1、2016-2017 学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷A 卷必修模块 4本卷满分：100 分一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 .1 （4 分）如果 是第三象限的角，那么（ ）Asin0 Bcos0 Ctan0 D以上都不对2 （4 分）若向量 =（1， 2） ， =（x ，4）满足 ，则实数 x 等于（ ）A8 B8 C2 D 23 （4 分）若角 的终边经过点（ 4，3） ，则 tan=（ ）A B C D4 （4 分）函数 是（ ）A奇函数，且在区间 上单调递增B奇函数，且在区间 上单调递减C偶函数，且在区间
2、上单调递增D偶函数，且在区间 上单调递减5 （4 分）函数 f（x ）=sinxcosx 的图象（ ）A关于直线 对称 B关于直线 对称C关于直线 对称 D关于直线 对称6 （4 分）如图，在ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且 BD=2DC，若，则 =（ ）A B C2 D7 （4 分）定义在 R 上，且最小正周期为 的函数是（ ）Ay=sin|x| By=cos|x| Cy=|sinx| Dy=|cos2x |8 （4 分）设向量 ， 的模分别为 2 和 3，且夹角为 60，则| + |等于（ ）A B13 C D199 （4 分）函数 （其中 0，0 ）的图象的一部分如图所示，则（
3、）A B C D10 （4 分）如图，半径为 1 的圆 M，切直线 AB 于点 O，射线 OC 从 OA 出发，绕 O 点顺时针方向旋转到 OB，旋转过程中 OC 交M 于 P，记PMO 为 x，弓形 PNO 的面积 S=f（x） ，那么 f （x）的图象是（ ）A B C D二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上.11 （4 分）若向量 =（1，2）与向量 =（x ，4）平行，则实数 x= 12 （4 分）若 为第四象限的角，且 ，则 cos= ；sin2= 13 （4 分）将函数 y=cos2x 的图象向左平移 个单位，所得图象对应的函数表达式为
4、 14 （4 分）若 ， 均为单位向量，且 与 的夹角为 120，则 与 的夹角等于 15 （4 分）已知 ，则 cos（xy ）= 16 （4 分）已知函数 f（ x）=sin（x+ ） （0， （0，） ）满足，给出以下四个结论：=3； 6k，kN *； 可能等于 ； 符合条件的 有无数个，且均为整数其中所有正确的结论序号是 三、解答题：本大题共 3 小题，共 36 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知 （0，） ，且 （）求 tan2的值；（）求 的值18 （12 分）已知函数 （1）求函数 f（x）的单调增区间；（2）若直线 y=a 与函数 f（x）的图象
5、无公共点，求实数 a 的取值范围19 （12 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，AB=2， CD=1，BC=a（a0） ，P 为线段 AD（含端点）上一个动点，设 ， ，则得到函数 y=f（x ） （）求 f（1）的值；（）对于任意 a（0，+） ，求函数 f（x）的最大值B 卷 学期综合本卷满分： 50 分一、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分. 把答案填在题中横线上.20 （4 分）设全集 U=R，集合 A=x|x0 ，B= x|x|1，则 A（ UB）= 21 （4 分）已知函数 若 f（a）=2，则实数 a= 22 （4 分）定义在 R 上的
6、函数 f （x ）是奇函数，且 f（x）在（0，+）是增函数，f（3）=0，则不等式 f（x）0 的解集为 23 （4 分）函数 的值域为 （其中x表示不大于 x 的最大整数，例如 3.15=3，0.7=0 ）24 （4 分）在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于 200m2 的内接矩形花园（阴影部分） ，则其边长 x（单位：m）的取值范围是 二、解答题：本大题共 3 小题，共 30 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25 （10 分）已知函数 （）若 ，求 a 的值；（）判断函数 f（x）的奇偶性，并证明你的结论26 （10 分）已知函数 f（ x）=3 x，g（x）=|x
