1、2016-2017 学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （3 分）已知集合 M=xR|x2+2x=0，N= 2，0，则 MN=（ ）A0 B2 C D 2，0，22 （3 分）若一个扇形的弧长是 3，半径是 2，则该扇形的圆心角为（ ）A B C6 D73 （3 分）设 xR，向量 =（3，x） ， =（1，1） ，若 ，则| |=（ ）A6 B4 C D34 （3 分）二次函数 f（x）=ax 2+bx+1 的最小值为 f（1）=0，则 ab=（ ）A 2 B1 C1 D35
2、（3 分）设点 O 是平行四边形 ABCD 两条对角线的交点，给出下列向量组： 与 ； 与 ； 与 ； 与 其中可作为该平面其他向量基底的是（ ）A B C D6 （3 分）已知函数 f（x）=|x1|，则与 y=f（x ）相等的函数是（ ）Ag（x）=x1 BC D7 （3 分）已知 ， ，c=log 35，则（ ）Acba Bbca Cab c Dcab8 （3 分）已知函数 ，若 g（x）=f （x）m 为奇函数，则实数 m 的值为（ ）A 3 B2 C2 D39 （3 分）某商场在 2017 年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满 500 元再减 10
3、0 元，如某商品标价 1500 元，则购买该商品的实际付款额为 15000.8200=1000 元设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为 2700 元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（ ）A55% B65% C75% D80%10 （3 分）将函数 的图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到函数 g（x）的图象，则 g（x）图象的一条对称轴的方程是（ ）A B C D11 （3 分）若函数 y=f（ x）的定义域为x|2x3，且 x2，值域为y|1y2，且 y0，则 y=f（x ）的图象可能是（ ）A B C D12 （3 分）关于 x 的方程 （a 0，且 a1）解的个数是（
4、）A2 B1 C0 D不确定的二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分13 （4 分）函数 的定义域为 14 （4 分）已知角 为第四象限角，且 ，则 sin= ；tan（ ）= 15 （4 分）已知 9a=3，lnx=a，则 x= 16 （4 分）已知向量| |=2，| |=3，| + |= ，那么| |= 17 （4 分）已知 ，且满足 ，则 sincos= ；sincos= 18 （4 分）已知函数 若存在 x1，x 2R，x 1x 2，使f（x 1）=f（x 2）成立，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共 4 个小题，40 分，解答应写出文字说明，证明过程或
5、演算步骤19 （10 分）已知全集 U=R，集合 A=xR|2x30，B=x|1x 2，C=xN|1xa（）求 AB；（）若 C 中恰有五个元素，求整数 a 的值；（）若 AC=，求实数 a 的取值范围20 （10 分）已知函数 与 g（x）=cos（2x+） ，它们的图象有一个横坐标为 的交点（）求 的值；（）将 f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，得到 h（x）的图象，若 h（x）的最小正周期为 ，求 的值和 h（x）的单调递增区间21 （10 分）已知函数 f（ x）=kx 2+2x 为奇函数，函数 g（x）=a f（x） 1（a 0，且 a1） （）求实数 k 的值；（）求 g
6、（ x）在1，2上的最小值22 （10 分）已知函数 f（ x） ，定义（）写出函数 F（2x1）的解析式；（）若 F（|xa|）+F（2x1）=0，求实数 a 的值；（）当 时，求 h（x）=cosxF（x +sinx）的零点个数和值域2016-2017 学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （3 分）已知集合 M=xR|x2+2x=0，N= 2，0，则 MN=（ ）A0 B2 C D 2，0，2【解答】解：由题意知，M=xR |x2+2x=0=2，0，又 N=
7、2，0，则 MN=0，故选 A2 （3 分）若一个扇形的弧长是 3，半径是 2，则该扇形的圆心角为（ ）A B C6 D7【解答】解：设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 （rad ） ，半径为 r，由已知可得：l=3，r=2，则由 l=r，可得：= = 故选：B3 （3 分）设 xR，向量 =（3，x） ， =（1，1） ，若 ，则| |=（ ）A6 B4 C D3【解答】解：x R，向量 =（3 ，x） ， =（1，1 ） ， ， =3+x=0，解得 x=3， =（3，3） ，| |= =3 故选：C4 （3 分）二次函数 f（x）=ax 2+bx+1 的最小值为 f（1）=0，则 ab=（
