1、2017-2018 学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （4 分）已知集合 A=1，3，5，B=x|（x 1） （x3）=0，则 AB=（ ）A B1 C3 D1，32 （4 分） =（ ）A B C D3 （4 分）若幂函数 y=f（ x）的图象经过点（2， 4） ，则在定义域内（ ）A为增函数 B为减函数 C有最小值 D有最大值4 （4 分）下列函数为奇函数的是（ ）Ay=2 x By=sinx，x0，2C y=x3 Dy=lg|x|5 （4 分）如图，在平面内放置两个相同的三角
2、板，其中A=30，且 B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（ ）A B C 与 共线 D =6 （4 分）函数 f（x ）的图象如图所示，为了得到 y=2sinx 函数的图象，可以把函数 f（ x）的图象（ ）A每个点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变） ，再向左平移 个单位B每个点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平移 个单位C先向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）D先向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）7 （4 分）已知 ，若实数 a，b，c 满足 0a bc，且f（a）f（b）f（c）0，实数 x0
3、满足 f（x 0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（ ）Ax 0a Bx 0a Cx 0c Dx 0c8 （4 分）如图，以 AB 为直径在正方形内部作半圆 O，P 为半圆上与 A，B 不重合的一动点，下面关于 的说法正确的是（ ）A无最大值，但有最小值 B既有最大值，又有最小值C有最大值，但无最小值 D既无最大值，又无最小值二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，把答案填在题中横线上）9 （4 分）已知向量 =（ 1，2 ） ，写出一个与 共线的非零向量的坐标 10 （4 分）已知角 的终边经过点（3，4） ，则 cos= 11 （4 分）已知向量 ，在边长为 1
4、的正方形网格中的位置如图所示，则 = 12 （4 分）函数 （t0）是区间（ 0，+）上的增函数，则 t 的取值范围是 13 （4 分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在 2015 年约为 400万吨，2016 年的年增长率为 50%有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000 万吨 （参考数据：lg20.3010 ，lg30.4771）14 （4 分）函数 f（x ）=sinx 在区间 上是增函数，则下列结论正确的是 （将所有符合题意的序号填在横线上）函数 f（x ）=sinx 在区间 上是增函数；满足条件的正整数 的最大
5、值为 3； 三、解答题共 4 小题，共 44 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 （10 分）已知向量 =（sinx，1） ， =（1，k） ，f（x ）= （）若关于 x 的方程 f（ x）=1 有解，求实数 k 的取值范围；（）若 且 （0， ） ，求 tan16 （12 分）已知二次函数 f（x ）=x 2+bx+c 满足 f（1）=f（3）=3（）求 b，c 的值；（）若函数 g（x）是奇函数，当 x0 时，g （x）=f（x） ，（）直接写出 g（x）的单调递减区间： ；（）若 g（ a）a ，求 a 的取值范围17 （12 分）某同学用“五点法”画函数 f（x）=As
6、in（x+ ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：x+ 0 2xy=Asin（x+） 0 2 0 0（）请将上表数据补充完整，函数 f（x ）的解析式为 f（x）= （直接写出结果即可） ；（）求函数 f（x）的单调递增区间；（）求函数 f（x）在区间 上的最大值和最小值18 （10 分）定义：若函数 f（x ）的定义域为 R，且存在非零常数 T，对任意xR，f（x+T）=f（x）+T 恒成立，则称 f（x）为线周期函数，T 为 f（x）的线周期（）下列函数，y=2 x，y=log 2x，y=x， （其中x 表示不超过 x 的最大整数） ，是线周期函数的是 （直接填写序号） ；
7、（）若 g（ x）为线周期函数，其线周期为 T，求证：函数 G（x）=g（x）x为线周期函数；（）若 （x）=sinx+kx 为线周期函数，求 k 的值2017-2018 学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （4 分）已知集合 A=1，3，5，B=x|（x 1） （x3）=0，则 AB=（ ）A B1 C3 D1，3【解答】解：B=x|（x 1） （x 3）=0 =1，3，AB=1，3，故选：D2 （4 分） =（ ）A B C D【解答】解： =sin = 故选：
