1、2016-2017 学年湖北省武汉 XX 中学高一（上）期末数学试卷一、选择题1 （5 分）sin20sin80cos160sin10=（ ）A B C D2 （5 分）若 = ，则 tan=（ ）A1 B1 C3 D 33 （5 分）在函数 y=sin|x|、y=|sinx|、y=sin （2x+ ） 、y=tan（2x+ ）中，最小正周期为 的函数的个数为（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4 （5 分）方程 xsinx=0 的根的个数为（ ）A1 B2 C3 D45 （5 分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数 ”，那么函数解析式为 f（x
2、）=x 2+1，值域为5，10的“孪生函数”共有（ ）A4 个 B8 个 C9 个 D12 个6 （5 分）函数 y=2sin（ 2x）的单调递增区间是（ ）A BC D7 （5 分）已知函数 f（x）=Asin （x+） （xR ，A0，0，| ）的部分图象如图所示，则 f（x ）的解析式是（ ）A BC D8 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）的图象关于点（ ，0）成中心对称，且对任意的实数 x 都有 ，f （ 1）=1 ，f（0）=2，则 f（1）+f（2）+f（2 017）=（ ）A0 B2 C1 D 49 （5 分）已知函数 f（x）=asinx bcosx（a，b 为常数，a
3、0，x R）在 x= 处取得最大值，则函数 y=f（x + ）是（ ）A奇函数且它的图象关于点（ ，0）对称B偶函数且它的图象关于点（ ，0）对称C奇函数且它的图象关于点（ ，0）对称D偶函数且它的图象关于点（ ，0）对称10 （5 分）将函数 y=sin（x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将所得图象向左平移 个单位，则所得函数图象对应的解析式为（ ）Ay=sin（ x ） By=sin（2x ） Cy=sin x Dy=sin（ x ）11 （5 分）函数 f（x ）=2sin（2x+ ） ，g（x ）=mcos（2x ）2m+3（m0） ，若对任意 x10
4、， ，存在 x20， ，使得 g（x 1）=f（x 2）成立，则实数m 的取值范围是（ ）A B C D12 （5 分）已知函数 f（ x）=e xex+4sin3x+1，x （ 1，1） ，若 f（1 a）+f（1a 2）2 成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ 2，1） B （0，1） C D （，2）（1，+）二、填空题13 （5 分）若 += 则（1 tan） （1tan）的值为 14 （5 分）已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，则 f（2+log 35）= 15 （5 分）一个匀速旋转的摩天轮每 12 分钟转一周，最低点距地面 2 米，最高点距地面
5、18 米，P 是摩天轮轮周上一定点，从 P 在最低点时开始计时，则 14分钟后 P 点距地面的高度是 米16 （5 分）定义在 R 上的单调函数 f（x）满足：f（x +y）=f（x）+f （y） ，若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos 2x3）在（0，）上有零点，则 a 的取值范围是 三、解答题17 （10 分）某正弦交流电的电压 v（单位 V）随时间 t（单位：s）变化的函数关系是 v=120 sin（100t ） ，t 0，+） （1）求该正弦交流电电压 v 的周期、频率、振幅；（2）若加在霓虹灯管两端电压大于 84V 时灯管才发光，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（ 取
6、 1.4）18 （12 分）已知函数 f（ x）=2sin（2x+ ）+1（其中 01） ，若点（ ，1）是函数 f（x）图象的一个对称中心，（1）试求 的值；（2）先列表，再作出函数 f（x ）在区间 x，上的图象19 （12 分）已知 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=x+x 2（1）求 x0 时，f（x）的解析式；（2）问是否存在这样的非负数 a，b，当 xa，b时，f（x ）的值域为4a2，6b6？若存在，求出所有的 a，b 值；若不存在，请说明理由20 （12 分） （1）若 cos = ， x ，求 的值（2）已知函数 f（x）=2 sinxcosx+2
7、cos2x1（x R） ，若 f（x 0）= ，x 0 ，求 cos2x0 的值21 （12 分）已知函数 f（ x）=4sin 2（ + ）sinx+（cosx+sinx） （cosx sinx）1（1）化简 f（x） ；（2）常数 0，若函数 y=f（x）在区间 上是增函数，求 的取值范围；（3）若函数 g（x）= 在 的最大值为 2，求实数 a 的值22 （12 分）已知函数 任取 tR，若函数 f（x ）在区间t，t+1上的最大值为 M（t ） ，最小值为 m（t ） ，记 g（t）=M（t ）m（t） （1）求函数 f（x）的最小正周期及对称轴方程；（2）当 t2，0 时，求函数 g
