1、2016-2017 学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）1 （4 分）已知集合 A=0，1，2，B=2，3，则集合 AB=（ ）A1 ，2 ，3 B0，1，2，3 C2 D0，1，32 （4 分）化简 （ b ） （a0，b0）结果为（ ）Aa Bb C D3 （4 分）正弦函数 f（x）=sinx 图象的一条对称轴是（ ）Ax=0 B C Dx=4 （4 分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）Af （x）=sinx Bf（x）=x 2+1 Cf（x）=lnx Df （x）=cosx5 （4 分）设 y1=log0.70.8
2、，y 2=log1.10.9，y 3=1.10.9，则有（ ）Ay 3y 1y 2 By 2y 1y 3 Cy 1y 2y 3 Dy 1y 3y 26 （4 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1，则 =（ ）A1 B C D27 （4 分）如果 cos（ +A）= ，那么 sin（ +A）的值是（ ）A B C D8 （4 分）要得到函数 y=sin（2x + ）的图象，只需将函数 y=sin2x 的图象（ ）A向左平移 个单位 B向左平移 个单位C向右平移 个单位 D向右平移 个单位9 （4 分）函数 y=f（x）在区间 上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解析式可以是（ ）Af （x）
3、=sin（2x+ ） Bf（x）=sin（2x ） Cf（x）=sin（x+ ） Df （x）=sin （x ）10 （4 分）对于函数 f（ x） ，如果存在非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f（x+T）=f （x） ，那么函数 f（x ）就叫做周期函数，已知函数y=f（x） （x R）满足 f（x +2）=f （x ） ，且 x1，1时，f（x ）=x 2，则 y=f（x ）与 y=log5x 的图象的交点个数为（ ）A3 B4 C5 D6二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）11 （4 分）学校先举办了一次田径运动会，某班有 8 名同学参赛，又举
4、办了一次球类运动会，该班有 12 名同学参赛，两次运动会都参赛的有 3 人两次运动会中，这个班共有 名同学参赛12 （4 分）溶液酸碱度是通过 pH 值刻画的，pH 值的计算公式为 pH=lgH+，其中H +表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，纯净水中氢离子的浓度为H+=107 摩尔/升，则纯净水的 pH= 13 （4 分）已知 ，那么 = 14 （4 分）计算（lg2） 2+lg2lg50+lg25= 15 （4 分）设 A，B 是非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合中 B 都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从
5、集合 A 到集合 B 的一个映射，设 f：x 是从集合 A 到集合 B 的一个映射若 A=0，1 ，2，则 AB= ；若 B=1，2，则AB= 三、解答题（共 4 小题，满分 32 分）16 （8 分）已知向量 =（ 1，0） ， =（1，1） ， =（1，1） （） 为何值时， + 与 垂直？（）若（m +n ） ，求 的值17 （8 分）已知函数 f（ x）=x （）判断 f（x）的奇偶性；（）用函数单调性的定义证明：f（x ）在（0，+ ）上是增函数18 （8 分）已知函数 f（ x）=sin 2 + sin cos （）求 f（x）的最小正周期；（）若 x ， ，求 f（x）的最大值与
6、最小值19 （8 分）已知函数 f（ x）=1 （a0 且 a1）是定义在 R 上的奇函数（）求 a 的值；（）若关于 x 的方程|f（x）（2 x+1）|=m 有 1 个实根，求实数 m 的取值范围四、阅读与探究（共 1 小题，满分 8 分）20 （8 分）阅读下面材料，尝试类比探究函数 y=x2 的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象阅读材料：我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征我们来看一个应用函数的特征研究对应
7、图象形状的例子对于函数 y= ，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：（1）在函数 y= 中，由 x0，可以推测出，对应的图象不经过 y 轴，即图象与 y 轴不相交；由 y0，可以推测出，对应的图象不经过 x 轴，即图象与 x 轴不相交（2）在函数 y= 中，当 x0 时 y0；当 x0 时 y0，可以推测出，对应的图象只能在第一、三象限；（3）在函数 y= 中，若 x（0，+）则 y0，且当 x 逐渐增大时 y 逐渐减小，可以推测出，对应的图象越向右越靠近 x 轴；若 x（，0） ，则 y0，且当 x逐渐减小时 y 逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近 x 轴；（4）由函数 y
