1、2016-2017 学年辽宁省大连市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）设集合 A=1，0，B= 0，1，2，则 AB=（ ）A0 B1，0 C 1，2 D 1，0，1，22 （5 分）在空间直角坐标系中，点 P（3，2，1）关于 x 轴的对称点坐标为（ ）A （3 ，2 ，1 ） B （3，2，1） C （ 3，2，1） D （3，2，1）3 （5 分）若 m，n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A若 m，则 m B若 =m，=n，mn ，则 C
2、若 m，m，则 D若 ， ，则 4 （5 分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A （2 + ） B4 C （2+2 ） D65 （5 分）设 f（x ）=3 x+3x8，用二分法求方程 3x+3x8=0 在 x（1，2）内近似解的过程中得 f（1）0 ， f（1.5）0，f（1.25）0，则方程的根落在区间（ ）A （1 ，1.25） B （1.25，1.5） C （1.5 ，2） D不能确定6 （5 分）过点（0，3）且与直线 2x+y5=0 垂直的直线方程为（ ）A2x+y3=0 Bx+2y6=0 Cx2y +6=0 D2xy+3=07 （5 分）函数
3、y=x 的图象大致为（ ）A B C D8 （5 分）已知圆：C 1：（x +1） 2+（y 1） 2=1，圆 C2 与圆 C1 关于直线 xy1=0 对称，则圆 C2 的方程为（ ）A （x 2） 2+（y2） 2=1 B （x+2） 2+（y+2） 2=1 C （x+2） 2+（y2） 2=1D （x 2） 2+（y+2） 2=19 （5 分）已知梯形 ABCD 是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图ABCD（如图所示） ，其中 AD=2，BC=4，AB=1，则直角梯形 DC 边的长度是（ ）A B C D10 （5 分）已知 a=log23，b=2 0.5， ，则 a，b，c 从大到小
4、的顺序为（ ）Acba Bbca Cab c Dcab11 （5 分）对于每个实数 x，设 f（x）取 ，y=|x 2|两个函数中的较小值若动直线 y=m 与函数 y=f（x）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为 x1、x 2、x 3，则 x1+x2+x3 的取值范围是（ ）A （2 ， ） B （ 2， ） C （4， ） D （0， ）12 （5 分）已知两点 A（0，0） ，B （2，2）到直线 l 的距离分别为 1 和 2，这样的直线 l 条数为（ ）A1 条 B2 条 C3 条 D4 条二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答卷卡的相应位置上）1
5、3 （5 分）已知正四棱锥的底面边长为 4cm，高与侧棱夹角为 45，则其斜高长为 （cm） 14 （5 分）已知圆 C：x 2+y2=9，过点 P（3，1 ）作圆 C 的切线，则切线方程为 15 （5 分）若函数 f（x ） =lg（x 2+axa1）在区间2，+）上单调递增，则实数a 的取值范围是 16 （5 分）已知正三棱柱的棱长均为 2，则其外接球体积为 三解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知函数 f（ x）= （I）求 f（0 ） ，f（1） ；（II）求 f（x）值域18 （12 分）ABC 三个顶点坐标为 A（
6、0，1） ，B（0，1） ，C（ 2，1） （I）求 AC 边中线所在直线方程；（II）求ABC 的外接圆方程19 （12 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1，O 是底 ABCD 对角线的交点求证：（1）C 1O面 AB1D1；（2）A 1C面 AB1D120 （12 分）如图，有一个正三棱锥的零件，P 是侧面 ACD 上的一点过点 P作一个与棱 AB 垂直的截面，怎样画法？并说明理由21 （12 分）已知函数 f（ x）= （）证明：f（x）为奇函数；（）判断 f（x）单调性并证明；（III）不等式 f（xt）+f（x 2t2）0 对于 x1，2恒成立，求实数 t 的取值范围22 （1