7、+a|3，其中 aR（）若函数 h（x）=fg（x ）的图象关于直线 x=2 对称，求 a 的值；（）给出函数 y=gf（x）的零点个数，并说明理由27 （10 分）设函数 f（x）的定义域为 R，如果存在函数 g（x） ，使得 f（x ）g （x）对于一切实数 x 都成立，那么称 g（x ）为函数 f（x）的一个承托函数已知函数 f（x）=ax 2+bx+c 的图象经过点（1，0） （1）若 a=1，b=2写出函数 f（x ）的一个承托函数（结论不要求证明） ；（2）判断是否存在常数 a，b，c，使得 y=x 为函数 f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数 的一个承托函数？若存在，求出 a
8、，b，c 的值；若不存在，说明理由2016-2017 学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析A 卷必修模块 4本卷满分：100 分一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 .1 （4 分）如果 是第三象限的角，那么（ ）Asin0 Bcos0 Ctan0 D以上都不对【解答】解：如果 是第三象限的角，则 sin0，cos0，tan0，故选：C2 （4 分）若向量 =（1， 2） ， =（x ，4）满足 ，则实数 x 等于（ ）A8 B8 C2 D 2【解答】解：根据题意，若向量 、 满足 ，必有 =0，又由
9、=（1 ，2） ， =（x ， 4） ，则有 =1x+（2）4=0，解可得 x=8；故选：A3 （4 分）若角 的终边经过点（ 4，3） ，则 tan=（ ）A B C D【解答】解：由定义若角 的终边经过点（4，3） ，tan= ，故选：D4 （4 分）函数 是（ ）A奇函数，且在区间 上单调递增B奇函数，且在区间 上单调递减C偶函数，且在区间 上单调递增D偶函数，且在区间 上单调递减【解答】解：函数 =cosx，是偶函数，且在区间 上单调递减，故选 D5 （4 分）函数 f（x ）=sinxcosx 的图象（ ）A关于直线 对称 B关于直线 对称C关于直线 对称 D关于直线 对称【解答】解
10、：函数 y=sinxcosx= sin（x ） ，x =k+ ，k Z，得到 x=k+ ，kZ ，则函数的图象关于直线 x= 对称故选：B6 （4 分）如图，在ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且 BD=2DC，若，则 =（ ）A B C2 D【解答】解：BD=2DC， = + = + = + （ ）= + ， ，= ，= ， = ，故选：A7 （4 分）定义在 R 上，且最小正周期为 的函数是（ ）Ay=sin|x| By=cos|x| Cy=|sinx| Dy=|cos2x |【解答】解：对于 A：y=sin|x|不是周期函数，对于 B，y=cos|x|的最小正周期为 2，对于 C，y
11、=|sinx|最小正周期为 ，对于 D，y=|cos2x|最小正周期为 ，故选：C8 （4 分）设向量 ， 的模分别为 2 和 3，且夹角为 60，则| + |等于（ ）A B13 C D19【解答】解：向量 ， 的模分别为 2 和 3，且夹角为 60， =| | |cos60=23 =3，| + |2=| |2+| |2+2 =4+9+23=19，| + |= ，故选：C9 （4 分）函数 （其中 0，0 ）的图象的一部分如图所示，则（ ）A B C D【解答】解：如图根据函数的图象可得：函数的周期为（62）4=16，又0，= = ，当 x=2 时取最大值，即 2 sin（2 +）=2 ，可
12、得：2 +=2k+ ，kZ，=2k + ，kZ，0 ，= ，故选：B10 （4 分）如图，半径为 1 的圆 M，切直线 AB 于点 O，射线 OC 从 OA 出发，绕 O 点顺时针方向旋转到 OB，旋转过程中 OC 交M 于 P，记PMO 为 x，弓形 PNO 的面积 S=f（x） ，那么 f （x）的图象是（ ）A B C D【解答】解：由题意得 S=f （ x ）= x f（x ）= 0 当 x=0 和 x=2时，f （x）=0，取得极值则函数 S=f （ x ）在0，2上为增函数，当 x=0 和 x=2时，取得极值结合选项，A 正确故选 A二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，
13、共 24 分.把答案填在题中横线上.11 （4 分）若向量 =（1，2）与向量 =（x ，4）平行，则实数 x= 2 【解答】解：因为向量 =（1，2）与向量 =（x ， 4）平行，所以 ，所以1=x，2=4 ，解得：= ，x=2故答案为212 （4 分）若 为第四象限的角，且 ，则 cos= ；sin2= 【解答】解： 为第四象限的角，且 ，cos= = ，sin2=2sincos=2（ ） = 故答案为： ， 13 （4 分）将函数 y=cos2x 的图象向左平移 个单位，所得图象对应的函数表达式为 y=sin2x 【解答】解：将函数 y=cos2x 的图象向左平移 个单位，所得图象对应的
