1、2016-2017 学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1 （5 分）集合 A=xN+|1x 4，B=x|x 24，则 AB=（ ）A0 ，1 ，2 B1，2 C1，2，3 D0，1，2，32 （5 分）设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）A若 m ， =n，则 mn B若 m ，mn，则 nC若 m，n，则 mn D若 m，n ，则 mn3 （5 分）若三条直线 ax+y+1=0，y=3x ，x+y=4，交于一点，则 a 的值为（ ）A4
2、 B4 C D4 （5 分）在空间直角坐标系 Oxyz 中，若 O（0， 0，0） ，A（0，2，0） ，B（2 ，0，0 ） ，C （2，2， 2 ） ，则二面角 COAB 的大小为（ ）A30 B45 C60 D905 （5 分）已知倾斜角 60为的直线 l 平分圆：x 2+y2+2x+4y4=0，则直线 l 的方程为（ ）A xy+ +2=0 B x+y+ +2=0 C xy+ 2=0 D xy +2=06 （5 分）已知函数 f（x）= ，若 a=f（log 3 ） ，b=f（2 ） ，c=f（ 3 ） ，则（ ）Acba Bcab Cacb Dab c7 （5 分）如果实数 x，y
3、满足（x2） 2+y2=2，则 的范围是（ ）A （ 1，1） B1，1 C （ ，1）（1，+） D （，11，+）8 （5 分）已知函数 f（x）= （aA） ，若 f（ x）在区间（0，1上是减函数，则集合 A 可以是（ ）A （ ，0 ） B1，2） C （ 1，5 D4，69 （5 分）圆柱被一个平面截去一部分后与一个四棱锥组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A4+8 B8 +16 C16 +16 D16+4810 （5 分）由 8 个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A，B ，C，D 在同一平面上，ABCD 是边长为 15 的正方形，则该几何体的外
4、接球的体积为（ ）A1125 B3375 C450 D90011 （5 分）设函数 f（x ）是定义在 R 上的函数，满足 f（x ）=f （4x） ，且对任意 x1，x 2（0，+） ，都有（x 1x2）f（x 1+2） f（x 2+2）0，则满足 f（2x）=f（ ）的所有 x 的和为（ ）A 3 B5 C8 D812 （5 分）已知点 P（t，t1） ，tR ，点 E 是圆 x2+y2= 上的动点，点 F 是圆（x3） 2+（y+1） 2= 上的动点，则|PF| |PE|的最大值为（ ）A2 B C3 D4二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）满足
5、 42x1（ ） x4 的实数 x 的取值范围为 14 （5 分）已知直线 l1：ax+4y1=0，l 2：x+ay =0，若 l1l 2，则实数 a= 15 （5 分）若函数 f（x ） = ，则 f（ ）+f（ ）+f （ 1）+f （0）+f（1）+f（ ） +f（ ）= 16 （5 分）方程 =ax+a 由两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17 （10 分）在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点分别为 A（2 ，4） ，B（1 ，3 ） ，C（2，1） （1）求 BC 边上的高所在的直线方
6、程；（2）设 AC 中点为 D，求DBC 的面积18 （12 分）已知函数 f（ x）= + （1）求 f（x）的定义域 A；（2）若函数 g（x）=x 2+ax+b 的零点为1.5 ，当 xA 时，求函数 g（x ）的值域19 （12 分）在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别是 BC，A 1B1 的中点（1）求证：DE平面 ACC1A1；（2）设 M 为 AB 上一点，且 AM= AB，若直三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长均相等，求直线 DE 与直线 A1M 所成角的正切值20 （12 分）已知 f（x）=3 x+m3x 为奇函数（1）求函数 g（x）=f（x） 的零点；（
7、2）若对任意 tR 的都有 f（t 2+a2a）+f（1+2at ）0 恒成立，求实数 a 的取值范围21 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，ABC 为正三角形，ABAD，ACCD，PA 平面 ABCD，PC 与平面 ABCD 所成角为 45（1）若 E 为 PC 的中点，求证：PD平面 ABE；（2）若 CD= ，求点 B 到平面 PCD 的距离22 （12 分）已知圆心在直线 x+y1=0 上且过点 A（2，2）的圆 C1 与直线3x4y+5=0 相切，其半径小于 5（1）若 C2 圆与圆 C1 关于直线 xy=0 对称，求圆 C2 的方程；（2）过直线 y=2x6 上一点 P 作圆
