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2016-2017学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

1、2016-2017 学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共计 70 分1 (5 分)已知集合 A=1,0,1,B=0,1,2,则 AB= 2 (5 分)已知 f(x )是偶函数,当 x0 时,f(x )=x +1,则 f( 1)= 3 (5 分)若 tan=3, ,则 tan( )等于 4 (5 分)已知 A(3,4) 、B(5, 2) ,则| |= 5 (5 分)函数 y=e2x1 的零点是 6 (5 分)把函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 (纵坐标不变),再将图象上所有点向右平移 个单位,所得函数图象所对应的解析式

2、为 7 (5 分)若函数 f(x ) = ,则 f(log 23)= 8 (5 分)函数 的单调递增区间为 9 (5 分)设 是两个不共线向量, , , ,若A、B 、D 三点共线,则实数 P 的值是 10 (5 分)若 = ,则 sin2的值为 11 (5 分)f(x )=x 2,若对任意的 xt,t+2,不等式 f(x +t)2f(x )恒成立,则实数 t 的取值范围是 12 (5 分)如图,O 是坐标原点, M、N 是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则 的范围为 13 (5 分)如图,将矩形纸片的右下角折起,使得该角的顶点落在矩形的左边上,若 ,则折痕 l 的长度= cm14 (

3、5 分)函数 是奇函数,且 f(2)f(x )f( 2) ,则 a= 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分15 (14 分)已知 =(1,2) , =( 3,1) ()求 ;()设 的夹角为 ,求 cos的值;()若向量 与 互相垂直,求 k 的值16 (14 分)已知 , , ,( I)求 tan2的值;( II)求 的值17 (14 分)已知函数 f( x)满足 f(x+1)=lg(2+x ) lg(x) (1)求函数 f(x)的解析式及定义域;(2)解不等式 f(x)1;(3)判断并证明 f(x)的单调性18 (16 分)某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为

4、 60元该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元,但实际出厂单价不低于 51 元(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为 51 元?(2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 p 元,写出函数 p=f(x)的表达式;(3)当销售商一次订购多少个时,该厂获得的利润为 6000 元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价 成本)19 (16 分)如图 1,在ABC 中, , ,点 D 是 BC 的中点( I)求证: ;( II)直线 l 过点 D 且垂直于 BC,E 为 l 上任意一点,求证: 为常数

5、,并求该常数;( III)如图 2,若 ,F 为线段 AD 上的任意一点,求 的范围20 (16 分)已知 g(x)=x 22ax+1 在区间1,3上的值域0,4(1)求 a 的值;(2)若不等式 g(2 x)k4 x0 在 x1,+)上恒成立,求实数 k 的取值范围;(3)若函数 有三个零点,求实数 k 的取值范围2016-2017 学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共计 70 分1 (5 分)已知集合 A=1,0,1,B=0,1,2,则 AB= 0,1 【解答】解:集合 A=1,0 ,1,B= 0,1 ,2,AB=0

6、,1故答案为:0,12 (5 分)已知 f(x )是偶函数,当 x0 时,f(x )=x +1,则 f( 1)= 2 【解答】解:f(x)是偶函数,当 x0 时,f(x )=x +1,当 x0 时,f(x)=x+ 1,f( 1)=(1)+1=2故答案为:23 (5 分)若 tan=3, ,则 tan( )等于 【解答】解:tan()= = = ,故答案为 4 (5 分)已知 A(3,4) 、B(5, 2) ,则| |= 10 【解答】解:由题意 A( 3,4) 、B(5, 2) ,| |= = =10故答案为 105 (5 分)函数 y=e2x1 的零点是 0 【解答】解:令 y=0,即 e2

7、x=1,解得:x=0 ,故答案为:06 (5 分)把函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 (纵坐标不变),再将图象上所有点向右平移 个单位,所得函数图象所对应的解析式为 y=sin(2x ) 【解答】解:把图象上所有点的横坐标缩小到原来的 ,得到 y=sin2x,再函数 y=sin2x 的图象上所有点向右平移 个单位,得到 y=sin2(x )=sin(2x )对图象,所求函数的解析式为:y=sin(2x ) 故答案为:y=sin(2x ) 7 (5 分)若函数 f(x ) = ,则 f(log 23)= 9 【解答】解:函数 f(x )= ,log23log 22=1,f(

