1、2016-2017 学年上海高一（上）期末数学试卷一.填空题1 （3 分）函数 f（x ）= +lg（3x+1）的定义域是 2 （3 分）函数 f（x ）=x 2（x1）的反函数 f1（x）= 3 （3 分）若幂函数 f（x）的图象经过点 ，则该函数解析式为 f（x）= 4 （3 分）若对任意不等于 1 的正数 a，函数 f（x）=a x+23 的图象都过点 P，则点 P 的坐标是 5 （3 分）已知 f（x ）=ax 2+bx 是定义在a3，2a上的偶函数，那么 a= ，b= 6 （3 分）方程 log2（x +1） 2+log4（x+1）=5 的解是 7 （3 分）已知符号函数 sgn（x
2、）= ，则函数 y=sgn（|x|）+|sgn（x）|的值域为 8 （3 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f （x）=x 2+x，则函数 f（x）的解析式为 f（x）= 9 （3 分）函数 的单调增区间为 10 （3 分）设函数 y=f（ x）存在反函数 f1（x） ，若满足 f（x）=f 1（x ）恒成立，则称 f（ x）为“ 自反函数”，如函数 f（x ）=x ，g（x）=bx， （k 0）等都是“自反函数 ”，试写出一个不同于上述例子的 “自反函数”y= 11 （3 分）方程 x2+2x1=0 的解可视为函数 y=x+2 的图象与函数 的图象交点的横坐标，若方
3、程 x4+ax4=0 的各个实根 x1，x 2，x k（k4）所对应的点（i=1，2，k）均在直线 y=x 的同侧，则实数 a 的取值范围是 12 （3 分）对于函数 y=f（x） ，若存在定义域 D 内某个区间a ，b，使得y=f（x）在a，b上的值域也是a ，b ，则称函数 y=f（x ）在定义域 D 上封闭如果函数 （k0）在 R 上封闭，那么实数 k 的取值范围是 二.选择题13 （3 分）已知 f（x ）=ax 3+bx+1（ab0） ，若 f（2013 ）=k，则 f（ 2013）= （ ）Ak Bk C1k D2 k14 （3 分）定义在 R 上的函数 f（x）在区间（，2）上是
4、增函数，且f（x+2 ）的图象关于 x=1 对称，则（ ）Af （1）f（5） Bf（1）f（5） Cf（1）=f（5） Df （0）=f （5）15 （3 分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/ 小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油16 （3 分）设函数 若关于 x 的方程 f（x）=a 有
5、四个不同的解 x1，x 2，x 3，x 4，且 x1x 2x 3x 4，则 x3（x 1+x2）+ 的取值范围是（ ）A （ 3，+） B （，3） C 3，3） D （3，3三.解答题17在平面直角坐标系中，作出下列函数的图象；（1） ； （2） 18已知集合 D=x|32x103x+2+360，x R，求函数（x D）的值域19设函数 f（x ）=ka xax（a0 且 a1）是奇函数（1）求常数 k 的值；（2）若 ，且函数 g（x）=a 2xa2x2mf（x）在区间1，+）上的最小值为2 ，求实数 m 的值20已知函数 ；（1）当 m=2 时，判断 f（x ）在（ ，0）上的单调性并证
6、明；（2）若对任意 xR，不等式 f（2 x）0 恒成立，求 m 的取值范围；（3）讨论函数 y=f（x）的零点个数21已知 aR，函数 f（x）=log 2（a3）x+3a4；（1）当 a=2 时，解不等式 ；（2）若函数 y=f（x 24x）的值域为 R，求 a 的取值范围；（3）若关于 x 的方程 解集中恰好只有一个元素，求 a 的取值范围2016-2017 学年上海高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1 （3 分）函数 f（x ）= +lg（3x+1）的定义域是 （ ，1） 【解答】解：由 ，解得： 函数 f（x ）= +lg（3x +1）的定义域是（ ，1） 故答案为：
