1、2017-2018 学年吉林省长春高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）sin210的值为（ ）A B C D2 （5 分）用二分法研究函数 f（x ）=x 3+3x1 的零点时，第一次经计算 f（0）0，f（0.5）0，可得其中一个零点 x0_，第二次应计算_以上横线上应填的内容为（ ）A （0 ，0.5 ） ，f （0.25） B （0，1） ，f（0.25 ） C （0.5，1） ，f（0.75）D （0，0.5） ，f（0.125）3 （5 分）设 都是单位向量，且 与 的夹角为 60，则
2、 =（ ）A3 B C2 D4 （5 分）已知集合 A=x|12 x8，集合 B=x|0log 2x1，则 AB=（ ）Ax |1x3 Bx|1x2 Cx|2x 3 Dx|0x 25 （5 分）一扇形的圆心角为 60，所在圆的半径为 6，则它的面积是（ ）A6 B3 C12 D96 （5 分）若 ， 是两个平面向量，则下列命题中正确的是（ ）A若| |=| |，则 = 或 =B若 与 共线，则存在唯一实数 ，使 =C若 =0，则 =0 或 =0D若| |=| |+| |，则 与 共线7 （5 分）要得到 的图象，只需将 y=3cos2x 的图象（ ）A右移 B左移 C右移 D左移8 （5 分）
3、给出函数 f（x）= 则 f（log 23）等于（ ）A B C D9 （5 分）若 是ABC 的一个内角，且 ，则 cossin 的值为（ ）A B C D10 （5 分）已知 O 为ABC 内一点，且 ，则AOC 与ABC 的面积之比是（ ）A1 ：2 B1：3 C2：3 D1：111 （5 分）函数 f（x ）=lnx+x 2+a1 在区间（1，e）内有唯一的零点，则实数 a的取值范围是（ ）A （ e2，0） B （e 2，1） C （1，e ） D （1，e 2）12 （5 分）已知函数 f（ x）= 若函数 g（x）=f（x）k 有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是（ ）A0
4、 k 1 Bk1 C k1 Dk1 或 k=二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分.13 （5 分）若 tan=2，则 的值为 14 （5 分）已知函数 y= 的单调递增区间为 15 （5 分）向量 =（2，3）在向量 =（3， 4）方向上的投影为 16 （5 分）已知定义域为 R 的奇函数 f（x）在（0，+）上是增函数，且 f（）=0，则不等式 f（log 4x）0 的解集是 三.解答题：本题共 6 小题，17 题 10 分，18-22 每小题 10 分.17 （10 分）已知函数 f（ x）=log 2 （1）求函数的定义域；（2）判断并证明函数的奇偶性18 （12 分）已知点 A
5、（1， 2）和向量 =（2，3）（1）若向量 与向量 同向，且| |=2 ，求点 B 的坐标；（2）若向量 与向量 =（ 3，k）的夹角是钝角，求实数 k 的取值范围19 （12 分）已知 f（x）=Asin（x +） （A 0，0，0）图象的一部分如图所示：（1）求 f（x）的解析式；（2）求 f（x）的单调增区间及函数图象的对称轴20 （12 分）已知两个不共线的向量 ， 的夹角为 ，且| |=2，| |=1（1）若 与 垂直，求 tan；（2）若 x + 与 3 平行，求实数 x 并指出此时 x 与 3 同向还是反向21 （12 分）已知幂函数 f（x ）=（m 3m+1）x 的图象与
6、x 轴和 y 轴都无交点（1）求 f（x）的解析式；（2）解不等式 f（x+1） f（x2） 22 （12 分）已知 f（x）=sin 2x+m（2cosx1） ，x （1）当函数 f（x）的最小值为 1 时，求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下求函数 f（x ）的最大值及相应的 x 的值2017-2018 学年吉林省长春高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）sin210的值为（ ）A B C D【解答】解：sin210=sin（180+30 ）= sin30= 故选 B2
7、（5 分）用二分法研究函数 f（x ）=x 3+3x1 的零点时，第一次经计算 f（0）0，f（0.5）0，可得其中一个零点 x0_，第二次应计算_以上横线上应填的内容为（ ）A （0 ，0.5 ） ，f （0.25） B （0，1） ，f（0.25 ） C （0.5，1） ，f（0.75）D （0，0.5） ，f（0.125）【解答】解：由题意可知：对函数 f（x ）=x 3+3x1，f（ 0）0， f（0.5）0，且函数在区间（0，0.5）上连续，可得其中一个零点 x0（0.0.5） ，使得 f（x 0）=0，根据二分法的思想可知在第二次计算时应计算 f（0.25 ） ，所以答案为：（0，
