1、2017-2018 学年黑龙江省牡丹江高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共有 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 ）1 （5 分）已知 是锐角，那么 2是（ ）A第一象限角 B第二象限角C小于 180的正角 D第一或第二象限角2 （5 分）点 P 从点 A（1，0）出发，沿单位圆 x2+y2=1 逆时针方向运动 弧长到达点 Q，则点 Q 的坐标是（ ）A （ ， ） B （ ， ） C （ ， ） D （ ， ）3 （5 分）点 A（cos2018，sin2018）在直角坐标平面上位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第
2、四象限4 （5 分）已知 = ， = ， = ，则（ ）AA 、B 、D 三点共线 BA 、B、C 三点共线C B、C 、D 三点共线 DA 、C、D 三点共线5 （5 分）已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，则该扇形的面积（ ）A3 B2 C4 D56 （5 分）等边三角形 ABC 的边长为 1， = ， = ， = ，则=（ ）A3 B3 C D7 （5 分）设 sin（ +）= ，则 sin2=（ ）A B C D8 （5 分）设函数 f（x ） =|sin（2x+ ）|，则下列关于函数 f（x ）的说法中正确的是（ ）Af （x）是偶函数Bf （x ）最小正
3、周期为 C f（ x）图象关于点（ ，0）对称Df（x ）在区间 ， 上是增函数9 （5 分）函数 f（x ）=Asin（x+） （其中 ）的图象如图所示，为了得到 g（ x）=sin2x 的图象，则只需将 f（x）的图象（ ）A向右平移 个长度单位 B向右平移 个长度单位C向左平移 个长度单位 D向左平移 个长度单位10 （5 分）已知函数 的图象过点，若 对 xR 恒成立，则 的最小值为（ ）A2 B10 C4 D1611 （5 分）若 sin2= ，sin（）= ，且 ， ， ，则+的值是（ ）A B C 或 D 或12 （5 分）设 为两个非零向量 ， 的夹角，已知对任意实数 t，|t
4、 |的最小值为 1，则（ ）A若 确定，则 | |唯一确定 B若| |确定，则 唯一确定C若 确定，则| |唯一确定 D若 确定，则 唯一确定二、填空题（本大题共有 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知 =（1，0） ， =（1，1） ， + 与 垂直，则 的取值为 14 （5 分） = 15 （5 分）已知 sin（x+ ）= ，则 sin（ x） cos（2x ）的值为 16 （5 分）已知| |=| |= ，且 =1，若点 C 满足| + |=1，则| |的取值范围是 三、解答题（本大题共有 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17
5、 （10 分）已知 tan=2（1）求 的值；（2）求 18 （12 分） （1）已知| |=3，| |=4， 的夹角为 ，求 ， ；（2）已知| |=3， =（1，2） ，且 ，求 的坐标19 （12 分）已知函数 的最大值为 3（1）求常数 a 的值；（2）求使 f（x）0 成立的 x 的取值集合20 （12 分）已知向量 =（m ，cos2x） ， =（sin2x，n ） ，设函数 f（x）= ，且 y=f（x）的图象过点（ ， ）和点（ ，2） （）求 m，n 的值；（）将 y=f（x）的图象向左平移 （0 ）个单位后得到函数 y=g（x ）的图象若 y=g（x）的图象上各最高点到点（
6、0，3）的距离的最小值为 1，求y=g（x ）的单调增区间21 （12 分）已知函数 f（ x）的图象是由函数 g（ x）=cosx 的图象经如下变换得到：现将 g（ x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍， （横坐标不变） ，再讲所得的图象向右平移 个单位长度（1）求函数 f（x）的解析式，并求其图象的对称轴的方程；（2）已知关于 x 的方程 f（x）+g（x）=m 在0，2内有两个不同的解 ，求实数 m 的取值范围证明：cos（）= 122 （12 分）设向量 =（ +2， 2 cos2） ， =（m， +sincos）其中，m， 为实数（）若 = ，且 ，求 m 的取值范围；（）若
7、 =2 ，求 的取值范围2017-2018 学年黑龙江省牡丹江高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 ）1 （5 分）已知 是锐角，那么 2是（ ）A第一象限角 B第二象限角C小于 180的正角 D第一或第二象限角【解答】解： 是锐角，0 900 2180 ，2 是小于 180的正角故选 C2 （5 分）点 P 从点 A（1，0）出发，沿单位圆 x2+y2=1 逆时针方向运动 弧长到达点 Q，则点 Q 的坐标是（ ）A （ ， ） B （ ， ） C （ ， ） D （ ， ）