8、 log23)= = =9故答案为:98 (5 分)函数 的单调递增区间为 【解答】解:令 2k 2x 2k + ,k z,求得 k xk+ ,kz,故函数的增区间为 故答案为 9 (5 分)设 是两个不共线向量, , , ,若A、B 、D 三点共线,则实数 P 的值是 1 【解答】解: , ,A、B、D 三点共线, ,2=2,p= p=1,故答案为:110 (5 分)若 = ,则 sin2的值为 【解答】解: = ,2cos2= sin( ) ,2(cos 2sin2)=cos sin,cossin=0,或 cos+sin= ,平方可得 1sin2=0,或 1+sin2= ,sin2=1,或

9、 sin2= ,若 sin2=1,则 cos2=0,代入原式可知应舍去,故答案为: 11 (5 分)f(x )=x 2,若对任意的 xt,t+2,不等式 f(x +t)2f(x )恒成立,则实数 t 的取值范围是 (, ,+) 【解答】解:f(x)=x 2,x t,t+2,不等式 f(x +t)2f(x)=f ( x)在t ,t+2恒成立,即|x+t| x|在t,t +2恒成立,即:x(1+ )t 在t,t+2恒成立,或 x(1 )t 在t ,t+2恒成立,解得:t 或 t ,故答案为:(, ,+) 12 (5 分)如图,O 是坐标原点, M、N 是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则

10、的范围为 0. ) 【解答】解:设 的夹角为 , ,则 cos1,0) ,2= =2+2cos0,2)的范围为:0, ) ,故答案为0, ) 13 (5 分)如图,将矩形纸片的右下角折起,使得该角的顶点落在矩形的左边上,若 ,则折痕 l 的长度= cm【解答】解:由已知及对称性知,GF=BF=lcos ,GE=BE=lsin,又GEA=GFB=2,AE=GEcos2=lsincos2,又由 AE+BE=lsincos2+lsin=6得:l= = 故答案为: 14 (5 分)函数 是奇函数,且 f(2)f(x )f( 2) ,则 a= 【解答】解:函数 是奇函数且定义域内有 0f( 0)=0解得

11、 c=0,故 f(x)= x0,a0,f(x)= = (ax= 时取等号)f( 2)f(x)f(2) ,2a= ,a= 故答案为 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分15 (14 分)已知 =(1,2) , =( 3,1) ()求 ;()设 的夹角为 ,求 cos的值;()若向量 与 互相垂直,求 k 的值【解答】解:() =(1,2)2(3,1) =(1+6,22)=(7,0) () = ()因为向量 与 互相垂直,所以, ( )( )=0 ,即因为 =5, ,所以, 510k2=0,解得 16 (14 分)已知 , , ,( I)求 tan2的值;( II)求 的值【解答】 (本题

12、满分为 14 分)解:( I) , ,可得: sin = ,2分tan = =2 ,4 分tan2= = 7 分( II) , ,+( , ) ,又 ,cos(+)= = ,9 分cos=cos( +)=cos (+)cos +sin( +)sin= ( )( )+( )= , ,= 14 分17 (14 分)已知函数 f( x)满足 f(x+1)=lg(2+x ) lg(x) (1)求函数 f(x)的解析式及定义域;(2)解不等式 f(x)1;(3)判断并证明 f(x)的单调性【解答】解:(1)f(x+ 1)=lg(2+x)lg (x) ,可令 t=x+1,则 x=t1,可得 f(t)=lg

13、(1+t)lg(1t) ,即有 f( x)=lg(1+x)lg(1x) ,由 1+x0 且 1x0,解得 1x 1,则函数 f(x )的定义域为( 1,1) ;(2)由 f(x)1 即 lg(1+x ) lg(1 x)1,即为 lg(1+x)lg10(1x ) ,可得 01+x10(1x) ,解得1x ,则不等式的解集为(1, ) ;(3)证明:f(x)在(1,1)上为增函数理由:设1mn1,则 f(m)f(n )=lg(1+m)lg (1m)lg(1+n)lg(1 n)=lg lg =lg =lg ,由于1mn1,可得 1m1 n0,1+n 1+m0,可得 0 1,0 1,则 0 1,即有

