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2016-2017学年北京市东城区高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

1、2016-2017 学年北京市东城区高一(上)期末数学试卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1 (3 分)已知集合 M=xR|x2+2x=0,N= 2,0,则 MN=( )A0 B2 C D 2,0,22 (3 分)若一个扇形的弧长是 3,半径是 2,则该扇形的圆心角为( )A B C6 D73 (3 分)设 xR,向量 =(3,x) , =(1,1) ,若 ,则| |=( )A6 B4 C D34 (3 分)二次函数 f(x)=ax 2+bx+1 的最小值为 f(1)=0,则 ab=( )A 2 B1 C1 D35

2、(3 分)设点 O 是平行四边形 ABCD 两条对角线的交点,给出下列向量组: 与 ; 与 ; 与 ; 与 其中可作为该平面其他向量基底的是( )A B C D6 (3 分)已知函数 f(x)=|x1|,则与 y=f(x )相等的函数是( )Ag(x)=x1 BC D7 (3 分)已知 , ,c=log 35,则( )Acba Bbca Cab c Dcab8 (3 分)已知函数 ,若 g(x)=f (x)m 为奇函数,则实数 m 的值为( )A 3 B2 C2 D39 (3 分)某商场在 2017 年元旦开展“购物折上折”活动,商场内所有商品先按标价打八折,折后价格每满 500 元再减 10

3、0 元,如某商品标价 1500 元,则购买该商品的实际付款额为 15000.8200=1000 元设购买某商品的实际折扣率=,某人欲购买标价为 2700 元的商品,那么他可以享受的实际折扣率约为( )A55% B65% C75% D80%10 (3 分)将函数 的图象上所有点向左平行移动 个单位长度,得到函数 g(x)的图象,则 g(x)图象的一条对称轴的方程是( )A B C D11 (3 分)若函数 y=f( x)的定义域为x|2x3,且 x2,值域为y|1y2,且 y0,则 y=f(x )的图象可能是( )A B C D12 (3 分)关于 x 的方程 (a 0,且 a1)解的个数是(

4、)A2 B1 C0 D不确定的二、填空题:本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分13 (4 分)函数 的定义域为 14 (4 分)已知角 为第四象限角,且 ,则 sin= ;tan( )= 15 (4 分)已知 9a=3,lnx=a,则 x= 16 (4 分)已知向量| |=2,| |=3,| + |= ,那么| |= 17 (4 分)已知 ,且满足 ,则 sincos= ;sincos= 18 (4 分)已知函数 若存在 x1,x 2R,x 1x 2,使f(x 1)=f(x 2)成立,则实数 a 的取值范围是 三、解答题:本大题共 4 个小题,40 分,解答应写出文字说明,证明过程或

5、演算步骤19 (10 分)已知全集 U=R,集合 A=xR|2x30,B=x|1x 2,C=xN|1xa()求 AB;()若 C 中恰有五个元素,求整数 a 的值;()若 AC=,求实数 a 的取值范围20 (10 分)已知函数 与 g(x)=cos(2x+) ,它们的图象有一个横坐标为 的交点()求 的值;()将 f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的 倍,得到 h(x)的图象,若 h(x)的最小正周期为 ,求 的值和 h(x)的单调递增区间21 (10 分)已知函数 f( x)=kx 2+2x 为奇函数,函数 g(x)=a f(x) 1(a 0,且 a1) ()求实数 k 的值;()求 g

6、( x)在1,2上的最小值22 (10 分)已知函数 f( x) ,定义()写出函数 F(2x1)的解析式;()若 F(|xa|)+F(2x1)=0,求实数 a 的值;()当 时,求 h(x)=cosxF(x +sinx)的零点个数和值域2016-2017 学年北京市东城区高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1 (3 分)已知集合 M=xR|x2+2x=0,N= 2,0,则 MN=( )A0 B2 C D 2,0,2【解答】解:由题意知,M=xR |x2+2x=0=2,0,又 N=

7、2,0,则 MN=0,故选 A2 (3 分)若一个扇形的弧长是 3,半径是 2,则该扇形的圆心角为( )A B C6 D7【解答】解:设扇形的弧长为 l,圆心角大小为 (rad ) ,半径为 r,由已知可得:l=3,r=2,则由 l=r,可得:= = 故选:B3 (3 分)设 xR,向量 =(3,x) , =(1,1) ,若 ,则| |=( )A6 B4 C D3【解答】解:x R,向量 =(3 ,x) , =(1,1 ) , , =3+x=0,解得 x=3, =(3,3) ,| |= =3 故选:C4 (3 分)二次函数 f(x)=ax 2+bx+1 的最小值为 f(1)=0,则 ab=(

