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2017-2018学年吉林省吉林市吉化高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

1、2017-2018 学年吉林省吉林市吉化高一(上)期末数学试卷一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)已知全集 U=Z,A=0,1,2,3,B=x|x 2=2x,则 A( UB)为( )A1 ,3 B0,2 C0,1,3 D22 (5 分)函数 的定义域为( )A ( ,1 ) B (0,1 C (0,1) D (0,+)3 (5 分)函数 f(x )=e x+x2 的零点所在的一个区间是( )A ( 2,1) B (1,0) C (0,1) D (1,2)4 (5 分)如图所示,直观图四边形 ABCD

2、是一个底角为 45,腰和上底均为1 的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( )A B C D5 (5 分)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( )A B C D6 (5 分)圆台上、下底面面积分别是 、4,侧面积是 6,这个圆台的体积是( )A B2 C D 7 (5 分)如图,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB 的中点 M,DD 1 的中点 N,则异面直线 B1M 与 CN 所成的角是( )A30 B45 C60 D908 (5 分)我国古代数学名著数学九章中有云:“今有木长二丈四尺,围之五尺葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何?”其意思为“圆木长

3、2 丈4 尺,圆周为 5 尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺(注:1 丈等于 10 尺) ( )A29 尺 B24 尺 C26 尺 D30 尺9 (5 分)过点(1,2) ,且与原点距离最大的直线方程是( )Ax +2y5=0B2x+y4=0 Cx+3y 7=0 Dx2y+3=010 (5 分)与直线 xy4=0 和圆 x2+y2+2x2y=0 都相切的半径最小的圆的方程是( )A (x +1) 2+(y+1) 2=2 B (x+1) 2+(y+1) 2=4 C (x1) 2+(y+1) 2=2D (x 1) 2+(y+1)=411 (5 分)

4、若动点 P 到点 F(1,1)和直线 3x+y4=0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为( )A3x+y6=0 Bx3y+2=0 Cx+3y 2=0 D3xy+2=012 (5 分)若直线 l:ax+by=1 与圆 C:x 2+y2=1 有两个不同交点,则点P(a ,b)与圆 C 的位置关系是( )A点在圆上 B点在圆内 C点在圆外 D不能确定二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13 (5 分)已知直线 5x+12y+a=0 与圆 x2+y22x=0 相切,则 a 的值为 14 (5 分)已知奇函数 f(x ) ,x(0 ,+) ,f(x)=lgx,则不等式 f(x)

5、0的解集是 15 (5 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,DAB=60,E 为 AB 的中点,将ADE 与BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P,则三棱锥 PDCE 的外接球的体积为 16 (5 分)已知圆 C:(x3) 2+(y 4) 2=1 和两点 A(m,0) ,B (m,0)(m0) ,若圆上存在点 P,使得APB=90,则 m 的取值范围是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 (10 分)已知 (1)求 f(x)的定义域;(2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明18 (12 分)ABC

6、 的边 AC,AB 上的高所在直线方程分别为2x3y+1=0,x+y=1 ,顶点 A(1,2) ,求 BC 边所在的直线方程19 (12 分)如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,AA 1底面 ABC,且ABC 为等边三角形,AA 1=AB=6,D 为 AC 的中点(1)求证:直线 AB1平面 BC1D;(2)求证:平面 BC1D平面 ACC1A1;(3)求三棱锥 CBC1D 的体积20 (12 分)如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,EF 平面 ABCD,EF=1,FB=FC,BFC=90,AE= (1)求证:AB平面 BCF;(2)求直线 AE 与

7、平面 BDE 所成角的正切值21 (12 分)如图,已知 ABCD 是上、下底边长分别为 2 和 6,高为 的等腰梯形,将它沿对称轴 OO1 折成直二面角(1)证明:ACBO 1;(2)求二面角 OACO1 的余弦值22 (12 分)已知点 P(2,0)及圆 C:x 2+y26x+4y+4=0(1)设过 P 直线 l1 与圆 C 交于 M、N 两点,当|MN|=4 时,求以 MN 为直径的圆 Q 的方程;(2)设直线 axy+1=0 与圆 C 交于 A,B 两点,是否存在实数 a,使得过点P(2 ,0)的直线 l2 垂直平分弦 AB?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由2017-2

