1、2016-2017 学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一.选择题（每小题 4 分，共 32 分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1 （4 分）已知集合 U=1，2，3，4，5，6，M=1，5，P=2，4，则下列结论正确的是（ ）A1 U（MP ） B2 U（M P ） C3 U（MP） D6 U（MP）2 （4 分）下列函数在区间（，0）上是增函数的是（ ）Af （x）=x 24x Bg（x） =3x+1Ch （x ）=3 x Dt （x）=tanx3 （4 分）已知向量 =（ 1，3 ） ， =（3，t） ，若 ，则实数 t 的值为（ ）A 9 B1 C1 D94 （4
2、 分）下列函数中，对于任意的 xR，满足条件 f（x ）+f（x）=0 的函数是（ ）Af （x）=x Bf（x）=sinx Cf（x）=cosx Df （x）=log 2（x 2+1）5 （4 分）代数式 sin（ + ）+cos（ ）的值为（ ）A 1 B0 C1 D6 （4 分）在边长为 1 的正方形 ABCD 中，向量 = ， = ，则向量 ，的夹角为（ ）A B C D7 （4 分）如果函数 f（x）=3sin（2x+）的图象关于点（ ，0）成中心对称（| ） ，那么函数 f（x）图象的一条对称轴是（ ）Ax= Bx= Cx= Dx=8 （4 分）已知函数 f（x）= 其中 MP=R
3、，则下列结论中一定正确的是（ ）A函数 f（x）一定存在最大值 B函数 f（x）一定存在最小值C函数 f（x）一定不存在最大值 D函数 f（x）一定不存在最小值二.填空题（本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）9 （4 分）函数 y= 的定义域为 10 （4 分）已知 a=40.5，b=0.5 4，c=log 0.54，则 a，b，c 从小到大的排列为 11 （4 分）已知角 终边上有一点 P（x，1） ，且 cos= ，则 tan= 12 （4 分）已知ABC 中，点 A（ 2，0 ） ，B （2，0） ，C（x，1）（i）若 ACB 是直角，则 x= （ii）若ABC 是锐角三角
4、形，则 x 的取值范围是 13 （4 分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度 v 与耗氧量 x 之间满足函数关系 v=alog2 若两岁燕子耗氧量达到40 个单位时，其飞行速度为 v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为 25m/s 时，耗氧量达到 单位14 （4 分）已知函数 f（ x）=|ax 1|（a 1）x（1）当 a= 时，满足不等式 f（x）1 的 x 的取值范围为 ；（2）若函数 f（x）的图象与 x 轴没有交点，则实数 a 的取值范围为 三.解答题（本大题共 4 小题，共 44 分）15 （12 分）已知函数 f（ x）=x 2+bx+c，其对称轴
5、为 y 轴（其中 b，c 为常数）（）求实数 b 的值；（）记函数 g（x）=f（ x）2，若函数 g（x ）有两个不同的零点，求实数 c 的取值范围；（）求证：不等式 f（c 2+1）f（c ）对任意 cR 成立16 （12 分）已知如表为“五点法”绘制函数 f（x）=Asin（x+ ）图象时的五个关键点的坐标（其中 A0， 0，|）x f（x） 0 2 0 2 0（）请写出函数 f（x）的最小正周期和解析式；（）求函数 f（x）的单调递减区间；（）求函数 f（x）在区间 0， 上的取值范围17 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（ ，0） ，B（ ，0） ，锐角 的终边与单位圆
6、O 交于点 P（）用 的三角函数表示点 P 的坐标；（）当 = 时，求 的值；（）在 x 轴上是否存在定点 M，使得| |= | |恒成立？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由18 （10 分）已知函数 f（ x）的定义域为 R，若存在常数 T0，使得 f（x）=Tf（x+T）对任意的 xR 成立，则称函数 f（x）是 函数（）判断函数 f（x）=x，g（x）=sinx 是否是 函数；（只需写出结论）（）说明：请在（i） 、 （ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数 f（x）是 函数，且 f（x ）是偶函数，则 f（x）是周期函数；（ii）求证：