8、）A 2 B1 C1 D3【解答】解：二次函数 f（x ）=ax 2+bx+1 的最小值为 f（1）=0， =1，且 a0，b=2a，f（ 1）=a+b+1=0，解得 a=1，b=2，a b=3，故选：D5 （3 分）设点 O 是平行四边形 ABCD 两条对角线的交点，给出下列向量组： 与 ； 与 ； 与 ； 与 其中可作为该平面其他向量基底的是（ ）A B C D【解答】解：如下图所示： 与 不共线，故可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底； 与 共线，故不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底； 与 不共线，故可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底； 与
9、 共线，故不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；故选：B6 （3 分）已知函数 f（x）=|x1|，则与 y=f（x ）相等的函数是（ ）Ag（x）=x1 BC D【解答】解：对于 A，函数 g（x ）=x 1（x R） ，与函数 f（x）=|x 1|（xR）的对应关系不同，不是相等函数；对于 B，函数 h（x）= =|x1|（x 1） ，与函数 f（x）=|x 1|（x R）的定义域不同，不是相等函数；对于 C，函数 s（x）= =x1（x 1） ，与函数 f（x）=|x1|（x R）的定义域不同，对应关系不同，不是相等函数；对于 D，函数 t（x）= =|x1|（x R）
10、，与函数 f（x）=|x 1|（x R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数故选：D7 （3 分）已知 ， ，c=log 35，则（ ）Acba Bbca Cab c Dcab【解答】解： = ，1 =log34log 35=c，cb a 故选：A8 （3 分）已知函数 ，若 g（x）=f （x）m 为奇函数，则实数 m 的值为（ ）A 3 B2 C2 D3【解答】解：函数 ，g（x）=f （x）m 为奇函数，g （x ）+g（ x）=0，即 2+ m+2 m=0，m=2故选 C9 （3 分）某商场在 2017 年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满 50
11、0 元再减 100 元，如某商品标价 1500 元，则购买该商品的实际付款额为 15000.8200=1000 元设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为 2700 元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（ ）A55% B65% C75% D80%【解答】解：当购买标价为 2700 元的商品时，产品的八折后价格为：27000.8=2160，故实际付款：2160400=1760，故购买某商品的实际折扣率为： 65%，故选：B10 （3 分）将函数 的图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到函数 g（x）的图象，则 g（x）图象的一条对称轴的方程是（ ）A B C D【解答】解：将函数 =
12、cosx 的图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到函数 g（ x）=cos（x+ ）的图象，令 x+ =k，求得 x=k ，k Z，则 g（ x）图象的一条对称轴的方程为 x= ，故选：D11 （3 分）若函数 y=f（ x）的定义域为x|2x3，且 x2，值域为y|1y2，且 y0，则 y=f（x ）的图象可能是（ ）A B C D【解答】解：A当 x=3 时，y=0 ，A 错误B函数的定义域和值域都满足条件，B 正确C由函数的图象可知，在图象中出现了有 2 个函数值 y 和 x 对应的图象，C错误D函数值域中有两个值不存在，函数的值域不满足条件，D 错误故选：B12 （3 分）关于 x
13、 的方程 （a 0，且 a1）解的个数是（ ）A2 B1 C0 D不确定的【解答】解：由题意 ax=x2+2x+a，x 2+2x+a0令 f（x）=a x， g（x）= x2+2x+a，（1）当 a1 时，f（x）=a x 在（ ，+）上单调递增，且 f（0）=1，f（1）=a，g（ x）= x2+2x+a 在0，1 上单调递增，在1 ，+）上单调递减，且 g（0）=a，g （1）=1+a，在0，1上，f （x ）g （ x） ，g （x）在 x0 及 x1 时分别有一个零点，而 f（x）恒大于零，f（ x）与 g（x）的图象在 x0 及 x1 时分别有一个交点，方程有两个解；（2）当 a1
14、时，f（x）=a x 在（ ，+）上单调递减，且 f（0）=1，f（1）=a，g（ x）= x2+2x+a 在0，1 上单调递增，在1 ，+）上单调递减，且 g（0）=a，g （1）=1+a，f（0）g（0） ，f（1）g（1） ，在（0，1）上 f（x ）与 g（x ）有一个交点，又 g（ x）在 x1 时有一个零点，而 f（x）恒大于零，f（ x）与 g（x）的图象在 x1 时还有一个交点，方程有两个解综上所述，方程有两个解故选：A二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分13 （4 分）函数 的定义域为 （，3 【解答】解：函数 ，3 x0，解得 x3，函数 y 的定义域
