1、2016-2017 学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分）1 （5 分）设全集 U=1，2，4，集合 A=1，4，则 UA= 2 （5 分）已知函数 y=2sin（x+ ） （0）的最小正周期为 ，则 = 3 （5 分）已知幂函数的图象过点（2，4） ，则它的单调递减区间是 4 （5 分）设函数 f（x ） = ，则 ff（ ）的值为 5 （5 分）在ABC 中，向量 =（1，cosB） ， =（ sinB，1） ，且 ，则角 B的大小为 6 （5 分） （log 23+log227） （log 44+log4 ）的值为 7 （
2、5 分）将函数 f（x ） =sin（2x+） （0 ）的图象向左平移 个单位后得到函数 y=g（x）的图象，若 y=g（x ）是偶函数，则 = 8 （5 分）已知函数 f（x）=mx 22x+m 的值域为0 ，+） ，则实数 m 的值为 9 （5 分）已知 sin（ ）= ，则 sin（2 + ）的值为 10 （5 分）已知 sin（+）= ，sin（）= ，则 的值为 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（1，4）是角 终边上一点，将射线 OP 绕坐标原点 O 逆时针方向旋转 （0 ）角后到达角 的终边，则tan= 12 （5 分）已知函数 f（ x）= ，若关于 x 的方
3、程 f（x）a 2+2a=0有三个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是 13 （5 分）已知函数 f（ x）=cosx（x 0，2）与函数 g（x ）=tanx 的图象交于 M， N 两点，则| + |= 14 （5 分）如图，在ABC 中，已知 AB=2，AC=3，BAC=60，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 =2 ， =3 ，点 F 位线段 DE 上的动点，则 的取值范围是 （ ）二、解答题（共 6 小题，满分 90 分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15 （14 分）已知集合 A=x|f（x）=lg（x1）+ ，集合B=y|y=2x+a，x0（1）若 a= ，求 A
4、B；（2）若 AB= ，求实数 a 的取值范围16 （14 分）已知函数 f（ x）=Asin（x ） （其中 A， 为常数，且A0 ，0）的部分图象如图所示（1）求函数 f（x）的解析式；（2）若 f（+ ）= ，f（+ ）= ，且 ，（0， ） ，求 + 的值17 （14 分）若| |=1，| |=m，| + |=2（1）若| +2 |=3，求实数 m 的值；（2）若 + 与 的夹角为 ，求实数 m 的值18 （16 分）如图，经过村庄 A 有两条互相垂直的笔直公路 AB 和 AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂 P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库 M，N
5、（异于村庄 A，将工厂 P 及仓库 M，N 近似看成点，且 M， N 分别在射线 AB，AC 上） ，要求 MN=2，PN=1（单位：km ） ，PNMN（1）设AMN=，将工厂与村庄的距离 PA 表示为 的函数，记为 l（） ，并写出函数 l（ ）的定义域；（2）当 为何值时，l （ ）有最大值？并求出该最大值19 （16 分）已知函数 f（ x）=m（sinx+cosx） 4sinxcosx，x0， ，m R（1）设 t=sinx+cosx，x 0， ，将 f（x ）表示为关于 t 的函数关系式 g（t） ，并求出 t 的取值范围；（2）若关于 x 的不等式 f（x）0 对所有的 x0，