8、（t）的解析式；（3）设函数 h（x）=2 |xk|，H（x ）=x |xk|+2k8，其中实数 k 为参数，且满足关于 t 的不等式 有解，若对任意 x14，+） ，存在 x2（，4，使得 h（x 2）=H（x 1）成立，求实数 k 的取值范围参考答案与试题解析一、选择题1 （5 分）sin20sin80cos160sin10=（ ）A B C D【解答】解：sin80=sin（90 10）=cos10，cos160=cos（ 18020）=cos20，那么：sin20sin80cos160sin10=sin20cos10+cos20sin10=sin （20+10）=sin30=故选 D2
9、 （5 分）若 = ，则 tan=（ ）A1 B1 C3 D 3【解答】解： = = ，可得 sin=3cos，tan=3故选：D3 （5 分）在函数 y=sin|x|、y=|sinx|、y=sin （2x+ ） 、y=tan（2x+ ）中，最小正周期为 的函数的个数为（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【解答】解：函数 y=sin|x|不是周期函数，y=|sinx|是周期等于 的函数，y=sin（2x+ ）的周期等于 =，y=tan（2x+ ）的周期为 ，故这些函数中，最小正周期为 的函数的个数为 2，故选：B4 （5 分）方程 xsinx=0 的根的个数为（ ）A1 B2 C3 D
10、4【解答】解：方方程 xsinx=0 的根的个数可转化为函数 f（x）=x sinx 的零点个数，f（x）=1cosx，1cosx1，所以 1cosx0，即 f（x ）0，所以 f（ x）=x sinx 在 R 上为增函数又因为 f（0）=0sin0=0，所以 0 是 f（x）唯一的一个零点，所以方程 xsinx=0 的根的个数为 1，故选：A5 （5 分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数 ”，那么函数解析式为 f（x）=x 2+1，值域为5，10的“孪生函数”共有（ ）A4 个 B8 个 C9 个 D12 个【解答】解：由已知中“ 孪生函数” 的定义
11、：一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，当函数解析式为 y=x2+1，值域为5，10时，由 y=5 时，x=2，y=7 时，x= 3用列举法得函数的定义域可能为：2， 3，2，3，2，3，2，3，2， 3，3，2， 3，3，2，3， 2，2， 3，2，2，3，3，2，共 9 个故选：C6 （5 分）函数 y=2sin（ 2x）的单调递增区间是（ ）A BC D【解答】解： ，由于函数 的单调递减区间为 的单调递增区间，即故选 B7 （5 分）已知函数 f（x）=Asin （x+） （xR ，A0，0，| ）的部分图象如图所示，则 f（x ）的解析式是（ ）A BC D【解答】解：由图
12、象可知： 的长度是四分之一个周期函数的周期为 2，所以 =函数图象过（ ，2）所以 A=2，并且 2=2sin（ ） ，=f（x）的解析式是故选 A8 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）的图象关于点（ ，0）成中心对称，且对任意的实数 x 都有 ，f （ 1）=1 ，f（0）=2，则 f（1）+f（2）+f（2 017）=（ ）A0 B2 C1 D 4【解答】解：由 f（x）= f（x+ ）得 f（x + ）= f（x） ，f（ x+3）= f（x+ ）=f（x） ，即函数的周期为 3，又 f（1）=1，f （2）=f（ 1+3）=f（ 1）=1，且 f（ ）=f（1 ）= 1，函数图象
13、关于点（ ，0）呈中心对称，f（ x）+f（ x ）=0，则 f（x）=f（x ） ，f（ 1）=f（ ）= f（ ）=1，f（ 0）=2，f （3）=f（0）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）=1+12=0f（ 1）+f（2）+ +f（2017）=f （1）=1，故选 C9 （5 分）已知函数 f（x）=asinx bcosx（a，b 为常数，a0，x R）在 x= 处取得最大值，则函数 y=f（x + ）是（ ）A奇函数且它的图象关于点（ ，0）对称B偶函数且它的图象关于点（ ，0）对称C奇函数且它的图象关于点（ ，0）对称D偶函数且它的图象关于点（ ，0）对称【解答】解：将已知函数变
14、形 f（x ）=asinx bcosx= sin（x ） ，其中tan= ，又 f（x）=asinx bcosx 在 x= 处取得最大值， =2k+ （kZ）得 = 2k（kZ ） ，f（ x）= sin（x + ） ，函数 y=f（x+ ）= sin（x + ）= cosx，函数是偶函数且它的图象关于点（ ，0）对称故选：B10 （5 分）将函数 y=sin（x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将所得图象向左平移 个单位，则所得函数图象对应的解析式为（ ）Ay=sin（ x ） By=sin（2x ） Cy=sin x Dy=sin（ x ）【解答】解：将函数