8、C2 的切线 PC，PD，切点为 C，D，当四边形PCC2D 面积最小时，求直线 CD 的方程2016-2017 学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1 （5 分）集合 A=xN+|1x 4，B=x|x 24，则 AB=（ ）A0 ，1 ，2 B1，2 C1，2，3 D0，1，2，3【解答】解：集合 A=xN+|1x 4=1，2，3，B=x|x24=x|2x2，则 AB=1，2故选：B2 （5 分）设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列说法正
9、确的是（ ）A若 m ， =n，则 mn B若 m ，mn，则 nC若 m，n，则 mn D若 m，n ，则 mn【解答】解：若 m，=n，则 m 与 n 平行或异面，故 A 错误；若 m ，mn，则 n 与 关系不确定，故 B 错误；根据线面垂直的性质定理，可得 C 正确；若 m，n ， ，则 m 与 n 关系不确定，故 D 错误故选 C3 （5 分）若三条直线 ax+y+1=0，y=3x ，x+y=4，交于一点，则 a 的值为（ ）A4 B4 C D【解答】解：联立 y=3x，x +y=4，解得 ，三条直线 ax+y+1=0，y=3x，x+y=4 相交于一点，把点（1，3）代入 ax+y+
10、1=0，可得 a+3+1=0，解得 a=4故选：B4 （5 分）在空间直角坐标系 Oxyz 中，若 O（0， 0，0） ，A（0，2，0） ，B（2 ，0，0 ） ，C （2，2， 2 ） ，则二面角 COAB 的大小为（ ）A30 B45 C60 D90【解答】解：设 C 在平面 xoy 上的射影为 D（2，2，0） ，连接 AD，CD，BD，则 CD=2 ，AD=OA=2，四边形 OBDA 是正方形，OA平面 ACD，CAD 为二面角 COAB 的平面角，tanCAD= = = ，CAD=60故选 C5 （5 分）已知倾斜角 60为的直线 l 平分圆：x 2+y2+2x+4y4=0，则直线
11、 l 的方程为（ ）A xy+ +2=0 B x+y+ +2=0 C xy+ 2=0 D xy +2=0【解答】解：倾斜角 60的直线方程，设为 y= x+b圆：x 2+y2+2x+4y4=0 化为（x+1） 2+（y+2） 2=9，圆心坐标（1，2） 因为直线平分圆，圆心在直线 y= x+b 上，所以2= +b，解得 b= 2，故所求直线方程为 xy+ 2=0故选 C6 （5 分）已知函数 f（x）= ，若 a=f（log 3 ） ，b=f（2 ） ，c=f（ 3 ） ，则（ ）Acba Bcab Cacb Dab c【解答】解：函数 f（x） = ，则 a=f（log 3 ）=1 log3
12、 =1+log321，b=f（2 ）=f（ ）=2 （0，1） ，c=f（ 3 ）=2 （0，1） ，由 y=2x 在 R 上递增， ，可得 2 2 ，则 c ba ，故选：D7 （5 分）如果实数 x，y 满足（x2） 2+y2=2，则 的范围是（ ）A （ 1，1） B1，1 C （ ，1）（1，+） D （，11，+）【解答】解：设 =k，则 y=kx 表示经过原点的直线， k 为直线的斜率所以求 的范围就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的范围从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角EOC 的正切值易得|OC|=2，|CE|= ，可由勾股定
13、理求得|OE|= ，于是可得到 k=1，即为 的最大值同理， 的最小值为1，故选 B8 （5 分）已知函数 f（x）= （aA） ，若 f（ x）在区间（0，1上是减函数，则集合 A 可以是（ ）A （ ，0 ） B1，2） C （ 1，5 D4，6【解答】解：由题意，f（x ）在区间（0，1上是减函数函数 f（x）= （a A） ，当 a=0 时，函数 f（x）不存在单调性性，故排除 C当 a0 时，函数 y= 在（0，1 上是增函数，而分母是负数，可得 f（x）在区间（0，1上是减函数，故 A 对当 1a2 时，函数 y= 在（0 ，1上是减函数，而分母是负数，可得f（x）在区间（0，1上
14、是增函数，故 B 不对当 4a6 时，函数 y= 在（0 ，1上可能没有意义故 D 不对故选 A9 （5 分）圆柱被一个平面截去一部分后与一个四棱锥组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A4+8 B8 +16 C16 +16 D16+48【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半圆柱与四棱锥的组合体，半圆柱的底面半径为 2，高为 4，故体积为： =8，四棱锥的底面面积为：44=16，高为 3，故体积为：16，故组合体的体积 V=8+16，故选：B10 （5 分）由 8 个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A，B ，C，D 在同一平面上，ABCD 是边长为
