1、2016-2017 学年广东省深圳市南山区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知全集 U=0，1，2，3，4，集合 A=1，2，B=0，2，4，则（ UA）B 等于（ ）A0 ，4 B0，3，4 C0，2，3，4 D22 （5 分）函数 y=12x 的值域为（ ）A1 ，+） B （1，+ ） C （ ，1 D （，1）3 （5 分）直线 3x+ y+1=0 的倾斜角是（ ）A30 B60 C120 D1504 （5 分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A9
2、B18 C27 D545 （5 分）下列函数中既是偶函数，又在（0，+）上单调递减的为（ ）A By=x 2 C Dy=x 26 （5 分）已知直线 l1：3x+2y +1=0，l 2：x 2y5=0，设直线 l1，l 2 的交点为 A，则点 A 到直线 的距离为（ ）A1 B3 C D7 （5 分）方程 的实数根的所在区间为（ ）A （3 ，4 ） B （2，3） C （1，2） D （0，1）8 （5 分）计算 其结果是（ ）A 1 B1 C3 D39 （5 分）已知 b0，log 3b=a，log 6b=c，3 d=6，则下列等式成立的是（ ）Aa=2c Bd=ac Ca=cd Dc=a
3、d10 （5 分）已知 ， 是两个不同的平面，给出下列四个条件：存在一条直线 a，使得 a ，a；存在两条平行直线 a，b，使得 a，a，b，b ；存在两条异面直线 a，b，使得 a，b ，a ，b ；存在一个平面 ，使得 ，其中可以推出 的条件个数是（ ）A1 B2 C3 D411 （5 分）设集合 A=x|2x8，B=x |xm 2+m+1，若 AB=A，则实数 m 的取值范围为 （ ）A 2，1） B2，1 C 2，1） D1，1）12 （5 分）定义函数序列： ，f 2（x）=f（f 1（x ） ） ，f 3（x ）=f（f 2（ x） ） ，f n（x）=f（f n1（x ） ） ，
4、则函数 y=f2017（x）的图象与曲线的交点坐标为（ ）A B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）函数 y= +1g（x 1）的定义域是 14 （5 分）设函数 f（x ） = ，则方程 f（x ）=2 的所有实数根之和为 15 （5 分）设点 A（5 ，2） ，B（1，4） ，点 M 为线段 AB 的中点则过点 M，且与直线 3x+y2=0 平行的直线方程为 16 （5 分）下列命题中若 loga3log b3，则 ab ；函数 f（x ）=x 22x+3，x 0，+）的值域为2，+） ；设 g（x ）是定义在区间a，b上的连续函数若 g（a
5、 ）=g（b）0，则函数g（ x）无零点；函数 既是奇函数又是减函数其中正确的命题有 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中：（）求证：AC平面 A1BC1；（）求证：平面 A1BC1平面 BB1D1D18 （12 分）已知过点 P（ m，n）的直线 l 与直线 l0：x +2y+4=0 垂直（） 若 ，且点 P 在函数 的图象上，求直线 l 的一般式方程；（） 若点 P（m，n）在直线 l0 上，判断直线 mx+（n1）y+n+5=0 是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；否则，请说明理由19
6、 （12 分）已知函数 （其中 a 为非零实数） ，且方程有且仅有一个实数根（）求实数 a 的值；（）证明：函数 f（x）在区间（ 0，+）上单调递减20 （12 分）研究函数 的性质，并作出其图象21 （12 分）已知矩形 ABCD 中，AB=2 ，AD=1 ，M 为 CD 的中点如图将ADM 沿 AM 折起，使得平面 ADM平面 ABCM（）求证：BM平面 ADM；（）若点 E 是线段 DB 上的中点，求三棱锥 EABM 的体积 V1 与四棱锥DABCM 的体积 V2 之比22 （12 分）已知函数 f（ x）=x 2+2bx+c，且 f（1）=f（3）=1设 a0，将函数 f（x）的图象
