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2017-2018学年吉林省长春高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

1、2017-2018 学年吉林省长春高一(上)期末数学试卷一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)sin210的值为( )A B C D2 (5 分)用二分法研究函数 f(x )=x 3+3x1 的零点时,第一次经计算 f(0)0,f(0.5)0,可得其中一个零点 x0_,第二次应计算_以上横线上应填的内容为( )A (0 ,0.5 ) ,f (0.25) B (0,1) ,f(0.25 ) C (0.5,1) ,f(0.75)D (0,0.5) ,f(0.125)3 (5 分)设 都是单位向量,且 与 的夹角为 60,则

2、 =( )A3 B C2 D4 (5 分)已知集合 A=x|12 x8,集合 B=x|0log 2x1,则 AB=( )Ax |1x3 Bx|1x2 Cx|2x 3 Dx|0x 25 (5 分)一扇形的圆心角为 60,所在圆的半径为 6,则它的面积是( )A6 B3 C12 D96 (5 分)若 , 是两个平面向量,则下列命题中正确的是( )A若| |=| |,则 = 或 =B若 与 共线,则存在唯一实数 ,使 =C若 =0,则 =0 或 =0D若| |=| |+| |,则 与 共线7 (5 分)要得到 的图象,只需将 y=3cos2x 的图象( )A右移 B左移 C右移 D左移8 (5 分)

3、给出函数 f(x)= 则 f(log 23)等于( )A B C D9 (5 分)若 是ABC 的一个内角,且 ,则 cossin 的值为( )A B C D10 (5 分)已知 O 为ABC 内一点,且 ,则AOC 与ABC 的面积之比是( )A1 :2 B1:3 C2:3 D1:111 (5 分)函数 f(x )=lnx+x 2+a1 在区间(1,e)内有唯一的零点,则实数 a的取值范围是( )A ( e2,0) B (e 2,1) C (1,e ) D (1,e 2)12 (5 分)已知函数 f( x)= 若函数 g(x)=f(x)k 有两个不同的零点,则实数 k 的取值范围是( )A0

4、 k 1 Bk1 C k1 Dk1 或 k=二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分.13 (5 分)若 tan=2,则 的值为 14 (5 分)已知函数 y= 的单调递增区间为 15 (5 分)向量 =(2,3)在向量 =(3, 4)方向上的投影为 16 (5 分)已知定义域为 R 的奇函数 f(x)在(0,+)上是增函数,且 f()=0,则不等式 f(log 4x)0 的解集是 三.解答题:本题共 6 小题,17 题 10 分,18-22 每小题 10 分.17 (10 分)已知函数 f( x)=log 2 (1)求函数的定义域;(2)判断并证明函数的奇偶性18 (12 分)已知点 A

5、(1, 2)和向量 =(2,3)(1)若向量 与向量 同向,且| |=2 ,求点 B 的坐标;(2)若向量 与向量 =( 3,k)的夹角是钝角,求实数 k 的取值范围19 (12 分)已知 f(x)=Asin(x +) (A 0,0,0)图象的一部分如图所示:(1)求 f(x)的解析式;(2)求 f(x)的单调增区间及函数图象的对称轴20 (12 分)已知两个不共线的向量 , 的夹角为 ,且| |=2,| |=1(1)若 与 垂直,求 tan;(2)若 x + 与 3 平行,求实数 x 并指出此时 x 与 3 同向还是反向21 (12 分)已知幂函数 f(x )=(m 3m+1)x 的图象与

6、x 轴和 y 轴都无交点(1)求 f(x)的解析式;(2)解不等式 f(x+1) f(x2) 22 (12 分)已知 f(x)=sin 2x+m(2cosx1) ,x (1)当函数 f(x)的最小值为 1 时,求实数 m 的值;(2)在(1)的条件下求函数 f(x )的最大值及相应的 x 的值2017-2018 学年吉林省长春高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)sin210的值为( )A B C D【解答】解:sin210=sin(180+30 )= sin30= 故选 B2

7、(5 分)用二分法研究函数 f(x )=x 3+3x1 的零点时,第一次经计算 f(0)0,f(0.5)0,可得其中一个零点 x0_,第二次应计算_以上横线上应填的内容为( )A (0 ,0.5 ) ,f (0.25) B (0,1) ,f(0.25 ) C (0.5,1) ,f(0.75)D (0,0.5) ,f(0.125)【解答】解:由题意可知:对函数 f(x )=x 3+3x1,f( 0)0, f(0.5)0,且函数在区间(0,0.5)上连续,可得其中一个零点 x0(0.0.5) ,使得 f(x 0)=0,根据二分法的思想可知在第二次计算时应计算 f(0.25 ) ,所以答案为:(0,