6、恒成立，求实数 m 的取值范围；（3）若关于 x 的方程 f（ x）2m+4=0 在0， 上有实数根，求实数 m 的取值范围20 （16 分） （1）已知函数 f（x ）=2x+ （x0） ，证明函数 f（x）在（0， ）上单调递减，并写出函数 f（x ）的单调递增区间；（2）记函数 g（x）=a |x|+2ax（a1）若 a=4，解关于 x 的方程 g（x）=3；若 x1， +） ，求函数 g（x）的值域2016-2017 学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分）1 （5 分）设全集 U=1，2，4，集合 A=
7、1，4，则 UA= 2 【解答】解：全集 U=1，2，4，集合 A=1，4，则 UA=2故答案为：22 （5 分）已知函数 y=2sin（x+ ） （0）的最小正周期为 ，则 = 3 【解答】解：由题意可得：最小正周期 T= = ，解得：=3故答案为：33 （5 分）已知幂函数的图象过点（2，4） ，则它的单调递减区间是 （，0） 【解答】解：设幂函数的解析式为 y=x，其函数图象过点（2，4） ，则 4=2，解得 =2，所以 y=x2，所以函数 y 的单调递减区间是（，0） 故答案为：（，0） 4 （5 分）设函数 f（x ） = ，则 ff（ ）的值为 4 【解答】解：f（x）= ，f（
8、）=2 =2 =2，ff（ ）=f （2）=2 2=4故答案为：45 （5 分）在ABC 中，向量 =（1，cosB） ， =（ sinB，1） ，且 ，则角 B的大小为 【解答】解： ， =sinB+cosB=0tanB=1，B （0，） ，B= 故答案为： 6 （5 分） （log 23+log227） （log 44+log4 ）的值为 0 【解答】解：原式=log 281log41=0，故答案为：07 （5 分）将函数 f（x ） =sin（2x+） （0 ）的图象向左平移 个单位后得到函数 y=g（x）的图象，若 y=g（x ）是偶函数，则 = 【解答】解：图象向左平移 得到 f（x
9、 + ）=2sin （2x+ +） ，g （x）=2sin （2x+ +） ，g （x）为偶函数，因此 +=k+ ，又 0 ，故 = 故答案为： 8 （5 分）已知函数 f（x）=mx 22x+m 的值域为0 ，+） ，则实数 m 的值为 1 【解答】解：f（x）=mx 22x+m 的值域为0，+） ， ，解得 m=1故答案为：19 （5 分）已知 sin（ ）= ，则 sin（2 + ）的值为 【解答】解：sin（ ）= ，sin （2 + ）=cos （2 + ）=cos（2 ）=cos2（ ）=12sin2（ ）=1 2（ ） 2= 故答案为： 10 （5 分）已知 sin（+）= ，s
10、in（）= ，则 的值为 3 【解答】解：sin（+）=sincos+cossin= ，sin（）=sincoscossin= ，sincos= ，cossin= ，则 = = =3，故答案为：311 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（1，4）是角 终边上一点，将射线 OP 绕坐标原点 O 逆时针方向旋转 （0 ）角后到达角 的终边，则tan= 【解答】解：由题意可得，+= ，tan=4， tan（+）=1，即 =1，即 =1，求得 tan= ，故答案为： 12 （5 分）已知函数 f（ x）= ，若关于 x 的方程 f（x）a 2+2a=0有三个不同的实数根，则实数 a 的取值
11、范围是 0a 1 或 1a2 【解答】解：由题意，关于 x 的方程 f（x）a 2+2a=0 有三个不同的实数根，则 f（x）=a 22a 有三个不同的交点，f（ x）= ，1 a 22a0，0a1 或 1a 2，故答案为 0a1 或 1a213 （5 分）已知函数 f（ x）=cosx（x 0，2）与函数 g（x ）=tanx 的图象交于 M， N 两点，则| + |= 【解答】解：由题意，M，N 关于点（ ，0）对称，| + |=2 =，故答案为 14 （5 分）如图，在ABC 中，已知 AB=2，AC=3，BAC=60，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 =2 ， =3 ，点 F
