1、2016-2017 学年江苏省泰州中学高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题纸上.1 （5 分）函数 y= 的定义域为 2 （5 分）函数 的最小正周期为 3 （5 分）已知函数 ，f（1）+f（ 1）= 4 （5 分）已知幂函数 y=f（x）的图象过点（ ，8） ，则 f（2）= 5 （5 分）把函数 y=sinx 的图象向左平移 个单位长度，所得到的图象的函数表达式为 6 （5 分） 9= 7 （5 分）函数 y=sinx+cosx 的单调递增区间为 8 （5 分）若函数 y=sin（x+）过点 ，则 f（
2、0）= 9 （5 分）若 的夹角为 60， ， ，则 = 10 （5 分）在ABC 中， D 为边 BC 上一点，且 ADBC，若AD=1， BD=2，CD=3，则BAC 的度数为 11 （5 分）若 ，则 sin2= 12 （5 分）若锐角 ， 满足 cos2+cos2=1，则 = 13 （5 分）若方程|x|a 2|a=0 有四个不同的实根，则实数 a 的取值范围为 14 （5 分）已知函数 f（ x）=x 3+x+1，若对任意的 x，都有 f（x 2+a）+f （ax）2，则实数 a 的取值范围是 二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）1
3、5 （15 分）已知集合 A=x|2x16，B=x |log2xa （1）当 a=1 时，求 AB；（2）若 A 是 B 的子集，求实数 a 的取值范围16 （15 分）已知向量 ， （1）若 ，求 x 的值；（2）当 x0，2时，求 的取值范围17 （15 分）如图，某儿童公园设计一个直角三角形游乐滑梯，AO 为滑道，OBA 为直角，OB=20 米，设 AOB=rad，一个小朋友从点 A 沿滑道往下滑，记小朋友下滑的时间为 t 秒，已知小朋友下滑的长度 s 与 t2 和 sin 的积成正比，当 时，小朋友下滑 2 秒时的长度恰好为 10 米（1）求 s 关于时间 t 的函数的表达式；（2）请
4、确定 的值，使小朋友从点 A 滑到 O 所需的时间最短18 （15 分）已知函数 ，x R（1）求函数 f（x）的最大值；（2）若 ， R，求 的值19 （15 分）如图，在ABC 中， ， （1）用 ， 表示 ；（2）若 ， ，求证： ；（3）若 ，求 的值20 （15 分）已知函数 f（ x）=x 2+2|xa|，xR （1）若函数 f（x）为偶函数，求实数 a 的值；（2）当 x=1 时，函数 f（ x）在 x=1 取得最大值，求实数 a 的取值范围（3）若函数 f（x）有三个零点，求实数 a 的取值范围2016-2017 学年江苏省泰州中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填
5、空题：本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题纸上.1 （5 分）函数 y= 的定义域为 x |x1 【解答】解：要是函数有意义，须 x10，解得 x1，故函数的定义域为x|x1故答案为：x|x12 （5 分）函数 的最小正周期为 【解答】解：根据题意，函数 中，=4，则其周期 T= = ；故答案为：3 （5 分）已知函数 ，f（1）+f（ 1）= 1 【解答】解：函数 ，f（ 1）=2，f （1）= 1，f（ 1）+f（1）=21=1故答案为：14 （5 分）已知幂函数 y=f（x）的图象过点（ ，8） ，则 f（2）= 【解答】解：幂函数 y
6、=f（x ）=x a 的图象过点（ ，8） ，（ ） a=8，解得 a=3，f（ x）=x 3，f（ 2）=2 3= 故答案为： 5 （5 分）把函数 y=sinx 的图象向左平移 个单位长度，所得到的图象的函数表达式为 y=sin（x+ ） 【解答】解：把函数 y=sinx 的图象向左平移 个单位长度，所得到的图象的函数表达式为 y=sin（x+ ） ，故答案为： 6 （5 分） 9= 4 【解答】解：原式=2+ =2+2=4故答案为：47 （5 分）函数 y=sinx+cosx 的单调递增区间为 2k ，2k+ （k Z） 【解答】解：y=sinx+cosx= （ sinx+ cosx）=
7、 （ sinxcos +cosxsin ）= sin（x + ） ，对于函数 y= sin（x+ ） ，由 2k x+ 2k + ， （kZ）可得：函数 y=sinx+cosx，xR 的单调递增区间是2k ，2k+ （k Z） ，故答案为2k ，2k+ （k Z） 8 （5 分）若函数 y=sin（x+）过点 ，则 f（0）= 【解答】解：函数 y=sin（x+）过点 ，1=sin（ ）得： = ， （kZ ）= 那么：函数 y=sin（ ） ，当 x=0 时，可得 y=sin（ ）=sin = 故 f（0）= 故答案为： 9 （5 分）若 的夹角为 60， ， ，则 = 【解答】解： 的夹角
