1、2016-2017 学年广东省深圳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）.1 （5 分）函数 的零点为 1，则实数 a 的值为（ ）A 2 B C D22 （5 分）下列方程表示的直线倾斜角为 135的是（ ）Ay=x1 By1= （x+2） C + =1 D x+2y=03 （5 分）设 a、b 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列四个命题若 ab，a，则 b 若 a，则 aa ，则 a若 ab，a，b，则 其中正确的命题的个数是（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个4 （5 分）以下四个命题中，正确命题是（ ）A不共面的四
2、点中，其中任意三点不共线B若点 A，B，C ，D 共面，点 A，B ，C，E 共面，则 A，B，C ，D ，E 共面C若直线 a， b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面D依次首尾相接的四条线段必共面5 （5 分）如图 RtOAB是一平面图形的直观图，斜边 OB=2，则这个平面图形的面积是（ ）A B1 C D6 （5 分）下列函数 f（x）中，满足“ 对任意 x1，x 2（，0） ，当 x1x 2 时，都有 f（ x1）f （x 2） ”的函数是（ ）Af （x）=x+1 Bf（x）=x 21 Cf（x）=2 x Df （x）=ln（ x）7 （5 分）已知三棱锥的四个面中，最多
3、共有（ ）个直角三角形？A4 B3 C2 D18 （5 分）一个体积为 8cm3 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（ ）A8cm 2 B12cm 2 C16cm 2 D20cm 29 （5 分）2001 年至 2013 年北京市电影放映场次的情况如图所示下列函数模型中，最不合适近似描述这 13 年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）Ay=ax 2+bx+c By=ae x+b Cy=a ax+b Dy=alnx +b10 （5 分）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A4 B2 C D811 （5 分）函数 f（x ）=ln ，则 f（x
4、）是（ ）A奇函数，且在（0，+）上单调递减B奇函数，且在（0，+ ）上单凋递增C偶函数，且在（0，+ ）上单调递减D偶函数，且在（0 ，+）上单凋递增12 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AB，CC 1 的中点，在平面ADD1A1 内且与平面 D1EF 平行的直线（ ）A有无数条 B有 2 条 C有 1 条 D不存在二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，若 AD 的中点为 M，DD 1 的中点为 N，则异面直线 MN 与 BD 所成角的大小是 14 （5 分）已知 A（3，2） ，
5、B （4，1） ，C（0， 1） ，点 Q 线段 AB 上的点，则直线 CQ 的斜率取值范围是 15 （5 分）边长为 2 的两个等边ABD，CBD 所在的平面互相垂直，则四面体 ABCD 的体积是 16 （5 分）在函数y=2 x； y=2 2x；f（x ）=x+x 1； f （x）=xx 3 中，存在零点且为奇函数的序号是 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17 （10 分）已知 A（5 ， 1） ，B（m，m） ，C （2，3）三点（1）若 ABBC ，求 m 的值；（2）求线段 AC 的中垂线方程18 （12 分）已知集合 A=a|一次
6、函数 y=（4a 1） x+b 在 R 上是增函数，集合B= （1）求集合 A，B；（2）设集合 ，求函数 f（x ）=x 在 A C 上的值域19 （12 分）已知四棱锥 PABCD 的正视图 1 是一个底边长为 4、腰长为 3 的等腰三角形，图 2、图 53 分别是四棱锥 PABCD 的侧视图和俯视图（1）求证：AD PC；（2）求四棱锥 PABCD 的侧面积20 （12 分）如图，已知四棱锥 PABCD，侧面 PAD 是正三角形，底面 ABCD 是菱形，BAD=60 ，设平面 PAD平面 PBC=l（）求证：l平面 ABCD；（）求证：PBBC21 （12 分）如图，AB 是圆 O 的直