12、位线段 DE 上的动点，则 的取值范围是 ， （ ）【解答】解：设 = ， ， ；则 = + =，当 =0 时，f （）= 最大为 ，当 时，f（）= 最小为 ；则 的取值范围是 ， ，故答案为： ， ，二、解答题（共 6 小题，满分 90 分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15 （14 分）已知集合 A=x|f（x）=lg（x1）+ ，集合B=y|y=2x+a，x0（1）若 a= ，求 AB；（2）若 AB= ，求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）由 f（x ）=lg （x 1）+ 可得，x10 且 2x0，解得 1x2，故 A=x|1x2； （2 分）若 a= ，则 y=2x
13、+ ，当 x0 时，02 x1， 2x+ ，故 B=y| y ； （5分）所以 AB=x|1x （7 分）（2）当 x0 时，02 x 1，a2 x+aa+1，故 B=y|aya+1，（9 分）因为 AB= ，A=x|1x2，所以 a2 或 a+11，（12 分）即 a2 或 a0，所以实数 a 的取值范围为 a2 或 a0 （14 分）16 （14 分）已知函数 f（ x）=Asin（x ） （其中 A， 为常数，且A0 ，0）的部分图象如图所示（1）求函数 f（x）的解析式；（2）若 f（+ ）= ，f（+ ）= ，且 ，（0， ） ，求 + 的值【解答】 （本题满分为 14 分）解：（1
14、）据函数 y=f（x）的解析式及其图象可知 A=2， （2 分）且 T= （ ）=，其中 T 为函数 y=f（x）的最小正周期，故 T=2，（4分）所以 =2，解得 =1，所以 f（ x）=2sin（x ） （6 分）（2）由 f（+ ）= ，可知 2sin（ ）= ，即 sin= ，因为 （0， ） ，所以 cos = = （8 分）由 f（ + ）= ，可知 2sin（ ）= ，即 sin（x+ ）=，故 cos= ，因为 （0 ， ） ，所以 sin = ，（10 分）于是 cos（+）=coscossinsin= = （12 分）因为 ，（ 0， ） ，所以 +（ 0，） ，所以 +=
15、 （14 分）17 （14 分）若| |=1，| |=m，| + |=2（1）若| +2 |=3，求实数 m 的值；（2）若 + 与 的夹角为 ，求实数 m 的值【解答】解：（1）因为| + |=2，所以| + |2=4即以 2+ 2+2 =4 ，（2 分）又| |=1，| |=m，所以 （3 分）由| +2 |=3，所以所以| +2 |2=9即以 2+4 2+4 =9，所以 1+4 +4m2=9，解得 m=1，（6 分）又| |0，所以 m=1（7 分）（2）因为，| |=1，| |=m，所以| |2= 2+ 22 =12 +m2=2m22，| |= （9 分）又因为 + 与 的夹角为 ，所
16、以（ + ）（ ）=以2 2=| + | |cos即，所以 1m2=2 ，解得 m= ，（13 分）又| |0，所以 m= （14 分）18 （16 分）如图，经过村庄 A 有两条互相垂直的笔直公路 AB 和 AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂 P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库 M，N（异于村庄 A，将工厂 P 及仓库 M，N 近似看成点，且 M， N 分别在射线 AB，AC 上） ，要求 MN=2，PN=1（单位：km ） ，PNMN（1）设AMN=，将工厂与村庄的距离 PA 表示为 的函数，记为 l（） ，并写出函数 l（ ）的定义域；（2）当 为何值
17、时，l （ ）有最大值？并求出该最大值【解答】解：（1）过点 P 作 PDAC，垂足为 D，连结 PA在 RtMAN 中，sin= = ，故 NA=2sin，在 RtPND 中，PND=，sin= = ，cos= = ，故 PD=sin，ND=cos在 RtPDA 中，PA= = ，所以 l（ ）= ，函数 l（ ）的定义域为（0， ） （2）由（1）可知，l（）= ，即 l（）= = = = ，又 （0 ， ） ，故 2 （ ， ） ，所以当 2 = ，即 = 时， sin（2 ）取最大值 1，l（） max= =1+ 答：当 = 时，l（）有最大值，最大值为 1+ 19 （16 分）已知函