15、 15 的正方形，则该几何体的外接球的体积为（ ）A1125 B3375 C450 D900【解答】解：该几何体的直观图如图所示，这个是一个正八面体，假设另两个顶点为 E，F ，ABCD 是正方形，边长为 15，BO= = ，EO= = ，该几何体的外接球的半径 R= ，该几何体的外接球的体积：V= =1125 故选：A11 （5 分）设函数 f（x ）是定义在 R 上的函数，满足 f（x ）=f （4x） ，且对任意 x1，x 2（0，+） ，都有（x 1x2）f（x 1+2） f（x 2+2）0，则满足 f（2x）=f（ ）的所有 x 的和为（ ）A 3 B5 C8 D8【解答】解：对任意
16、 x1，x 2（0，+） ，都有（x 1x2）f （x 1+2）f（x 2+2）0，f（ x）在（2，+）上递增，又f（ x）=f（4x） ，f（ 2x）=f（ 2+x） ，即函数关于 x=2 对称，f（ 2x）=f（ ） ，2 x= ，或 2x+ =4，x 2+5x+3=0 或 x2+3x3=0，满足 f（2x）=f（ ）的所有 x 的和为8，故选 C12 （5 分）已知点 P（t，t1） ，tR ，点 E 是圆 x2+y2= 上的动点，点 F 是圆（x3） 2+（y+1） 2= 上的动点，则|PF| |PE|的最大值为（ ）A2 B C3 D4【解答】解：由题意，P 在直线 y=x1 上运
17、动，E （0，0）关于直线的对称点的坐标为 A（1，1） ，F（3，1） ，|PF |PE|的最大值为 |AF|=4，故选 D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）满足 42x1（ ） x4 的实数 x 的取值范围为 （2，+） 【解答】解：不等式 42x1（ ） x4 可化为22（ 2x1） 2 x+4，即 2（2x1）x+4，解得 x2，所以实数 x 的取值范围是（ 2，+） 故选：（2，+） 14 （5 分）已知直线 l1：ax+4y1=0，l 2：x+ay =0，若 l1l 2，则实数 a= 2 【解答】解：直线 l1： ax+4y1=0，l 2
18、：x+ay =0， ，解得 a=2（a=2 时，两条直线重合，舍去） 故答案为：215 （5 分）若函数 f（x ） = ，则 f（ ）+f（ ）+f （ 1）+f （0）+f（1）+f（ ） +f（ ）= 7 【解答】解：函数 f（x ）= ，f（ x）+f（ x）= + = + =2，f（ ）+f （ ）+f（1）+f（0）+f （1）+f（ ）+f（ ）=23+ =7故答案为：716 （5 分）方程 =ax+a 由两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围为 0， ） 【解答】解：设 f（x）= ，如图所示，表示以（2，0）为圆心，1 为半径的半圆，由圆心（2，0）到 y=ax+a 的距
19、离 =1，可得 a= ，方程 =ax+a 有两个不相等的实数根，实数 a 的取值范围为0， ） 故答案为0， ） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17 （10 分）在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点分别为 A（2 ，4） ，B（1 ，3 ） ，C（2，1） （1）求 BC 边上的高所在的直线方程；（2）设 AC 中点为 D，求DBC 的面积【解答】解：（1）k BC= = ，BC 边上的高所在的直线的斜率为 则 BC 边上的高所在的直线方程为：y4= （x2） ，化为：3x4y+10=0（2）BC 边所在的直线方程为：y+3= （x1）
20、 ，化为：4x+3y+5=0D 是 AC 的中点，D 点 D 到直线 BC 的距离 d= = 又|BC |= =5，S DBC = = = 18 （12 分）已知函数 f（ x）= + （1）求 f（x）的定义域 A；（2）若函数 g（x）=x 2+ax+b 的零点为1.5 ，当 xA 时，求函数 g（x ）的值域【解答】解：（1）要使函数有意义，必须： ，解得 1x3，函数的定义域为：1，3（2）函数 g（ x）=x 2+ax+b 的零点为1，5，可得 a=（1+5）=4，b= 15=5，g（ x）=x 24x5=（x2） 29，当 xA 时，即 x1，3时，x=2 函数取得最小值：y=9，
21、x=1 或 3 时，函数取得最大值： 8函数 g（x ）的值域9，819 （12 分）在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别是 BC，A 1B1 的中点（1）求证：DE平面 ACC1A1；（2）设 M 为 AB 上一点，且 AM= AB，若直三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长均相等，求直线 DE 与直线 A1M 所成角的正切值【解答】证明：（1）取 AB 中点 N，连结 EN，DN ，在ABC 中，N 为 AB 中点，D 为 BC 中点，DN AC，DN平面 ACC1A1，AC 平面 ACC1A1，DN 平面 ACC1A1，在矩形 ABB1A1 中，N 为 AB 中点，E 为 A
