1、2016-2017 学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1 （5 分）若集合 A=1，0，1，2，B=x|x+10，则 AB= 2 （5 分）函数 f（x ）=log 2（1x）的定义域为 3 （5 分）函数 f（x ）=3sin（3x+ ）的最小正周期为 4 （5 分）已知角 的终边过点 P（ 5，12） ，则 cos= 5 （5 分）若幂函数 y=xa（aR ）的图象经过点（ 4，2） ，则 a 的值为 6 （5 分）若扇形的弧长为 6cm，圆心角为 2 弧度，则扇形的面积为 cm27 （5 分）设 ， 是不共线向量， 4 与 k
2、 + 共线，则实数 k 的值为 8 （5 分）定义在区间0，5上的函数 y=2sinx 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数为 9 （5 分）若 a=log32，b=2 0.3，c=log 2，则 a，b，c 的大小关系用“”表示为 10 （5 分）函数 f（x ）=2 x+a2x 是偶函数，则 a 的值为 _11 （5 分）如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，若 =2，则 的值为 12 （5 分）已知函数 f（ x）对任意实数 xR，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x1，1时， f（x）=2 x+a，若点 P（2017 ，8）是该函数图象上一点，则实数 a的值为 13
3、 （5 分）设函数 f（x ） = 3x2+2，则使得 f（1 ）f（log 3x）成立的 x 取值范围为 14 （5 分）已知函数 f（ x）= ，其中 m0，若对任意实数 x，都有 f（ x）f（x+1）成立，则实数 m 的取值范围为 二、解答题（共 6 题，90 分）15 （14 分）已知 =2（1）求 tan；（2）求 cos（ ）cos（ +）的值16 （14 分）已知向量 =（ 2，1） ， =（3 ， 4） （1）求（ + ）（2 ）的值；（2）求向量 与 + 的夹角17 （14 分）如图，在一张长为 2a 米，宽为 a 米（a2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是 x 米（
4、0x 1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设 V（x ）表示铁盒的容积（1）试写出 V（x）的解析式；（2）记 y= ，当 x 为何值时，y 最小？并求出最小值18 （16 分）已知函数 f（ x）=Asin（x +） （A 0，0，| ）的最下正周期为 ，且点 P（ ，2）是该函数图象的一个人最高点（1）求函数 f（x）的解析式；（2）若 x ，0，求函数 y=f（x）的值域；（3）把函数 y=f（x）的图线向右平移 （0 ）个单位，得到函数y=g（x ）在0， 上是单调增函数，求 的取值范围19 （16 分）如图，在ABC 中，已知 CA=1，CB=2，ACB=60 （1）求| |；
5、（2）已知点 D 是 AB 上一点，满足 = ，点 E 是边 CB 上一点，满足= 当 = 时，求 ；是否存在非零实数 ，使得 ？若存在，求出的 值；若不存在，请说明理由20 （16 分）已知函数 f（ x）=x a，g（x）=a |x|，aR （1）设 F（x）=f（x）g（x） 若 a= ，求函数 y=F（x ）的零点；若函数 y=F（x ）存在零点，求 a 的取值范围（2）设 h（x）=f（x）+g（x） ，x 2，2，若对任意 x1，x 22，2，|h（x 1）h（x 2）|6 恒成立，试求 a 的取值范围2016-2017 学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、
6、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1 （5 分）若集合 A=1，0，1，2，B=x|x+10，则 AB= 0，1，2 【解答】解：集合 A=1，0 ，1，2，B=x|x+10= x|x1，AB=0，1，2故答案为：0，1，22 （5 分）函数 f（x ）=log 2（1x）的定义域为 x|x1 【解答】解：要使函数 f（x ）=log 2（1x）有意义则 1x0 即 x1函数 f（x ）=log 2（1x）的定义域为x |x1故答案为：x|x13 （5 分）函数 f（x ）=3sin（3x+ ）的最小正周期为 【解答】解：函数 f（x） =3sin（3x+ ）的最小正周期为
7、 ，故答案为： 4 （5 分）已知角 的终边过点 P（ 5，12） ，则 cos= 【解答】解：角 的终边上的点 P（ 5，12）到原点的距离为 r=13，由任意角的三角函数的定义得 cos= = 故答案为 5 （5 分）若幂函数 y=xa（aR ）的图象经过点（ 4，2） ，则 a 的值为 【解答】解：幂函数 y=xa（aR ）的图象经过点（ 4，2） ，所以 4a=2，解得 a= 故答案为： 6 （5 分）若扇形的弧长为 6cm，圆心角为 2 弧度，则扇形的面积为 9 cm2【解答】解：因为：扇形的弧长为 6cm，圆心角为 2 弧度，所以：圆的半径为：3，所以：扇形的面积为： 63=9故答