8、= 可知 f（ x）= f（x ） ，即 y= 是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称结合以上性质，逐步才想出函数 y= 对应的图象，如图所示，在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考让我们享受数学研究的过程，传播研究数学的成果2016-2017 学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）1 （4 分）已知集合 A=0，1，2，B=2，3，则集合 AB=（ ）A1 ，2 ，3 B0，1，2，3 C2 D0，1，3【解答】解：集
9、合 A=0，1，2，B=2，3，则集合 AB=0，1，2，3，故选：B2 （4 分）化简 （ b ） （a0，b0）结果为（ ）Aa Bb C D【解答】解：原式= =a，故选：A3 （4 分）正弦函数 f（x）=sinx 图象的一条对称轴是（ ）Ax=0 B C Dx=【解答】解：f（x）=sinx 图象的一条对称轴为 +k，k Z，当 k=0 时，函数的对称轴为 ，故选：C4 （4 分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）Af （x）=sinx Bf（x）=x 2+1 Cf（x）=lnx Df （x）=cosx【解答】解：对于 A，是奇函数；对于 B，是偶函数，不存在零点；对于 C，
10、非奇非偶函数；对于 D，既是偶函数又存在零点故选：D5 （4 分）设 y1=log0.70.8，y 2=log1.10.9，y 3=1.10.9，则有（ ）Ay 3y 1y 2 By 2y 1y 3 Cy 1y 2y 3 Dy 1y 3y 2【解答】解：y 1=log0.70.8（0，1） ；y 2=log1.10.90；y 3=1.10.91，可得 y3y 1y 2故选：A6 （4 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1，则 =（ ）A1 B C D2【解答】解： 故选 A7 （4 分）如果 cos（ +A）= ，那么 sin（ +A）的值是（ ）A B C D【解答】解：由题意可得： ，根
11、据诱导公式可得 cosA= ，所以 =cosA= ，故选 B8 （4 分）要得到函数 y=sin（2x + ）的图象，只需将函数 y=sin2x 的图象（ ）A向左平移 个单位 B向左平移 个单位C向右平移 个单位 D向右平移 个单位【解答】解：由于函数 y=sin（2x + ）=sin2（x+ ） ，将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位长度，可得函数 y=sin（2x+ ）的图象，故选：B9 （4 分）函数 y=f（x）在区间 上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解析式可以是（ ）Af （x）=sin（2x+ ） Bf（x）=sin（2x ） Cf（x）=sin（x+ ） Df
12、（x）=sin （x ）【解答】解：由图象知 A=1， = ，T=，=2，函数的解析式是 y=sin（2x +）函数的图象过（ ）0=sin（2 +）=k ，=函数的解析式是 y=sin（2x ）故选 B10 （4 分）对于函数 f（ x） ，如果存在非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f（x+T）=f （x） ，那么函数 f（x ）就叫做周期函数，已知函数y=f（x） （x R）满足 f（x +2）=f （x ） ，且 x1，1时，f（x ）=x 2，则 y=f（x ）与 y=log5x 的图象的交点个数为（ ）A3 B4 C5 D6【解答】解：函数 y=f（x ） （x
13、 R）满足 f（x +2）=f （x ） ，f（ x）是周期为 2 的周期性函数，又 x1，1 时，f（x）=x 2根据函数的周期性画出图形，如图，由图可得 y=f（x）与 y=log5x 的图象有 4 个交点故选：B二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）11 （4 分）学校先举办了一次田径运动会，某班有 8 名同学参赛，又举办了一次球类运动会，该班有 12 名同学参赛，两次运动会都参赛的有 3 人两次运动会中，这个班共有 17 名同学参赛【解答】解：设 A=x|x 是参加田径运动会比赛的学生，B=x |x 是参加球类运动会比赛的学生，AB=x |x 是两次运动会都参加比赛
14、的学生，AB=x |x 是参加所有比赛的学生因此 card（AB）=card（A ）+card（B） card（AB）=8+123=17故两次运动会中，这个班共有 17 名同学参赛故答案为：1712 （4 分）溶液酸碱度是通过 pH 值刻画的，pH 值的计算公式为 pH=lgH+，其中H +表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，纯净水中氢离子的浓度为H+=107 摩尔/升，则纯净水的 pH= 7 【解答】解：由题意可得：该溶液的 PH 值为 lg107=7故答案为：713 （4 分）已知 ，那么 = 【解答】解：因为 ，所以| |= 故答案为 14 （4 分）计算（lg2） 2+lg2lg5