8、018 学年吉林省吉林市吉化高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)已知全集 U=Z,A=0,1,2,3,B=x|x 2=2x,则 A( UB)为( )A1 ,3 B0,2 C0,1,3 D2【解答】解:全集 U=Z,A=0,1,2,3,B=x|x2=2x=0,2,C UB=x|xZ,且 x0,且 x2 ,AC UB=1,3故选 A2 (5 分)函数 的定义域为( )A ( ,1 ) B (0,1 C (0,1) D (0,+)【解答】解:函数 的定义域为:x|

9、,解得x|0x1,故选 C3 (5 分)函数 f(x )=e x+x2 的零点所在的一个区间是( )A ( 2,1) B (1,0) C (0,1) D (1,2)【解答】解:因为 f(0)= 10,f(1)=e 10,所以零点在区间(0,1)上,故选 C4 (5 分)如图所示,直观图四边形 ABCD是一个底角为 45,腰和上底均为1 的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( )A B C D【解答】解:根据斜二侧画法可知,原图形为直角梯形,其中上底 AD=1,高 AB=2AB=2,下底为 BC=1+ , 故选:A5 (5 分)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(

10、)A B C D【解答】解:被截去的四棱锥的三条可见棱中,在两条为长方体的两条对角线,它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合,另一条为体对角线,它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合,对照各图,只有 D 符合故选 D6 (5 分)圆台上、下底面面积分别是 、4,侧面积是 6,这个圆台的体积是( )A B2 C D 【解答】解:S 1=,S 2=4,r=1 ,R=2,S=6=(r+R)l,l=2,h= V= (1+4+2) = 故选 D7 (5 分)如图,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB 的中点 M,DD 1 的中点 N,则异面直线 B1M 与 CN 所成的角是( )A30

11、 B45 C60 D90【解答】解:由题意,在右面补一个正方体,如图:AB 的中点 M,取 C1E 的中点 P,连接 CP,可得:CPB 1M,NCP 是异面直线 B1M 与 CN 所成的角的平面角连接 NP,设正方体 ABCDA1B1C1D1 的边长为 a可得:CN=CP= NP= = NCP 的三条边满足:CN 2+CP2=NP2NCP=90 即异面直线 B1M 与 CN 所成的角是 90故选:D8 (5 分)我国古代数学名著数学九章中有云:“今有木长二丈四尺,围之五尺葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何?”其意思为“圆木长 2 丈4 尺,圆周为 5 尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,

12、绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺(注:1 丈等于 10 尺) ( )A29 尺 B24 尺 C26 尺 D30 尺【解答】解:由题意,圆柱的侧面展开图是矩形,一条直角边(即木棍的高)长 24 尺,另一条直角边长 52=10(尺) ,因此葛藤长 =26(尺) 故选:C9 (5 分)过点(1,2) ,且与原点距离最大的直线方程是( )Ax +2y5=0B2x+y4=0 Cx+3y 7=0 Dx2y+3=0【解答】解:根据题意得,当与直线 OA 垂直时距离最大,因直线 OA 的斜率为 2,所以所求直线斜率为 ,所以由点斜式方程得:y2= (x1) ,化简得:x+2y5=0,故选:A

13、10 (5 分)与直线 xy4=0 和圆 x2+y2+2x2y=0 都相切的半径最小的圆的方程是( )A (x +1) 2+(y+1) 2=2 B (x+1) 2+(y+1) 2=4 C (x1) 2+(y+1) 2=2D (x 1) 2+(y+1)=4【解答】解:由题意圆 x2+y2+2x2y=0 的圆心为(1,1) ,半径为 ,过圆心(1,1)与直线 xy4=0 垂直的直线方程为 x+y=0,所求的圆的圆心在此直线上,排除 A、B ,圆心(1,1)到直线 xy4=0 的距离为 =3 ,则所求的圆的半径为 ,故选 C11 (5 分)若动点 P 到点 F(1,1)和直线 3x+y4=0 的距离

14、相等,则点 P 的轨迹方程为( )A3x+y6=0 Bx3y+2=0 Cx+3y 2=0 D3xy+2=0【解答】解:点 F(1,1)在直线 3x+y4=0 上,则点 P 的轨迹是过点 F(1,1)且垂直于已知直线的直线,因为直线 3x+y4=0 的斜率为 3,所以所求直线的斜率为 ,由点斜式知点 P 的轨迹方程为 y1= (x1)即 x3y+2=0故选 B12 (5 分)若直线 l:ax+by=1 与圆 C:x 2+y2=1 有两个不同交点,则点P(a ,b)与圆 C 的位置关系是( )A点在圆上 B点在圆内 C点在圆外 D不能确定【解答】解:直线 l:ax+by=1 与圆 C:x 2+y2

