1、2016-2017 学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设命题 P：xR ，x 2+20则P 为（ ）A BC DxR ，x 2+202 （5 分）等差数列a n前 n 项和为 Sn，公差 d=2，S 3=21，则 a1 的值为（ ）A10 B9 C6 D53 （5 分） “ ”是“ ”的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D不充分也不必要条件4 （5 分）已知向量 =（ 2，1 ，4） ， =（1，0，2） ，且 + 与 k 互相垂
2、直，则 k 的值是（ ）A1 B C D5 （5 分）在ABC 中，若 AB= ，BC=3 ，C=120，则 AC=（ ）A1 B2 C3 D46 （5 分）若双曲线 =1 的一条渐近线经过点（3，4） ，则此双曲线的离心率为（ ）A B C D7 （5 分）若 a，b 均为大于 1 的正数，且 ab=100，则 lgalgb 的最大值是（ ）A0 B1 C2 D8 （5 分）已知数列a n： a1=1， ，则 an=（ ）A2 n+13 B2 n1 C2 n+1D2 n+279 （5 分）若直线 2ax+by2=0（a0，b0）平分圆 x2+y22x4y6=0，则 + 的最小值是（ ）A2
3、B 1 C3+2 D3 210 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=x2y 的取值范围为（ ）A （ 3，3） B3，3 C 3，3） D 2，211 （5 分）如图过拋物线 y2=2px（p0）的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于点 A，B，C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（ ）Ay 2= x By 2=3x Cy 2= x Dy 2=9x12 （5 分）在锐角ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，若，a=2， ，则 b 的值为（ ）A B C D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）若
4、ABC 中， AC= ，A=45，C=75 ，则 BC= 14 （5 分）已知数列a n满足： ，且a2+a4+a6=9，则 的值为 15 （5 分）设不等式（x a） （x +a2）0 的解集为 N，若 xN 是的必要条件，则 a 的取值范围为 16 （5 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F 2，过 F1 且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，直线 AF2 与椭圆的另一个交点为 C，若=2 ，则椭圆的离心率为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）已知正项数列a n的前 n 项的和为 Sn，且满足：， （nN
5、 +）（1）求 a1， a2，a 3 的值（2）求数列a n的通项公式18 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，且bcosC=（2a c）cosB（1）求角 B 的值；（2）若 a，b，c 成等差数列，且 b=3，求 ABB1A1 面积19 （12 分）已知递增的等比数列a n满足：a 2a3=8，a 1+a4=9（1）求数列a n的通项公式；（2）设数列 ，求数列b n的前 n 项的和 Tn20 （12 分）已知点 A（ ，0） ，B（ ，0） ，P 是平面内的一个动点，直线PA 与 PB 交于点 P，且它们的斜率之积是 （1）求动点 P 的轨迹 C
6、的方程；（2）设直线 l：y=kx+1 与曲线 C 交于 M、N 两点，当线段 MN 的中点在直线x+2y=0 上时，求直线 l 的方程21 （12 分）如图，在以 A，B ，C，D，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF=2FD，AFD=90，且二面角 DAFE 与二面角 CBEF 都是 60（1）证明平面 ABEF平面 EFDC；（2）证明：CDEF（3）求二面角 EBCA 的余弦值22 （12 分）已知 O 是坐标系的原点， F 是抛物线 C：x 2=4y 的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，弦 AB 的中点为 M，OAB 的重心为 G（）求动点 G 的轨
7、迹方程；（）设（）中的轨迹与 y 轴的交点为 D，当直线 AB 与 x 轴相交时，令交点为 E，求四边形 DEMG 的面积最小时直线 AB 的方程2016-2017 学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设命题 P：xR ，x 2+20则P 为（ ）A BC DxR ，x 2+20【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即P： ，故选：B2 （5 分）等差数列a n前 n 项和为 Sn，公差 d=2，S 3=21，则 a1
8、 的值为（ ）A10 B9 C6 D5【解答】解：公差 d=2，S 3=21，可得 3a1+ 32（ 2） =21，解得 a1=9，故选：B3 （5 分） “ ”是“ ”的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D不充分也不必要条件【解答】解：当 +2k 时，满足 但 不一定成立，即充分性不成立，当 时， 成立，即必要性成立，则“ ”是“ ”的必要不充分条件，故选：C4 （5 分）已知向量 =（ 2，1 ，4） ， =（1，0，2） ，且 + 与 k 互相垂直，则 k 的值是（ ）A1 B C D【解答】解： + =（3， 1，6） ，k =（2k 1，k， 4k2） ， + 与