8、0.5) ,f(0.25 ) 故选 A3 (5 分)设 都是单位向量,且 与 的夹角为 60,则 =( )A3 B C2 D【解答】解: 是夹角为 60的单位向量, = = = = +2 + =1+2 +1=3因此, = =故选 B4 (5 分)已知集合 A=x|12 x8,集合 B=x|0log 2x1,则 AB=( )Ax |1x3 Bx|1x2 Cx|2x 3 Dx|0x 2【解答】解:集合 A=x|12 x8= x|0x3,集合 B=x|0 log2x1=x |1x2,则 AB=x |1x2故选:B5 (5 分)一扇形的圆心角为 60,所在圆的半径为 6,则它的面积是( )A6 B3

9、C12 D9【解答】解:= ,r=6 ,由扇形面积公式得:S= = =6故选:A6 (5 分)若 , 是两个平面向量,则下列命题中正确的是( )A若| |=| |,则 = 或 =B若 与 共线,则存在唯一实数 ,使 =C若 =0,则 =0 或 =0D若| |=| |+| |,则 与 共线【解答】解:若| |=| |,说明两个向量的长度相同,但是方向不一定相同或相反,说 = 或 = ,A 不正确;若 与 共线,则存在唯一实数 ,使 = ,等式成立的条件是, ,所以B 不正确;若 =0,说明两个向量垂直,不一定是 =0 或 =0,所以 C 不正确;若| |=| |+| |,则 与 方向相反,所以两

10、个向量共线,D 正确;故选:D7 (5 分)要得到 的图象,只需将 y=3cos2x 的图象( )A右移 B左移 C右移 D左移【解答】解:函数 =3cos2(x ),要得到 y=3cos(2x )的图象,只需将 y=3cos2x 的图象向右平移 个单位故选:C8 (5 分)给出函数 f(x)= 则 f(log 23)等于( )A B C D【解答】解:函数 f(x )=f( log23)=f(log 23+1)=f (log 23+2)=f(log 23+3)=( ) = =故选:A9 (5 分)若 是ABC 的一个内角,且 ,则 cossin 的值为( )A B C D【解答】解: 为AB

11、C 内角,且 sincos= 0,cos 0 ,sin0,即 cossin0,(cos sin) 2=12sincos=1+ = ,cos sin= 故选 C10 (5 分)已知 O 为ABC 内一点,且 ,则AOC 与ABC 的面积之比是( )A1 :2 B1:3 C2:3 D1:1【解答】解:设 AC 的中心点为 D则 , ,即点 O 为 AC 边上的中线 BD 的中点,AOC 与ABC 的面积之比是 故选 A11 (5 分)函数 f(x )=lnx+x 2+a1 在区间(1,e)内有唯一的零点,则实数 a的取值范围是( )A ( e2,0) B (e 2,1) C (1,e ) D (1

12、,e 2)【解答】解:函数 f(x) =lnx+x2+a1 在区间(1, e)内有唯一的零点,得lnx+x2+a1=0,又 x0,函数 f(x )=lnx +x2+a1 是增函数,f(1)f(e)0,可得:a(1+e 2+a1)0,解得 a(e 2,0) 故选:A12 (5 分)已知函数 f( x)= 若函数 g(x)=f(x)k 有两个不同的零点,则实数 k 的取值范围是( )A0 k 1 Bk1 C k1 Dk1 或 k=【解答】解:由题意可得函数 f(x )的图象与直线 y=k 有二个不同的交点,如图所示:故实数 k 的取值范围是( ,1) ,故选 C二、填空题:本题共 4 小题,每小题

13、 5 分.13 (5 分)若 tan=2,则 的值为 【解答】解:tan=2 , = = ,故答案为:14 (5 分)已知函数 y= 的单调递增区间为 (,1) 【解答】解:令 t=x210,求得 x1,或 x 1,故函数的定义域为x|x1,或 x1,且 y= ,故本题即求函数 t 在定义域内的减区间再利用二次函数的性质可得函数 t 在定义域内的减区间为( ,1) ,故答案为:(,1) 15 (5 分)向量 =(2,3)在向量 =(3, 4)方向上的投影为 【解答】解:根据投影的定义可得:在 方向上的投影为| |cos , = = = 故答案为: 16 (5 分)已知定义域为 R 的奇函数 f

14、(x)在(0,+)上是增函数,且 f()=0,则不等式 f(log 4x)0 的解集是 ( ,1)(2,+) 【解答】解:定义域为 R 的奇函数 f(x)在(0,+)上是增函数,且f( )=0,可得 f( x)在(,0)上是增函数,且 f( )=f( )=0 ,当 log4x0 即 x1,f (log 4x)0 即为 log4x ,解得 x2;当 log4x0 即 0x1,f(log 4x)0 即为 log4x ,解得 x1综上可得,原不等式的解集为( ,1)(2,+) 故答案为:( ,1)(2,+) 三.解答题:本题共 6 小题,17 题 10 分,18-22 每小题 10 分.17 (10