8、)A 2 B1 C1 D3【解答】解:二次函数 f(x )=ax 2+bx+1 的最小值为 f(1)=0, =1,且 a0,b=2a,f( 1)=a+b+1=0,解得 a=1,b=2,a b=3,故选:D5 (3 分)设点 O 是平行四边形 ABCD 两条对角线的交点,给出下列向量组: 与 ; 与 ; 与 ; 与 其中可作为该平面其他向量基底的是( )A B C D【解答】解:如下图所示: 与 不共线,故可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底; 与 共线,故不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底; 与 不共线,故可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底; 与

9、 共线,故不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底;故选:B6 (3 分)已知函数 f(x)=|x1|,则与 y=f(x )相等的函数是( )Ag(x)=x1 BC D【解答】解:对于 A,函数 g(x )=x 1(x R) ,与函数 f(x)=|x 1|(xR)的对应关系不同,不是相等函数;对于 B,函数 h(x)= =|x1|(x 1) ,与函数 f(x)=|x 1|(x R)的定义域不同,不是相等函数;对于 C,函数 s(x)= =x1(x 1) ,与函数 f(x)=|x1|(x R)的定义域不同,对应关系不同,不是相等函数;对于 D,函数 t(x)= =|x1|(x R)

10、,与函数 f(x)=|x 1|(x R)的定义域相同,对应关系也相同,是相等函数故选:D7 (3 分)已知 , ,c=log 35,则( )Acba Bbca Cab c Dcab【解答】解: = ,1 =log34log 35=c,cb a 故选:A8 (3 分)已知函数 ,若 g(x)=f (x)m 为奇函数,则实数 m 的值为( )A 3 B2 C2 D3【解答】解:函数 ,g(x)=f (x)m 为奇函数,g (x )+g( x)=0,即 2+ m+2 m=0,m=2故选 C9 (3 分)某商场在 2017 年元旦开展“购物折上折”活动,商场内所有商品先按标价打八折,折后价格每满 50

11、0 元再减 100 元,如某商品标价 1500 元,则购买该商品的实际付款额为 15000.8200=1000 元设购买某商品的实际折扣率=,某人欲购买标价为 2700 元的商品,那么他可以享受的实际折扣率约为( )A55% B65% C75% D80%【解答】解:当购买标价为 2700 元的商品时,产品的八折后价格为:27000.8=2160,故实际付款:2160400=1760,故购买某商品的实际折扣率为: 65%,故选:B10 (3 分)将函数 的图象上所有点向左平行移动 个单位长度,得到函数 g(x)的图象,则 g(x)图象的一条对称轴的方程是( )A B C D【解答】解:将函数 =

12、cosx 的图象上所有点向左平行移动 个单位长度,得到函数 g( x)=cos(x+ )的图象,令 x+ =k,求得 x=k ,k Z,则 g( x)图象的一条对称轴的方程为 x= ,故选:D11 (3 分)若函数 y=f( x)的定义域为x|2x3,且 x2,值域为y|1y2,且 y0,则 y=f(x )的图象可能是( )A B C D【解答】解:A当 x=3 时,y=0 ,A 错误B函数的定义域和值域都满足条件,B 正确C由函数的图象可知,在图象中出现了有 2 个函数值 y 和 x 对应的图象,C错误D函数值域中有两个值不存在,函数的值域不满足条件,D 错误故选:B12 (3 分)关于 x

13、 的方程 (a 0,且 a1)解的个数是( )A2 B1 C0 D不确定的【解答】解:由题意 ax=x2+2x+a,x 2+2x+a0令 f(x)=a x, g(x)= x2+2x+a,(1)当 a1 时,f(x)=a x 在( ,+)上单调递增,且 f(0)=1,f(1)=a,g( x)= x2+2x+a 在0,1 上单调递增,在1 ,+)上单调递减,且 g(0)=a,g (1)=1+a,在0,1上,f (x )g ( x) ,g (x)在 x0 及 x1 时分别有一个零点,而 f(x)恒大于零,f( x)与 g(x)的图象在 x0 及 x1 时分别有一个交点,方程有两个解;(2)当 a1

14、时,f(x)=a x 在( ,+)上单调递减,且 f(0)=1,f(1)=a,g( x)= x2+2x+a 在0,1 上单调递增,在1 ,+)上单调递减,且 g(0)=a,g (1)=1+a,f(0)g(0) ,f(1)g(1) ,在(0,1)上 f(x )与 g(x )有一个交点,又 g( x)在 x1 时有一个零点,而 f(x)恒大于零,f( x)与 g(x)的图象在 x1 时还有一个交点,方程有两个解综上所述,方程有两个解故选:A二、填空题:本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分13 (4 分)函数 的定义域为 (,3 【解答】解:函数 ,3 x0,解得 x3,函数 y 的定义域

