1、2016-2017 学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共计 70 分1 （5 分）已知集合 A=1，0，1，B=0，1，2，则 AB= 2 （5 分）已知 f（x ）是偶函数，当 x0 时，f（x ）=x +1，则 f（ 1）= 3 （5 分）若 tan=3， ，则 tan（ ）等于 4 （5 分）已知 A（3，4） 、B（5， 2） ，则| |= 5 （5 分）函数 y=e2x1 的零点是 6 （5 分）把函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移 个单位，所得函数图象所对应的解析式
2、为 7 （5 分）若函数 f（x ） = ，则 f（log 23）= 8 （5 分）函数 的单调递增区间为 9 （5 分）设 是两个不共线向量， ， ， ，若A、B 、D 三点共线，则实数 P 的值是 10 （5 分）若 = ，则 sin2的值为 11 （5 分）f（x ）=x 2，若对任意的 xt，t+2，不等式 f（x +t）2f（x ）恒成立，则实数 t 的取值范围是 12 （5 分）如图，O 是坐标原点， M、N 是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则 的范围为 13 （5 分）如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若 ，则折痕 l 的长度= cm14 （
3、5 分）函数 是奇函数，且 f（2）f（x ）f（ 2） ，则 a= 二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分15 （14 分）已知 =（1，2） ， =（ 3，1） （）求 ；（）设 的夹角为 ，求 cos的值；（）若向量 与 互相垂直，求 k 的值16 （14 分）已知 ， ， ，（ I）求 tan2的值；（ II）求 的值17 （14 分）已知函数 f（ x）满足 f（x+1）=lg（2+x ） lg（x） （1）求函数 f（x）的解析式及定义域；（2）解不等式 f（x）1；（3）判断并证明 f（x）的单调性18 （16 分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为 40 元，出厂单价定为
4、 60元该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100 个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元，但实际出厂单价不低于 51 元（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为 51 元？（2）设一次订购量为 x 个，零件的实际出厂单价为 p 元，写出函数 p=f（x）的表达式；（3）当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为 6000 元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价 成本）19 （16 分）如图 1，在ABC 中， ， ，点 D 是 BC 的中点（ I）求证： ；（ II）直线 l 过点 D 且垂直于 BC，E 为 l 上任意一点，求证： 为常数
5、，并求该常数；（ III）如图 2，若 ，F 为线段 AD 上的任意一点，求 的范围20 （16 分）已知 g（x）=x 22ax+1 在区间1，3上的值域0，4（1）求 a 的值；（2）若不等式 g（2 x）k4 x0 在 x1，+）上恒成立，求实数 k 的取值范围；（3）若函数 有三个零点，求实数 k 的取值范围2016-2017 学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共计 70 分1 （5 分）已知集合 A=1，0，1，B=0，1，2，则 AB= 0，1 【解答】解：集合 A=1，0 ，1，B= 0，1 ，2，AB=0
6、，1故答案为：0，12 （5 分）已知 f（x ）是偶函数，当 x0 时，f（x ）=x +1，则 f（ 1）= 2 【解答】解：f（x）是偶函数，当 x0 时，f（x ）=x +1，当 x0 时，f（x）=x+ 1，f（ 1）=（1）+1=2故答案为：23 （5 分）若 tan=3， ，则 tan（ ）等于 【解答】解：tan（）= = = ，故答案为 4 （5 分）已知 A（3，4） 、B（5， 2） ，则| |= 10 【解答】解：由题意 A（ 3，4） 、B（5， 2） ，| |= = =10故答案为 105 （5 分）函数 y=e2x1 的零点是 0 【解答】解：令 y=0，即 e2