7、径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点（ I）求证：平面 PAC平面 PBC；（ II）若 AC=1，PA=1 ，求圆心 O 到平面 PBC 的距离22 （12 分）已知函数 f（ x）=lg （a0）为奇函数，函数 g（x）= +b（b R） （）求 a；（）若 b1，讨论方徎 g（x ）=ln|x|实数根的个数；（）当 x ， 时，关于 x 的不等式 f（1x）lgg （x）有解，求 b 的取值范围2016-2017 学年广东省深圳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）.1 （5 分）函数 的零点为 1，则实数 a 的
8、值为（ ）A 2 B C D2【解答】解：函数 的零点为 1，即解得 a= ，故选 B2 （5 分）下列方程表示的直线倾斜角为 135的是（ ）Ay=x1 By1= （x+2） C + =1 D x+2y=0【解答】解：根据题意，若直线倾斜角为 135，则其斜率 k=tan135=1，依次分析选项：对于 A、其斜率 k=1，不合题意，对于 B、其斜率 k= ，不合题意，对于 C、将 + =1 变形可得 y=x+5，其斜率 k=1，符合题意，对于 D、将 x+2y=0 变形可得 y= x，其斜率 k= ，不合题意，故选：C3 （5 分）设 a、b 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列
9、四个命题若 ab，a，则 b 若 a，则 aa ，则 a若 ab，a，b，则 其中正确的命题的个数是（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【解答】解：可能 b，命题错误若 ，只有 a 与 ， 的交线垂直，才能够推出 a，命题错误a 可能在平面 内，命题错误命题正确故选 B4 （5 分）以下四个命题中，正确命题是（ ）A不共面的四点中，其中任意三点不共线B若点 A，B，C ，D 共面，点 A，B ，C，E 共面，则 A，B，C ，D ，E 共面C若直线 a， b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面D依次首尾相接的四条线段必共面【解答】解：不共面的四点中，其中任意三点不共线，故
10、A 为真命题；若点 A，B，C ，D 共面，点 A，B，C ，E 共面，则 A，B，C，D，E 可能不共面，故 B 为假命题；若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 可能不共面，故 C 为假命题；依次首尾相接的四条线段可能不共面，故 D 为假命题；故选：A5 （5 分）如图 RtOAB是一平面图形的直观图，斜边 OB=2，则这个平面图形的面积是（ ）A B1 C D【解答】解：RtOAB是一平面图形的直观图，斜边 OB=2，直角三角形的直角边长是 ，直角三角形的面积是 ，原平面图形的面积是 12 =2故选 D6 （5 分）下列函数 f（x）中，满足“ 对任意 x1，x 2（，
11、0） ，当 x1x 2 时，都有 f（ x1）f （x 2） ”的函数是（ ）Af （x）=x+1 Bf（x）=x 21 Cf（x）=2 x Df （x）=ln（ x）【解答】解：根据已知条件知 f（x ）需在（ ，0）上为增函数；一次函数 f（x）=x+1 在（ ，0）上为减函数；二次函数 f（x）=x 21 在（ ，0）上为减函数；指数函数 f（x）=2 x 在（，0）上为增函数；根据减函数的定义及对数函数的单调性，f（x ）=ln （ x）在（ ，0）上为减函数；C 正确故选 C7 （5 分）已知三棱锥的四个面中，最多共有（ ）个直角三角形？A4 B3 C2 D1【解答】解：如果一个三棱
12、锥 VABC 中，侧棱 VA底面 ABC，并且ABC 中B 是直角因为 BC 垂直于 VA 的射影 AB，所以 VA 垂直于平面 ABC 的斜线 VB，所以VBC 是直角由 VA底面 ABC，所以VAB，VAC 都是直角因此三棱锥的四个面中ABC；VAB ；VAC ；VBC 都是直角所以三棱锥最多四个面都是直角三角形故选：A8 （5 分）一个体积为 8cm3 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（ ）A8cm 2 B12cm 2 C16cm 2 D20cm 2【解答】解：正方体体积为 8，可知其边长为 2，体对角线为 =2 ，即为球的直径，所以半径为 ，表面积为 4 2=12故选 B9 （