8、【解答】解：点 P 从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达 Q点，所以QOx= ，所以 Q（cos ，sin ） ，即 Q 点的坐标为：（ ， ） 故选：A3 （5 分）点 A（cos2018，sin2018）在直角坐标平面上位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解答】解：2018=5360+218，为第三象限角，sin2018=sin2180 ，cos2018=cos218 0，A 在第三象限，故选：C4 （5 分）已知 = ， = ， = ，则（ ）AA 、B 、D 三点共线 BA 、B、C 三点共线C B、C 、D 三点共线 DA 、C、D 三点共线【解答
9、】解： =（ ）+3（ ） = +5 ，又 = ，所以 ，则 与 共线，又 与 有公共点 B，所以 A、B、D 三点共线故选 A5 （5 分）已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，则该扇形的面积（ ）A3 B2 C4 D5【解答】解：扇形圆心角 1 弧度，所以扇形周长和面积为整个圆的 弧长 l=2r =r，故扇形周长 C=l+2r=3r=6cm，r=2cm扇形面积 S=r2 =2cm2故选：B6 （5 分）等边三角形 ABC 的边长为 1， = ， = ， = ，则=（ ）A3 B3 C D【解答】解：由题意可得， = = =故选 D7 （5 分）设 sin（ +）=
10、 ，则 sin2=（ ）A B C D【解答】解：sin（ +）= ， （sin+ cos）= ，两边平方，可得： （1+sin2）= ，解得：sin2= ，故选：B8 （5 分）设函数 f（x ） =|sin（2x+ ）|，则下列关于函数 f（x ）的说法中正确的是（ ）Af （x）是偶函数Bf （x ）最小正周期为 C f（ x）图象关于点（ ，0）对称Df（x ）在区间 ， 上是增函数【解答】解：A由于 f（ x）=|sin（ 2x+ ）|=|sin （2x ）|f （x） ，故 A错；B由于 f（x+ ）=|sin 2（x ）+ |=|sin（2x + +）|=|sin（2x+ ）|=
11、f（x） ，故 f（x）最小正周期为 ，故 B 错；C函数 f（x）=|sin（2x+ ）|的图象可看作由函数 f（x）=|sin2x|的图象平移可得，而函数 f（x ）=|sin2x|的图象无对称中心，如图，故 C 错；D由于函数 f（x）= |sin2x|的增区间是 ，kZ ，故函数 f（x）的增区间为 ，kZ ，k=1 时即为 ， ，故 D 正确故选 D9 （5 分）函数 f（x ）=Asin（x+） （其中 ）的图象如图所示，为了得到 g（ x）=sin2x 的图象，则只需将 f（x）的图象（ ）A向右平移 个长度单位 B向右平移 个长度单位C向左平移 个长度单位 D向左平移 个长度单
12、位【解答】解：由已知中函数 f（x ）=Asin （x+） （其中 ）的图象，过（ ，0）点， （ ）点，易得：A=1，T=4（ ）=，即 =2即 f（x）=sin（2x+） ，将（ ）点代入得：+= +2k，kZ 又由=f（ x）=sin（2x+ ） ，设将函数 f（x）的图象向左平移 a 个单位得到函数 g（x）=sin2x 的图象，则 2（x+a）+ =2x解得 a=故将函数 f（x）的图象向右平移 个长度单位得到函数 g（x ）=sin2x 的图象，故选 A10 （5 分）已知函数 的图象过点，若 对 xR 恒成立，则 的最小值为（ ）A2 B10 C4 D16【解答】解：函数 的图象
13、过点 ，f（ 0）=sin= ，= ，f（ x）=sin（x+ ） ；又 对 xR 恒成立， + =2k+ ，kZ，即 =24k+4， kZ， 的最小值为 4故选：C11 （5 分）若 sin2= ，sin（）= ，且 ， ， ，则+的值是（ ）A B C 或 D 或【解答】解： ， ， ， ，2 ，2 ，又 0sin2= ，2 （ ，） ，即 （ ， ） ，（ ， ） ，cos2= = ；又 sin（ ）= ，（ ， ） ，cos（）= = ，cos（+）=cos2+（ ）=cos2cos（）sin2sin（）= （） = 又 （ ， ） ， ，（+）（ ，2 ） ，+= ，故选：A12 （
14、5 分）设 为两个非零向量 ， 的夹角，已知对任意实数 t，|t |的最小值为 1，则（ ）A若 确定，则 | |唯一确定 B若| |确定，则 唯一确定C若 确定，则| |唯一确定 D若 确定，则 唯一确定【解答】解：令 f（t）=|t |2=t2 +2t + 2，=4（ ）2 4 0 恒成立，当且仅当 t= = cos时，f（t）取得最小值 1，（ cos） 2 +2（ cos） + 2=1，化简 sin2=1 确定，则| |唯一确定故选：C二、填空题（本大题共有 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知 =（1，0） ， =（1，1） ， + 与 垂直，则 的取值为