8、A3 （4 分）若幂函数 y=f（ x）的图象经过点（2， 4） ，则在定义域内（ ）A为增函数 B为减函数 C有最小值 D有最大值【解答】解：设幂函数 f（x ）=x ，由 f（2）=4，得（2） =4=（2） 2，在 =2，即 f（x）=x 2，则在定义域内有最小值 0，故选：C4 （4 分）下列函数为奇函数的是（ ）Ay=2 x By=sinx，x0，2C y=x3 Dy=lg|x|【解答】解：y=2 x 为指数函数，没有奇偶性；y=sinx， x0，2，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；y=x3 定义域为 R，f （x）=f（x） ，为奇函数；y=lg|x|的定义域为 x|x 0，且
9、f（ x）=f（x ） ，为偶函数故选：C5 （4 分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中A=30，且 B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（ ）A B C 与 共线 D =【解答】解：设 BC=DE=m，A=30，且 B，C， D 三点共线，则 CDAB= ，AC=EC=2m，ACB=CED=60，ACE=90， ， ， 故 A、B 、C 成立；故选：D6 （4 分）函数 f（x ）的图象如图所示，为了得到 y=2sinx 函数的图象，可以把函数 f（ x）的图象（ ）A每个点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变） ，再向左平移 个单位B每个点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变
10、） ，再向左平移 个单位C先向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）D先向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）【解答】解：根据函数 f（x ）的图象，设 f（x）=Asin（x +） ，可得 A=2， = ，=2再根据五点法作图可得 2 +=0，= ，f（x）=2sin（2x ） ，故可以把函数 f（x）的图象先向左平移 个单位，得到 y=2sin（2x+ ）=2sin2x 的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，即可得到 y=2sinx 函数的图象，故选：C7 （4 分）已知 ，若实数 a，b，c 满足 0
11、a bc，且f（a）f（b）f（c）0，实数 x0 满足 f（x 0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（ ）Ax 0a Bx 0a Cx 0c Dx 0c【解答】解：f（x）=log 2x（ ） x 在（0，+）上是增函数，0ab c，且 f（a）f（b）f（c）0 ，f（ a） 、f（b） 、f（c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：f（ a）0 ，0f（b）f（c ） ；或 f（a）f（b）f （c）0 ；由于实数 x0 是函数 y=f（ x）的一个零点，当 f（a）0，0f（b）f（c ）时，ax 0b ，当 f（a）f（b）f（c）0 时，x 0a，故选：B8 （4 分
12、）如图，以 AB 为直径在正方形内部作半圆 O，P 为半圆上与 A，B 不重合的一动点，下面关于 的说法正确的是（ ）A无最大值，但有最小值 B既有最大值，又有最小值C有最大值，但无最小值 D既无最大值，又无最小值【解答】解：设正方形的边长为 2，如图建立平面直角坐标系，则 D（1，2） ，P （cos，sin） ， （其中 0 ）=2 + =（2cos ， 2sin）+（ 1cos，2sin）=（ 13cos，3sin） = =cos （1，1 ） ， （4，16）故选：D二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，把答案填在题中横线上）9 （4 分）已知向量 =（ 1，2
13、 ） ，写出一个与 共线的非零向量的坐标 （2，4） 【解答】解：向量 =（1， 2） ，与 共线的非零向量的坐标纵坐标为横坐标 2 倍，例如（2，4） 故答案为：（2，4） 10 （4 分）已知角 的终边经过点（3，4） ，则 cos= 【解答】解：角 的终边经过点（3， 4） ，x=3，y=4 ， r=5，则 cos= = 故答案为： 11 （4 分）已知向量 ，在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示，则 = 3 【解答】解：由题意可知： =（3，0） ， =（1，1 ） ，则 =31+10=3故答案为：312 （4 分）函数 （t0）是区间（ 0，+）上的增函数，则 t 的取值范围是
14、 1， +） 【解答】解：函数 （t0）的图象如图：函数 （t0）是区间（0，+ ）上的增函数，所以 t1故答案为：1，+） 13 （4 分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在 2015 年约为 400万吨，2016 年的年增长率为 50%有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 2021 年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000 万吨 （参考数据：lg20.3010 ，lg30.4771）【解答】解：设快递行业产生的包装垃圾为 y 万吨，n 表示从 2015 年开始增加的年份的数量，由题意可得 y=400（1+50%） n=400（ ） n，由于第 n 年快递