14、解析式为 y=cos2（x+ ）=cos （2x+ ）=sin2x故答案为：y=sin2x 14 （4 分）若 ， 均为单位向量，且 与 的夹角为 120，则 与 的夹角等于 150 【解答】解： ， 均为单位向量，且 与 的夹角为 120，（ ） = | |2=11（ ）1= ，| |2=| |22 +| |2=1211（ ）+1=3，| |= ，设 与 的夹角为 ，则 cos= = = ，0 180，=150，故答案为：15015 （4 分）已知 ，则 cos（xy ）= 【解答】解：sinx+siny= ，cosx+cosy= ， 2+ 2 得：2+2sinxsiny+2cosxcosy
15、= ，cos（xy）=sinxsiny+cosxcosy= ，故答案为： 16 （4 分）已知函数 f（ x）=sin（x+ ） （0， （0，） ）满足，给出以下四个结论：=3； 6k，kN *； 可能等于 ； 符合条件的 有无数个，且均为整数其中所有正确的结论序号是 【解答】解：函数 f（x） =sin（x +） （0， （0，） ）满足，（ ）=n ，= n（nZ） ，=3 正确； 6k，kN *，不正确； 可能等于 ，正确； 符合条件的 有无数个，且均为整数，不正确故答案为三、解答题：本大题共 3 小题，共 36 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知 （0
16、，） ，且 （）求 tan2的值；（）求 的值【解答】解：（）（0，） ，且 = ，可得：tan=2，tan2= = （） = = = 18 （12 分）已知函数 （1）求函数 f（x）的单调增区间；（2）若直线 y=a 与函数 f（x）的图象无公共点，求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）函数 =cosx（ cosx+ sinx）= + sin2x= cos（2x ）+ ，由 2k2x 2k，kZ ，解得 k xk + ，kZ，即 f（x）的增区间为k ，k+ ，kZ；（2）由（1）可得当 2x =2k，即 x=k+ ，k Z 时，f （x）取得最大值 ；当 2x =2k+，即 x=k+
17、，kZ 时，f（x）取得最小值 由直线 y=a 与函数 f（x）的图象无公共点，可得 a 的范围是 a 或 a 19 （12 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，AB=2， CD=1，BC=a（a0） ，P 为线段 AD（含端点）上一个动点，设 ， ，则得到函数 y=f（x ） （）求 f（1）的值；（）对于任意 a（0，+） ，求函数 f（x）的最大值【解答】解：（1）如图所示，建立直角坐标系在直角梯形 ABCD 中，AB CD ，AB BC，AB=2，CD=1，BC=a （a0） ，B（0，0） ，A（2 ，0） ，D（ 1，a） ，C（0，a） =x ， （ 0x 1
18、） = +x =（2，0）+ x（1，a）= （x 2，xa ） ， = =（0，a ）（x2，xa ）= （2 x，a xa）y=f（x）= =（2x， xa）（2x，axa）=（ 2x） 2ax（axa）=（ a2+1）x 2（4+a 2）x+4f（ 1）=a 2+1（4 +a2）+4=1（）由 y=f（x）= （a 2+1）x 2（4+a 2）x+4可知：对称轴 x0= 当 0a 时，1x 0，函数 f（x ）在0，1单调递减，因此当 x=0 时，函数 f（x）取得最大值 4当 a 时，0x 01，函数 f（x ）在0，x 0）单调递减，在（x 0，1上单调递增又 f（0）=4，f （1
19、）=1 ，f（ x） max=f（0）=4 综上所述函数 f（x）的最大值为 4B 卷 学期综合本卷满分： 50 分一、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分. 把答案填在题中横线上.20 （4 分）设全集 U=R，集合 A=x|x0 ，B= x|x|1，则 A（ UB）= x|1x0 【解答】解：全集 U=R，集合 A=x|x0，B=x|x|1 =x|x1 或 x1，则 UB=x|1x1，A（ UB）=x|1x0故答案为：x|1x021 （4 分）已知函数 若 f（a）=2，则实数 a= e 2 【解答】解：函数 ，f（a）=2，当 a0 时，f （a）=a 2=2，解得
