1、2016-2017 学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）.1 （5 分）设全集 U=0，1，2，3，集合 A=1， 2，B=2，3，则（ UA）B= 2 （5 分）函数 的最小正周期为 3 （5 分）若函数 f（x ） = ，则 f（f（2） ）= 4 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，300角终边上一点 P 的坐标为（1，m） ，则实数 m 的值为 5 （5 分）已知幂函数 y=f（x）的图象过点（ ， ） ，则 f（ ）= 6 （5 分）已知向量 与 满足| |=2，| |=3，且 =3，则 与 的夹角为 7 （5 分
2、）已知 sin（+）= ，则 sin（2+ ）= 8 （5 分）函数 y=log2（3cosx+1） ，x ， 的值域为 9 （5 分）在ABC 中， E 是边 AC 的中点， =4 ，若 =x +y ，则 x+y= 10 （5 分）将函数 y=sin（2x ）的图象先向左平移 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变） ，那么所得图象的解析式为 y= 11 （5 分）若函数 f（x ） =x2ax+2a4 的一个零点在区间（2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数 a 的取值范围是 12 （5 分）若 =1，tan（）= ，则 tan= 13 （5 分）已知 f（x
3、）是定义在（ ，+）上的奇函数，当 x0 时，f（x）=4xx2，若函数 f（x）在区间t，4上的值域为4 ，4，则实数 t 的取值范围是 14 （5 分）若函数 f（x ） =|sin（x+ ）|（ 1）在区间， 上单调递减，则实数 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程15 （15 分）已知向量 =（ 3，1） ， =（1 ， 2） ， = +k （k R） （1）若 与向量 2 垂直，求实数 k 的值；（2）若向量 =（1，1） ，且 与向量 k + 平行，求实数 k 的值16 （15 分）设 （0， ） ，满足 sin+cos=
4、（1）求 cos（+ ）的值；（2）求 cos（2+ ）的值17 （15 分）某机构通过对某企业 2016 年的生产经营情况的调查，得到每月利润 y（单位：万元）与相应月份数 x 的部分数据如表：x 1 4 7 12y 229 244 241 196（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述 y 与 x 的变化关系，并说明理由，y=ax 3+b，y= x2+ax+b，y=ab x（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润18 （15 分）已知函数 f（ x）=（ ） x2x（1）若 f（x）= ，求 x 的值；（2）若不等式 f（2mmcos）
5、+f （ 1cos）f（0）对所有 0， 都成立，求实数 m 的取值范围19 （15 分）已知 t 为实数，函数 f（x）=2log a（2x+t 2） ，g（x）=log ax，其中0a 1 （1）若函数 y=g（a x+1） kx 是偶函数，求实数 k 的值；（2）当 x1，4时，f（x）的图象始终在 g（x ）的图象的下方，求 t 的取值范围；（3）设 t=4，当 xm，n 时，函数 y=|f（x）|的值域为0，2，若 nm 的最小值为 ，求实数 a 的值20 （15 分）已知向量 =（cos ，sin ） ， =（cos ， sin ） ，函数 f（x ）= m| + |+1，x ，
6、，m R（1）当 m=0 时，求 f（ ）的值；（2）若 f（x）的最小值为 1，求实数 m 的值；（3）是否存在实数 m，使函数 g（x）=f （x）+ m2，x ， 有四个不同的零点？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由2016-2017 学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）.1 （5 分）设全集 U=0，1，2，3，集合 A=1， 2，B=2，3，则（ UA）B= 0，2，3 【解答】解：全集 U=0，1，2，3，集合 A=1， 2，B=2，3，则 UA=0，3 ，所以（ UA）B= 0，2，
7、3故答案为：0，2，32 （5 分）函数 的最小正周期为 【解答】解：函数 ，=2，T= =故答案为：3 （5 分）若函数 f（x ） = ，则 f（f（2） ）= 5 【解答】解：函数 f（x ）= ，f（ 2）=（2） 21=3，f（f（ 2） ）=f（3）=3+2=5故答案为：54 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，300角终边上一点 P 的坐标为（1，m） ，则实数 m 的值为 【解答】解：在平面直角坐标系 xOy 中，300角终边上一点 P 的坐标为（1，m） ，tan300=tan（36060 ） =tan60= = ，m= ，故答案为： 5 （5 分）已知幂函数 y=f（x