18、数 f（ x）=m（sinx+cosx） 4sinxcosx，x0， ，m R（1）设 t=sinx+cosx，x 0， ，将 f（x ）表示为关于 t 的函数关系式 g（t） ，并求出 t 的取值范围；（2）若关于 x 的不等式 f（x）0 对所有的 x0， 恒成立，求实数 m 的取值范围；（3）若关于 x 的方程 f（ x）2m+4=0 在0， 上有实数根，求实数 m 的取值范围【解答】解：（1）因为 t=sinx+cosx= ，x 0， ，所以 t1，sinxcosx= （2 分）所以 g（t）=mt4 =2t2+mt+2 （5 分）（2）因为关于 x 的不等式 f（x）0 对所有的 x
19、0， 恒成立，据（1）可知 g（t）=2t 2+mt+20 对所有的 t1， 恒成立，（6 分）所以 ，得 m 所以实数 m 的取值范围是 ，+） （10 分）（3）因为关于 x 的方程 f（x）2m+4=0 在0， 上有实数解，据（1）可知关于 t 的方程 2t2+mt+22m+4=0 在 t1， 上有实数解，即关于 t 的方程 2t2mt+2m6=0 在 t1， 上有实数解，（11 分）所以=m 216（m3）0 ，即 m4 或 m12令 h（t）=2t 2mt+2m6，开口向上，对称轴 t= ，当 m12 时，对称轴 t3，函数 h（t）在 t1， 上单调递减，故 ，解得 m 不存在（1
20、3 分）当 m4 时，对称轴 t1，函数 h（t）在 t1， 上单调递增，故 ，解得 2+ m4（15 分）综上所述，实数 m 的取值范围是2+ ，4（16 分）20 （16 分） （1）已知函数 f（x ）=2x+ （x0） ，证明函数 f（x）在（0， ）上单调递减，并写出函数 f（x ）的单调递增区间；（2）记函数 g（x）=a |x|+2ax（a1）若 a=4，解关于 x 的方程 g（x）=3；若 x1， +） ，求函数 g（x）的值域【解答】 （1）证明：设 x1，x 2 是区间（0， ）上的任意两个实数，且x1 x2，则 f（x 1）f（x 2）=2（x 1x2）+（ ）= ，因为
21、 0x 1x 2 ，所以 x1x20，0x 1x2 ，故 2x1x210，所以 f（ x1）f （x 2）0 ，即 f（x 1）f（x 2） ，所以函数 f（x）在（0， ）上单调递减，函数 f（ x）的单调递增区间为（ ，+） （2）解：当 a=4 时，4 |x|+24x=3，（）当 x0 时，4 x+24x=3，即 4x=1，所以 x=0；（）当 x0 时，4 x+24x=3，即 2（4 x） 234x+1=0，解得：4 x=1 或 4x= ，所以 x= 或 0；综上所述，方程 g（x）=3 的解为 x=0 或 x= ；（）当 x0 时，g（x ）=3a x，其中 a1，所以 g（x ）在
22、0，+）上单调递增，g（x） min=g（0）=3，所以 g（x ）在0，+）上的值域为3，+） ；（）当 x1，0）时， g（x）=a x+2ax，其中 a 1，令 t=ax，则 t ，1） ，g（x ）=2t+ =f（t ） ，（）若 1a ，则 ，据（1）可知，f（t）=2t + 在 ，1）上单调递增，所以 f（ ）f （t ）f （1） ，且 f（ ）=a+ ，f （1）=3 ，此时，g（x ）在1，0）上的值域为 a+ ，3） ；（）若 a ，则 ，据（1）可知，f（t）=2t + 在 ， ）上单调递减，在（ ，1）上单调递增，所以 f（ t） min=f（ ）=2 ，又 f（ ）=a+ ，f（1）=3，当 f（ ）f （1）时，g（x）在1，0）上的值域为 2 ，a + ，当 f（ ）f （1）时，g（x）在1，0）上的值域为 2 ，3） ；综上所述，当 1a 时，函数 g（x）在1，+）上的值域为a + ，+；当 a 时，函数 g（x）在1，+）上的值域为2 ，+）