15、行业产生的包装垃圾超过 4000 万吨，4000=400 （ ） n，（ ） n=10，两边取对数可得 n（lg3lg2）=1 ，n（0.4771 0.3010）=1，解得 0.176n=1，解得 n6，从 2015+6=2021 年开始，快递行业产生的包装垃圾超过 4000 万吨，故答案为：202114 （4 分）函数 f（x ）=sinx 在区间 上是增函数，则下列结论正确的是 （将所有符合题意的序号填在横线上）函数 f（x ）=sinx 在区间 上是增函数；满足条件的正整数 的最大值为 3； 【解答】解：函数 f（x） =sinx 在区间 上是增函数，由 f（x ）=sin （x）=si
16、nx= f（x ） ，可得 f（ x）为奇函数，则函数 f（x）=sinx 在区间 上是增函数，正确；由 ，可得 3，即有满足条件的正整数 的最大值为 3，故正确；由于 + = =2 ，由题意可得对称轴 x ，即有 f（ ）f（ ） ，故正确故答案为：三、解答题共 4 小题，共 44 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 （10 分）已知向量 =（sinx，1） ， =（1，k） ，f（x ）= （）若关于 x 的方程 f（ x）=1 有解，求实数 k 的取值范围；（）若 且 （0， ） ，求 tan【解答】解：（）向量 a=（sinx ，1） ，b=（1，k ） ，f（x ）=
17、，f（ x）= =sinx+k （2 分）关于 x 的方程 f（x）=1 有解，即关于 x 的方程 sinx=1k 有解（3分）sinx1，1 ，当 1k1，1时，方程有解（4 分）则实数 k 的取值范围为0，2（5 分）（）因为 ，所以 ，即 （6 分）当 时， （8 分）当 时， （10 分）16 （12 分）已知二次函数 f（x ）=x 2+bx+c 满足 f（1）=f（3）=3（）求 b，c 的值；（）若函数 g（x）是奇函数，当 x0 时，g （x）=f（x） ，（）直接写出 g（x）的单调递减区间： 2， 2 ；（）若 g（ a）a ，求 a 的取值范围【解答】解：（）二次函数 f
18、（x ）=x 2+bx+c 满足 f（1）=f（3）=3，解的 b=4；c=0 （）由（）可得 f（x ）=x 24x，函数 g（x ）是奇函数，g （x ）= g（x） ，假设 x0，则x0，则 g（ x）=f（x）=x 2+4x，g （x）= x24x，g （x）= ，（i）g（x）的单调减区间为 2，2故答案为： 2，2（）若 g（ a）a ，则 或解得 a5 或5a 0综上，a 的取值范围为 a5 或5a017 （12 分）某同学用“五点法”画函数 f（x）=Asin（x+ ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：x+ 0 2xy=Asin（x+） 0 2 0 0（）请将
19、上表数据补充完整，函数 f（x ）的解析式为 f（x）= f（x）=2sin（2x+ ） （直接写出结果即可） ；（）求函数 f（x）的单调递增区间；（）求函数 f（x）在区间 上的最大值和最小值【解答】解：（）把表格填完整：x+ 0 2xy=Asin（x+） 0 2 0 2 0根据表格可得 = ，=2再根据五点法作图可得 2 += ，= ，故函数的解析式为：（）令 2k 2x+ 2k+ ，求得 k xk + ，可得函数f（x）的单调递增区间为 ，kZ （）因为 ，所以 ，故有 所以，当 即 时，f（x ）在区间 上的最小值为 2当 即 x=0 时，f（x）在区间 上的最大值为 118 （10
20、 分）定义：若函数 f（x ）的定义域为 R，且存在非零常数 T，对任意xR，f（x+T）=f（x）+T 恒成立，则称 f（x）为线周期函数，T 为 f（x）的线周期（）下列函数，y=2 x，y=log 2x，y=x， （其中x 表示不超过 x 的最大整数） ，是线周期函数的是 （直接填写序号） ；（）若 g（ x）为线周期函数，其线周期为 T，求证：函数 G（x）=g（x）x为线周期函数；（）若 （x）=sinx+kx 为线周期函数，求 k 的值【解答】解：（）对于f（x +T）=2 x+T=2x2T=f（x）2 T，故不是线周期函数对于f（x +T）=log 2（x+T）f （x）+T ，
21、故不是线周期函数对于f（x +T）=x+T= x+T=f（x ）+T，故是线周期函数故答案为：（）证明：g（x）为线周期函数，其线周期为 T，存在非零常数 T，对任意 xR，g （x +T）=g（x ） +T 恒成立G（x）=g（x）x ，G（x+T ）=g （x+T ） （x+T ）=g（x）+T （x+T ）=g（x）x=G（x ） G（x）=g（x）x 为周期函数（）（x）=sinx+kx 为线周期函数，存在非零常数 T，对任意 xR，sin（x+T）+k （x+T）=sinx+kx+Tsin （x +T）+kT=sinx+T令 x=0，得 sinT+kT=T；令 x=，得sinT+kT=T；两式相加，得 2kT=2TT0，k=1检验：当 k=1 时，（x）=sinx+x 存在非零常数 2，对任意 xR，（x+2）=sin（x+2）+x+2=sinx+x+2=（x）+ 2，（x）=sinx+x 为线周期函数综上，k=1