8、案为：97 （5 分）设 ， 是不共线向量， 4 与 k + 共线，则实数 k 的值为 【解答】解：e 14e2 与 ke1+e2 共线， ，k=1，=4， ，故答案为 8 （5 分）定义在区间0，5上的函数 y=2sinx 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数为 5 【解答】解：画出函数 y=2sinx 与 y=cosx 在一个周期0 ，2 上的图象如图实数：由图可知，在一个周期内，两函数图象在0，上有 1 个交点，在（，2上有 1 个交点，所以函数 y=2sinx 与 y=cosx 在区间0，5上图象共有 5 个交点故答案为：59 （5 分）若 a=log32，b=2 0.3，c=lo
9、g 2，则 a，b，c 的大小关系用“”表示为 ca b 【解答】解：a=log 32（0，1） ，b=2 0.31，c=log 20，cab故答案为：cab10 （5 分）函数 f（x ）=2 x+a2x 是偶函数，则 a 的值为 1 _【解答】解：f（x）=2 x+a2x 是偶函数，f（ x）=f（x） ，即 f（x ）=2 x+a2x=2x+a2x，则（2 x2x）=a（2 x2x） ，即 a=1，故答案为：111 （5 分）如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，若 =2，则 的值为 3 【解答】解：以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，设正方形的边长为
10、2a，则：E （a ，2a） ，B（2a，0） ，D（0，2a）可得： =（ a，2a） ， =（2a， 2a） 若 =2，可得 2a24a2=2，解得 a=1，=（ 1，2） ， =（1，2 ） ，则 的值： 1+4=3故答案为：312 （5 分）已知函数 f（ x）对任意实数 xR，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x1，1时， f（x）=2 x+a，若点 P（2017 ，8）是该函数图象上一点，则实数 a的值为 2 【解答】解：函数 f（x）对任意实数 xR，f（x+2）=f（x）恒成立，可得函数的周期为：2，f（2017 ）=f（21008+1）=f （1） 且当 x1，1时，f（x
11、）=2 x+a，点 P（ 2017，8）是该函数图象上一点，可得 21+a=8，解得 a=2故答案为：213 （5 分）设函数 f（x ） = 3x2+2，则使得 f（1 ）f（log 3x）成立的 x 取值范围为 （0， ）（3，+） 【解答】解：由题意，f（x）=f（x） ，函数是偶函数，f（x ）= 6x，f（x）在（0，+）递减，f（ 1）f（log 3x）|log 3x|1 ，0x 或 x3，使得 f（1）f （log 3x）成立的 x 取值范围为（0， ）（3，+） ，故答案为（0， ）（3，+） 14 （5 分）已知函数 f（ x）= ，其中 m0，若对任意实数 x，都有 f（
12、x）f（x+1）成立，则实数 m 的取值范围为 （0， ） 【解答】解：由函数 f（x ）= ，其中 m0，可得 f（ x+1）= ，作出 y=f（x）的简图，向左平移 1 个单位，可得 y=f（x+1） ，由对任意实数 x，都有 f（ x）f（x +1）成立，只要 f（ x）的图象恒在 f（x+1）的图象上，由 xm ，f（x）的图象与 xm 1 的图象重合，可得2m=12m，解得 m= ，通过图象平移，可得 m 的范围为 0m 故答案为：（0， ） 二、解答题（共 6 题，90 分）15 （14 分）已知 =2（1）求 tan；（2）求 cos（ ）cos（ +）的值【解答】解：（1）已知
13、 =2= ，tan=5（2）cos（ ）cos（ +）=sin（cos）= = =16 （14 分）已知向量 =（ 2，1） ， =（3 ， 4） （1）求（ + ）（2 ）的值；（2）求向量 与 + 的夹角【解答】解：（1）向量 =（2，1） ， =（3，4） （ + ）=（1，3） ， （2 ）=（ 7，6） 所以（ + ）（2 ）=7 18=25（2） + =（1，3） ，cos ， + = = = 向量 与 + 的夹角为 13517 （14 分）如图，在一张长为 2a 米，宽为 a 米（a2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是 x 米（0x 1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒
