1、2016-2017 学年广东省 XX 中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）函数 f（x ）=log （2x1） 的定义域是（ ）A （ ，+） B （ ， 1）（1，+） C （ ，+） D （ ，1）（1，+）2 （5 分）直线 x+2ay1=0 与（a1）xay+1=0 平行，则 a 的值为（ ）A B 或 0 C0 D 2 或 03 （5 分）设 f（x ）是定义在 R 上单调递减的奇函数，若x1+x2 0，x 2+x30，x 3+x10，则（ ）Af （x 1）+f（x
2、 2）+f （x 3）0 Bf（x 1）+f（x 2） +f（x 3）0C f（ x1）+f（x 2）+f（x 3）=0 Df（x 1）+f（x 2）f（x 3）4 （5 分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形，则原平面图形的面积为（ ）A a2 Ba 2 C2 a2 D2a 25 （5 分）设 、 为三个不同的平面，m、n 是两条不同的直线，在命题“=m ，n ，且_，则 mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题，n ；m，n；n ，m 可以填入的条件有（ ）A或 B或 C或 D或或6 （5 分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与
3、左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（ ）A17 B C D187 （5 分）如图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 为 A1D1 的中点，Q为 A1B1 上任意一点，E、F 为 CD 上两点，且 EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）A点 P 到平面 QEF 的距离 B直线 PQ 与平面 PEF 所成的角C三棱锥 PQEF 的体积 DQEF 的面积8 （5 分）如图，在三棱锥 PABC 中，APB=BPC=APC=90，O 在ABC 内，OPC=45，OPA=60，则OPB 的余弦值为（ ）A B C D9 （5 分）已知函数 +2，则关于 x 的
4、不等式 f（3x+1）+f （x ）4 的解集为（ ）A （ ，+） B （ ，+） C （ ，+） D （ ，+）10 （5 分）当 0x 时，4 xlog ax，则 a 的取值范围是（ ）A （0 ， ） B （ ， 1） C （1， ） D （ ，2）11 （5 分）已知函数 f（ x）=x 2+ex （x0）与 g（x）=x 2+ln（x+a）图象上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（ ）A （ ， ） B （ ， ） C （ ， ） D （， ）12 （5 分）若 x1 满足 2x+2x=5，x 2 满足 2x+2log2（x1）=5，x 1+x2=（ ）A B3 C D
5、4二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知函数 f（ x）= （a0） ，若 x1+x2=1，则 f（x 1）+f（x 2）= ，并求出 = 14 （5 分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为 15 （5 分）点 M（x 1，y 1）在函数 y=2x+8 的图象上，当 x12，5时，则的取值范围16 （5 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，ADPD，BC=1，PC=2 ，PD=CD=2，则二面角 APBC 的正切值为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （12 分
6、）过点（3，2）的直线 l 与 x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于A，B 两点，当AOB 的面积最小时，求直线 l 的方程及AOB 面积18 （12 分）已知一四棱锥 PABCD 的三视图如图所示，E 是侧棱 PC 上的动点（）求四棱锥 PABCD 的体积（）若点 E 为 PC 的中点，ACBD=O，求证：EO平面 PAD；（）是否不论点 E 在何位置，都有 BDAE ？证明你的结论19 （10 分）设直线 l 的方程为（a+1）x +y+2a=0（a R） （1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程；（2）若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围20 （12 分）如图，在
7、棱长为 1 的正方体中，P 是侧棱 CC1 上的一点，CP=m（1）试确定 m，使直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 ；（2）在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q，使得对任意的 m，D 1Q 在平面 APD1上的射影垂直于 AP，并证明你的结论21 （12 分）已知平行四边形 ABCD（如图 1） ，AB=4，AD=2 ，DAB=60，E 为AB 的中点，把三角形 ADE 沿 DE 折起至 A1DE 位置，使得 A1C=4，F 是线段 A1C的中点（如图 2） （1）求证：BF面 A1DE；（2）求证：面 A1DE面 DEBC；（3）求二面角 A1DCE 的正切值22 （1