7、若函数 f（x）是 函数，且 f（x）是奇函数，则 f（x）是周期函数；（）求证：当 a1 时，函数 f（x ）=a x 一定是 函数选做题（本题满分 10 分）19 （10 分）记所有非零向量构成的集合为 V，对于 ， V， ，定义 V（， ）=|xV|x =x |（1）请你任意写出两个平面向量 ， ，并写出集合 V（ ， ）中的三个元素；（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合 V（ ， ）中元素的关系，并试着给出证明；（3）若 V（ ， ）=V （ ， ） ，其中 ，求证：一定存在实数 1， 2，且1+2=1，使得 =1 +2 2016-2017 学年北京市海淀区高一（上）期末数
8、学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题 4 分，共 32 分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1 （4 分）已知集合 U=1，2，3，4，5，6，M=1，5，P=2，4，则下列结论正确的是（ ）A1 U（MP ） B2 U（M P ） C3 U（MP） D6 U（MP）【解答】解：由已知得到 MP= 1，5，2，4；所以 U（M P）=3，6；故A、B 、D 错误；故选：C2 （4 分）下列函数在区间（，0）上是增函数的是（ ）Af （x）=x 24x Bg（x） =3x+1Ch （x ）=3 x Dt （x）=tanx【解答】解：对于 A，f（ x）=x 24x=（x2
9、） 24，在（，0）上是单调减函数，不满足题意；对于 B，g（x）=3x +1 在（ ，0）上是单调增函数，满足题意；对于 C，h（x）=3 x= 是（，0）上的单调减函数，不满足题意；对于 D，t（x）=tanx 在区间（ ，0）上是周期函数，不是单调函数，不满足题意故选：B3 （4 分）已知向量 =（ 1，3 ） ， =（3，t） ，若 ，则实数 t 的值为（ ）A 9 B1 C1 D9【解答】解：向量 =（1， 3） ， =（3，t） ，若 ，可得 t=9故选：D4 （4 分）下列函数中，对于任意的 xR，满足条件 f（x ）+f（x）=0 的函数是（ ）Af （x）=x Bf（x）=s
10、inx Cf（x）=cosx Df （x）=log 2（x 2+1）【解答】解：对于任意的 xR，满足条件 f（x ）+f（x）=0 的函数是奇函数A，非奇非偶函数；B 奇函数，C，D 是偶函数，故选 B5 （4 分）代数式 sin（ + ）+cos（ ）的值为（ ）A 1 B0 C1 D【解答】解：sin（ + ）+cos （ ）= 故选：C6 （4 分）在边长为 1 的正方形 ABCD 中，向量 = ， = ，则向量 ，的夹角为（ ）A B C D【解答】解：设向量 ， 的夹角为 ，以 A 为坐标原点，以 AB 为 x 轴，以 AD 为 x 轴，建立直角坐标系，A（0，0 ） ， B（1.
11、0） ，C（1，1） ，D（0，1） ，向量 = ， = ，E （ ，1） ，F（1， ） ， =（ ， 1） ， =（1 ， ） ，| |= ， = ， = + = ，cos= = = ，= ，故选：B7 （4 分）如果函数 f（x）=3sin（2x+）的图象关于点（ ，0）成中心对称（| ） ，那么函数 f（x）图象的一条对称轴是（ ）Ax= Bx= Cx= Dx=【解答】解：函数 f（x ）=3sin（2x+）的图象关于点（ ，0 ）成中心对称，2 +=k，kZ，解得：=k ，kZ，| ，= ，可得：f（x）=3sin（2x+ ） ，令 2x+ =k+ ，k Z，可得：x= + ，kZ，
12、当 k=0 时，可得函数的对称轴为 x= 故选：B8 （4 分）已知函数 f（x）= 其中 MP=R，则下列结论中一定正确的是（ ）A函数 f（x）一定存在最大值 B函数 f（x）一定存在最小值C函数 f（x）一定不存在最大值 D函数 f（x）一定不存在最小值【解答】解：由函数 y=2x 的值域为（0，+） ，y=x2 的值域为0 ，+） ，且 M P=R，若 M=（0，+） ，P=（，0，则 f（x）的最小值为 0，故 D 错；若 M=（，2） ，P=2 ，+） ，则 f（x）无最小值为，故 B 错；由 M P=R，可得图象无限上升，则 f（x）无最大值故选：C二.填空题（本大题 6 小题，
13、每小题 4 分，共 24 分）9 （4 分）函数 y= 的定义域为 2，+） 【解答】解：由 2x40，得 2x4，则 x2函数 y= 的定义域为 2，+） 故答案为：2，+） 10 （4 分）已知 a=40.5，b=0.5 4，c=log 0.54，则 a，b，c 从小到大的排列为 cb a 【解答】解：a=4 0.54 0=1，0b=0.5 40.5 0=1，c=log0.54log 0.51=0，a ，b ，c 从小到大的排列为 cba故答案为：cba11 （4 分）已知角 终边上有一点 P（x，1） ，且 cos= ，则 tan= 【解答】解：角 终边上有一点 P（x，1） ，且cos