7、x=1，解得：x=0 ，故答案为：06 （5 分）把函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移 个单位，所得函数图象所对应的解析式为 y=sin（2x ） 【解答】解：把图象上所有点的横坐标缩小到原来的 ，得到 y=sin2x，再函数 y=sin2x 的图象上所有点向右平移 个单位，得到 y=sin2（x ）=sin（2x ）对图象，所求函数的解析式为：y=sin（2x ） 故答案为：y=sin（2x ） 7 （5 分）若函数 f（x ） = ，则 f（log 23）= 9 【解答】解：函数 f（x ）= ，log23log 22=1，f（
8、 log23）= = =9故答案为：98 （5 分）函数 的单调递增区间为 【解答】解：令 2k 2x 2k + ，k z，求得 k xk+ ，kz，故函数的增区间为 故答案为 9 （5 分）设 是两个不共线向量， ， ， ，若A、B 、D 三点共线，则实数 P 的值是 1 【解答】解： ， ，A、B、D 三点共线， ，2=2，p= p=1，故答案为：110 （5 分）若 = ，则 sin2的值为 【解答】解： = ，2cos2= sin（ ） ，2（cos 2sin2）=cos sin，cossin=0，或 cos+sin= ，平方可得 1sin2=0，或 1+sin2= ，sin2=1，或
9、 sin2= ，若 sin2=1，则 cos2=0，代入原式可知应舍去，故答案为： 11 （5 分）f（x ）=x 2，若对任意的 xt，t+2，不等式 f（x +t）2f（x ）恒成立，则实数 t 的取值范围是 （， ，+） 【解答】解：f（x）=x 2，x t，t+2，不等式 f（x +t）2f（x）=f （ x）在t ，t+2恒成立，即|x+t| x|在t，t +2恒成立，即：x（1+ ）t 在t，t+2恒成立，或 x（1 ）t 在t ，t+2恒成立，解得：t 或 t ，故答案为：（， ，+） 12 （5 分）如图，O 是坐标原点， M、N 是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则
10、的范围为 0. ） 【解答】解：设 的夹角为 ， ，则 cos1，0） ，2= =2+2cos0，2）的范围为：0， ） ，故答案为0， ） 13 （5 分）如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若 ，则折痕 l 的长度= cm【解答】解：由已知及对称性知，GF=BF=lcos ，GE=BE=lsin，又GEA=GFB=2，AE=GEcos2=lsincos2，又由 AE+BE=lsincos2+lsin=6得：l= = 故答案为： 14 （5 分）函数 是奇函数，且 f（2）f（x ）f（ 2） ，则 a= 【解答】解：函数 是奇函数且定义域内有 0f（ 0）=0解得
11、 c=0，故 f（x）= x0，a0，f（x）= = （ax= 时取等号）f（ 2）f（x）f（2） ，2a= ，a= 故答案为 二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分15 （14 分）已知 =（1，2） ， =（ 3，1） （）求 ；（）设 的夹角为 ，求 cos的值；（）若向量 与 互相垂直，求 k 的值【解答】解：（） =（1，2）2（3，1） =（1+6，22）=（7，0） （） = （）因为向量 与 互相垂直，所以， （ ）（ ）=0 ，即因为 =5， ，所以， 510k2=0，解得 16 （14 分）已知 ， ， ，（ I）求 tan2的值；（ II）求 的值【解答】 （本题
12、满分为 14 分）解：（ I） ， ，可得： sin = ，2分tan = =2 ，4 分tan2= = 7 分（ II） ， ，+（ ， ） ，又 ，cos（+）= = ，9 分cos=cos（ +）=cos （+）cos +sin（ +）sin= （ ）（ ）+（ ）= ， ，= 14 分17 （14 分）已知函数 f（ x）满足 f（x+1）=lg（2+x ） lg（x） （1）求函数 f（x）的解析式及定义域；（2）解不等式 f（x）1；（3）判断并证明 f（x）的单调性【解答】解：（1）f（x+ 1）=lg（2+x）lg （x） ，可令 t=x+1，则 x=t1，可得 f（t）=lg
13、（1+t）lg（1t） ，即有 f（ x）=lg（1+x）lg（1x） ，由 1+x0 且 1x0，解得 1x 1，则函数 f（x ）的定义域为（ 1，1） ；（2）由 f（x）1 即 lg（1+x ） lg（1 x）1，即为 lg（1+x）lg10（1x ） ，可得 01+x10（1x） ，解得1x ，则不等式的解集为（1， ） ；（3）证明：f（x）在（1，1）上为增函数理由：设1mn1，则 f（m）f（n ）=lg（1+m）lg （1m）lg（1+n）lg（1 n）=lg lg =lg =lg ，由于1mn1，可得 1m1 n0，1+n 1+m0，可得 0 1，0 1，则 0 1，即有