7、2 分）平面内有两个定点 A（1，0） ，B （1，2） ，设点 P 到 A、B 的距离分别为 d1，d 2，且 =（ I）求点 P 的轨迹 C 的方程；（ II）是否存在过点 A 的直线 l 与轨迹 C 相交于 E、F 两点，满足（O 为坐标原点） 若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由2016-2017 学年辽宁省大连市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）设集合 A=1，0，B= 0，1，2，则 AB=（ ）A0 B1，0 C 1，2 D 1，0，
8、1，2【解答】解：A=1，0，B= 0，1，2 ，AB=1，0，1，2，故选：D2 （5 分）在空间直角坐标系中，点 P（3，2，1）关于 x 轴的对称点坐标为（ ）A （3 ，2 ，1 ） B （3，2，1） C （ 3，2，1） D （3，2，1）【解答】解：在空间直角坐标系中，点（x，y ，z ）关于 x 轴的对称点的坐标为：（ x，y ，z ） ，点 P（3 ，2，1）关于 x 轴的对称点的坐标为：（3，2， 1） 故选：A3 （5 分）若 m，n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A若 m，则 m B若 =m，=n，mn ，则 C若 m，m，则 D若
9、， ，则 【解答】解：对于 A，m， ，则 m 与 的关系有三种，即 m、m 或 m 与 相交，选项 A 错误；对于 B，=m，=n ，若 mn，则 或 与 相交，选项 B 错误；对于 C，m，m，则 内存在与 m 平行的直线与 垂直，则 ，选项C 正确；对于 D， ， ，则 与 可能平行，也可能相交，选项 D 错误故选：C4 （5 分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A （2 + ） B4 C （2+2 ） D6【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个半球与一个圆锥组合而成的几何体，半球的半径为 1，故半球面面积为：2，圆锥的底面半径为 1，高为 2
10、，故母线长为 ，故圆锥的侧面积为： ，故组合体的表面积是：（2+ ），故选：A5 （5 分）设 f（x ）=3 x+3x8，用二分法求方程 3x+3x8=0 在 x（1，2）内近似解的过程中得 f（1）0 ， f（1.5）0，f（1.25）0，则方程的根落在区间（ ）A （1 ，1.25） B （1.25，1.5） C （1.5 ，2） D不能确定【解答】解析：f（1.5） f（1.25）0，由零点存在定理，得，方程的根落在区间（1.25，1.5 ） 故选 B6 （5 分）过点（0，3）且与直线 2x+y5=0 垂直的直线方程为（ ）A2x+y3=0 Bx+2y6=0 Cx2y +6=0 D2
11、xy+3=0【解答】解：设与直线 2x+y5=0 垂直的直线方程为 x2y+c=0，把点（0，3）代入，得 06+c=0，解得 c=6，过点（0，3）且与直线 2x+y5=0 垂直的直线方程是 x2y+6=0故选 C7 （5 分）函数 y=x 的图象大致为（ ）A B C D【解答】解：令 y=f（x）=x x ，f（ x）= x+ =（x ）=f（x ） ，y=f（x）=x x 为奇函数，其图象关于原点成中心对称，故可排除 C，D ；又 x=1 时，y=11=0，当 x1 时，不妨令 x=8，y=8 8 =60，可排除 B，故选 A8 （5 分）已知圆：C 1：（x +1） 2+（y 1）
12、2=1，圆 C2 与圆 C1 关于直线 xy1=0 对称，则圆 C2 的方程为（ ）A （x 2） 2+（y2） 2=1 B （x+2） 2+（y+2） 2=1 C （x+2） 2+（y2） 2=1D （x 2） 2+（y+2） 2=1【解答】解：在圆 C2 上任取一点（x ，y） ，则此点关于直线 xy1=0 的对称点（y +1，x1）在圆 C1：（x +1） 2+（y1 ） 2=1 上，有（y+1+1） 2+（x11） 2=1，即 （x2） 2+（y+2） 2=1，答案为（x2） 2+（y+2） 2=1故选：D9 （5 分）已知梯形 ABCD 是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图ABC
13、D（如图所示） ，其中 AD=2，BC=4，AB=1，则直角梯形 DC 边的长度是（ ）A B C D【解答】解：由已知作出梯形 ABCD 是直角梯形，如右图：按照斜二测画法画出它的直观图 ABCD，AD=2 ，BC=4 ，AB=1 ，直角梯形 ABCD 中，AB BC，AD=AD=2，BC=BC=4，AB=2AB=2，过 D 作 DEBC，交 BC 于 E，则 DE=AB=2，EC=BCAD=42=2，直角梯形 DC 边的长度为： =2 故选：B10 （5 分）已知 a=log23，b=2 0.5， ，则 a，b，c 从大到小的顺序为（ ）Acba Bbca Cab c Dcab【解答】解：