7、先向右平移 a 个单位长度，再向下平移 a2 个单位长度，得到函数 g（ x）的图象（）若函数 g（x）有两个零点 x1，x 2，且 x14 x 2，求实数 a 的取值范围；（）设连续函数在区间m，n 上的值域为，若有 ，则称该函数为“陡峭函数 ”若函数 g（x ）在区间a，2a上为“陡峭函数”，求实数 a 的取值范围2016-2017 学年广东省深圳市南山区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知全集 U=0，1，2，3，4，集合 A=1，2，B=0，2，4，
8、则（ UA）B 等于（ ）A0 ，4 B0，3，4 C0，2，3，4 D2【解答】解： UA=0，3，4，（ UA）B= 0，4，故选：A2 （5 分）函数 y=12x 的值域为（ ）A1 ，+） B （1，+ ） C （ ，1 D （，1）【解答】解：函数 y=12x，其定义域为 R2 x 的值域为（0，+） ，函数 y=12x 的值域为（ ，1） ，故选 D3 （5 分）直线 3x+ y+1=0 的倾斜角是（ ）A30 B60 C120 D150【解答】解：直线 3x+ y+1=0 的斜率为： ，直线的倾斜角为：，tan ，可得 =120故选：C4 （5 分）如图是一个几何体的三视图，则该
9、几何体的体积为（ ）A9 B18 C27 D54【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的圆锥，圆锥的底面直径为 6，故底面半径 r=3，圆锥的高 h=6，故圆锥的体积 V= =18，故选：B5 （5 分）下列函数中既是偶函数，又在（0，+）上单调递减的为（ ）A By=x 2 C Dy=x 2【解答】解：对于 A：y= ，函数在（0，+）递增，不合题意；对于 B：y= 是偶函数，在（0，+）递减，符合题意；对于 C：y= ，不是偶函数，不合题意；对于 D：y=x 2 在（0，+）递增，不合题意；故选：B6 （5 分）已知直线 l1：3x+2y +1=0，l 2：x 2y
10、5=0，设直线 l1，l 2 的交点为 A，则点 A 到直线 的距离为（ ）A1 B3 C D【解答】解：联立 ，得 ，A（1，2） ，点 A 到直线 的距离为 d= =1故选：A7 （5 分）方程 的实数根的所在区间为（ ）A （3 ，4 ） B （2，3） C （1，2） D （0，1）【解答】解：令 f（x）=lnx ，易知 f（ x）在其定义域上连续，f（2）=ln2 =ln2ln 0，f（1）=ln11=10，故 f（x）=lnx ，在（1，2）上有零点，故方程方程 的根所在的区间是（1，2） ；故选：C8 （5 分）计算 其结果是（ ）A 1 B1 C3 D3【解答】解：原式= +
11、 lg5+|lg21|= + lg5lg1+1=1，故选：B9 （5 分）已知 b0，log 3b=a，log 6b=c，3 d=6，则下列等式成立的是（ ）Aa=2c Bd=ac Ca=cd Dc=ad【解答】解：b0，3 d=6，d=log 36，log 36log6b=log3b，a=cd故选：C10 （5 分）已知 ， 是两个不同的平面，给出下列四个条件：存在一条直线 a，使得 a ，a；存在两条平行直线 a，b，使得 a，a，b，b ；存在两条异面直线 a，b，使得 a，b ，a ，b ；存在一个平面 ，使得 ，其中可以推出 的条件个数是（ ）A1 B2 C3 D4【解答】解：当 、
12、 不平行时，不存在直线 a 与 、 都垂直，a ，a，故 正确；对，ab，a ，b，a，b 时，、 位置关系不确定不正确；对，异面直线 a，b a 过上一点作 cb；过 b 上一点作 da，则 a 与 c相交；b 与 d 相交，根据线线平行线面平行面面平行，正确对， ， ， 、 可以相交也可以平行，不正确故选 B11 （5 分）设集合 A=x|2x8，B=x |xm 2+m+1，若 AB=A，则实数 m 的取值范围为 （ ）A 2，1） B2，1 C 2，1） D1，1）【解答】解：集合 A=x|2x8=x |x3，因为 AB=A，所以 BA，所以 m2+m+13，解得2m1，即 m2，1故选