9、k 互相垂直，3（2k 1）+k +6（4k 2）=0，解得 k= ，故选：D5 （5 分）在ABC 中，若 AB= ，BC=3 ，C=120，则 AC=（ ）A1 B2 C3 D4【解答】解：在ABC 中，若 AB= ，BC=3 ，C=120 ，AB2=BC2+AC22ACBCcosC，可得：13=9+AC 2+3AC，解得 AC=1 或 AC=4（舍去） 故选：A6 （5 分）若双曲线 =1 的一条渐近线经过点（3，4） ，则此双曲线的离心率为（ ）A B C D【解答】解：双曲线 =1 的一条渐近线经过点（3，4） ，可得 3b=4a，即9（c 2a2）=16a 2，解得 = 故选：D7
10、 （5 分）若 a，b 均为大于 1 的正数，且 ab=100，则 lgalgb 的最大值是（ ）A0 B1 C2 D【解答】解：a1，b 1，lga 0，lgb0lgalgb（ ） 2=（ ） 2=1当且仅当 a=b=10 时等号成立即 lgalgb 的最大值是 1故选 B8 （5 分）已知数列a n： a1=1， ，则 an=（ ）A2 n+13 B2 n1 C2 n+1D2 n+27【解答】解：由 ，得 an+1+3=2（a n+3） ，a 1+3=40，数列a n+3是以 4 为首项，以 2 为公比的等比数列，则 ， 故选：A9 （5 分）若直线 2ax+by2=0（a0，b0）平分圆
11、 x2+y22x4y6=0，则 + 的最小值是（ ）A2 B 1 C3+2 D3 2【解答】解：由题意可得直线 2ax+by2=0（a0，b 0）经过圆 x2+y22x4y6=0的圆心（1，2） ，故有 2a+2b=2，即 a+b=1再根据 + = + =3+ + 3+2 =2+2 ，当且仅当 = 时，取等号，故 + 的最小值是 3+2 ，故选：C10 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=x2y 的取值范围为（ ）A （ 3，3） B3，3 C 3，3） D 2，2【解答】解：由 z=x2y 得 y= ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线 y= ，由图象可知当直线
12、y= ，过点 C（3，0）时，直线 y= 的截距最小，此时 z 最大，代入目标函数 z=x2y，得 z=3，目标函数 z=x2y 的最大值是 3当直线 y= ，过点 B 时，直线 y= 的截距最大，此时 z 最小，由 ，得 ，即 B（1，2）代入目标函数 z=x2y，得 z=122=3目标函数 z=x2y 的最小值是3故3 z3，故选：B11 （5 分）如图过拋物线 y2=2px（p0）的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于点 A，B，C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（ ）Ay 2= x By 2=3x Cy 2= x Dy 2=9x【解答】解：如图分别过点 A，
13、B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，设|BF|=a，则由已知得： |BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故BCD=30，在直角三角形 ACE 中，|AF|=3，|AC|=3+3a，2|AE |=|AC|3+3a=6，从而得 a=1，BDFG， ，求得 p= ，因此抛物线方程为 y2=3x，故选：B12 （5 分）在锐角ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，若，a=2， ，则 b 的值为（ ）A B C D【解答】解：在锐角ABC 中，sinA= ，S ABC = ， bcsinA= bc = ，bc=3，又 a=2，A 是锐角，cosA= = ，由余弦定理得：a
14、 2=b2+c22bccosA，即（b+c） 2=a2+2bc（1+cosA）=4 +6（1+ ）=12，b+c=2 由得： ，解得 b=c= 故选 A二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）若ABC 中， AC= ，A=45，C=75 ，则 BC= 【解答】解：AC= ，A=45 ，C=75，B=180A C=60，由正弦定理 ，可得：BC= = = 故答案为： 14 （5 分）已知数列a n满足： ，且a2+a4+a6=9，则 的值为 5 【解答】解：由 ，得 log3（3a n）=log 3an+1，a n+1=3an，且 an0，数列a n是公比为
15、 3 的等比数列，又 a2+a4+a6=9， =35 = 故答案为：515 （5 分）设不等式（x a） （x +a2）0 的解集为 N，若 xN 是的必要条件，则 a 的取值范围为 【解答】解：若 xN 是 的必要条件，则 MN，若 a=1 时，不等式（xa） （ x+a2）0 的解集 N=，此时不满足条件若 a1，则 N=（a，2a ） ，则满足 ，得 ，此时 a ，若 a1，则 N=（2a，a ） ，则满足 ，得 ，此时 a ，综上 ，故答案为：16 （5 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F 2，过 F1 且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，直线 AF2 与椭圆的另一个