15、 y=sin（x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象对应的解析式为 y=sin（ x ） ，再将所得图象向左平移 个单位，则所得函数图象对应的解析式为 y=sin （x + ） =sin（ x ） ，故选：D11 （5 分）函数 f（x ）=2sin（2x+ ） ，g（x ）=mcos（2x ）2m+3（m0） ，若对任意 x10， ，存在 x20， ，使得 g（x 1）=f（x 2）成立，则实数m 的取值范围是（ ）A B C D【解答】解：当 x0， 时，2x+ ， ，sin（2x+ ） ，1，f（x）=2sin （2x+ ） 1，2，同理可得 2x
16、， ，cos（2x ） ，1，g（ x）=mcos （2x ）2m+3 +3， m+3，对任意 x10， ，存在 x20， ，使得 g（ x1）=f（x 2）成立， ，求得 1m ，故选：D12 （5 分）已知函数 f（ x）=e xex+4sin3x+1，x （ 1，1） ，若 f（1 a）+f（1a 2）2 成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ 2，1） B （0，1） C D （，2）（1，+）【解答】解：令 g（x）=f （x）1=e xex+4sin3x，则 g（ x）= g（x） ，即 g（x ）为奇函数，若 f（1a）+f（1a 2）2 成立，即 g（ 1a）+ g（1a
17、2）0 成立，即 g（ 1a） g（1a 2）=g （a 21） ，g（x）=e x+ex+12sin2xcosx0 在 x（ 1，1）时恒成立，故 g（ x）在（1，1）上为增函数，故1 a 211a1，解得：a （0，1） ，故选：B二、填空题13 （5 分）若 += 则（1 tan） （1tan）的值为 2 【解答】解：若 += ，则 tan（+）= 1= ，tan+tan=tantan 1（1tan） （ 1tan）=1 tantan+tantan=1（tantan1）+tantan=2，故答案为：214 （5 分）已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，则 f（
18、2+log 35）= 【解答】解：由题意 f（2+log 35）=f（2log 35）由于当 x0 时， ，故 f（ 2+log35）= f（log 3 ）= =故答案为15 （5 分）一个匀速旋转的摩天轮每 12 分钟转一周，最低点距地面 2 米，最高点距地面 18 米，P 是摩天轮轮周上一定点，从 P 在最低点时开始计时，则 14分钟后 P 点距地面的高度是 6 米【解答】解：设 P 与地面高度与时间 t 的关系，f（ t）=Asin（t+）+B（A 0 ，0，0，2） ） ，由题意可知：A= =8，B=10，T= =12，所以 = ，即 f（t）=8sin（ t+）+10 ，又因为 f（
19、0）=2，即 sin=1，故 = ，f（t ）=8sin（ t+ ）+10，f（ 14）=6 （米） ，故答案为：616 （5 分）定义在 R 上的单调函数 f（x）满足：f（x +y）=f（x）+f （y） ，若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos 2x3）在（0，）上有零点，则 a 的取值范围是 2，+） 【解答】解：令 x=y=0，则 f（0）=2f（0） ，则 f（0）=0 ；再令 y=x，则 f（xx）=f（x ）+f（ x）=0，且 f（x）定义域为 R，关于原点对称f（ x）是奇函数F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos 2x3）在（0，）上有零点f（ as
20、inx）+f（sinx+cos 2x3）=0 在（0， ）上有解；f（ asinx）=f（sinx+cos 2x3）=f（sinxcos 2x+3）在（0，）上有解；又函数 f（x）是 R 上的单调函数，asinx=sinxcos 2x+3 在（0， ）上有解x（0，） ，sinx 0；a= =sinx+ 1；令 t=sinx，t（0，1；则 a=t+ 1；y=t + ， 0，因此函数 y 在（0，1上单调递减，a 2 故答案为：2，+） 三、解答题17 （10 分）某正弦交流电的电压 v（单位 V）随时间 t（单位：s）变化的函数关系是 v=120 sin（100t ） ，t 0，+） （1
21、）求该正弦交流电电压 v 的周期、频率、振幅；（2）若加在霓虹灯管两端电压大于 84V 时灯管才发光，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（ 取 1.4）【解答】解：（1）周期 ，频率 ，振幅（2）由 及 得结合正弦图象，取半个周期有 解得所以半个周期内霓虹灯管点亮的时间为 （s）18 （12 分）已知函数 f（ x）=2sin（2x+ ）+1（其中 01） ，若点（ ，1）是函数 f（x）图象的一个对称中心，（1）试求 的值；（2）先列表，再作出函数 f（x ）在区间 x，上的图象【解答】解：（1）点（ ，1）是函数 f（x）图象的一个对称中心，2 + =k，kZ，即 =3k+01，= ，（2