14、a=log 23= = =c，= b=20.5，cab故选：D11 （5 分）对于每个实数 x，设 f（x）取 ，y=|x 2|两个函数中的较小值若动直线 y=m 与函数 y=f（x）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为 x1、x 2、x 3，则 x1+x2+x3 的取值范围是（ ）A （2 ， ） B （ 2， ） C （4， ） D （0， ）【解答】解：由 2 =|x2|，平方得 4x=x24x+4，即 x28x+4=0，解得 x=4+2 或 x=42 ，设 x1x 2x 3，作出函数 f（x）的图象如图：则 0x 142 ，x 2 与 x3，关于 x=2 对称，则 x2+x3=4
15、，则 x1+x2+x3=x1+4，0x 142 ，44+x 182 ，即 x1+x2+x3 的取值范围为（4，8 2 ） ，故选：C12 （5 分）已知两点 A（0，0） ，B （2，2）到直线 l 的距离分别为 1 和 2，这样的直线 l 条数为（ ）A1 条 B2 条 C3 条 D4 条【解答】解：到点 A（0，0）距离为 1 的直线，可看作以 A 为圆心 1 为半径的圆的切线，同理到点 B（2，2）距离为 2 的直线，可看作以 B 为圆心 2 为半径的圆的切线，故所求直线为两圆的公切线，又|AB|=2 ，所以 21 |AB|1+2，故两圆相交，公切线有 2 条，故选：B二填空题（本大题共
16、 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答卷卡的相应位置上）13 （5 分）已知正四棱锥的底面边长为 4cm，高与侧棱夹角为 45，则其斜高长为 （cm） 【解答】解：如图所示：SBO=45，OE=2cm ，SO=OB=2 ，斜高为 SE= ，故答案为 14 （5 分）已知圆 C：x 2+y2=9，过点 P（3，1 ）作圆 C 的切线，则切线方程为 x=3 或 4x+3y15=0 【解答】解：圆心坐标为（0，0） ，半径为 3，点 P（3 ，1）在圆外，若直线斜率 k 不存在，则直线方程为 x=3，圆心到直线的距离为 3，满足相切若直线斜率存在设为 k，则直线方程为 y1=k（x3
17、） ，即 kxy+13k=0，则圆心到直线 kxy+13k=0 的距离等于半径 1，即 d= =1，解得 k= ，此时直线方程为 4x+3y15=0，综上切线方程为 x=3 或 4x+3y15=0，故答案为：x=3 或 4x+3y15=015 （5 分）若函数 f（x ） =lg（x 2+axa1）在区间2，+）上单调递增，则实数a 的取值范围是 （3，+） 【解答】解：令 t=x2+axa1，外函数 y=lgt 为增函数，要使复合函数 f（x ）=lg（x 2+axa1）在区间2，+）上单调递增，则 ，解得 a3实数 a 的取值范围是：（3，+） 故答案为：（3，+） 16 （5 分）已知正
18、三棱柱的棱长均为 2，则其外接球体积为 【解答】解：取三棱柱 ABCABC的两底面中心 O，O，连结 OO，取 OO的中点 D，连结 BD则 BD 为三棱柱外接球的半径ABC 是边长为 2 的正三角形， O 是ABC 的中心，BO= 又OD=1，BD= 三棱柱外接球的体积 V= BD3= 故答案为 三解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知函数 f（ x）= （I）求 f（0 ） ，f（1） ；（II）求 f（x）值域【解答】解：（I） f（0）=1， ；（II）这个函数当 x=0 时，函数取得最大值 1，当自变量 x 的绝对值
19、逐渐变大时，函数值逐渐变小并趋向于 0，但永远不会等于 0，于是可知这个函数的值域为集合 18 （12 分）ABC 三个顶点坐标为 A（0，1） ，B（0，1） ，C（ 2，1） （I）求 AC 边中线所在直线方程；（II）求ABC 的外接圆方程【解答】解：（ I）由于 AC 的中点为（1，1） ，B（0， 1） ，故 AC 边中线所在直线方程为 2x+y+1=0（6 分）（ II） （方法一）设ABC 的外接圆方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，（8 分）则把 A，B，C 的坐标代入可得 ，（10 分）求得 ，故要求的圆的方程为 x2+y2+2x1=0（12 分）（方法二）因为 ACBA