14、= = ，x= ，tan= = ，故答案为： 12 （4 分）已知ABC 中，点 A（ 2，0 ） ，B （2，0） ，C（x，1）（i）若 ACB 是直角，则 x= （ii）若ABC 是锐角三角形，则 x 的取值范围是 （2， ）（2，+） 【解答】解：（i）ABC 中，点 A（ 2，0） ，B（2，0） ，C（x，1） ， =（ 2x，1） ， =（2 x， 1） ，ACB 是直角， =（ 2x） （2x）+（ 1） （1）=x 23=0，解得 x= （ii）ABC 中，点 A（2，0） ，B（2，0） ，C （x，1） ， =（ 2x，1） ， =（2 x， 1） ， =（x+2，1）
15、， =（4，0） ， =（x2，1） ，=（ 4，0） ，ABC 是锐角三角形， ，解得2x 或 x2x 的取值范围是（2， ）（2，+） 故答案为： ， （2， ）（2，+） 13 （4 分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度 v 与耗氧量 x 之间满足函数关系 v=alog2 若两岁燕子耗氧量达到40 个单位时，其飞行速度为 v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为 25m/s 时，耗氧量达到 320 单位【解答】解：由题意，令 x=40，v=10 10=alog24；所以 a=5；v=25 m/s，25=5 log ，得到 x=320 单位故答案为：3201
16、4 （4 分）已知函数 f（ x）=|ax 1|（a 1）x（1）当 a= 时，满足不等式 f（x）1 的 x 的取值范围为 （2，+） ；（2）若函数 f（x）的图象与 x 轴没有交点，则实数 a 的取值范围为 ，1） 【解答】解：（1）a= 时，f （x）=| x1|+ x= ，f（ x）1， ，解得 x2，故 x 的取值范围为（2，+ ） ，（2）函数 f（x）的图象与 x 轴没有交点，当 a1 时，f （x ）=|ax 1|与 g（x）=（a 1）x 的图象：两函数的图象恒有交点，当 0a1 时，f （x ）=|ax 1|与 g（x）= （a 1） x 的图象：要使两个图象无交点，斜率
17、满足：a1 a，a ，故 a1当 a0 时，f （x ）=|ax 1|与 g（x）=（a 1）x 的图象：两函数的图象恒有交点，综上知： a1故答案为：（2，+） ， ，1）三.解答题（本大题共 4 小题，共 44 分）15 （12 分）已知函数 f（ x）=x 2+bx+c，其对称轴为 y 轴（其中 b，c 为常数）（）求实数 b 的值；（）记函数 g（x）=f（ x）2，若函数 g（x ）有两个不同的零点，求实数 c 的取值范围；（）求证：不等式 f（c 2+1）f（c ）对任意 cR 成立【解答】解：（）函数 f（x ）=x 2+bx+c，其对称轴为 y 轴， =0，解得：b=0； （）
18、由（I）得： f（x ）=x 2+c，则 g（ x）=f（x）2=x 2+c2，若函数 g（x ）有两个不同的零点，则= 4（c2）0，解得：c2 ； （）证明：函数 f（x） =x2+c 的开口朝上，|c 2+1|2|c|2=c4+c2+1=（c 2+ ） 2+ 0 恒成立，故|c 2+1|c |，故不等式 f（c 2+1）f（c ）对任意 cR 成立16 （12 分）已知如表为“五点法”绘制函数 f（x）=Asin（x+ ）图象时的五个关键点的坐标（其中 A0， 0，|）x f（x） 0 2 0 2 0（）请写出函数 f（x）的最小正周期和解析式；（）求函数 f（x）的单调递减区间；（）求
19、函数 f（x）在区间 0， 上的取值范围【解答】解：（）由表格可得 A=2， = + ，=2，结合五点法作图可得 2 += ，= ，f（ x）=2sin（2x+ ） ，它的最小正周期为 =（）令 2k+ 2x+ 2k+ ，求得 k+ xk+ ，可得函数 f（x）的单调递减区间为 k+ ，k+ ，k Z（）在区间0， 上，2x + ， ，sin（2x+ ） ，1，f（x） ，2，即函数 f（x ）的值域为 ，217 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（ ，0） ，B（ ，0） ，锐角 的终边与单位圆 O 交于点 P（）用 的三角函数表示点 P 的坐标；（）当 = 时，求 的值；（）在