22、）由（1）知 f（x ）=2sin（x+ ）+1，x ， 列表如下x+ 0 x y 0 1 1 3 1 019 （12 分）已知 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=x+x 2（1）求 x0 时，f（x）的解析式；（2）问是否存在这样的非负数 a，b，当 xa，b时，f（x ）的值域为4a2，6b6？若存在，求出所有的 a，b 值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设 x 0，则 x0，于是 f（ x） =x+x2，又 f（x）为奇函数，f（ x）=f（x） ，f（x）= x+x2，即 x0 时，f（x）=xx 2（4 分）（2）假设存在这样的数 a，ba 0 ，
23、且 f（x ）=x +x2 在 x0 时为增函数，（ 6 分）xa，b时， f（x） f（a） ，f （b ）=4a 2，6b 6， （8 分），即 （10 分）或 ，考虑到 0ab，且 4a26b 6，（12 分）可得符合条件的 a，b 值分别为 （14 分）20 （12 分） （1）若 cos = ， x ，求 的值（2）已知函数 f（x）=2 sinxcosx+2cos2x1（x R） ，若 f（x 0）= ，x 0 ，求 cos2x0 的值【解答】解：（1）由 x ，得 x+ 2，又 cos = ，sin = ；cosx=cos =cos cos +sin sin = ，从而 sinx
24、= ，tanx=7 ；故原式= ；（2）f（x ）=2 sinxcosx+2cos2x1= sin2x+cos2x=2sin（2x+ ） ，当 f（x 0）= 时，sin（ 2x0+ ）= ，又 x0 ， ，2x 0+ ， ，cos（2x 0+ ）= ，cos2x 0=cos（2x 0+ ） = + = 21 （12 分）已知函数 f（ x）=4sin 2（ + ）sinx+（cosx+sinx） （cosx sinx）1（1）化简 f（x） ；（2）常数 0，若函数 y=f（x）在区间 上是增函数，求 的取值范围；（3）若函数 g（x）= 在 的最大值为 2，求实数 a 的值【解答】解：（1
25、）f（x） =21cos（ +x）sinx+cos 2xsin2x1=（2+2sinx）sinx+12sin2x1=2sinx（2）f（x）=2sinx ，由 x ，解得 + x + ，f（ x）的递增区间为 + ， + ，k Zf（x）在 ，上是增函数，当 k=0 时，有 ， ，解得， 的取值范围是（ 0， （3）g（x）=sin2x+asinx acosx a1，令 sinxcosx=t，则 sin2x=1t2，y=1t 2+at a1=（t ） 2+ ，t=sinx cosx= sin（x ） ，x ， ，x ， ， 当 ，即 a2 时，y max=（ ） 2+ = a 2令 a 2=2
26、，解得 a= （舍） 当 1，即2 a2 时，y max= ，令 ，解得 a=2 或a=4（舍） 当 ，即 a2 时，在 t=1 处 ，由 得 a=6因此，a=2 或 a=622 （12 分）已知函数 任取 tR，若函数 f（x ）在区间t，t+1上的最大值为 M（t ） ，最小值为 m（t ） ，记 g（t）=M（t ）m（t） （1）求函数 f（x）的最小正周期及对称轴方程；（2）当 t2，0 时，求函数 g（t）的解析式；（3）设函数 h（x）=2 |xk|，H（x ）=x |xk|+2k8，其中实数 k 为参数，且满足关于 t 的不等式 有解，若对任意 x14，+） ，存在 x2（，4
27、，使得 h（x 2）=H（x 1）成立，求实数 k 的取值范围【解答】解：（1）函数 ，则 f（x）的最小正周期为 ；令 ，解得 f（x ）的对称轴方程为 x=2k+1（xZ ） ；（2）当 时，在区间t，t +1上， ，m（t） =f（1）= 1， ；当 时，在区间t，t +1上，m（t） =f（1）= 1， ；当 t1，0时，在区间t ，t+1上， ， ；当 t2，0时，函数 ；（3） 的最小正周期 T=4，M（ t+4）=M（t） ，m （ t+4）=m（t） ，g （t+4）=M（t+4）m（ t+4）=M（t）m（t）=g （t ） ；g （t）是周期为 4 的函数，研究函数 g（t）的性质，只须研究函数 g（t）在t2， 2时的性质即可；仿照（2） ，可得 ；画出函数 g（ t）的部分图象，如图所示，函数 g（t）的值域为 ；已知 有解，即 k4g（t） max=4 ，k4；若对任意 x14，+） ，存在 x2（ ，4，使得 h（x 2）=H（x 1）成立，即 H（ x）在 4，+）的值域是 h（x ）在（ ，4的值域的子集 ，当 k4 时，h（x）在（，k）上单调递减，在k ，4上单调递增，h（x） min=h（k）=1，H （x）=x|xk|+2k8 在4，+）上单调递增，H （x） min=H（4）=82k，8 2k1，即 ；综上，实数的取值范围是