20、 ，所以ABC 的外接圆是以 RtABC 的斜边 BC 为直径的圆，（8分）则圆心坐标为 BC 中点（1，0） ，半径为|BC|的一半是 ，（10 分）所以ABC 的外接圆方程是（x +1） 2+y2=2 （12 分）19 （12 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1，O 是底 ABCD 对角线的交点求证：（1）C 1O面 AB1D1；（2）A 1C面 AB1D1【解答】证明：（1）连接 A1C1，设 A1C1B 1D1=O1，连接 AO1，ABCDA 1B1C1D1 是正方体，A 1ACC1 是平行四边形，A 1C1AC 且 A1C1=AC，又 O1，O 分别是 A1C1，AC 的中点，
21、O 1C1AO 且 O1C1=AO，AOC 1O1 是平行四边形，C 1O AO1， AO1面 AB1D1，C 1O面 AB1D1，C 1O 面 AB1D1；（2）CC 1面 A1B1C1D1CC 1B 1D!，又A 1C1B 1D1，B 1D1面 A1C1C，即 A1CB 1D1，A 1BAB 1， BCAB 1，又 A1BBC=B ，AB1平面 A1BC，又 A1C平面 A1BC，A 1CAB 1，又 D1B1AB 1=B1，A 1C面 AB1D120 （12 分）如图，有一个正三棱锥的零件，P 是侧面 ACD 上的一点过点 P作一个与棱 AB 垂直的截面，怎样画法？并说明理由【解答】解：
22、（方法一）画法：过点 P 在面 ACD 内作 EFCD，交 AC 于 E 点，交 AD 于 F 点过 E 作 EGAB，连接 FG，平面 EFG 为所求（4 分）理由：取 CD 中点 M，连接 AM，BMA BCD 为正三棱锥，AC=AD，BC=BD，BM CD，AM CD，（6 分）AMBM=M ，AM平面 ABM，BM 平面 ABM，CD平面 ABM（8 分）AB平面 ABM，CDABEF CD，EF AB（10 分）过 E 作 EGAB，连接 FG，EF EG=EEF面 EFG，EG 面 EFG，AB面 EFG（12 分）（方法二）画法：过 C 在平面 ABC 内 M 作 CEAB，垂足
23、为 E连接 DE过点 P 作 MNCD，交 AC 于 M，AD 于 N过 M 作 MHCE ，交 AE 于 H，连接 HN，平面 HMN 为所求 （4 分）理由：ABCABD ，DEAB（6 分） ， ， ，HNDE，（8 分）ABHN由画法知，ABHM，HMHN=H，HM面 MNH，HN面 MNH，AB平面 MNH （12 分）21 （12 分）已知函数 f（ x）= （）证明：f（x）为奇函数；（）判断 f（x）单调性并证明；（III）不等式 f（xt）+f（x 2t2）0 对于 x1，2恒成立，求实数 t 的取值范围【解答】解：（）证明：对于函数 f（x ）= ，其定义域为 R，关于原点
24、对称， ，f（ x）为奇函数（ II）f（x）在 R 上为增函数证明：根据题意， ，在 R 内任取 x1，x 2，x=x 2x10，则 ，x 2x 12x 22x 1 ， ，y0f（ x）在 R 上为增函数（ III）根据题意，f（xt）+f（x 2t2）0f（x t） f（x 2t2） ，又由 f（ x）为奇函数，f（ xt）f（x 2t2）=f（t 2x2） ，又f（ x）在 R 上为增函数，当 x1，2时，x tt 2x2 恒成立，即 x2+xt 2+t 恒成立，而 x1，2时， （x 2+x） min=2，则 x2+xt 2+t 恒成立 t2+t2，解得2t1，即 t 的取值范围是 2
25、，122 （12 分）平面内有两个定点 A（1，0） ，B （1，2） ，设点 P 到 A、B 的距离分别为 d1，d 2，且 =（ I）求点 P 的轨迹 C 的方程；（ II）是否存在过点 A 的直线 l 与轨迹 C 相交于 E、F 两点，满足（O 为坐标原点） 若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由【解答】 （本小题 12 分）（）设 P（ x，y） ，则 ，d 2= ， ， ，（2 分）整理得：（x1） 2+（y+4） 2=8，点 P 的轨迹 C 的方程为（x1） 2+（y+4） 2=8（4 分）（ II）存在过点 A 的直线 l，l 与轨迹 C 相交于 E，F 两点，且使三角形 SOEF =理由如下：当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x=1，直线过圆心， ，点 O 到直线 l 的距离为 1，此时， ，所以成立（ 6 分）当直线 l 斜率存在时，设 l 方程为：y=k（x 1） 点 C 到 l 的距离 ，利用勾股定理，得：（8 分）点 O 到 l 的距离 ， ，（10 分）整理得 3k2=1，无解所以直线斜率存在时满足题意的直线不存在综上，存在过点 A 的直线 l：x=1，满足题意（ 12 分）（其它做法相应给分）