13、5 分）2001 年至 2013 年北京市电影放映场次的情况如图所示下列函数模型中，最不合适近似描述这 13 年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）Ay=ax 2+bx+c By=ae x+b Cy=a ax+b Dy=alnx +b【解答】解：根据图象得出单调性的规律，单调递增，速度越来越快，y=ax2+bx+c，单调递增，速度越来越快，y=aex+b，指数型函数增大很快，y=eax+b，指数型函数增大很快，y=alnx+b，对数型函数增大速度越来越慢，所以 A，B，C 都有可能，D 不可能故选：D10 （5 分）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（
14、 ）A4 B2 C D8【解答】解：三视图复原的几何体是长方体，长方体长、宽、高分别是：2，2 ，3 ，所以这个几何体的体积是 223=12，长方体被一个平面所截，得到的几何体的是长方体的 ，如图所示，则这个几何体的体积为 12 =8故选 D11 （5 分）函数 f（x ）=ln ，则 f（x ）是（ ）A奇函数，且在（0，+）上单调递减B奇函数，且在（0，+ ）上单凋递增C偶函数，且在（0，+ ）上单调递减D偶函数，且在（0 ，+）上单凋递增【解答】解：由 x（e xex）0，得 f（x）的定义域是（ ，0）（0，+） ，而 f（x ）=ln =ln =f（x） ，f（ x）是偶函数，x0
15、时，y=x（e xex）递增，故 f（x）在（0，+）递增，故选：D12 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AB，CC 1 的中点，在平面ADD1A1 内且与平面 D1EF 平行的直线（ ）A有无数条 B有 2 条 C有 1 条 D不存在【解答】解：由题设知平面 ADD1A1 与平面 D1EF 有公共点 D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线 l，在平面 ADD1A1 内与 l 平行的线有无数条，且它们都不在平面 D1EF 内，由线面平行的判定定理知它们都与面 D1EF 平行；故选 A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13
16、（5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，若 AD 的中点为 M，DD 1 的中点为 N，则异面直线 MN 与 BD 所成角的大小是 60 【解答】解：如图，连接 BC1，DC 1，则：MNBC 1，且BDC 1 为等边三角形；MN 与 BD 所成角等于 BC1 与 BD 所成角的大小；又DBC 1=60；异面直线 MN 与 BD 所成角的大小是 60故答案为：60 14 （5 分）已知 A（3，2） ，B （4，1） ，C（0， 1） ，点 Q 线段 AB 上的点，则直线 CQ 的斜率取值范围是 【解答】解：k CA= =1，k CB= = 点 Q 线段 AB 上的点，则直线 CQ
17、的斜率取值范围是： 故答案为： 15 （5 分）边长为 2 的两个等边ABD，CBD 所在的平面互相垂直，则四面体 ABCD 的体积是 1 【解答】解：如图，取 DB 中点 O，连结 AO，CO，ABD， CBD 边长为 2 的两个等边AOBD， COBD ，又 面 ABD面 BDC；AO面 BCD，AO= ，四面体 ABCD 的体积 v= ，故答案为：116 （5 分）在函数y=2 x； y=2 2x；f（x ）=x+x 1； f （x）=xx 3 中，存在零点且为奇函数的序号是 【解答】解：函数y=2 x 不存在零点且为非奇非偶函数，故不满足条件；函数y=2 2x 存在零点 1，但为非奇非
18、偶函数，故不满足条件；函数f（x ）=x +x1 不存在零点，为奇函数，故不满足条件； 函数f（x ）=x x3 存在零点 1 且为奇函数，故满足条件；故答案为：三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17 （10 分）已知 A（5 ， 1） ，B（m，m） ，C （2，3）三点（1）若 ABBC ，求 m 的值；（2）求线段 AC 的中垂线方程【解答】解：（1） ， （2 分）（5 分）（2） （6 分）中垂线的斜率 （7 分）AC 的中点是（ ） （8 分）中垂线的方徎是化为 6x8y13=0（10 分）18 （12 分）已知集合 A=a|一次函