14、，设 V（x ）表示铁盒的容积（1）试写出 V（x）的解析式；（2）记 y= ，当 x 为何值时，y 最小？并求出最小值【解答】解：（1）由题意，V（x ）=（2a2x） （a2x）x（0x1） ；（2）y= =（2a 2x） （a 2x）= ，a 2 ，0 x1，x=1 时，y 最小，最小值为 2（a 1） （a 2） 18 （16 分）已知函数 f（ x）=Asin（x +） （A 0，0，| ）的最下正周期为 ，且点 P（ ，2）是该函数图象的一个人最高点（1）求函数 f（x）的解析式；（2）若 x ，0，求函数 y=f（x）的值域；（3）把函数 y=f（x）的图线向右平移 （0 ）个单
15、位，得到函数y=g（x ）在0， 上是单调增函数，求 的取值范围【解答】解：（1）由题意可得，A=2， =，=2再根据函数的图象经过点 P（ ，2） ，可得 2sin（2 +）=2，结合| ，可得 = ，f（ x）=2sin（2x+ ） （2）x ，0，2x+ ， ，sin （2x+ ） 1， ，可得：f（x ）=2sin（2x+ ）2，1（3）把函数 y=f（x）的图线向右平移 （0 ）个单位，得到函数 y=g（x）=2sin2（x ）+ =2sin（2x 2+ ） ，令 2k 2x2 + 2k+ ，k Z，解得：k+ xk + ，k Z，可得函数的单调递增区间为：k+ ，k+ ，k Z，函
16、数 y=g（x）在0， 上是单调增函数， ，解得： ，kZ ，0 ，当 k=0 时， ， 19 （16 分）如图，在ABC 中，已知 CA=1，CB=2，ACB=60 （1）求| |；（2）已知点 D 是 AB 上一点，满足 = ，点 E 是边 CB 上一点，满足= 当 = 时，求 ；是否存在非零实数 ，使得 ？若存在，求出的 值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）ABC 中，CA=1，CB=2 ，ACB=60，由余弦定理得，AB2=CA2+CB22CACBcosACB=12+22212cos60=3，AB= ，即| |= ；（2）= 时， = ， = ，D、E 分别是 BC，AB 的中点
17、， = + = + ，= （ + ） ， =（ + ） （ + ）= + + += 12+ 12cos120+ 21cos60+ 22= ；假设存在非零实数 ，使得 ，由 = ，得 =（ ） ， = + = +（ ）= +（1 ） ；又 = ， = + =（ ）+（ ）= （1 ） ； =（ 1） +（1 ） 2 （1 ）=4（1）+（1） 2（1 ）=32+2=0，解得 = 或 =0（不合题意，舍去） ；即存在非零实数 = ，使得 20 （16 分）已知函数 f（ x）=x a，g（x）=a |x|，aR （1）设 F（x）=f（x）g（x） 若 a= ，求函数 y=F（x ）的零点；若函数
18、 y=F（x ）存在零点，求 a 的取值范围（2）设 h（x）=f（x）+g（x） ，x 2，2，若对任意 x1，x 22，2，|h（x 1）h（x 2）|6 恒成立，试求 a 的取值范围【解答】解：（1）F（x）=f（x ） g（x）=xa a|x|，若 a= ，则由 F（x）=x |x| =0 得： |x|=x ，当 x0 时，解得：x=1；当 x0 时，解得：x= （舍去） ；综上可知，a= 时，函数 y=F（x ）的零点为 1；若函数 y=F（x ）存在零点，则 xa=a|x|，当 a0 时，作图如下：由图可知，当 0a1 时，折线 y=a|x|与直线 y=xa 有交点，即函数 y=F
19、（x ）存在零点；同理可得，当1a0 时，求数 y=F（x）存在零点；又当 a=0 时，y=x 与 y=0 有交点（ 0，0） ，函数 y=F（x）存在零点；综上所述，a 的取值范围为（1，1） （2）h（x）=f（x）+g（x）=x a+a|x|，x 2， 2，当2x0 时，h（x）=（1a）xa；当 0x2 时，h（x）=（1+a）xa；又对任意 x1，x 22，2，|h （x 1）h （x 2）|6 恒成立，则 h（x 1） maxh（x 2） min6，当 a1 时， 1a0，1 +a0 ，h （x）= （1 a）xa 在区间2，0）上单调递增；h（x）=（1+ a）xa 在区间0，2
20、上单调递减（当 a=1 时，h （x）=a） ；h（x） max=h（0）=a，又 h（2）=a2，h （2）=2+a ，h（x 2） min=h（2）=a2，a （ a2）=22a 6，解得 a 2，综上，2a 1；当1a 1 时，1 a0， 1a0，h（x）=（1a ）xa 在区间2，0）上单调递增，且 h（x）=（ 1+a）xa 在区间0，2上也单调递增，h（x） max=h（2）=2+a，h（x 2） min=h（2）=a2 ，由 a+2（a2） =46 恒成立，即 1a1 适合题意；当 a1 时，1a 0，1+a0，h（x）=（1a）xa 在区间 2，0）上单调递减（当 a=1 时，h（x）= a） ，h（x）= （1+a）xa 在区间 0，2上单调递增；h（x） min=h（0）= a；又 h（2）=2+aa2=h（2） ，h（x） max=h（2）=2+a，2+a （a）=2+2a6 ，解得 a2，又 a1，1a2 ；综上所述，2a2