15、=1 有两个不同交点,则 1,a 2+b21,点 P( a,b)在圆 C 外部,故选 C二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13 (5 分)已知直线 5x+12y+a=0 与圆 x2+y22x=0 相切,则 a 的值为 18 或 8 【解答】解:圆的标准方程为(x1) 2+y2=1,圆心坐标为(1,0) ,半径 R=1,直线和圆相切,圆心到直线的距离 d= = =1,即|a +5|=13,即 a+5=13 或 a+5=13,得 a=8 或 a=18,故答案为:18 或 814 (5 分)已知奇函数 f(x ) ,x(0 ,+) ,f(x)=lgx,则不等式 f(x)0

16、的解集是 (,1)(0,1) 【解答】解:x (0 ,+) ,f(x)=lgx ,不等式 f(x)0 化为lgx0,0x1当 x0 时,函数 f(x)是奇函数,f(x )= f(x)= lg(x) ,由 f(x)0 即lg(x)0,化为 lg(x)0,x1,解得 x1综上可得不等式 f(x) 0 的解集是:( ,1)(0,1) 故答案为:(,1)(0,1) 15 (5 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,DAB=60,E 为 AB 的中点,将ADE 与BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P,则三棱锥 PDCE 的外接球的体积为 【解答】解:DAB=60

17、三棱锥 PDCE 各边长度均为 1三棱锥 PDCE 为正三棱锥 P 点在底面 DCE 的投影为等边DCE 的中心,设中心为 OOD=OE=OC=在直角POD 中:OP 2=PD2OD2=OP=外接球的球心必在 OP 上,设球心位置为 O,则 OP=OD 设 OP=OD=R则在直角OOD 中:OO 2+OD2=OD2(OPOP) 2+OD2=OD2( R) 2+( )2=R2, R=体积为 R3=故答案为:16 (5 分)已知圆 C:(x3) 2+(y 4) 2=1 和两点 A(m,0) ,B (m,0)(m0) ,若圆上存在点 P,使得APB=90,则 m 的取值范围是 4,6 【解答】解:圆

18、 C:(x3) 2+(y 4) 2=1 的圆心 C(3,4) ,半径为 1,圆心 C 到 O(0,0)的距离为 5,圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6,最小值为 4,再由APB=90,以 AB 为直径的圆和圆 C 有交点,可得 PO= AB=m,故有 4m6,故答案为:4,6三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 (10 分)已知 (1)求 f(x)的定义域;(2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明【解答】解:(1)由对数函数的定义知 0即 0,解得:1x1;故 f(x)的定义域为(1,1)(2)f(x )为奇函数,理由如下:f(x

19、)定义域为(1,1)关于原点对称,又f( x)=log a =loga =f(x) ,f( x)为奇函数18 (12 分)ABC 的边 AC,AB 上的高所在直线方程分别为2x3y+1=0,x+y=1 ,顶点 A(1,2) ,求 BC 边所在的直线方程【解答】解:因为 AC 边上的高所在直线方程为 2x3y+1=0,所以直线 AC 的斜率为 ;所以直线 AC 的方程为 y2= ,即 3x+2y7=0,同理可求得直线 AB 的方程为 xy+1=0由 ,得顶点 C(7, 7) ,由 ,得顶点 B( 2,1) 所以直线 BC 的斜率为 ,所以直线 BC 的方程为 y+1= ,即 2x+3y+7=01

20、9 (12 分)如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,AA 1底面 ABC,且ABC 为等边三角形,AA 1=AB=6,D 为 AC 的中点(1)求证:直线 AB1平面 BC1D;(2)求证:平面 BC1D平面 ACC1A1;(3)求三棱锥 CBC1D 的体积【解答】 (1)证明:如图所示,连接 B1C 交 BC1 于 O,连接 OD,因为四边形 BCC1B1 是平行四边形,所以点 O 为 B1C 的中点,又因为 D 为 AC 的中点,所以 OD 为AB 1C 的中位线,所以 ODB 1A,又 OD平面 C1BD,AB 1平面 C1BD,所以 AB1平面 C1BD(2)证明:因为ABC 是等

21、边三角形, D 为 AC 的中点,所以 BDAC,又因为 AA1底面 ABC,所以 AA1BD ,根据线面垂直的判定定理得 BD平面 A1ACC1,又因为 BD平面 C1BD,所以平面 C1BD平面 A1ACC1;(3)解:由(2)知,ABC 中,BD AC ,BD=BCsin60=3 ,S BCD = 33 = , = = 6=9 20 (12 分)如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,EF 平面 ABCD,EF=1,FB=FC,BFC=90,AE= (1)求证:AB平面 BCF;(2)求直线 AE 与平面 BDE 所成角的正切值【解答】 (1)证明:取