8、）的图象过点（ ， ） ，则 f（ ）= 4 【解答】解：幂函数 y=f（x ）=x 的图象过点（ ， ） ， = ，解得： =2，故 f（x）=x 2，f （ ）= =4，故答案为：46 （5 分）已知向量 与 满足| |=2，| |=3，且 =3，则 与 的夹角为 【解答】解：向量 与 满足| |=2，| |=3，且 =3，设 与 的夹角为 ，则 cos= = = ，= ，故答案为： 7 （5 分）已知 sin（+）= ，则 sin（2+ ）= 【解答】解：sin（+）= ，sin= ，sin （2 + ）=cos2=12sin 2=1 = ，故答案为： 8 （5 分）函数 y=log2（
9、3cosx+1） ，x ， 的值域为 0，2 【解答】解：x ， ，0cosx1，13cosx+14，0log 2（3cosx +1）2 ，故答案为0，29 （5 分）在ABC 中， E 是边 AC 的中点， =4 ，若 =x +y ，则 x+y= 【解答】解：E 是边 AC 的中点， =4 ， = ，所以 x= ，y= ，x+y= 故答案为： 10 （5 分）将函数 y=sin（2x ）的图象先向左平移 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变） ，那么所得图象的解析式为 y= sin（ 4x+ ） 【解答】解：将函数 y=sin（2x ）的图象先向左平移 ，得到函数 y=s
10、in2（x + ） =sin（2x + ）的图象，将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变） ，则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（4x + ）故答案为：sin（4x+ ） 11 （5 分）若函数 f（x ） =x2ax+2a4 的一个零点在区间（2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数 a 的取值范围是 （0，2） 【解答】解：函数 f（x ）=x 2ax+2a4 的一个零点在区间（2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内， ，求得 0a2，故答案为：（0，2） 12 （5 分）若 =1，tan（）= ，则 tan= 【解答】解： = = ，tan= ，又 t
11、an（ ） = ，则 tan=tan（）= = = ，故答案为： 13 （5 分）已知 f（x ）是定义在（ ，+）上的奇函数，当 x0 时，f（x）=4xx2，若函数 f（x）在区间t，4上的值域为4 ，4，则实数 t 的取值范围是 22 ，2 【解答】解：如 x0，则 x0，当 x0 时，f（x）=4x x2，当x0 时，f（x）=4x+x 2，函数 f（x ）是奇函数，f（ 0）=0，且 f（x ）=4x+x 2=f（x） ，则 f（x）=4x +x2，x 0，则函数 f（x ）= ，则当 x0，f（x）=4xx 2=（x 2） 2+44，当 x0，f （x）=4x+x 2=（x+2 ）
12、 24 4，当 x0 时，由 4x+x2=4，即 x2+4x4=0 得 x= =22 ， （正值舍掉） ，若函数 f（x ）在区间t，4上的值域为 4，4 ，则2 2 t2，即实数 t 的取值范围是 22 ，2，故答案为：22 ，214 （5 分）若函数 f（x ） =|sin（x+ ）|（ 1）在区间， 上单调递减，则实数 的取值范围是 ， 【解答】解：函数 f（x ）=|sin（x + ）|（0）在， 上单调递减，T= ，即 20，根据函数 y=|sinx|的周期为 ，减区间为k+ ，k +，k z，由题意可得区间， 内的 x 值满足 k+ x+ k +，k z，即 + k + ，且 +
13、k +，k z解得 k+ （k+ ） ，kz 求得：当 k=0 时， ，不符合题意；当 k=1 时， ；当 k=2 时， ，不符合题意综上可得， ，故答案为： ， 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程15 （15 分）已知向量 =（ 3，1） ， =（1 ， 2） ， = +k （k R） （1）若 与向量 2 垂直，求实数 k 的值；（2）若向量 =（1，1） ，且 与向量 k + 平行，求实数 k 的值【解答】解：（1） = +k =（ 3+k，1 2k） ，2 =（7，4） 与向量 2 垂直， （2 ）= 7（3+k）+4（12k）=0，解得
14、k= （2）k + =（k+1，2k 1） ， 与向量 k + 平行，（2k1） （ 3+k）（12k） （k+1）=0 ，解得 k= 16 （15 分）设 （0， ） ，满足 sin+cos= （1）求 cos（+ ）的值；（2）求 cos（2+ ）的值【解答】解：（1）（0， ） ，满足 sin+cos= =2sin（+ ） ，sin （ + ）= cos（+ ）= = （2）cos（2+ ）=2 1= ，sin（2+ ）=2sin（+ ） cos（+ ）=2 = ，cos（2+ ）=cos（2 + ）+ =cos（2+ ）cos sin（2 + ）sin= = 17 （15 分）某机构通