22、1B1 中点，EN平面 ACC1A1，又 DN平面 DEN，EN 平面 DEN，DNEN=N，平面 DEN平面 ACC1A1，DE平面 DEN，DE平面 ACC1A1解：（2）作 DPAB 于 P，直三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长均相等，D 为 BC 的中点，DP平面 ABB1A1 的所有棱长相等，D 为 BC 的中点，DP平面 ABB1A1，且 PB= AB，又 AM= AB，MP= AB，A 1E=EP，A 1M=EP，DEP 是直线 DE 与直线 A1M 所成角，由 DP平面 ABB1A1，EP平面 ABB1A1，得 DP EP，设直线三棱柱 ABCA1B1C1 的棱长为 a，则
23、在 RtDPE 中，DP= ，EP=A 1M= a，tanDEP= = 直线 DE 与直线 A1M 所成角的正切值为 20 （12 分）已知 f（x）=3 x+m3x 为奇函数（1）求函数 g（x）=f（x） 的零点；（2）若对任意 tR 的都有 f（t 2+a2a）+f（1+2at ）0 恒成立，求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）f（x ）是奇函数，f（0）=0，解得：m=1，f（ x）=3 x3x，令 g（x） =0，即 3x3x =0，令 t=3x，则 t =0，即 3t28t3=0，解得： t=3 或 t= ，t=3 x0，t=3 即 x=1，函数 g（x ）的零点是 1；（2）
24、对任意 tR 的都有 f（t 2+a2a）+f（1+2at ）0 恒成立，f（ t2+a2a）f （1+2at）对任意 tR 恒成立，f（ x）在 R 是奇函数也是增函数，f（ t2+a2a）f （12at）对任意 tR 恒成立，即 t2+a2a12at 对任意 tR 恒成立，即 t2+2at+a2a+10 对任意 tR 恒成立，= （ 2a） 24（a 2a+1）0，a 1 ，实数 a 的范围是（，121 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，ABC 为正三角形，ABAD，ACCD，PA 平面 ABCD，PC 与平面 ABCD 所成角为 45（1）若 E 为 PC 的中点，求证：PD平面 A
25、BE；（2）若 CD= ，求点 B 到平面 PCD 的距离【解答】 （1）证明：PA平面 ABCD，CD 平面 ABCD，PACD ACCD，PAAC=A，CD平面 PAC，而 AE平面 PAC，CDAEPC 与平面 ABCD 所成角为 45AC=PA，E 是 PC 的中点，AE PC，又 PCCD=C，AE平面 PCD，而 PD平面 PCD，AEPDPA 底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD，又 ABAD，由面面垂直的性质定理可得 BA平面 PAD，AB PD，又 ABAE=A，PD平面 ABE（2）解：CD= ，可得 AC=3，PA 平面 ABCD，PAAC ，PC=3 ，由（1）的
26、证明知，CD平面 PAC，CD PC ，ABAD，ABC 为正三角形，CAD=30 ，ACCD，CD=ACtan30= 设点 B 的平面 PCD 的距离为 d，则 VBPCD= 3 d= d在BCD 中，BCD=150，S BCD = 3 sin150= V PBCD= 3= ，V BPCD=VPBCD， d= ，解得 d= ，即点 B 到平面 PCD 的距离为 22 （12 分）已知圆心在直线 x+y1=0 上且过点 A（2，2）的圆 C1 与直线3x4y+5=0 相切，其半径小于 5（1）若 C2 圆与圆 C1 关于直线 xy=0 对称，求圆 C2 的方程；（2）过直线 y=2x6 上一点
27、 P 作圆 C2 的切线 PC，PD，切点为 C，D，当四边形PCC2D 面积最小时，求直线 CD 的方程【解答】解：（1）由题意，设 C1（a，1a） ，则过点 A（2，2）的圆 C1 与直线 3x4y+5=0 相切， = ，（a 2） （a 62）=0半径小于 5，a=2，此时圆 C1 的方程为（ x2） 2+（y +1） 2=9，C 2 圆与圆 C1 关于直线 xy=0 对称，圆 C2 的方程为（x+1） 2+（y 2） 2=9；（2）设 P（a，2a6） ，圆 C2 的半径 r=2，四边形 PCC2D 面积 S=2 = =3|PD|，|PD|= = ，a=3 时，|PD| min= ，此时面积最小为 3 ，P（3，0） C ，D 在以 PC2 为直径的圆上，方程为（x1） 2+（y1） 2=5，圆 C2 的方程为（x+1） 2+（y 2） 2=9，两个方程相减，可得 CD 的方程为 4x2y1=0