8、2 分）已知函数 g（x）=ax 22ax+1+b（a0， b1） ，在区间2，3 上有最大值 4，最小值 1，设 f（x ）= （1）求 a，b 的值；（2）不等式 f（2 x）k2 x0 在 x1，1上恒成立，求实数 k 的取值范围；（3）方程 f（|2 x1|）+k（ 3）有三个不同的实数解，求实数 k 的取值范围参考答案与试题解析一、选择题：本大题 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）函数 f（x ）=log （2x1） 的定义域是（ ）A （ ，+） B （ ， 1）（1，+） C （ ，+） D （ ，1）（1
9、，+）【解答】解：由 ，解得 x 且 x1函数 f（x ）=log （2x 1） 的定义域是（ ，1）（1，+） 故选：B2 （5 分）直线 x+2ay1=0 与（a1）xay+1=0 平行，则 a 的值为（ ）A B 或 0 C0 D 2 或 0【解答】解：当 a=0 时，两直线重合；当 a0 时，由 ，解得 a= ，综合可得，a= ，故选：A3 （5 分）设 f（x ）是定义在 R 上单调递减的奇函数，若x1+x2 0，x 2+x30，x 3+x10，则（ ）Af （x 1）+f（x 2）+f （x 3）0 Bf（x 1）+f（x 2） +f（x 3）0C f（ x1）+f（x 2）+f（
10、x 3）=0 Df（x 1）+f（x 2）f（x 3）【解答】解：x 1+x20，x 2+x30，x 3+x10，x 1x 2，x 2x 3，x 3x 1，又 f（x）是定义在 R 上单调递减的奇函数，f（ x1）f （x 2）=f（x 2） ，f（x 2）f（ x3）= f（x 3） ，f （x 3）f （ x1）=f（x 1） ，f（ x1）+f（ x2）0，f （ x2）+f （x 3）0，f （x 3）+f（x 1）0，三式相加整理得 f（x 1）+f（x 2）+f（x 3）0故选 B4 （5 分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形，则原平面图形的面积为（
11、 ）A a2 Ba 2 C2 a2 D2a 2【解答】解：由斜二测画法的规则知与 x轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在 y轴上，可求得其长度为 a，故在平面图中其在 y 轴上，且其长度变为原来的 2 倍，长度为 2 a，原平面图形的面积为 =故选：C5 （5 分）设 、 为三个不同的平面，m、n 是两条不同的直线，在命题“=m ，n ，且_，则 mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题，n ；m，n；n ，m 可以填入的条件有（ ）A或 B或 C或 D或或【解答】解：由面面平行的性质定理可知，正确；当 n，m 时，n 和 m 在同一平面内，且没有公
12、共点，所以平行，正确故选 A6 （5 分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（ ）A17 B C D18【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，棱台的上下底面的棱长为 2 和 4，故棱台的上下底面的面积为 4 和 16，侧高为 ，故棱台的高 h= =2，故棱台的体积为： = ，棱锥的底面是棱台上底面的一半，故底面面积为 2，高为 2，故棱锥的体积为： 22= ，故组合体的体积 V= = ，故选：B7 （5 分）如图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 为 A1D1 的中点，
13、Q为 A1B1 上任意一点，E、F 为 CD 上两点，且 EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）A点 P 到平面 QEF 的距离 B直线 PQ 与平面 PEF 所成的角C三棱锥 PQEF 的体积 DQEF 的面积【解答】解：A平面 QEF 即为对角面 A1B1CD，点 P 为 A1D1 的中点，点 P到平面 QEF 即到对角面 A1B1CD 的距离= 为定值；D点 Q 到直线 CD 的距离是定值 a，|EF|为定值，QEF 的面积=为定值；C由 AD 可知：三棱锥 PQEF 的体积为定值；B直线 PQ 与平面 PEF 所成的角与点 Q 的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出
14、综上可得：只有 B 中的值不是定值故选：B8 （5 分）如图，在三棱锥 PABC 中，APB=BPC=APC=90，O 在ABC 内，OPC=45，OPA=60，则OPB 的余弦值为（ ）A B C D【解答】解：已知如图所示：过 O 做平面 PBA 的垂线，交平面 PBC 于 Q，连接PQ则OPQ=90 45=45cosOPA=cosQPA cosOPQ，cosQPA= ，QPA=45 ，QPB=45cosOPB=cosOPQ cosQPB= 故选 C9 （5 分）已知函数 +2，则关于 x 的不等式 f（3x+1）+f （x ）4 的解集为（ ）A （ ，+） B （ ，+） C （ ，+
15、） D （ ，+）【解答】解：设 g（x）=2016 x+log2016（ +x）2016 x，g（ x）=2016 x+log2016（ +x） 2016x+=g（x） ；g（x ）=2016 xln2016+ +2016xln20160；g （x）在 R 上单调递增；由 f（ 3x+1）+f （x ）4 得，g（3x+1）+2 +g（x ）+24；g （3x +1）g （x） ；3x+1x；解得 x ；原不等式的解集为（ ，+） 故选：D10 （5 分）当 0x 时，4 xlog ax，则 a 的取值范围是（ ）A （0 ， ） B （ ， 1） C （1， ） D （ ，2）【解答】解：