15、过对某企业 2016 年的生产经营情况的调查，得到每月利润 y（单位：万元）与相应月份数 x 的部分数据如表：x 1 4 7 12y 229 244 241 196（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述 y 与 x 的变化关系，并说明理由，y=ax 3+b，y= x2+ax+b，y=ab x（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润【解答】解：（1）由题目中的数据知，描述每月利润 y（单位：万元）与相应月份数 x 的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；所以，应选取二次函数 y=x2+ax+b 进行描述；（2）将（1，229） ，
16、（4 ，244）代入 y=x2+ax+b，解得 a=10，b=220，y= x2+10x+220，1x12，x N+，y=（ x5） 2+245，x=5 ，y max=245 万元18 （15 分）已知函数 f（ x）=（ ） x2x（1）若 f（x）= ，求 x 的值；（2）若不等式 f（2mmcos）+f （ 1cos）f（0）对所有 0， 都成立，求实数 m 的取值范围【解答】解：（1）令 t=2x0，则 t= ，解得 t=4（舍）或 t= ，3 分，即 2x= ，所以 x=26 分（2）因为 f（x）= 2x=2x =f（x） ，所以 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，7 故 f（0
17、 ）=0 ，由f（2mmcos）+f（1cos）f（0）=0 得：f（2mmcos ）f （1+cos）8 分，又 f（x）= （ ） x2x 在 R 上单调递减，9 分，所以 2mmcos1 +cos 对所有 0， 都成立， 10 分，所以 m ， 0， ，12 分，令 =cos，0， ，则 0，1，y= =1+ ，0，1的最大值为 2，所以 m 的取值范围是 m216 分19 （15 分）已知 t 为实数，函数 f（x）=2log a（2x+t 2） ，g（x）=log ax，其中0a 1 （1）若函数 y=g（a x+1） kx 是偶函数，求实数 k 的值；（2）当 x1，4时，f（x）
18、的图象始终在 g（x ）的图象的下方，求 t 的取值范围；（3）设 t=4，当 xm，n 时，函数 y=|f（x）|的值域为0，2，若 nm 的最小值为 ，求实数 a 的值【解答】解：（1）函数 y=g（a x+1）kx 是偶函数，log a（a x+1）+kx=log a（a x+1）kx，对任意 xR 恒成立，2kx=log a（ ax+1）log a（a x+1）=log a（ ）=xk= ，（2）由题意设 h（x）=f（ x） g（x）=2log a（2x+t2） logax0 在 x1，4恒成立，2log a（2x+ t2）log ax，0a1 ，x1，4，只需要 2x+t2 恒成立
19、，即 t2x+ +2 恒成立，t（2x+ +2） max，令 y=2x+ +2=2（ ） 2+ +2=2（ ） 2+ ，x1，4，（2x+ +2） max=1，t 的取值范围是 t1，（3）t=4，0 a1，函数 y=|f（x）|= |2loga（2x+2 ）|在（ 1， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增，当 xm， n时，函数 y=|f（x）|的值域为0，2，且 f（ ）=0，1 m n（等号不同时取到） ，令|2log a（2x +2）|=2 ，得 x= 或 ，又 （ ）（ ） = 0， （ ）（ ） ，nm 的最小值为（ ） = ，a= 20 （15 分）已知向量 =（cos ，si
20、n ） ， =（cos ， sin ） ，函数 f（x ）= m| + |+1，x ， ，m R（1）当 m=0 时，求 f（ ）的值；（2）若 f（x）的最小值为 1，求实数 m 的值；（3）是否存在实数 m，使函数 g（x）=f （x）+ m2，x ， 有四个不同的零点？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由【解答】解：（1） =（cos ，sin ） （cos ，sin ）=cos cos sinsin =cos（ + ）=cos2x，当 m=0 时，f（x）= +1=cos2x+1，则 f（ ）=cos（2 ） +1=cos +1= ；（2）x ， ，| + |= = =2c
21、osx，则 f（x）= m| + |+1=cos2x2mcosx+1=2cos2x2mcosx，令 t=cosx，则 t1，则 y=2t22mt，对称轴 t= ，当 ，即 m1 时，当 t= 时，函数取得最小值此时最小值 y= m=1，得 m= （舍） ，当 1，即 m1 时，当 t= 时，函数取得最小值此时最小值 y= =1，得 m= ，当 1，即 m2 时，当 t=1 时，函数取得最小值此时最小值 y=22m=1，得 m= （舍） ，综上若 f（x ）的最小值为 1，则实数 m= （3）令 g（x）=2cos 2x2mcosx+ m2=0，得 cosx= 或 ，方程 cosx= 或 在 x ， 上有四个不同的实根，则 ，得 ，则 m ，即实数 m 的取值范围是 m