20、x 轴上是否存在定点 M，使得| |= | |恒成立？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：锐角 的终边与单位圆 O 交于点 P（）用 的三角函数表示点 P 的坐标为（cos ，sin） ；（） ， ， = 时，即（cos ） （cos ）+sin 2= ，整理得到 cos ，所以锐角 =60；（）在 x 轴上假设存在定点 M，设 M（x，0） ， ，则由| |= | |恒成立，得到 = ，整理得2cos（2+x）=x 24，所以存在 x=2 时等式恒成立，所以存在 M（ 2，0 ） 18 （10 分）已知函数 f（ x）的定义域为 R，若存在常数 T0，使得 f（x）=
21、Tf（x+T）对任意的 xR 成立，则称函数 f（x）是 函数（）判断函数 f（x）=x，g（x）=sinx 是否是 函数；（只需写出结论）（）说明：请在（i） 、 （ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数 f（x）是 函数，且 f（x ）是偶函数，则 f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数 f（x）是 函数，且 f（x）是奇函数，则 f（x）是周期函数；（）求证：当 a1 时，函数 f（x ）=a x 一定是 函数【解答】解：（I）对于函数 f（x）=x 是 函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x） ，则 T（x +T）=x，取 x=0 时，则
22、 T=0，与 T0 矛盾，因此假设不成立，即函数 f（x ）=x 不是 函数对于 g（x ）=sinx 是 函数，令 T=1，则 sin（ x）=sin （ x）=sinx即sin（x1） ）=sinxTsin（x+T）=sinx 成立，即函数 f（x）=sinx 对任意 xR，有 Tf（x+T）=f（x）成立（II） （i ）证明： 函数 f（x）是 函数，存在非零常数 T，Tf（x+T ）=f （x ） ，Tf（x +T）=f（x） 又 f（x）是偶函数，f（ x）=f（x ） ，Tf （x+T ）=Tf（x +T） ，T0，化为：f（x+T）=f（x+T） ，令 xT=t，则 x=T+t
23、，f（2T +t）=f （t）=f （t ） ，可得： f（2T+t ）=f （t ） ，因此函数 f（x）是周期为 2T 的周期函数（ii）证明： 函数 f（x）是 函数，存在非零常数 T，Tf（x+T ）=f （x ） ，Tf（x +T）=f（x） 又 f（x）是奇函数，f（ x）=f（x） ，Tf （x +T）=Tf（x+T） ，T 0，化为：f（x+T）=f（x+T） ，令 xT=t，则 x=T+t，f （2T+t）=f（ t）= f（t ） ，可得：f （2T+t）=f（t） ，因此函数 f（ x）是周期为 2T 的周期函数（III）证明：当 a1 时，假设函数 f（x）=a x 是
24、 函数，则存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x） ，Ta x+T=ax，化为：Ta Tax=ax，a x0，Ta T=1，即 aT= ，此方程有非 0 的实数根，因此 T0 且存在，当 a1 时，函数 f（x ）=a x 一定是 函数选做题（本题满分 10 分）19 （10 分）记所有非零向量构成的集合为 V，对于 ， V， ，定义 V（， ）=|xV|x =x |（1）请你任意写出两个平面向量 ， ，并写出集合 V（ ， ）中的三个元素；（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合 V（ ， ）中元素的关系，并试着给出证明；（3）若 V（ ， ）=V （ ， ） ，其中 ，求证：一定存
25、在实数 1， 2，且1+2=1，使得 =1 +2 【解答】解：（1）比如 =（1，2） ， =（3，4） ，设 =（x，y） ，由 = ，可得 x+2y=3x+4y，即为 x+y=0，则集合 V（ ， ）中的三个元素为（ 1，1） ， （2，2） ， （3， 3） ；（2）由（1）可得这些向量共线理由：设 =（ s，t ） ， =（ a，b ） ， =（c ，d ） ，由 = ，可得 as+bt=cs+dt，即有 s= t，即 =（ t，t） ，故集合 V（ ， ）中元素的关系为共线；（3）证明：设 =（s，t ） ， =（a，b ） ， =（c ，d） ，=（ u， v） ， =（e，f ） ，若 V（ ， ）=V （ ， ） ，即有 as+bt=cs+dt，au+bv=ue+fv，解得 a= c+ e+ ，可令 d=f，可得 1= ，2= ，则一定存在实数 1， 2，且 1+2=1，使得 =1 +2