8、0.5） ，f（0.25 ） 故选 A3 （5 分）设 都是单位向量，且 与 的夹角为 60，则 =（ ）A3 B C2 D【解答】解： 是夹角为 60的单位向量， = = = = +2 + =1+2 +1=3因此， = =故选 B4 （5 分）已知集合 A=x|12 x8，集合 B=x|0log 2x1，则 AB=（ ）Ax |1x3 Bx|1x2 Cx|2x 3 Dx|0x 2【解答】解：集合 A=x|12 x8= x|0x3，集合 B=x|0 log2x1=x |1x2，则 AB=x |1x2故选：B5 （5 分）一扇形的圆心角为 60，所在圆的半径为 6，则它的面积是（ ）A6 B3
9、C12 D9【解答】解：= ，r=6 ，由扇形面积公式得：S= = =6故选：A6 （5 分）若 ， 是两个平面向量，则下列命题中正确的是（ ）A若| |=| |，则 = 或 =B若 与 共线，则存在唯一实数 ，使 =C若 =0，则 =0 或 =0D若| |=| |+| |，则 与 共线【解答】解：若| |=| |，说明两个向量的长度相同，但是方向不一定相同或相反，说 = 或 = ，A 不正确；若 与 共线，则存在唯一实数 ，使 = ，等式成立的条件是， ，所以B 不正确；若 =0，说明两个向量垂直，不一定是 =0 或 =0，所以 C 不正确；若| |=| |+| |，则 与 方向相反，所以两
10、个向量共线，D 正确；故选：D7 （5 分）要得到 的图象，只需将 y=3cos2x 的图象（ ）A右移 B左移 C右移 D左移【解答】解：函数 =3cos2（x ），要得到 y=3cos（2x ）的图象，只需将 y=3cos2x 的图象向右平移 个单位故选：C8 （5 分）给出函数 f（x）= 则 f（log 23）等于（ ）A B C D【解答】解：函数 f（x ）=f（ log23）=f（log 23+1）=f （log 23+2）=f（log 23+3）=（ ） = =故选：A9 （5 分）若 是ABC 的一个内角，且 ，则 cossin 的值为（ ）A B C D【解答】解： 为AB
11、C 内角，且 sincos= 0，cos 0 ，sin0，即 cossin0，（cos sin） 2=12sincos=1+ = ，cos sin= 故选 C10 （5 分）已知 O 为ABC 内一点，且 ，则AOC 与ABC 的面积之比是（ ）A1 ：2 B1：3 C2：3 D1：1【解答】解：设 AC 的中心点为 D则 ， ，即点 O 为 AC 边上的中线 BD 的中点，AOC 与ABC 的面积之比是 故选 A11 （5 分）函数 f（x ）=lnx+x 2+a1 在区间（1，e）内有唯一的零点，则实数 a的取值范围是（ ）A （ e2，0） B （e 2，1） C （1，e ） D （1
12、，e 2）【解答】解：函数 f（x） =lnx+x2+a1 在区间（1， e）内有唯一的零点，得lnx+x2+a1=0，又 x0，函数 f（x ）=lnx +x2+a1 是增函数，f（1）f（e）0，可得：a（1+e 2+a1）0，解得 a（e 2，0） 故选：A12 （5 分）已知函数 f（ x）= 若函数 g（x）=f（x）k 有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是（ ）A0 k 1 Bk1 C k1 Dk1 或 k=【解答】解：由题意可得函数 f（x ）的图象与直线 y=k 有二个不同的交点，如图所示：故实数 k 的取值范围是（ ，1） ，故选 C二、填空题：本题共 4 小题，每小题
13、 5 分.13 （5 分）若 tan=2，则 的值为 【解答】解：tan=2 ， = = ，故答案为：14 （5 分）已知函数 y= 的单调递增区间为 （，1） 【解答】解：令 t=x210，求得 x1，或 x 1，故函数的定义域为x|x1，或 x1，且 y= ，故本题即求函数 t 在定义域内的减区间再利用二次函数的性质可得函数 t 在定义域内的减区间为（ ，1） ，故答案为：（，1） 15 （5 分）向量 =（2，3）在向量 =（3， 4）方向上的投影为 【解答】解：根据投影的定义可得：在 方向上的投影为| |cos ， = = = 故答案为： 16 （5 分）已知定义域为 R 的奇函数 f