22、 AB 的中点 M,连接 EM,则 AM=MB=1,EF 平面 ABCD,EF平面 ABEF,平面 ABCD平面 ABEF=AB,EF AB,即 EFMB EF=MB=1四边形 EMBF 是平行四边形EMFB,EM=FB 在 RtBFC 中,FB 2+FC2=BC2=4,又 FB=FC,得 FB= EM= 在AEM 中,AE= ,AM=1,EM= ,AM 2+EM2=3=AE2,AMEMAMFB,即 ABFB四边形 ABCD 是正方形,ABBCFBBC=B,FB 平面 BCF,BC 平面 BCF,AB平面 BCF(2)连接 AC,AC 与 BD 相交于点 O,则点 O 是 AC 的中点,取 B

23、C 的中点 H,连接 OH,EO,FH ,则 OHAB, OH= AB=1由(1)知 EFAB,且 EF= AB,EF OH ,且 EF=OH四边形 EOHF 是平行四边形E0FH,且 EO=FH=1由(1)知 AB平面 BCF,又 FH平面 BCF,FH AB,FH BC,ABBC=B,FH平面 ABCD,BC 平面 ABCD,FH 平面 ABCDE0平面 ABCDAO平面 ABCD,EOAOAOBD, EOBD=O,EO平面 EBD,BD 平面 EBD,AO平面 EBDAEO 是直线 AE 与平面 BDE 所成的角在 RtAOE 中, tanAEO= = 直线 AE 与平面 BDE 所成角

24、的正切值为 21 (12 分)如图,已知 ABCD 是上、下底边长分别为 2 和 6,高为 的等腰梯形,将它沿对称轴 OO1 折成直二面角(1)证明:ACBO 1;(2)求二面角 OACO1 的余弦值【解答】证明:(1)由题设知 OAOO 1,OB OO 1,所以AOB 是所折成的直二面角的平面角,即 OAOB从而 AO平面 OBCO1,OC 是 AC 在面 OBCO1 内的射影因为 tanOO 1A= = ,tanO 1OC= = ,所以OO 1B=60,O 1OC=30,从而 OCBO 1由三垂线定理得 ACBO 1解:(2)由(1)AC BO 1,OC BO 1,知 BO1平面 AOC设

25、 OCO 1B=E,过点 E 作 EFAC 于 F,连结 O1F(如图) ,则 EF 是 O1F 在平面 AOC 内的射影,由三垂线定理得 O1FAC所以O 1FE 是二面角 OACO1 的平面角由题设知 OA=3,OO 1= ,O 1C=1,所以 =2 ,AC= = ,从而 = ,又 O1E=OO1sin30= ,所以 sinO 1FE= = ,cosO 1FE= = ,二面角 OACO1 的余弦值为 22 (12 分)已知点 P(2,0)及圆 C:x 2+y26x+4y+4=0(1)设过 P 直线 l1 与圆 C 交于 M、N 两点,当|MN|=4 时,求以 MN 为直径的圆 Q 的方程;

26、(2)设直线 axy+1=0 与圆 C 交于 A,B 两点,是否存在实数 a,使得过点P(2 ,0)的直线 l2 垂直平分弦 AB?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由【解答】解:(1)由于圆 C:x 2+y26x+4y+4=0 的圆心 C(3,2) ,半径为 3,|CP|= ,而弦心距 d= ,所以 d=|CP|= ,所以 P 为 MN 的中点,所以所求圆的圆心坐标为(2,0) ,半径为 |MN|=2,故以 MN 为直径的圆 Q 的方程为(x 2) 2+y2=4;(2)把直线 axy+1=0 即 y=ax+1代入圆 C 的方程,消去 y,整理得(a 2+1)x2+6(a1)x+9=0由于直线 axy+1=0 交圆 C 于 A,B 两点,故=36(a1) 236(a 2+1)0,即 2a0,解得 a0则实数 a 的取值范围是(,0) 设符合条件的实数 a 存在,由于 l2 垂直平分弦 AB,故圆心 C(3, 2)必在 l2 上所以 l2 的斜率 kPC=2,k AB=a= ,由于 ,故不存在实数 a,使得过点 P(2,0 )的直线 l2 垂直平分弦 AB