15、 分)已知函数 f( x)=log 2 (1)求函数的定义域;(2)判断并证明函数的奇偶性【解答】解:(1)函数应满足 0,解得 x1 或 x1,所以函数的定义域为( , 1)(1,+) (2)函数 f(x)是奇函数由(1)知定义域关于原点对称,又 f(x )=log 2 =log2 =log2 =f(x ) ,所以函数 f(x)是奇函数18 (12 分)已知点 A(1, 2)和向量 =(2,3)(1)若向量 与向量 同向,且| |=2 ,求点 B 的坐标;(2)若向量 与向量 =( 3,k)的夹角是钝角,求实数 k 的取值范围【解答】解:(1)设 B( x,y) ,则 =(x1,y+2) ,

16、若向量 与向量 同向,则有 3(x1)=2(y +2) ,若| |=2 ,则(x1) 2+(y+2) 2=52,解可得 或 ,当 时, =(4,6 ) ,与向量 反向,不合题意,舍去;当 时, =(4,6) ,与向量 同向,则 B 的坐标为(5,4) ;(2)若向量 与向量 =( 3,k)的夹角是钝角,则有 =6+3k0 且 2k+90,解可得 k2 且 k ,故 k 的取值范围是(, )( ,2) 19 (12 分)已知 f(x)=Asin(x +) (A 0,0,0)图象的一部分如图所示:(1)求 f(x)的解析式;(2)求 f(x)的单调增区间及函数图象的对称轴【解答】解:(1)由图象可

17、知:A=2,(1 分)= = ,解得 T=,T= =,解得 =2;(3 分)f( x)=2sin(2x+) ;又 f( )=2sin ( +)=2,sin ( +)=1;0 , + , += ,解得 = ;(5 分)f( x)=2sin(2x+ ) ; (6 分)(2)令 +2k2x+ +2k,解得: +kx +k,函数 f(x )的增区间为 +k, +k(kZ ) ;(9 分)令 2x+ = +k,解得 x= + ,k Z;f( x)的对称轴为 x= + (k Z)(12 分)20 (12 分)已知两个不共线的向量 , 的夹角为 ,且| |=2,| |=1(1)若 与 垂直,求 tan;(2

18、)若 x + 与 3 平行,求实数 x 并指出此时 x 与 3 同向还是反向【解答】解:(1)根据题意,由于 与 垂直,则有( )( ) = 22 3 2=0,即有 44cos3=0,解可得 cos= ,又由 0,则 sin= ,则 tan= = ;(2)若 x + 与 3 平行,则存在实数 满足( x + )=(3 ) ,又由向量 , 不共线,则有 ,解可得 = ,x= ,又由 = 0,此时 x 与 3 反向21 (12 分)已知幂函数 f(x )=(m 3m+1)x 的图象与 x 轴和 y 轴都无交点(1)求 f(x)的解析式;(2)解不等式 f(x+1) f(x2) 【解答】解:(1)由

19、已知 f(x )是幂函数,由 m3m+1=1,解得:m0,1,又 f(x)的图象与 x 轴和 y 轴都无交点,经检验 m=1,此时 f(x)=x 4,(2)f(x )=x 4 是偶函数且在(0,+)递减,所以要使得 f(x+1)f (x2)只需|x+1|x 2|,解得: x ,又 f(x)的定义域为x|x0,所以 x 1 且 x2 ,综上,不等式的解集为x|x ,x122 (12 分)已知 f(x)=sin 2x+m(2cosx1) ,x (1)当函数 f(x)的最小值为 1 时,求实数 m 的值;(2)在(1)的条件下求函数 f(x )的最大值及相应的 x 的值【解答】解:(1)f(x) =

20、sin2x+m(2cosx1) ,=(1 cos2x)+m(2cosx1 ) ,=cos2x+2mcosx(m +1) 设 t=cosx,由于 ,则: f(x)=g(t)=t 2+2mt(m+1) ,则:对称轴 t=m,当 ,即 时,= ,解得:m= ,不合题意,舍去 当m1,即 m1 时f(x) min=g(1)=1+2mm 1=1,解得 m=1 (符合题意) 当 ,即 时f(x) min=g(m)=m 22m2m1=1,解得:m=0 或 1故 m=0综上所述 m=0 或1(2)m=0 时,f(x)=g(t)=t 21, ,可见 f( x)的最大值 g(1)=0 ,此时 cosx=1,解得: x=0m=1 时,f(x)=g(t )=t 22t, 可见 f(x )的最大值为 此时 cosx= ,解得:x=