14、（x）在（0，+）上是增函数，且 f（）=0，则不等式 f（log 4x）0 的解集是 （ ，1）（2，+） 【解答】解：定义域为 R 的奇函数 f（x）在（0，+）上是增函数，且f（ ）=0，可得 f（ x）在（，0）上是增函数，且 f（ ）=f（ ）=0 ，当 log4x0 即 x1，f （log 4x）0 即为 log4x ，解得 x2；当 log4x0 即 0x1，f（log 4x）0 即为 log4x ，解得 x1综上可得，原不等式的解集为（ ，1）（2，+） 故答案为：（ ，1）（2，+） 三.解答题：本题共 6 小题，17 题 10 分，18-22 每小题 10 分.17 （10
15、 分）已知函数 f（ x）=log 2 （1）求函数的定义域；（2）判断并证明函数的奇偶性【解答】解：（1）函数应满足 0，解得 x1 或 x1，所以函数的定义域为（ ， 1）（1，+） （2）函数 f（x）是奇函数由（1）知定义域关于原点对称，又 f（x ）=log 2 =log2 =log2 =f（x ） ，所以函数 f（x）是奇函数18 （12 分）已知点 A（1， 2）和向量 =（2，3）（1）若向量 与向量 同向，且| |=2 ，求点 B 的坐标；（2）若向量 与向量 =（ 3，k）的夹角是钝角，求实数 k 的取值范围【解答】解：（1）设 B（ x，y） ，则 =（x1，y+2） ，
16、若向量 与向量 同向，则有 3（x1）=2（y +2） ，若| |=2 ，则（x1） 2+（y+2） 2=52，解可得 或 ，当 时， =（4，6 ） ，与向量 反向，不合题意，舍去；当 时， =（4，6） ，与向量 同向，则 B 的坐标为（5，4） ；（2）若向量 与向量 =（ 3，k）的夹角是钝角，则有 =6+3k0 且 2k+90，解可得 k2 且 k ，故 k 的取值范围是（， ）（ ，2） 19 （12 分）已知 f（x）=Asin（x +） （A 0，0，0）图象的一部分如图所示：（1）求 f（x）的解析式；（2）求 f（x）的单调增区间及函数图象的对称轴【解答】解：（1）由图象可
17、知：A=2，（1 分）= = ，解得 T=，T= =，解得 =2；（3 分）f（ x）=2sin（2x+） ；又 f（ ）=2sin （ +）=2，sin （ +）=1；0 ， + ， += ，解得 = ；（5 分）f（ x）=2sin（2x+ ） ； （6 分）（2）令 +2k2x+ +2k，解得： +kx +k，函数 f（x ）的增区间为 +k， +k（kZ ） ；（9 分）令 2x+ = +k，解得 x= + ，k Z；f（ x）的对称轴为 x= + （k Z）（12 分）20 （12 分）已知两个不共线的向量 ， 的夹角为 ，且| |=2，| |=1（1）若 与 垂直，求 tan；（2
18、）若 x + 与 3 平行，求实数 x 并指出此时 x 与 3 同向还是反向【解答】解：（1）根据题意，由于 与 垂直，则有（ ）（ ） = 22 3 2=0，即有 44cos3=0，解可得 cos= ，又由 0，则 sin= ，则 tan= = ；（2）若 x + 与 3 平行，则存在实数 满足（ x + ）=（3 ） ，又由向量 ， 不共线，则有 ，解可得 = ，x= ，又由 = 0，此时 x 与 3 反向21 （12 分）已知幂函数 f（x ）=（m 3m+1）x 的图象与 x 轴和 y 轴都无交点（1）求 f（x）的解析式；（2）解不等式 f（x+1） f（x2） 【解答】解：（1）由
19、已知 f（x ）是幂函数，由 m3m+1=1，解得：m0，1，又 f（x）的图象与 x 轴和 y 轴都无交点，经检验 m=1，此时 f（x）=x 4，（2）f（x ）=x 4 是偶函数且在（0，+）递减，所以要使得 f（x+1）f （x2）只需|x+1|x 2|，解得： x ，又 f（x）的定义域为x|x0，所以 x 1 且 x2 ，综上，不等式的解集为x|x ，x122 （12 分）已知 f（x）=sin 2x+m（2cosx1） ，x （1）当函数 f（x）的最小值为 1 时，求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下求函数 f（x ）的最大值及相应的 x 的值【解答】解：（1）f（x） =
20、sin2x+m（2cosx1） ，=（1 cos2x）+m（2cosx1 ） ，=cos2x+2mcosx（m +1） 设 t=cosx，由于 ，则： f（x）=g（t）=t 2+2mt（m+1） ，则：对称轴 t=m，当 ，即 时，= ，解得：m= ，不合题意，舍去 当m1，即 m1 时f（x） min=g（1）=1+2mm 1=1，解得 m=1 （符合题意） 当 ，即 时f（x） min=g（m）=m 22m2m1=1，解得：m=0 或 1故 m=0综上所述 m=0 或1（2）m=0 时，f（x）=g（t）=t 21， ，可见 f（ x）的最大值 g（1）=0 ，此时 cosx=1，解得： x=0m=1 时，f（x）=g（t ）=t 22t， 可见 f（x ）的最大值为 此时 cosx= ，解得：x=