7、（ ，1） 2 （3 分）函数 f（x ）=x 2（x1）的反函数 f1（x）= （x 1） 【解答】解：由 y=x2（x1） ，解得 x= （y 1） ，把 x 与 y 互换可得：y= ，f（ x）=x 2（x 1 ）的反函数 f1（x ）= （x1） 故答案为： （x1） 3 （3 分）若幂函数 f（x）的图象经过点 ，则该函数解析式为 f（x）= 【解答】解：设幂函数 f（x ）=x a，其图象经过点 ，27 a= ，解得 a= ；函数 f（x ）= 故答案为： 4 （3 分）若对任意不等于 1 的正数 a，函数 f（x）=a x+23 的图象都过点 P，则点 P 的坐标是 （2，2）
8、【解答】解：指数函数恒过定点（0，1） ，据此可令 x+2=0，解得：x= 2，f（2）=a 2+23=2，即函数 f（x ）=a x+23 恒过定点（2，2） 故答案为：（2，2） 5 （3 分）已知 f（x ）=ax 2+bx 是定义在a3，2a上的偶函数，那么 a= 1 ，b= 0 【解答】解：f（x）=ax 2+bx 是定义在a 3，2a 上的偶函数，f（ x）=f（x） ，b=0，又 a3=2a，a=1，故答案 1，06 （3 分）方程 log2（x +1） 2+log4（x+1）=5 的解是 3 【解答】解：log 2（x+1） 2+log4（x +1）=5，log 4（x+1）
9、4+log4（x+1）=5，log 4（x+1） 5=5，（x+1） 5=45，x=3故答案为：37 （3 分）已知符号函数 sgn（x）= ，则函数 y=sgn（|x|）+|sgn（x）|的值域为 0，2 【解答】解：分类讨论：当 x0 时：y=sgn（|x|）+|sgn（x ）|=sgn（x）+1=1+1=2 ；当 x=0 时：y=sgn （|x |）+|sgn （x ）|=sgn（x）+0=0+0=0；当 x0 时：y=sgn（|x|）+|sgn（x ）|=sgn（x）+1=1+1=0；综上可得：函数 y=sgn（|x|）+|sgn（x）|的值域为0，2故答案为：0，28 （3 分）已知
10、 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f （x）=x 2+x，则函数 f（x）的解析式为 f（x）= 【解答】解：由奇函数的性质可得：f（0）=0 ，设 x0，则x0，此时有：f（x）=f（ x） （x） 2+（x）=x 2x，则 f（ x）= x2+x，且当 x=0 时，x 2+x=0，综上可得：函数的解析式为： 9 （3 分）函数 的单调增区间为 （，1和3，5 【解答】解：绘制函数 y=|x26x+5|的图象 如图所示：观察函数图象可得函数的单调递增区间为：1，3和5，+）单调递减区间为：（， 1和3，5指数函数 y=0.3x 在定义域内单调递减，结合复合函数同增异减的原则
11、可得函数 的单调递增区间，即函数 y=|x26x+5|的单调递减区间：（，1和3，5故答案为：（，1和 3，510 （3 分）设函数 y=f（ x）存在反函数 f1（x） ，若满足 f（x）=f 1（x ）恒成立，则称 f（ x）为“ 自反函数”，如函数 f（x ）=x ，g（x）=bx， （k 0）等都是“自反函数 ”，试写出一个不同于上述例子的 “自反函数”y= （0x1） 【解答】解：根据题意，设函数 y= ， （0x1） ，则 y2=1x2，x 2=1y2，x= （ 0y 1 ） ，交换 x、y 得反函数 y= （0x 1） ，满足题意故答案为： （0x1 ） 11 （3 分）方程 x