15、0+lg25= 2 【解答】解：原式=2 lg5+lg2（1+lg5 ）+（lg2） 2=2 lg5+lg2（1+lg5 +lg2）=2 lg5+2 lg2=2；故答案为 215 （4 分）设 A，B 是非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合中 B 都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射，设 f：x 是从集合 A 到集合 B 的一个映射若 A=0，1 ，2，则 AB= 0 ，1 ；若 B=1，2 ，则 AB= 1或 【解答】解：根据题意，A=0，1，2，通过对应关系 f：x ， B=0，1
16、， ，所以 AB=0，1；根据题意，B=1，2时，过对应关系 f：x ，得A=1或4或1，4；所以 AB=1或 故答案为：0，1，1或三、解答题（共 4 小题，满分 32 分）16 （8 分）已知向量 =（ 1，0） ， =（1，1） ， =（1，1） （） 为何值时， + 与 垂直？（）若（m +n ） ，求 的值【解答】解：（）向量 =（1，0） ， =（1，1 ） ， =（1，1） =（ 1+，） ， + 与 垂直，（ ） =1+0=0，解得 =1，=1 时， + 与 垂直（） =（m ，0）+（n，n ）= （m+n ，n） ，又（m +n ） ，（m+n）1（1n）=0， =2若（m
17、 +n ） ，则 =217 （8 分）已知函数 f（ x）=x （）判断 f（x）的奇偶性；（）用函数单调性的定义证明：f（x ）在（0，+ ）上是增函数【解答】解：（）函数 f（x ）=x 的定义域是 D=（，0）（0 ，+） ，任取 xD，则x D，且 f（x ）= x =（x ） =f（x） ，f（ x）是定义域上的奇函数；（）证明：设 x1，x 2（0，+） ，且 x1x 2，则 f（x 1）f（x 2）=（x 1 ） （x 2 ）=（ x1x2）+（ ）= ；0x 1x 2，x 1x20，x1x20，x 1x2+10， 0，即 f（x 1）f （x 2） ，f（ x）在（0，+）上是
18、增函数18 （8 分）已知函数 f（ x）=sin 2 + sin cos （）求 f（x）的最小正周期；（）若 x ， ，求 f（x）的最大值与最小值【解答】解：（）函数 f（x ）=sin 2 + sin cos= + sinx= sinx cosx+=sin（x ）+ ，由 T= =2，知 f（x）的最小正周期是 2；（）由 f（x）=sin（x ）+ ，且 x ， x ， sin（x ）1，1sin（x ）+ ，当 x= 时， f（x）取得最大值 ，x= 时，f （x）取得最小值 119 （8 分）已知函数 f（ x）=1 （a0 且 a1）是定义在 R 上的奇函数（）求 a 的值；（
19、）若关于 x 的方程|f（x）（2 x+1）|=m 有 1 个实根，求实数 m 的取值范围【解答】解：（）f（x ）=1 （a 0 且 a1）是定义在 R 上的奇函数，f（ 0）=0，即 1 =0， a=2 ；（）设 h（x）=|f（x）（2 x+1）|，g（x）=m，如图所示，m=0 或 m1 ，两函数图象有一个交点，关于 x 的方程|f（x）（2 x+1）|=m 有 1 个实根时，实数 m 的取值范围是m=0 或 m1 四、阅读与探究（共 1 小题，满分 8 分）20 （8 分）阅读下面材料，尝试类比探究函数 y=x2 的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象阅
20、读材料：我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子对于函数 y= ，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：（1）在函数 y= 中，由 x0，可以推测出，对应的图象不经过 y 轴，即图象与 y 轴不相交；由 y0，可以推测出，对应的图象不经过 x 轴，即图象与 x 轴不相交（2）在函数 y= 中，当 x0 时 y0；当 x0 时 y0，可以推测出，对应的图象只能在第一、三象限；（3）在函数 y= 中，
21、若 x（0，+）则 y0，且当 x 逐渐增大时 y 逐渐减小，可以推测出，对应的图象越向右越靠近 x 轴；若 x（，0） ，则 y0，且当 x逐渐减小时 y 逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近 x 轴；（4）由函数 y= 可知 f（ x）= f（x ） ，即 y= 是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称结合以上性质，逐步才想出函数 y= 对应的图象，如图所示，在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考让我们享受数学研究的过程，传播研究数学的成果【解答】解：（1）在 y=x2 中，x0，可以推
22、测出：对应的图象不经过 y 轴，即与 y 轴不相交，（2）令 y=0，即 x2 =0，解得 x=1，可以推测出，对应的图象与 x 相交，交点坐标为（1，0）和（1，0） ，（3）在 y=x2 中，当 0x1 时， 1x 2，则 y0，当 x1 时，1x 2，则 y0，可以推测出：对应的图象在区间（0，1）上图象在 x 轴的下方，在区间（1，+）上图象在 x 轴的上方，（4）在 y=x2 中，若 x（0，+） ，则当 x 逐渐增大时 逐渐减小， x2 ，逐渐增大，即 y 逐渐增大，所以原函数在（0，+）是增函数，可以推测出：对应的图象越向右逐渐升高，是单调递增的趋势，（5）由函数 y=x2 可知 f（x）=f（x ） ，即函数为偶函数，可以推测出：对应的图象关于 y 轴对称