15、1 【解答】解： ，即1+=0=1故答案为114 （5 分） = 【解答】解：原式= =tan（45+ 15）=tan60= 故答案为：15 （5 分）已知 sin（x+ ）= ，则 sin（ x） cos（2x ）的值为 【解答】解：sin（x+ ）= ，则 sin（ x）cos（2x ）=sin2 （x + ） cos2（x+ ）=sin（x+ ）+cos2 （x + ）=sin（x+ ）+1 2 = +1 = ，故答案为： 16 （5 分）已知| |=| |= ，且 =1，若点 C 满足| + |=1，则| |的取值范围是 1， +1 【解答】解： =1， cos =1 ，cos = 的
16、夹角为 设 ， =（ ， ） ，设 = 则 = =（ ， ） ，| |= ， | + |=1，| + |=1，即| |=| |=1C 在以 D 为圆心，以 1 为半径的圆上，| |的最小值为 ，| |的最大值是 +1故答案为 1， +1三、解答题（本大题共有 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知 tan=2（1）求 的值；（2）求 【解答】解：（1）tan=2， = = ；（2） = = 18 （12 分） （1）已知| |=3，| |=4， 的夹角为 ，求 ， ；（2）已知| |=3， =（1，2） ，且 ，求 的坐标【解答】解：（1）|
17、|=3，| |=4， 的夹角为 ， =| | |cos =34 =6， 2=| |2+| |22 =9+1626=13， 2= ，（2）设 =（x，y ） ，则 x2+y2=9，由 ，2x=y，由解得， ，或 ，故 的坐标为 ，19 （12 分）已知函数 的最大值为 3（1）求常数 a 的值；（2）求使 f（x）0 成立的 x 的取值集合【解答】解：（1）=sinxcos cosxsin +sinxcos +cosxsin +cosx+a=2sinxcos +cosx+a= = f（ x） max=2+a=3，即 a=1；（2）由 f（x）0，得 ，即 ，kZ 则 ，kZ f（ x）0 成立的
18、 x 的取值集合为x| ，k Z20 （12 分）已知向量 =（m ，cos2x） ， =（sin2x，n ） ，设函数 f（x）= ，且 y=f（x）的图象过点（ ， ）和点（ ，2） （）求 m，n 的值；（）将 y=f（x）的图象向左平移 （0 ）个单位后得到函数 y=g（x ）的图象若 y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为 1，求y=g（x ）的单调增区间【解答】解：（）已知： ， ，则： =msin2x+ncos2x，y=f（x）的图象过点 y=f（x ）的图象过点（ ， ）和点（ ，2） 则： 解得： ，即：m= ，n=1（）由（）得： = ，f （x）向左平
19、移 个单位得到：g（ x）=2sin （2x+2+ ） ，设 g（ x）的对称轴 x=x0，最高点的坐标为：（x 0，2）点（0，3）的距离的最小值为 1，则： ，则：g （ 0）=2，解得：= ，所以：g（x ）=2sin （2x+ ）=2cos2x 令：+2k2x2k （ kZ）则：单调递增区间为： （kZ ）故答案为：（）m= ，n=1（）单调递增区间为： （kZ ）21 （12 分）已知函数 f（ x）的图象是由函数 g（ x）=cosx 的图象经如下变换得到：现将 g（ x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍， （横坐标不变） ，再讲所得的图象向右平移 个单位长度（1）求函数
20、f（x）的解析式，并求其图象的对称轴的方程；（2）已知关于 x 的方程 f（x）+g（x）=m 在0，2内有两个不同的解 ，求实数 m 的取值范围证明：cos（）= 1【解答】解：（1）将 g（ x）=cosx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）得到 y=2cosx 的图象，再将 y=2cosx 的图象向右平移 个单位长度后得到 y=2cos（x ）的图象，故 f（x）=2sinx，从而函数 f（x）=2sinx 图象的对称轴方程为 x=k+ （k Z） （2）f（x ）+g （x ）=2sinx+cosx= （ sinx+ cosx）= sin（x+） （其中 sin=
21、 ，cos= ）依题意，sin（x+）= 在区间0，2）内有两个不同的解 ，当且仅当| |1，故 m 的取值范围是（ ， ） 证明：因为 ， 是方程 sin（x +）=m 在区间0，2 ）内的两个不同的解，所以 sin（ +）= ，sin（+）= 当 1m 时，+=2 （ ） ，即 =2（+ ） ；当 m1 时，+=2 （ ） ，即 =32（+） ；所以 cos（）=cos2（+）=2sin 2（+） 1=2（ ） 21= 122 （12 分）设向量 =（ +2， 2 cos2） ， =（m， +sincos）其中，m， 为实数（）若 = ，且 ，求 m 的取值范围；（）若 =2 ，求 的取值范围【解答】解：（）= 时， =（ +2， 2 ） ， =（m， + ） ，由于 ，则 =0，即有（ +2）m+（ ） （ ）=0，即有 +m+ =0 对一切 R 均有解，当 m= 时， =2 成立，当 m 时，=m 24 0，m ，且 m ，综上，可得，m 的取值范围是 ， ；（） =2 ，则 +2=2m 且 =m+2sincos，消去 ，得（2m2） 2m=sin2 ，即有 4m29m+4=2sin（2 ） 2，2，由2 4m 29m+42，解得， ，则 = =2 6，1则有 的取值范围是6， 1