12、2+2x1=0 的解可视为函数 y=x+2 的图象与函数 的图象交点的横坐标，若方程 x4+ax4=0 的各个实根 x1，x 2，x k（k4）所对应的点（i=1，2，k）均在直线 y=x 的同侧，则实数 a 的取值范围是 （，6）（6，+） 【解答】解：方程的根显然 x0，原方程 x4+ax4=0，等价为方程 x3+a= ，原方程的实根是曲线 y=x3+a 与曲线 y= 的交点的横坐标；曲线 y=x3+a 是由曲线 y=x3 向上或向下平移|a|个单位而得到的若交点（x i， ） （i=1，2，k）均在直线 y=x 的同侧，因直线 y=x 与 y= 交点为：（2 ，2 ） ， （2，2） ；
13、所以结合图象可得： 或 ，解得 a6 或 a6 ，即实数 a 的取值范围是（ ，6）（6，） ，故答案为：（，6）（6，+） 12 （3 分）对于函数 y=f（x） ，若存在定义域 D 内某个区间a ，b，使得y=f（x）在a，b上的值域也是a ，b ，则称函数 y=f（x ）在定义域 D 上封闭如果函数 （k0）在 R 上封闭，那么实数 k 的取值范围是 （1，+） 【解答】解：根据题意知方程 至少有两个不同实数根；即 至少有两个实数根； ；k=1+|x|1；实数 k 的取值范围为（1，+） 故答案为：（1，+） 二.选择题13 （3 分）已知 f（x ）=ax 3+bx+1（ab0） ，若
14、 f（2013 ）=k，则 f（ 2013）= （ ）Ak Bk C1k D2 k【解答】解：f（x）=ax 3+bx+1，f（ x）1=ax 3+bx，令 F（x）=f（x）1=ax 3+bx，ab 0 ，函数 F（x）=f（x）1=ax 3+bx 是奇函数，F（2013）=F（2013） ，即 f（2013）1=f（2013） 1=k+1，f（ 2013）=2k故选：D14 （3 分）定义在 R 上的函数 f（x）在区间（，2）上是增函数，且f（x+2 ）的图象关于 x=1 对称，则（ ）Af （1）f（5） Bf（1）f（5） Cf（1）=f（5） Df （0）=f （5）【解答】解：因
15、为 f（x+2）的图象关于 x=1 对称，所以 f（x+2）=f（2 x+2）=f（4 x） ，所以 f（ 1+2）=f（4（1 ），即 f（1）=f （5） ，故选 C15 （3 分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/ 小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【解答】解：对于选项 A，从图中可以
16、看出当乙车的行驶速度大于 40 千米每小时时的燃油效率大于 5 千米每升，故乙车消耗 1 升汽油的行驶路程远大于 5 千米，故 A 错误；对于选项 B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故 B错误，对于选项 C，甲车以 80 千米/ 小时的速度行驶 1 小时，里程为 80 千米，燃油效率为 10，故消耗 8 升汽油，故 C 错误，对于选项 D，因为在速度低于 80 千米/ 小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故 D 正确16 （3 分）设函数 若关于 x 的方程 f（x）=a 有四个不同的解 x1，x 2，x 3，x 4，且 x1x 2x 3x 4，则 x3（x 1+x2）+
17、 的取值范围是（ ）A （ 3，+） B （，3） C 3，3） D （3，3【解答】解：作函数 的图象如下，结合图象，A，B ，C，D 的横坐标分别为 x1，x 2，x 3，x 4，故 x1+x2=4，x 3x4=1，故 = 4x3，0log 2x3 2， x 31，3 4x33，故选：D三.解答题17在平面直角坐标系中，作出下列函数的图象；（1） ； （2） 【解答】解：（1）函数 ；的图形如图：（2） 函数是偶函数，是 x0 时，y= 图象关于 y 轴对称后，向下平移 1 个单位得到的图象，如图所示，18已知集合 D=x|32x103x+2+360，x R，求函数（x D）的值域【解答】