13、：B12 （5 分）定义函数序列： ，f 2（x）=f（f 1（x ） ） ，f 3（x ）=f（f 2（ x） ） ，f n（x）=f（f n1（x ） ） ，则函数 y=f2017（x）的图象与曲线的交点坐标为（ ）A B C D【解答】解：由题意 f1（ x）=f （x）= f2（x）=f（f 1（x ） ）= = ，f3（x）=f（f 2（x ） ）= = ，fn（x）=f（f n1（x） ）= ，f 2017（x）= ，由 得： ，或 ，由 中 x 1 得：函数 y=f2017（x）的图象与曲线 的交点坐标为 ，故选：A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13
14、 （5 分）函数 y= +1g（x 1）的定义域是 （1，2 【解答】解：要使函数有意义，可得： ，解得：x （1，2函数 y= +1g（x1）的定义域是（1，2故答案为：（1，214 （5 分）设函数 f（x ） = ，则方程 f（x ）=2 的所有实数根之和为 【解答】解：f（x）= ，则方程 f（x ）=2x0 时，x =2，x=3，x0 时，x 2 =2，x= ， +3=故答案为：15 （5 分）设点 A（5 ，2） ，B（1，4） ，点 M 为线段 AB 的中点则过点 M，且与直线 3x+y2=0 平行的直线方程为 3x+y +3=0 【解答】解：M（2，3 ） ，设与直线 3x+y
15、2=0 平行的直线方程为：3x+y +m=0，把点 M 的坐标代入可得： 6+3+m=0，解得 m=3故所求的直线方程为：3x+y +3=0故答案为：3x+y+3=016 （5 分）下列命题中若 loga3log b3，则 ab ；函数 f（x ）=x 22x+3，x 0，+）的值域为2，+） ；设 g（x ）是定义在区间a，b上的连续函数若 g（a ）=g（b）0，则函数g（ x）无零点；函数 既是奇函数又是减函数其中正确的命题有 【解答】解：若 loga3log b30，则 ab ，故错误；函数 f（ x）=x 22x+3 的图象开口朝上，且以直线 x=1 为对称轴，当 x=1 时，函数取
16、最小值 2，无最大值，故函数 f（x）=x 22x+3，x 0，+）的值域为2，+） ；故正确；g（ x）是定义在区间a，b上的连续函数若 g（ a）=g（b）0，则函数 g（x ）可能存在零点；故错误；数 满足 h（x）= h（x） ，故 h（x）为奇函数，又由 =ex0 恒成立，故 h（x）为减函数故正确；故答案为：三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中：（）求证：AC平面 A1BC1；（）求证：平面 A1BC1平面 BB1D1D【解答】证明：（）因为 AA1CC 1，所以四边形 ACC1A
17、1 为平行四边形，（2 分）所以 ACA 1C1，又 A1C1平面 A1BC1，AC平面 A1BC1，AC平面 A1BC1； （5分）（）易知 A1C1B 1D1，因为 BB1平面 A1B1C1D1，所以 BB1A 1C1，（7 分）因为 BB1B 1D1=B1，所以 A1C1平面 BB1D1D，因为 A1C1平面 A1BC1，所以平面 A1BC1平面 BB1D1D（10 分）18 （12 分）已知过点 P（ m，n）的直线 l 与直线 l0：x +2y+4=0 垂直（） 若 ，且点 P 在函数 的图象上，求直线 l 的一般式方程；（） 若点 P（m，n）在直线 l0 上，判断直线 mx+（n
18、1）y+n+5=0 是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；否则，请说明理由【解答】解：（）点 P 在函数 的图象上， ，即点 （2 分）由 x+2y+4=0，得 ，即直线 l0 的斜率为 ，又直线 l 与直线 l0 垂直，则直线 l 的斜率 k 满足： ，即 k=2，（4 分）所以直线 l 的方程为 ，一般式方程为：2xy+1=0（6 分）（）点 P（ m，n ）在直线 l0 上，所以 m+2n+4=0，即 m=2n4，（8 分）代入 mx+（n1）y+n+5=0 中，整理得 n（2x+y +1） （4x +y5）=0，（10 分）由 ，解得 ，故直线 mx+（ n1）y+n+5=0 必经过定