15、是（，3故答案为：（，314 （4 分）已知角 为第四象限角，且 ，则 sin= ；tan（ ）= 2 【解答】解：角 为第四象限角，且 ，则 sin= = ，tan（ ）=tan= =2 ，故答案为： ；2 15 （4 分）已知 9a=3，lnx=a，则 x= 【解答】解：由 9a=3，3 2a=3，2a=1，a= ，lnx= =ln ，x=故答案为：16 （4 分）已知向量| |=2，| |=3，| + |= ，那么| |= 【解答】解：| |=2，| |=3，| + |= ，所以| + |2=| |2+| |2+2 =7，所以 =3，所以| |2= =4+9+6=19，那么| |= ；故
16、答案为： 17 （4 分）已知 ，且满足 ，则 sincos= ；sincos= 【解答】解： ，且满足 ， + = =8，sincos= ，sin0，cos0，且 sincossincos= = = = ，故答案为： ； 18 （4 分）已知函数 若存在 x1，x 2R，x 1x 2，使f（x 1）=f（x 2）成立，则实数 a 的取值范围是 （ ， ） 【解答】解：当 x0 时， 2x10，当 x0 时，若 a=0，则 f（x）=2 恒成立，满足条件；若 a0，则 f（x ）2 3a，若存在 x1，x 2R，x 1x 2，使 f（x 1）=f（x 2）成立，则 23a0，即 a（0， ）
17、； 若 a0，则 f（x ）2 3a，若存在 x1，x 2R，x 1x 2，使 f（x 1）=f（x 2）成立，则 23a0，即 a（0， ） ； 若 a0，则 f（x ）2 3a，满足条件，综上可得：a（， ） ； 故答案为：（， ）三、解答题：本大题共 4 个小题，40 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤19 （10 分）已知全集 U=R，集合 A=xR|2x30，B=x|1x 2，C=xN|1xa（）求 AB；（）若 C 中恰有五个元素，求整数 a 的值；（）若 AC=，求实数 a 的取值范围【解答】解：（）集合 A=xR|2x30= ，+） ，B=x|1x2=（ 1，2） ，A
18、B=（1，+） ，（）C=x N|1xa，C 中恰有五个元素，则整数 a 的值为 6，（）C=x N|1xa= 1，a） ，A C= ，当 C=时，即 a1 时满足，当 C ，可得 1a2，综上所述 a 的范围为（，220 （10 分）已知函数 与 g（x）=cos（2x+） ，它们的图象有一个横坐标为 的交点（）求 的值；（）将 f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，得到 h（x）的图象，若 h（x）的最小正周期为 ，求 的值和 h（x）的单调递增区间【解答】解：（）函数 与 g（x）=cos（2x +） ，它们的图象有一个横坐标为 的交点，sin =cos（ +） ，即 cos（ +
19、）=0， += ，= （）将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，得到 h（x）=sin（x ） 的图象，若 h（x）的最小正周期为 =，=2，h （x ） =sin（2x） 令 2k 2x2k + ，求得 k x k + ，可得 h（x）的增区间为k ，k+ ，kZ21 （10 分）已知函数 f（ x）=kx 2+2x 为奇函数，函数 g（x）=a f（x） 1（a 0，且 a1） （）求实数 k 的值；（）求 g（ x）在1，2上的最小值【解答】解：（）函数 f（x ）=kx 2+2x 为奇函数，f（ x）= f（x） ，即 kx22x=kx22x，k=0；（）g（x ）=a 2x1
20、，0a 1 ，函数 g（x ）在1，2上单调递减，x=2 时 g（x ）在 1，2上的最小值为 a41；a 1，函数 g（x ）在1 ，2上单调递增，x= 1 时 g（x）在1，2上的最小值为 a2122 （10 分）已知函数 f（ x） ，定义（）写出函数 F（2x1）的解析式；（）若 F（|xa|）+F（2x1）=0，求实数 a 的值；（）当 时，求 h（x）=cosxF（x +sinx）的零点个数和值域【解答】解：（）定义 ，当 2x1x，可得 x1，则 F（2x 1）=1 ；当 2x1=x，可得 x=1，则 F（2x 1）=0；当 2x1x，可得 x1，则 F（2x 1）= 1；可得
21、F（2x1）= ；（）当 x1 时，F（2x1）=1，F（|xa|）=1，即有|xa|x 恒成立，即为 a22ax 在 x1 恒成立，即有 a22a ，解得 0a2；当 x=1 时，F （2x 1）=0 ， F（|x a|）=0 ，可得|1a |=1，解得 a=0 或 2；当 x1 时，F（2x1）=1，F（|x a|）=1 ，即有|xa|x 恒成立，即为 a22ax 在 x1 恒成立，即有 a22a ，解得 a2 或 a0；则 a 的值为 0 或 2；（）当 时，h（x）=cosxF（x+sinx）=0 ，可得 cosx=0 或 F（x +sinx）=0，即有 x= ； x+sinx=x，即 sinx=0，解得 x=，则 h（x）的零点个数为 2；当 x+sinxx，即 x 时，h（x）=cosx （ 1， ；当 x+sinx=x，即 x= 时，h （x ）=0；当 x+sinxx，即 x 时，h（x）= cosx ，1） 综上可得，h（x）的值域为（ 1，1）