14、lg 0,则 f(m)f(n)0,即 f(m )f (n ) ,故 f(x)在(1,1)上为增函数18 (16 分)某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60元该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元,但实际出厂单价不低于 51 元(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为 51 元?(2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 p 元,写出函数 p=f(x)的表达式;(3)当销售商一次订购多少个时,该厂获得的利润为 6000 元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价 成本)【

15、解答】解:(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为 51 元时,一次订购量为 x0 个,则 (个)因此,当一次订购量为 550 个时,每个零件的实际出厂价格恰好降为 51元(2 分)(2 )当 0x100 时,p=60;(3 分)当 100x 550 时, ;(4 分)当 x550 时,p=51 (5 分)所以 (6 分)(3)设销售商的一次订购量为 x 个时,工厂获得的利润为 L 元,则(9 分)当 0x100 时,L2000;(10 分)当 x500 时,L6050 ; (11 分)当 100x 550 时, 由 ,解得 x=500答:当销售商一次订购 500 个时,该厂获得的利润为 600

16、0 元(13 分)19 (16 分)如图 1,在ABC 中, , ,点 D 是 BC 的中点( I)求证: ;( II)直线 l 过点 D 且垂直于 BC,E 为 l 上任意一点,求证: 为常数,并求该常数;( III)如图 2,若 ,F 为线段 AD 上的任意一点,求 的范围【解答】 (I)证明:延长 AD 到 A1 使得 AD=DA1,连接 CA1,A 1B,D 是 BC 的中点,四边形 ACA1B 是平行四边形, = + , ;(II)证明: = + , ( )= ( + ) ( )= + ,DEBC, =0, = ( ) = , ( )=(III)解:ABC 中,| |=2,| |=1

17、,cosA= , ,| |= = ,同理 + =2 , ( + )= 2 =| | |,设| |=x,则 | |= x(0 ) , ( + )=2x( x)2 =1,当且仅当 x= 时取等号, ( + ) (0,120 (16 分)已知 g(x)=x 22ax+1 在区间1,3上的值域0,4(1)求 a 的值;(2)若不等式 g(2 x)k4 x0 在 x1,+)上恒成立,求实数 k 的取值范围;(3)若函数 有三个零点,求实数 k 的取值范围【解答】解:(1)g(x)=x 22ax+1=(xa) 2+1a2 在区间1,3上的值域0,4 若 1a3 时,g (x )的最小值为 g(a)=1a

18、2,由 1a2=0,可得 a=1(1 舍去) ,g (x )=(x1) 2 满足在区间1,3上的值域0,4 ;若 a3 时,g (x )在1,3递减,g(x)的最小值为 g(3) ,由 g( 3)=106a=0,解得 a= (舍去) ;若 a1,则 g(x )在1,3递增,g(x)的最小值为 g(1) ,由 g( 1)=22a=0,解得 a=1综上可得,a=1;(2)由 g(2 x)k4 x0 即(2 x) 222x+1k4x0,化为 k(2 x) 222x+1,令 t=2x,由 x1 可得 0t ,则 kt 22t+1,0t ,记 h(t)=t 22t+1,0t ,由单调递减,可得 h(t

19、)的最小值为( 1)2= ,则 k 的取值范围是 k ;(3)令 y=0,可化为|2 x1|22|2x1|+1+2k3k|2x1|=0(|2 x1|0)有 3 个不同的实根令 t=|2x1|,则 t0,由 2x11,当 x0 时,t=|2 x1|=12x,t(0,1且递减,当 0x1 时,t=|2 x1|=2x1,t(0,1)且递增,当 x=1 时,t=1当 x1 时,t= |2x1|=2x1,t(1,+)且递增,t2( 3k+2)t+1+2k=0 有两个不同的实数解 t1,t 2,已知函数有 3 个零点等价为 0t 11,t 21 或 0t 11,t 2=1,记 m(t)=t 2(3k+2)t+1+2k,则 或 ,解得 k0 或 k 无实数解,综上可得,k 的取值范围是(0,+)