18、解：集合 D 中不等式即：（3 x） 2903x+7290，则：（3 x9） （3 x81）0，93 x81，解得 2x4，1log 2x2所需求解值域的函数解析式为：f（x ）=（log 2x1） （log 2x2） ，结合二次函数的性质可得：当 log2x=1 或 log2x=2 时，函数取得最大值 0；当 时，函数取得最小值 ；函数的值域为 19设函数 f（x ）=ka xax（a0 且 a1）是奇函数（1）求常数 k 的值；（2）若 ，且函数 g（x）=a 2xa2x2mf（x）在区间1，+）上的最小值为2 ，求实数 m 的值【解答】 （1）解法一：函数 f（x ）=ka xax 的定
19、义域为 R，f（x）是奇函数，所以 f（0）=k1=0，即有 k=1 当 k=1 时，f（ x）=a xax，f（x）=a xax=f（x） ，则 f（x）是奇函数，故所求 k 的值为 1；解法二：函数 f（x）=ka xax 的定义域为 R，由题意，对任意 xR，f （ x）= f（x ） ，即 kaxax=axkax， （k1） （a x+ax）=0，因为 ax+ax0，所以，k=1 （2）由 ，得 ，解得 a=3 或 （舍） 所以 g（x ）=3 2x32x2m（3 x3x） ，令 t=3x3x，则 t 是关于 x 的增函数， ，g（ x）=h（t） =t22mt+2=（t m） 2+2
20、m2，当 时，则当 时， ，解得 ； 当 时，则当 t=m 时， ，m=2（舍去） 综上， 20已知函数 ；（1）当 m=2 时，判断 f（x ）在（ ，0）上的单调性并证明；（2）若对任意 xR，不等式 f（2 x）0 恒成立，求 m 的取值范围；（3）讨论函数 y=f（x）的零点个数【解答】解：（1）当 m=2，且 x0 时，f（x）= x+ 1 是单调递减的证明：设 x1x 20，则 f（x 1）f（x 2）=x1+ 1（x 2+ 1）=（ x2x1）+（ ）=（ x2x1）+=（ x2x1） （1+ ）又 x1x 20 ，所以 x2x10，x 1x20，所以（x 2x1） （1+ ）0
21、所以 f（ x1）f （x 2）0 ，即 f（x 1）f（x 2） ，故当 m=2 时， f（x）= x+ 1 在（ ，0）上单调递减的（2）由 f（2 x）0 得|2 x|+ 10 ，变形为（2 x） 22x+m0，即 m2 x（2 x） 2而 2x（ 2x）2=（2 x ） 2+ ，当 2x= 即 x=1 时（2 x（2 x）2） max= ，所以 m （3）由 f（x）=0 可得 x|x|x+m=0（x0） ，变为 m=x|x|+x（x 0）令 g（ x）=xx |x|= ，作 y=g（x ）的图象及直线 y=m，由图象可得：当 m 或 m 时，f（x）有 1 个零点当 m= 或 m=0
22、 或 m= 时， f（x）有 2 个零点；当 0m 或 m0 时，f （x）有 3 个零点21已知 aR，函数 f（x）=log 2（a3）x+3a4；（1）当 a=2 时，解不等式 ；（2）若函数 y=f（x 24x）的值域为 R，求 a 的取值范围；（3）若关于 x 的方程 解集中恰好只有一个元素，求 a 的取值范围【解答】解：（1）当 x=2 时，f（x）=log 2（x+2） ，则不等式即：，据此可得： ，即不等式的解集为 （2）函数 ，设函数 y=（a3） （x 24x）+（3a4）的值域为 M，则 （0，+）M，当 a3=0，a=3 时不满足题意，结合二次函数的性质可得： ，即： ，据此可得实数 a 的取值范围是a |a8（3）满足题意时， 恰好有一个解，即： ，原问题：等价于方程， （a3） 2+（a4）x1=0（* ）在满足 只有唯一解方程（*）化为 （a3）x1（x+1）=0若 a=3 时，解 x=1，此时 ，满足题意；若 a=2 时，两根均为 x=1，此时 ，也满足若 a2 且 a3 时，两根为 ，当 时， ；当 x=1 时，依题意， （3a3） （2a 1） 0，解得 综上，a 的取值范围是