8、为 60， ， ，则 = + +2| | |cos60=1+4+212 =7， = ，故答案为：10 （5 分）在ABC 中， D 为边 BC 上一点，且 ADBC，若AD=1， BD=2，CD=3，则BAC 的度数为 135 【解答】解：由题意，AB= ，AC= ，BC=5，由余弦定理可得 cosBAC= = ，0 BAC180BAC=135 ，故答案为 13511 （5 分）若 ，则 sin2= 【解答】解：若 ，sin2= = = = ，故答案为： 12 （5 分）若锐角 ， 满足 cos2+cos2=1，则 = 【解答】解：sin 2+cos2=1，cos 2+cos2=1，sin 2
9、=cos2，又， 是锐角，可得 sin=cos，即 +=那么： =cos = 故答案为：13 （5 分）若方程|x|a 2|a=0 有四个不同的实根，则实数 a 的取值范围为 （1，+） 【解答】解：方程|x|a 2|a=0，可得方程|x| a2|=a，a0，|x|=a 2a，方程|x|a 2|a=0 有四个不同的实根，a 2+a0 且 a2a0，a1，故答案为（1，+） 14 （5 分）已知函数 f（ x）=x 3+x+1，若对任意的 x，都有 f（x 2+a）+f （ax）2，则实数 a 的取值范围是 0a4 【解答】解：构造函数 g（x）=f （x）1=x 3+x，则函数是奇函数，在 R
10、 上单调递增，f（x 2+a）+f （ ax）2，等价于 g（x 2+a）+g （ax ） 0，x 2+aax，x 2+ax+a0，=a 24a00a4 ，故答案为 0a4二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15 （15 分）已知集合 A=x|2x16，B=x |log2xa （1）当 a=1 时，求 AB；（2）若 A 是 B 的子集，求实数 a 的取值范围【解答】解：集合 A=x|2x16= x|x4，B=x|log2xa=x |x2 a（1）当 a=1 时，B=x|x 2，故 AB=x |x4 ；（2）若 A 是 B 的子集，则 42
11、a，解得：a2 16 （15 分）已知向量 ， （1）若 ，求 x 的值；（2）当 x0，2时，求 的取值范围【解答】解：（1）因为向量 ， ， ，所以（2x） （1+x）=12，即为 x2x=0解得 x=0 或 x=1；（2）因为 ， ，所以 ，所以 ，因为 x0，2，当 x= 时取得最小值 ，当 x=0 时， x23x=0；当 x=2 时，x23x=2，可得最大值为 0，所以 的取值范围 17 （15 分）如图，某儿童公园设计一个直角三角形游乐滑梯，AO 为滑道，OBA 为直角，OB=20 米，设 AOB=rad，一个小朋友从点 A 沿滑道往下滑，记小朋友下滑的时间为 t 秒，已知小朋友下
12、滑的长度 s 与 t2 和 sin 的积成正比，当 时，小朋友下滑 2 秒时的长度恰好为 10 米（1）求 s 关于时间 t 的函数的表达式；（2）请确定 的值，使小朋友从点 A 滑到 O 所需的时间最短【解答】解：（1）由题意，设 S=kt2sin，t0，当 时，S=10， ，解得：k=5，故得 S 关于时间 t 的函数的表达式；S=5t 2sin，t 0 ；（2）由题意，OBA 为直角，AOB=rad，可得： ， ，化简可得： ，当 时，时间 t 最短18 （15 分）已知函数 ，x R（1）求函数 f（x）的最大值；（2）若 ， R，求 的值【解答】解：（1）函数 ，x R化简可得：=，
13、当 时， ；（2）由（1）可得 f（x ） = ， ， ，即 ，=19 （15 分）如图，在ABC 中， ， （1）用 ， 表示 ；（2）若 ， ，求证： ；（3）若 ，求 的值【解答】解：（1）因为 ，所以 ，所以 ，证明：（2）因为 ，所以 ，即 ，即 ，又因为 ，所以 ，即 所以 ，所以 ，（3）因为 ，所以 ，即 ，因此 ，同理 ，又 ，所以 ，因为 ，所以 ，即 又因为 ， ，所以 ，所以 ，即 由得 20 （15 分）已知函数 f（ x）=x 2+2|xa|，xR （1）若函数 f（x）为偶函数，求实数 a 的值；（2）当 x=1 时，函数 f（ x）在 x=1 取得最大值，求实数
14、 a 的取值范围（3）若函数 f（x）有三个零点，求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）任取 xR，则 f（x）=f（x）恒成立，即（x） 2+2|xa|=x2+2|xa|恒成立，|xa|=|x+a|恒成立，两边平方得：x 22ax+a2=x2+2ax+a2，a=0；（2） ，因为函数 y=f（x）在 x=1 时取得最大值，当 a1 时，必须 f（1）f（a） ，即 1+2aa 2+2a2a，即（a+1） 20，所以a 1 适合题意；当1 a 1 时，必须 f（ 1）f （1） ，即 1+2a12a，即 a0，所以 0a1适合题意；当 a1 时，因为 f（1） f（1） ，不合题意，综上，实数 a 的取值范围是0，+） （3） ， ，当 1=0 时， ，此时函数 有三个零点1， ；当 2=0 时， ，此时函数 有三个零点 ；当 10， 20 时，即 时，方程x 2+2x2a=0 的两根为 ，方程x 22x+2a=0 的两根为 ，因为 ，所以 且 ，解得 a=0，或者 且 ，此时无解，综上得 或 0