19、数 y=（4a 1） x+b 在 R 上是增函数，集合B= （1）求集合 A，B；（2）设集合 ，求函数 f（x ）=x 在 A C 上的值域【解答】解：（1）集合 A=a|一次函数 y=（4a1 ）x +b 在 R 上是增函数，4a10，解得： a ，故 （1 分） ，由 得：当 0a1 时，log a 1=log aa，解得：0a ，当 a1 时，log a 1=log aa，解得：a ，而 a 1，故 a1， （6 分）（2） （7 分）函数 y=x 在（ 0，+）是增函数，在（0，+）上是减函数， 在（0，+）是增函数 （9 分）所以当 时（12 分）有 （11 分）即函数 的值域是
20、（12 分）19 （12 分）已知四棱锥 PABCD 的正视图 1 是一个底边长为 4、腰长为 3 的等腰三角形，图 2、图 53 分别是四棱锥 PABCD 的侧视图和俯视图（1）求证：AD PC；（2）求四棱锥 PABCD 的侧面积【解答】 （1）证明：依题意，可知点 P 在平面 ABCD 上的正射影是线段 CD 的中点 E，连接 PE，则 PE平面 ABCD （1 分）AD平面 ABCD，ADPE （2 分）ADCD ， CDPE=E ，CD 平面 PCD，PE 平面 PCD，AD平面 PCD（4 分）PC平面 PCD，ADPC（5 分）（2）解：依题意，在等腰三角形 PCD 中，PC=P
21、D=3，DE=EC=2，在 RtPED 中， ，（6 分）过 E 作 EFAB ，垂足为 F，连接 PF，PE平面 ABCD，AB 平面 ABCD，ABPEEF 平面 PEF，PE 平面 PEF，EFPE=E，AB平面 PEFPF 平面 PEF，ABPF 依题意得 EF=AD=2在 RtPEF 中， ，（9 分）四棱锥 PABCD 的侧面积（12 分）20 （12 分）如图，已知四棱锥 PABCD，侧面 PAD 是正三角形，底面 ABCD 是菱形，BAD=60 ，设平面 PAD平面 PBC=l（）求证：l平面 ABCD；（）求证：PBBC【解答】 （本题满分为 12 分）证明：（）BC 平面
22、PAD，AD平面 PAD，AD BC，BC 平面 PAD（2 分）又 BC平面 PBC，平面 PAD平面 PBC=l，BC l（4 分）又l平面 ABCD，BC平面 ABCD，l平面 ABCD（6 分）（）取 AD 中点 O，连 OP、OB，由已知得：OP AD ，OBAD，又OPOB=O，AD平面 POB， （10 分）BC AD，BC 平面 POB，PB 平面 POB，BC PB（12 分）21 （12 分）如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点（ I）求证：平面 PAC平面 PBC；（ II）若 AC=1，PA=1 ，求圆心 O 到平面 PBC 的距离【解答
23、】解：（1）证明：由 AB 是圆的直径得 ACBC ，由 PA 平面 ABC，BC平面 ABC，得 PABCBC 平面 PAC，（4 分）又BC平面 PBC，所以平面 PAC平面 PBC（6 分）（2）过 A 点作 ADPC 于点 D，则由（1）知 AD平面 PBC，（8 分）连 BD，取 BD 的中点 E，连 OE，则 OEAD，又 AD平面 PBCOE平面 PBC，所以 OE 长就是 O 到平面 PBC 的距离（10 分）由中位线定理得 （12 分）22 （12 分）已知函数 f（ x）=lg （a0）为奇函数，函数 g（x）= +b（b R） （）求 a；（）若 b1，讨论方徎 g（x ）=ln|x|实数根的个数；（）当 x ， 时，关于 x 的不等式 f（1x）lgg （x）有解，求 b 的取值范围【解答】解：（）由 为奇函数得：f（x）+f （x）=0，即 ， （2 分）所以 ，解得 a=1， （4 分）（）当 b1 时，设 ，则 h（x）是偶函数且在（0，+）上递减又所以 h（x）在（0，+）上有惟一的零点，方徎 g（x）=ln|x |有 2 个实数根（8 分）（）不等式 f（1x）lgg（x）等价于 ，即 在 有解，故只需 ， （10 分）因为 ，所以 ，函数 ，所以 ，所以 b13 ，所以 b 的取值范围是 13，+） （12 分）