16、交点为 C，若=2 ，则椭圆的离心率为 【解答】解：如图，由题意，A（c， ） ， =2 ， ，且 xCc=c，得 xC=2cC （2c， ） ，代入椭圆 ，得 ，即 5c2=a2，解得 e= 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）已知正项数列a n的前 n 项的和为 Sn，且满足：， （nN +）（1）求 a1， a2，a 3 的值（2）求数列a n的通项公式【解答】解：（1）由 ，取 n=1，得 ，a n0，得 a1=1，取 n=2，得 ，解得 a2=2，取 n=3，得 ，解 a3=3；（2） +an， ，得
17、（a n+1+an） （a n+1an1）=0，a n0， an+1+an0，则 an+1an=1，a n是首项为 1，公差为 1 的等差数列，a n=1+（n1 ）1=n18 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，且bcosC=（2a c）cosB（1）求角 B 的值；（2）若 a，b，c 成等差数列，且 b=3，求 ABB1A1 面积【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）bcosC=（2a c）cosB，由正弦定理 sinBcosC=（2sinA sinC）cosB，sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB， （2 分）sin （B
18、+C）=2sinAcosB，（3 分）又 A+B+C=，sinA=2sinAcosB， （4 分） ，又 B 为三角形内角 （5 分） （6 分）（2）由题意得 2b=a+c=6， （7 分） 又 ， （9 分）ac=9（10 分） （12 分）19 （12 分）已知递增的等比数列a n满足：a 2a3=8，a 1+a4=9（1）求数列a n的通项公式；（2）设数列 ，求数列b n的前 n 项的和 Tn【解答】解：（1）由题意，得 a2a3=a1a4=8，又 a1+a4=9，所以 a1=1，a 4=8，或 a1=8，a 4=1，由a n是递增的等比数列，知 q1 所以 a1=1，a 4=8，且
19、 q=2， ，即 an=2n1；（2）由（1）得 ，所以所以 ，两式相减，得，得 20 （12 分）已知点 A（ ，0） ，B（ ，0） ，P 是平面内的一个动点，直线PA 与 PB 交于点 P，且它们的斜率之积是 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（2）设直线 l：y=kx+1 与曲线 C 交于 M、N 两点，当线段 MN 的中点在直线x+2y=0 上时，求直线 l 的方程【解答】解：（1）设 ，由 ，整理得 +y2=1，x（2）设 MN 的中点坐标为（x 0，y 0） ，联立 得（2k 2+1）x 2+4kx=0，所以 ，由 x0+2y0=0，得 k=1，所以直线的方程为：y=x +1
20、21 （12 分）如图，在以 A，B ，C，D，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF=2FD，AFD=90，且二面角 DAFE 与二面角 CBEF 都是 60（1）证明平面 ABEF平面 EFDC；（2）证明：CDEF（3）求二面角 EBCA 的余弦值【解答】证明：（1）ABEF 为正方形，AFEF AFD=90，AFDF ，DFEF=F ，AF平面 EFDC，AF平面 ABEF，平面 ABEF平面 EFDC（2）由 AFDF，AFEF，可得DFE 为二面角 DAFE 的平面角，由 CEBE，BEEF，可得CEF 为二面角 CBEF 的平面角可得DFE= CEF=60ABE
21、F，AB平面 EFDC，EF平面 EFDC，AB平面 EFDC，平面 EFDC平面 ABCD=CD，AB 平面 ABCD，ABCD，CDEF解：（3）以 E 为原点，建立如图所示的坐标系，设 FD=a，则 E（0，0 ， 0） ，B（0 ， 2a，0） ，C（ ，0， ） ，A （2a，2a ，0 ） ， =（ 0，2a，0） ， =（ ， 2a， ） ， =（ 2a，0，0） ，设平面 BEC 的法向量 =（x 1，y 1，z 1） ，则 ，取 x1= ，则 =（ ） ，设平面 ABC 的法向量为 =（x，y，z ） ，则 ，取 y= ，得 ，设二面角 EBCA 的平面角为 则 cos= =
22、 = ，二面角 EBCA 的余弦值为 22 （12 分）已知 O 是坐标系的原点， F 是抛物线 C：x 2=4y 的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，弦 AB 的中点为 M，OAB 的重心为 G（）求动点 G 的轨迹方程；（）设（）中的轨迹与 y 轴的交点为 D，当直线 AB 与 x 轴相交时，令交点为 E，求四边形 DEMG 的面积最小时直线 AB 的方程【解答】解：（）焦点 F（0 ，1） ，显然直线 AB 的斜率存在，设 AB：y=kx+1，联立 x2=4y，消去 y 得，x 24kx4=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，G（x ，y） ，则 x1+x2=4k， x1x2=4，所以 ，所以 ，消去 k，得重心 G 的轨迹方程为 ；（）由已知及（）知， ，因为 ，所以 DGME， （注：也可根据斜率相等得到） ，D 点到直线 AB 的距离 ，所以四边形 DEMG 的面积，当且仅当 ，即 时取等号，此时四边形 DEMG 的面积最小，所求的直线 AB 的方程为