19、点，其坐标为（1，1） （12 分）19 （12 分）已知函数 （其中 a 为非零实数） ，且方程有且仅有一个实数根（）求实数 a 的值；（）证明：函数 f（x）在区间（ 0，+）上单调递减【解答】解：（）由 ，得 ，又 a0，即二次方程 ax24x+4a=0 有且仅有一个实数根（且该实数根非零） ，所以=（4 ） 24a（4a） =0，解得 a=2（此时实数根非零） （）由（）得：函数解析式 ，任取 0x 1x 2，则 f（x 1）f（x 2）= ，0x 1x 2，x 2x10，2+x 1x20，x 1x20，f（ x1）f（x 2）0 ，即 f（x 1）f（x 2） ，函数 f（x ）在区
20、间（0， +）上单调递减20 （12 分）研究函数 的性质，并作出其图象【解答】 （本小题满分 12 分）解：（1）函数的定义域为x/x R，x 2（1 分）（2）函数的奇偶性：f（ x）是偶函数（3 分）（3） ，当 x0，2）时， 且递减；当 x（2，+）时，f（x）1，递减且以直线 x=2，y=1 为渐近线；又 f（x）是偶函数f（ x）当 x（2，0时， 且递增；当 x（， 2）时，f（x）1，递增且以直线 x=2，y=1 为渐近线；（8 分）（4）函数 f（x）的图象如图所示 （12 分）21 （12 分）已知矩形 ABCD 中，AB=2 ，AD=1 ，M 为 CD 的中点如图将AD
21、M 沿 AM 折起，使得平面 ADM平面 ABCM（）求证：BM平面 ADM；（）若点 E 是线段 DB 上的中点，求三棱锥 EABM 的体积 V1 与四棱锥DABCM 的体积 V2 之比【解答】 （本小题满分 12 分）证明：（）因为矩形 ABCD 中，AB=2，AD=1，M 为 CD 的中点，所以 ，所以 AM2+BM2=AB2，所以 BMAM（3 分）因为平面 ADM平面 ABCM，平面 ADM平面 ABCM=AM，又 BM平面 ABCM，且 BMAM，BM 平面 ADM （6 分）解：（）因为 E 为 DB 的中点，所以 ， （8 分）又直角三角形 ABM 的面积 ，梯形 ABCM 的
22、面积 ，所以 ，且 ，（11 分）所以 （12 分）22 （12 分）已知函数 f（ x）=x 2+2bx+c，且 f（1）=f（3）=1设 a0，将函数 f（x）的图象先向右平移 a 个单位长度，再向下平移 a2 个单位长度，得到函数 g（ x）的图象（）若函数 g（x）有两个零点 x1，x 2，且 x14 x 2，求实数 a 的取值范围；（）设连续函数在区间m，n 上的值域为，若有 ，则称该函数为“陡峭函数 ”若函数 g（x ）在区间a，2a上为“陡峭函数”，求实数 a 的取值范围【解答】 （本小题满分 12 分）解：（）由 ，即 f（x）=x 24x+2，（1 分）由题设可知 g（x）=
23、（xa ） 24（x a）+2 a2=x2（2a+4）x+4a+2，（2 分）因为 g（x ）有两个零点 x1，x 2，且 x14x 2，g （4）=164（2a +4）+4a+20， ，又 a0，于是实数 a 的取值范围为 （5 分）（）由 g（ x）=x 2（2a+4）x+4a +2 可知，其对称轴为 x=a+2，（6 分）当 0a2 时，a+2 2a ，函数 g（x）在区间a，2a上单调递减，最小值 =g（2a）=4a+2，最大值 =g（a）= a2+2，则 ，显然此时 a 不存在，（8 分）当 2a4 时，aa +22a，最小值 =g（a+2） =a22，又 ，最大值 =g（a ）= a2+2，则 ， ，又2a 4 ，此时 a 亦不存在，（10 分）当 a4 时，aa +22a ，最小值 =g（a+2）=a 22，又 ，故最大值 =g（2a ）= 4a+2，则 ， ，即 ，综上可知，实数 a 的取值范围为 （12 分）