15、是(,3故答案为:(,314 (4 分)已知角 为第四象限角,且 ,则 sin= ;tan( )= 2 【解答】解:角 为第四象限角,且 ,则 sin= = ,tan( )=tan= =2 ,故答案为: ;2 15 (4 分)已知 9a=3,lnx=a,则 x= 【解答】解:由 9a=3,3 2a=3,2a=1,a= ,lnx= =ln ,x=故答案为:16 (4 分)已知向量| |=2,| |=3,| + |= ,那么| |= 【解答】解:| |=2,| |=3,| + |= ,所以| + |2=| |2+| |2+2 =7,所以 =3,所以| |2= =4+9+6=19,那么| |= ;故

16、答案为: 17 (4 分)已知 ,且满足 ,则 sincos= ;sincos= 【解答】解: ,且满足 , + = =8,sincos= ,sin0,cos0,且 sincossincos= = = = ,故答案为: ; 18 (4 分)已知函数 若存在 x1,x 2R,x 1x 2,使f(x 1)=f(x 2)成立,则实数 a 的取值范围是 ( , ) 【解答】解:当 x0 时, 2x10,当 x0 时,若 a=0,则 f(x)=2 恒成立,满足条件;若 a0,则 f(x )2 3a,若存在 x1,x 2R,x 1x 2,使 f(x 1)=f(x 2)成立,则 23a0,即 a(0, )

17、; 若 a0,则 f(x )2 3a,若存在 x1,x 2R,x 1x 2,使 f(x 1)=f(x 2)成立,则 23a0,即 a(0, ) ; 若 a0,则 f(x )2 3a,满足条件,综上可得:a(, ) ; 故答案为:(, )三、解答题:本大题共 4 个小题,40 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤19 (10 分)已知全集 U=R,集合 A=xR|2x30,B=x|1x 2,C=xN|1xa()求 AB;()若 C 中恰有五个元素,求整数 a 的值;()若 AC=,求实数 a 的取值范围【解答】解:()集合 A=xR|2x30= ,+) ,B=x|1x2=( 1,2) ,A

18、B=(1,+) ,()C=x N|1xa,C 中恰有五个元素,则整数 a 的值为 6,()C=x N|1xa= 1,a) ,A C= ,当 C=时,即 a1 时满足,当 C ,可得 1a2,综上所述 a 的范围为(,220 (10 分)已知函数 与 g(x)=cos(2x+) ,它们的图象有一个横坐标为 的交点()求 的值;()将 f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的 倍,得到 h(x)的图象,若 h(x)的最小正周期为 ,求 的值和 h(x)的单调递增区间【解答】解:()函数 与 g(x)=cos(2x +) ,它们的图象有一个横坐标为 的交点,sin =cos( +) ,即 cos( +

19、)=0, += ,= ()将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍,得到 h(x)=sin(x ) 的图象,若 h(x)的最小正周期为 =,=2,h (x ) =sin(2x) 令 2k 2x2k + ,求得 k x k + ,可得 h(x)的增区间为k ,k+ ,kZ21 (10 分)已知函数 f( x)=kx 2+2x 为奇函数,函数 g(x)=a f(x) 1(a 0,且 a1) ()求实数 k 的值;()求 g( x)在1,2上的最小值【解答】解:()函数 f(x )=kx 2+2x 为奇函数,f( x)= f(x) ,即 kx22x=kx22x,k=0;()g(x )=a 2x1

20、,0a 1 ,函数 g(x )在1,2上单调递减,x=2 时 g(x )在 1,2上的最小值为 a41;a 1,函数 g(x )在1 ,2上单调递增,x= 1 时 g(x)在1,2上的最小值为 a2122 (10 分)已知函数 f( x) ,定义()写出函数 F(2x1)的解析式;()若 F(|xa|)+F(2x1)=0,求实数 a 的值;()当 时,求 h(x)=cosxF(x +sinx)的零点个数和值域【解答】解:()定义 ,当 2x1x,可得 x1,则 F(2x 1)=1 ;当 2x1=x,可得 x=1,则 F(2x 1)=0;当 2x1x,可得 x1,则 F(2x 1)= 1;可得

21、F(2x1)= ;()当 x1 时,F(2x1)=1,F(|xa|)=1,即有|xa|x 恒成立,即为 a22ax 在 x1 恒成立,即有 a22a ,解得 0a2;当 x=1 时,F (2x 1)=0 , F(|x a|)=0 ,可得|1a |=1,解得 a=0 或 2;当 x1 时,F(2x1)=1,F(|x a|)=1 ,即有|xa|x 恒成立,即为 a22ax 在 x1 恒成立,即有 a22a ,解得 a2 或 a0;则 a 的值为 0 或 2;()当 时,h(x)=cosxF(x+sinx)=0 ,可得 cosx=0 或 F(x +sinx)=0,即有 x= ; x+sinx=x,即 sinx=0,解得 x=,则 h(x)的零点个数为 2;当 x+sinxx,即 x 时,h(x)=cosx ( 1, ;当 x+sinx=x,即 x= 时,h (x )=0;当 x+sinxx,即 x 时,h(x)= cosx ,1) 综上可得,h(x)的值域为( 1,1)