14、lg 0，则 f（m）f（n）0，即 f（m ）f （n ） ，故 f（x）在（1，1）上为增函数18 （16 分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为 40 元，出厂单价定为 60元该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100 个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元，但实际出厂单价不低于 51 元（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为 51 元？（2）设一次订购量为 x 个，零件的实际出厂单价为 p 元，写出函数 p=f（x）的表达式；（3）当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为 6000 元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价 成本）【
15、解答】解：（1）设每个零件的实际出厂价格恰好降为 51 元时，一次订购量为 x0 个，则 （个）因此，当一次订购量为 550 个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为 51元（2 分）（2 ）当 0x100 时，p=60；（3 分）当 100x 550 时， ；（4 分）当 x550 时，p=51 （5 分）所以 （6 分）（3）设销售商的一次订购量为 x 个时，工厂获得的利润为 L 元，则（9 分）当 0x100 时，L2000；（10 分）当 x500 时，L6050 ； （11 分）当 100x 550 时， 由 ，解得 x=500答：当销售商一次订购 500 个时，该厂获得的利润为 600
16、0 元（13 分）19 （16 分）如图 1，在ABC 中， ， ，点 D 是 BC 的中点（ I）求证： ；（ II）直线 l 过点 D 且垂直于 BC，E 为 l 上任意一点，求证： 为常数，并求该常数；（ III）如图 2，若 ，F 为线段 AD 上的任意一点，求 的范围【解答】 （I）证明：延长 AD 到 A1 使得 AD=DA1，连接 CA1，A 1B，D 是 BC 的中点，四边形 ACA1B 是平行四边形， = + ， ；（II）证明： = + ， （ ）= （ + ） （ ）= + ，DEBC， =0， = （ ） = ， （ ）=（III）解：ABC 中，| |=2，| |=1
17、，cosA= ， ，| |= = ，同理 + =2 ， （ + ）= 2 =| | |，设| |=x，则 | |= x（0 ） ， （ + ）=2x（ x）2 =1，当且仅当 x= 时取等号， （ + ） （0，120 （16 分）已知 g（x）=x 22ax+1 在区间1，3上的值域0，4（1）求 a 的值；（2）若不等式 g（2 x）k4 x0 在 x1，+）上恒成立，求实数 k 的取值范围；（3）若函数 有三个零点，求实数 k 的取值范围【解答】解：（1）g（x）=x 22ax+1=（xa） 2+1a2 在区间1，3上的值域0，4 若 1a3 时，g （x ）的最小值为 g（a）=1a
18、2，由 1a2=0，可得 a=1（1 舍去） ，g （x ）=（x1） 2 满足在区间1，3上的值域0，4 ；若 a3 时，g （x ）在1，3递减，g（x）的最小值为 g（3） ，由 g（ 3）=106a=0，解得 a= （舍去） ；若 a1，则 g（x ）在1，3递增，g（x）的最小值为 g（1） ，由 g（ 1）=22a=0，解得 a=1综上可得，a=1；（2）由 g（2 x）k4 x0 即（2 x） 222x+1k4x0，化为 k（2 x） 222x+1，令 t=2x，由 x1 可得 0t ，则 kt 22t+1，0t ，记 h（t）=t 22t+1，0t ，由单调递减，可得 h（t
19、）的最小值为（ 1）2= ，则 k 的取值范围是 k ；（3）令 y=0，可化为|2 x1|22|2x1|+1+2k3k|2x1|=0（|2 x1|0）有 3 个不同的实根令 t=|2x1|，则 t0，由 2x11，当 x0 时，t=|2 x1|=12x，t（0，1且递减，当 0x1 时，t=|2 x1|=2x1，t（0，1）且递增，当 x=1 时，t=1当 x1 时，t= |2x1|=2x1，t（1，+）且递增，t2（ 3k+2）t+1+2k=0 有两个不同的实数解 t1，t 2，已知函数有 3 个零点等价为 0t 11，t 21 或 0t 11，t 2=1，记 m（t）=t 2（3k+2）t+1+2k，则 或 ，解得 k0 或 k 无实数解，综上可得，k 的取值范围是（0，+）