R，4x 23x
15、+20故答案为：x R，4x 23x+2014 （5 分）ABC 的周长等于 3（sinA+sinB +sinC） ，则其外接圆直径等于 3 【解答】解：由正弦定理得， ，且 R 是ABC 的外接圆半径，则 sinA= ，sinB= ，sinC= ，因为ABC 的周长等于 3（ sinA+sinB+sinC） ，所以 a+b+c=3（sinA+sinB +sinC）=3（ + + ） ，化简得，2R=3，即其外接圆直径等于 3，故答案为：315 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 ，则 3xy 的最小值为 3 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=3xy 得 y=3xz，平移直
16、线 y=3xz 由图象可知当直线 y=3xz 经过点 A 时，直线 y=3xz 的截距最大，此时 z 最小由 ，解得 ，即 A（0，3 ） ，此时 z=303=3，故答案为：316 （5 分）在ABC 中，已知当 A= ， =tanA 时，ABC 的面积为 【解答】解：由 A= ， =tanA，得 =tanA=tan = ，则 ， = = 故答案为： 17 （5 分）如果方程 =1 表示双曲线，那么实数 m 的取值范围是 （1 ，1）（2，+） 【解答】解：方程 =1 表示双曲线，（|m|1） （m2）0，解得1m1 或 m2，实数 m 的取值范围是（ 1，1 ）（2，+） 故答案为：（1，1
17、）（ 2，+） 18 （5 分）若 f（x ）=x 33x+m 有三个零点，则实数 m 的取值范围是 2m2 【解答】解：由函数 f（x ）=x 33x+m 有三个不同的零点，则函数 f（x ）有两个极值点，极小值小于 0，极大值大于 0由 f（x）=3x 23=3（x+1） （ x1）=0 ，解得 x1=1，x 2=1，所以函数 f（x）的两个极值点为 x1=1，x 2=1由于 x（ ，1）时，f（x ）0； x（ 1，1）时，f（x）0； x（1，+）时，f （x）0 ，函数的极小值 f（1）=m2 和极大值 f（ 1）=m+2因为函数 f（x）=x 33x+m 有三个不同的零点，所以 ，
18、解之得2m 2 故答案为：2m219 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 10 且 = ，则 Sn 为非负值的最大 n 值为 20 【解答】解：设等差数列的公差为 d，由 = ，得 = ，即 2a1+19d=0，解得 d= ，所以 Sn=na1+ （ ）0，整理，得：Sn=na1 0因为 a10 ，所以 20n0 即 n20 ，故 Sn 为非负值的最大 n 值为 20故答案是：2020 （5 分）已知函数 f（ x）=x + ，g（x ）=2 x+a，若x 1 ，3，x 22，3，使得 f（ x1）g （x 2） ，则实数 a 的取值范围 a 【解答】解：当 x1 ，3时，
19、由 f（x ）=x+ 得，f（x）= ，令 f（x）0，解得：x 2，令 f（x）0，解得： x2，f（ x）在 ，2单调递减，在（ 2，3递增，f（ ）=8.5 是函数的最大值，当 x22，3 时，g（x）=2 x+a 为增函数，g （3）=a+8 是函数的最大值，又x 1 ，3，都x 22，3，使得 f（x 1）g（x 2） ，可得 f（ x）在 x1 ，3的最大值不小于 g（x）在 x22，3的最大值，即 8.5a+8 ，解得： a ，故答案为：a 三、解答题（共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分）21 （10 分）已知命题 p：x 2+2mx+（4m 3）0 的解集为 R，命题
20、 q：m+ 的最小值为 4，如果 p 与 q 只有一个真命题，求 m 的取值范围【解答】解：命题 p 真：=4m 24（4m 3）01m3命题 q 真：m+ =m2+ +2 的最小值为 4，则 m2，当 p 真，q 假时，1m3 且 m2， 1m 2；当 p 假，q 真时，m1 或 m3 且 m2， m3；综上：m 的取值范围（1，23，+）22 （10 分）设等差数列a n的公差为 d，前 n 项和为 Sn，已知 a5=9，S 7=49（1）求数列a n的通项公式；（2）令 bn=an2n，求数列b n的前 n 项和【解答】解：（1）在等差数列a n中，由 S7=7（a 1+a7）=49，得
21、：a 4=7，又a 5=9，公差 d=2，a 1=1，数列a n的通项公式 an=2n1 （n N+） ，（2）b n=an2n=（2n 1）2 n，令数列b n的前 n 项和为 Tn，Tn=121+322+523+（2n 3）2 n1+（2n 1）2 n2 Tn=122+323+（2n 5）2 n1+（2n 3）2 n+（2n1）2 n+1Tn=2+2（2 2+23+2n1+2n） （2n 1）2 n+1=2+2n+28+（2n1）2 n+1；T n=（2n3 ）2 n+1+623 （10 分）已知ABC 的内角 A，B ，C 所对的边分别为a， b，c ， = （1）求角 A 的大小；（2
22、）若ABC 为锐角三角形，求 的范围【解答】解：（1）由题意知， ，由正弦定理得， ，化简得， ，即 ，由余弦定理得，cosA= = ，又 0A，则 A= ；（2）由（1）得 A= ，又 A+B+C=，则 B= C，因为ABC 是锐角三角形，所以 ，解得 ，由正弦定理得， = = ，由 得，tanC 1，即 ，所以 ，即 的范围是 24 （10 分）已知椭圆 E： + =1， （ab0）的 e= ，焦距为 2 （1）求 E 的方程；（2）设点 A，B，C 在 E 上运动， A 与 B 关于原点对称，且|AC|=|CB|，当ABC 的面积最小时，求直线 AB 的方程【解答】解：（1）椭圆 E：
23、+ =1， （ab 0）的 e= ，焦距为 2 ， ，解得 a=2，b=1 ，椭圆 E 的方程为 （2）当 AB 为长轴（或短轴）时，依题意 C 是椭圆的上下顶点（或左右顶点） ，此时 SABC = |OC|AB|=2当直线 AB 的斜率不为 0 时，设其斜率为 k，直线 AB 的方程为 y=kx，联立方程组 ，得 = ， ，|OA| 2= = ，由|AC|=|CB| 知，ABC 为等股三角形，O 为 AB 的中点，OCAB，直线直线 OC 的方程为 y= ，由 ，解得 = ， = ， |OC|2= SABC =2SOAC =|OA|OC|= = = ， ，当且仅当 1+4k2=k2+4，即
24、k=1 时，等号成立，此时ABC 面积的最小值是 ，2 ，ABC 面积的最小值为 ，此时直线直线 AB 的方程为 y=x 或 y=x25 （10 分）设函数 f（x）=lnx +x22ax+a2，aR （1）当 a=2 时，求函数 f（x）的单调区间；（2）若函数 f（x）在1， 3上不存在单调增区间，求 a 的取值范围【解答】解：（1）a=2 时，f （x）=lnx+x 24x+4， （x0） ，f（x ）= +2x4= ，令 f（x）0，解得：x 或 x ，令 f（x）0，解得： x ，故 f（x）在（0， ）递增，在（ ， ）递减，在（ ，+）递增；（2）f（x）= +2x2a= ，x1，3，设 g（ x）=2x 22ax+1，假设函数 f（x）在1，3 上不存在单调递增区间，必有 g（x ）0，于是 ，解得：a