20、a= ，不成立；当 a0 时，f （a）=lna=2，解得 a=e2实数 a=e2故答案为：e 222 （4 分）定义在 R 上的函数 f （x ）是奇函数，且 f（x）在（0，+）是增函数，f（3）=0，则不等式 f（x）0 的解集为 （3，0）（3，+） 【解答】解：f（x）在 R 上是奇函数，且 f（x ）在（0，+）上是增函数，f（ x）在（，0）上也是增函数，由 f（3）=0，得f （3）=0，即 f（3）=0 ，由 f（0 ）=f（0） ，得 f（0）=0，作出 f（ x）的草图，如图所示：f（ x）0 的解集为：（ 3，0）（3，+） ，故答案为：（3，0）（ 3，+） 23 （
21、4 分）函数 的值域为 0，1 （其中x表示不大于 x 的最大整数，例如 3.15=3，0.7=0 ）【解答】解：设 m 表示整数当 x=2m 时， =m+0.5=m， =m=m此时恒有 y=0当 x=2m+1 时， =m+1=m+1， =m+0.5=m此时恒有 y=1当 2mx 2m+1 时，2m+1x+12m+2m m+0.5m+0.5 m+1 =m， =m此时恒有 y=0当 2m+1x2m+2 时，2m+2x+12m+3m+0.5 m+1m+1 m+1.5此时 =m， =m+1此时恒有 y=1综上可知，y0，1故答案为0，124 （4 分）在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于 2
22、00m2 的内接矩形花园（阴影部分） ，则其边长 x（单位：m）的取值范围是 10，20 【解答】解：设矩形的另一边长为 ym，由相似三角形的性质可得： = ，解得 y=30x， （0x30）矩形的面积 S=x（30 x） ，矩形花园的面积不小于 200m2，x（30x）200，化为（x10） （x20）0，解得 10x 20满足 0x30故其边长 x（单位 m）的取值范围是 10，20 故答案为：10，20二、解答题：本大题共 3 小题，共 30 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25 （10 分）已知函数 （）若 ，求 a 的值；（）判断函数 f（x）的奇偶性，并证明你的结论【解
23、答】解：（）函数 ， = ， =2，解得：a=3；（）函数 f（x）为奇函数，理由如下：函数 f（ x）的定义域（，1）（1，+）关于原点对称，且 f（x ）+f（ x）= + =0，即 f（x ）= f（x） ，故函数 f（x ）为奇函数26 （10 分）已知函数 f（ x）=3 x，g（x）=|x +a|3，其中 aR（）若函数 h（x）=fg（x ）的图象关于直线 x=2 对称，求 a 的值；（）给出函数 y=gf（x）的零点个数，并说明理由【解答】解：（）函数 h（x）=f g（x ）=3 |x+a|3 的图象关于直线 x=2 对称，则 h（4x）=h（x）|x +a|=|4x+a|恒
24、成立 a=2；（）函数 y=gf（x）=|3 x+a|3 的零点个数，就是函数 G（x）=|3 x+a|与 y=3的交点，当 0a3 时，G（x）=|3 x+a|=3x+a 与 y=3 的交点只有一个，即函数y=gf（x）的零点个数为 1 个（如图 1） ；当 a3 时，G（x）=|3 x+a|=3x+a 与 y=3 没有交点，即函数 y=gf（x）的零点个数为 0 个（如图 1） ；3 a 0 时， G（x）=|3 x+a|与 y=3 的交点只有 1 个（如图 2） ；当 a3 时， G（x）=|3 x+a|与 y=3 的交点有 2 个（如图 2） ；27 （10 分）设函数 f（x）的定义
25、域为 R，如果存在函数 g（x） ，使得 f（x ）g （x）对于一切实数 x 都成立，那么称 g（x ）为函数 f（x）的一个承托函数已知函数 f（x）=ax 2+bx+c 的图象经过点（1，0） （1）若 a=1，b=2写出函数 f（x ）的一个承托函数（结论不要求证明） ；（2）判断是否存在常数 a，b，c，使得 y=x 为函数 f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数 的一个承托函数？若存在，求出 a，b，c 的值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）函数 f（x ）=ax 2+bx+c 的图象经过点（ 1，0） ，可得 ab+c=0，又 a=1，b=2，则 f（x）=x 2+2x+1
26、，由新定义可得 g（x）=x 为函数 f（x）的一个承托函数；（2）假设存在常数 a，b，c，使得 y=x 为函数 f（x）的一个承托函数，且 f（x）为函数 的一个承托函数即有 xax 2+bx+c x2+ 恒成立，令 x=1 可得 1a+b+c1，即为 a+b+c=1，即 1b=a+c，又 ax2+（b1）x+c0 恒成立，可得 a0，且（b 1） 24ac0，即为（a+c ） 24ac0，即有 a=c；又（a ）x 2+bx+c 0 恒成立，可得 a ，且 b24（a ） （c ）0，即有（12a ） 24（a ） 20 恒成立故存在常数 a，b，c，且 0a=c ，b=12a，可取 a=c= ，b= 满足题意