16、0x 时，1 4 x2要使 4xlog ax，由对数函数的性质可得 0a1，数形结合可知只需 2log ax，即 对 0x 时恒成立解得 a1故选 B11 （5 分）已知函数 f（ x）=x 2+ex （x0）与 g（x）=x 2+ln（x+a）图象上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（ ）A （ ， ） B （ ， ） C （ ， ） D （， ）【解答】解：由题意，存在 x0，使 f（x）g（x ）=0，即 ex ln（x+a）=0 在（，0）上有解，令 m（x ）=e x ln（x+a） ，则 m（x ）=e x ln（x+a）在其定义域上是增函数，且 x时，m （x）0，若
17、 a0 时，xa 时，m（x ）0，故 ex ln（x+a）=0 在（，0）上有解，若 a0 时，则 ex ln（x+a）=0 在（，0）上有解可化为e0 ln（a）0，即 lna ，故 0a 综上所述，a（， ） 故选：C12 （5 分）若 x1 满足 2x+2x=5，x 2 满足 2x+2log2（x1）=5，x 1+x2=（ ）A B3 C D4【解答】解：由题意 2x2+2log2（x 21）=5 所以 ，x1=log2（52x 1） 即 2x1=2log2（5 2x1）令 2x1=72t，代入上式得 72t=2log2（2t2）=2+2log 2（t 1）5 2t=2log2（t1）
18、与式比较得 t=x2于是 2x1=72x2即 x1+x2=故选 C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知函数 f（ x）= （a0） ，若 x1+x2=1，则 f（x 1）+f（x 2）= 1 ，并求出 = 【解答】解：函数 f（x ）= （a0） ，x 1+x2=1，f（ x1）+f（ x2）=f（x 1）+f（1 x1）= += += =1， =1007+f（ ）=1007+ = 故答案为：1， 14 （5 分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为 16+2 【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如
19、下图所示：E 和 F 分别是 AB 和 CD 中点，作 EMAD，连接 PM，且 PD=PC，由三视图得，PE底面 ABCD，AB=4，CD=2，PEEF=2在直角三角形PEF 中， PF= =2 ，在直角三角形DEF 中，DE= = ，同理在直角梯形 ADEF 中，AD= ，根据AED 的面积相等得， ADME= AEEF，解得 ME= ，PE底面 ABCD，EM AD，PMAD，PEME，在直角三角形PME 中，PM= = ，该四棱锥的表面积 S= （4+2）2+ 42+ 22 +2 =16+2 故答案为：16+2 15 （5 分）点 M（x 1，y 1）在函数 y=2x+8 的图象上，当
20、 x12，5时，则的取值范围【解答】解：当 x12，5 时，可得 A（2，4） ，B（5， 2） 设 P（ 1，1） ，则 kPA= = ，k PB= = ， 的取值范围是 16 （5 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，ADPD，BC=1，PC=2 ，PD=CD=2，则二面角 APBC 的正切值为 【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，过 D 作平面 ABCD 的垂直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，在PDC 中，由于 PD=CD=2，PC=2 ，可得PCD=30，P 到平面 ABCD 的距离为 PCsin30= A（1，0 ， 0） ，P（
21、0，1， ） ，B （1，2，0） ，C（0，2，0） ，=（1，1， ） ， =（ 1，3， ） ， =（0，3， ） ，设平面 PAB 的法向量 =（x ，y，z） ，则 ，取 z=1，得 =（ ） ，设平面 PBC 的法向量 =（ a，b，c） ，则 ，取 c= ，得 =（2，1， ） ，设二面角 APBC 的平面角为 ，则 cos= = = ，sin= = ，tan= = 二面角 APBC 的正切值为 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （12 分）过点（3，2）的直线 l 与 x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于A
22、，B 两点，当AOB 的面积最小时，求直线 l 的方程及AOB 面积【解答】解：设 A（a，0） ，B （0，b） ，则直线 l 的方程为： + =1把点 P（3 ，2）代入可得： + =1 （a，b 0） 12 ，化为 ab 24，当且仅当 a=6，b=4 时取等号S AOB = ab12，l 的方程为： + =1，即 4x+6y24=018 （12 分）已知一四棱锥 PABCD 的三视图如图所示，E 是侧棱 PC 上的动点（）求四棱锥 PABCD 的体积（）若点 E 为 PC 的中点，ACBD=O，求证：EO平面 PAD；（）是否不论点 E 在何位置，都有 BDAE ？证明你的结论【解答】
23、 （）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PC底面 ABCD，且 PC=2（1 分）V PABCD= SABCDPC= （3 分）（）证明：E、O 分别为 PC、BD 中点EOPA ，（4 分）又 EO平面 PAD，PA 平面 PAD（6 分）EO平面 PAD （7 分）（）不论点 E 在何位置，都有 BDAE ， （8 分）证明如下：ABCD 是正方形，BDAC，（9 分）PC底面 ABCD 且 BD平面 ABCD，BDPC，（10 分）又ACPC=C，BD平面 PAC， （11 分）不论点 E 在何位置，都有 AE平面 PAC，不论点 E
24、在何位置，都有 BDAE （12 分）19 （10 分）设直线 l 的方程为（a+1）x +y+2a=0（a R） （1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程；（2）若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）令 x=0，得 y=a2 令 y=0，得 （a 1） l 在两坐标轴上的截距相等， ，解之，得 a=2 或 a=0所求的直线 l 方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0（2）直线 l 的方程可化为 y=（a+1）x+a2l 不过第二象限， ，a1a 的取值范围为（ ，120 （12 分）如图，在棱长为 1 的正方体中，P 是侧棱 CC1 上的一点，CP=m
25、（1）试确定 m，使直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 ；（2）在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q，使得对任意的 m，D 1Q 在平面 APD1上的射影垂直于 AP，并证明你的结论【解答】解：（1）连 AC，设 AC 与 BD 相交于点 O，AP 与平面 BDD1B1 相交于点 G，连接 OG，因为 PC平面 BDD1B1，平面 BDD1B1平面 APC=OG，故 OGPC，所以，OG= PC= 又 AOBD， AOBB 1，所以 AO平面 BDD1B1，故AGO 是 AP 与平面 BDD1B1 所成的角在 RtAOG 中，tanAGO= ，即 m= 所以，当 m= 时，
26、直线 AP 与平面 BDD1B1 所成的角的正切值为 4 （2）可以推测，点 Q 应当是 AICI 的中点，当是中点时因为 D1O1A 1C1，且 D1O1A 1A，A 1C1A 1A=A1，所以 D1O1平面 ACC1A1，又 AP平面 ACC1A1，故 D1O1AP 那么根据三垂线定理知，D 1O1 在平面 APD1 的射影与 AP 垂直21 （12 分）已知平行四边形 ABCD（如图 1） ，AB=4，AD=2 ，DAB=60，E 为AB 的中点，把三角形 ADE 沿 DE 折起至 A1DE 位置，使得 A1C=4，F 是线段 A1C的中点（如图 2） （1）求证：BF面 A1DE；（2
27、）求证：面 A1DE面 DEBC；（3）求二面角 A1DCE 的正切值【解答】解：（1）证明：如图，取 DA1 的中点 G，连 FG，GE；F 为 A1C 中点；GFDC ，且 ；四边形 BFGE 是平行四边形；BFEG，EG平面 A1DE，BF平面 A1DE；BF平面 A1DE；（2）证明：如图，取 DE 的中点 H，连接 A1H，CH；AB=4，AD=2，DAB=60，E 为 AB 的中点；DAE 为等边三角形，即折叠后DA 1E 也为等边三角形；A 1HDE，且 ；在DHC 中， DH=1，DC=4，HDC=60；根据余弦定理，可得：HC2=1+164=13，在A 1HC 中， ， ，A
28、 1C=4； ，即 A1HHC，DE HC=H；A 1H面 DEBC；又 A1H面 A1DE；面 A1DE面 DEBC；（3）如上图，过 H 作 HODC 于 O，连接 A1O；A1H面 DEBC；A 1HDC ，A 1HHO=H；DC面 A1HO；DCA 1O，DCHO ；A 1OH 是二面角 A1DCE 的平面角；在 RtA 1HO 中， ， ；故 tan ；所以二面角 A1DCE 的正切值为 222 （12 分）已知函数 g（x）=ax 22ax+1+b（a0， b1） ，在区间2，3 上有最大值 4，最小值 1，设 f（x ）= （1）求 a，b 的值；（2）不等式 f（2 x）k2
29、x0 在 x1，1上恒成立，求实数 k 的取值范围；（3）方程 f（|2 x1|）+k（ 3）有三个不同的实数解，求实数 k 的取值范围【解答】附加题：（本题共 10 分）解：（1）g（ x）=a（x1） 2+1+ba，当 a0 时，g （x ）在2，3上为增函数，故 ，可得 ， 当 a0 时，g （x ）在2，3上为减函数故 可得 可得 ，b1a=1，b=0即 g（ x）=x 22x+1f（x）=x+ 2（3 分）（2）方程 f（2 x）k2 x0 化为 2x+ 2k2 x，k1 + 令 =t，k t22t+1，x1，1， t ，记 （t ）=t 22t+1，（t） min=0，k0（6 分）（3）由 f（|2 x1|）+k（ 3）=0得|2 x1|+ （2+3k）=0 ，|2x1|2（2+3k）|2 x1|+（1+2k）=0 ，|2 x1|0，令|2 x1|=t，则方程化为 t2（2+3k）t+（1+2k ）=0（ t0） ，方程|2 x1|+ （2+3k）=0 有三个不同的实数解，由 t=|2x1|的图象（如右图）知，t2（ 2+3k）t+（1+2k）=0 有两个根 t1、t 2，且 0t 11t 2 或 0t 11，t 2=1，记 （t ）=t 2（2+3k ）t +（ 1+2k） ，则 或 k0（10 分）