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2016-2017学年广东省xx中学高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

1、2016-2017 学年广东省 XX 中学高一(上)期末数学试卷一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)函数 f(x )=log (2x1) 的定义域是( )A ( ,+) B ( , 1)(1,+) C ( ,+) D ( ,1)(1,+)2 (5 分)直线 x+2ay1=0 与(a1)xay+1=0 平行,则 a 的值为( )A B 或 0 C0 D 2 或 03 (5 分)设 f(x )是定义在 R 上单调递减的奇函数,若x1+x2 0,x 2+x30,x 3+x10,则( )Af (x 1)+f(x

2、 2)+f (x 3)0 Bf(x 1)+f(x 2) +f(x 3)0C f( x1)+f(x 2)+f(x 3)=0 Df(x 1)+f(x 2)f(x 3)4 (5 分)如图,一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形,则原平面图形的面积为( )A a2 Ba 2 C2 a2 D2a 25 (5 分)设 、 为三个不同的平面,m、n 是两条不同的直线,在命题“=m ,n ,且_,则 mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题,n ;m,n;n ,m 可以填入的条件有( )A或 B或 C或 D或或6 (5 分)已知一空间几何体的三视图如题图所示,其中正视图与

3、左视图都是全等的等腰梯形,则该几何体的体积为( )A17 B C D187 (5 分)如图,在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,P 为 A1D1 的中点,Q为 A1B1 上任意一点,E、F 为 CD 上两点,且 EF 的长为定值,则下面四个值中不是定值的是( )A点 P 到平面 QEF 的距离 B直线 PQ 与平面 PEF 所成的角C三棱锥 PQEF 的体积 DQEF 的面积8 (5 分)如图,在三棱锥 PABC 中,APB=BPC=APC=90,O 在ABC 内,OPC=45,OPA=60,则OPB 的余弦值为( )A B C D9 (5 分)已知函数 +2,则关于 x 的

4、不等式 f(3x+1)+f (x )4 的解集为( )A ( ,+) B ( ,+) C ( ,+) D ( ,+)10 (5 分)当 0x 时,4 xlog ax,则 a 的取值范围是( )A (0 , ) B ( , 1) C (1, ) D ( ,2)11 (5 分)已知函数 f( x)=x 2+ex (x0)与 g(x)=x 2+ln(x+a)图象上存在关于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是( )A ( , ) B ( , ) C ( , ) D (, )12 (5 分)若 x1 满足 2x+2x=5,x 2 满足 2x+2log2(x1)=5,x 1+x2=( )A B3 C D

5、4二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13 (5 分)已知函数 f( x)= (a0) ,若 x1+x2=1,则 f(x 1)+f(x 2)= ,并求出 = 14 (5 分)如图所示几何体的三视图,则该几何体的表面积为 15 (5 分)点 M(x 1,y 1)在函数 y=2x+8 的图象上,当 x12,5时,则的取值范围16 (5 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,ADPD,BC=1,PC=2 ,PD=CD=2,则二面角 APBC 的正切值为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 (12 分

6、)过点(3,2)的直线 l 与 x 轴的正半轴,y 轴的正半轴分别交于A,B 两点,当AOB 的面积最小时,求直线 l 的方程及AOB 面积18 (12 分)已知一四棱锥 PABCD 的三视图如图所示,E 是侧棱 PC 上的动点()求四棱锥 PABCD 的体积()若点 E 为 PC 的中点,ACBD=O,求证:EO平面 PAD;()是否不论点 E 在何位置,都有 BDAE ?证明你的结论19 (10 分)设直线 l 的方程为(a+1)x +y+2a=0(a R) (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程;(2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围20 (12 分)如图,在

7、棱长为 1 的正方体中,P 是侧棱 CC1 上的一点,CP=m(1)试确定 m,使直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 ;(2)在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q,使得对任意的 m,D 1Q 在平面 APD1上的射影垂直于 AP,并证明你的结论21 (12 分)已知平行四边形 ABCD(如图 1) ,AB=4,AD=2 ,DAB=60,E 为AB 的中点,把三角形 ADE 沿 DE 折起至 A1DE 位置,使得 A1C=4,F 是线段 A1C的中点(如图 2) (1)求证:BF面 A1DE;(2)求证:面 A1DE面 DEBC;(3)求二面角 A1DCE 的正切值22 (1

8、2 分)已知函数 g(x)=ax 22ax+1+b(a0, b1) ,在区间2,3 上有最大值 4,最小值 1,设 f(x )= (1)求 a,b 的值;(2)不等式 f(2 x)k2 x0 在 x1,1上恒成立,求实数 k 的取值范围;(3)方程 f(|2 x1|)+k( 3)有三个不同的实数解,求实数 k 的取值范围参考答案与试题解析一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)函数 f(x )=log (2x1) 的定义域是( )A ( ,+) B ( , 1)(1,+) C ( ,+) D ( ,1)(1

9、,+)【解答】解:由 ,解得 x 且 x1函数 f(x )=log (2x 1) 的定义域是( ,1)(1,+) 故选:B2 (5 分)直线 x+2ay1=0 与(a1)xay+1=0 平行,则 a 的值为( )A B 或 0 C0 D 2 或 0【解答】解:当 a=0 时,两直线重合;当 a0 时,由 ,解得 a= ,综合可得,a= ,故选:A3 (5 分)设 f(x )是定义在 R 上单调递减的奇函数,若x1+x2 0,x 2+x30,x 3+x10,则( )Af (x 1)+f(x 2)+f (x 3)0 Bf(x 1)+f(x 2) +f(x 3)0C f( x1)+f(x 2)+f(

10、x 3)=0 Df(x 1)+f(x 2)f(x 3)【解答】解:x 1+x20,x 2+x30,x 3+x10,x 1x 2,x 2x 3,x 3x 1,又 f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数,f( x1)f (x 2)=f(x 2) ,f(x 2)f( x3)= f(x 3) ,f (x 3)f ( x1)=f(x 1) ,f( x1)+f( x2)0,f ( x2)+f (x 3)0,f (x 3)+f(x 1)0,三式相加整理得 f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)0故选 B4 (5 分)如图,一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形,则原平面图形的面积为(

11、 )A a2 Ba 2 C2 a2 D2a 2【解答】解:由斜二测画法的规则知与 x轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变,正方形对角线在 y轴上,可求得其长度为 a,故在平面图中其在 y 轴上,且其长度变为原来的 2 倍,长度为 2 a,原平面图形的面积为 =故选:C5 (5 分)设 、 为三个不同的平面,m、n 是两条不同的直线,在命题“=m ,n ,且_,则 mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题,n ;m,n;n ,m 可以填入的条件有( )A或 B或 C或 D或或【解答】解:由面面平行的性质定理可知,正确;当 n,m 时,n 和 m 在同一平面内,且没有公

12、共点,所以平行,正确故选 A6 (5 分)已知一空间几何体的三视图如题图所示,其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形,则该几何体的体积为( )A17 B C D18【解答】解:由已知中的三视图,可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体,棱台的上下底面的棱长为 2 和 4,故棱台的上下底面的面积为 4 和 16,侧高为 ,故棱台的高 h= =2,故棱台的体积为: = ,棱锥的底面是棱台上底面的一半,故底面面积为 2,高为 2,故棱锥的体积为: 22= ,故组合体的体积 V= = ,故选:B7 (5 分)如图,在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,P 为 A1D1 的中点,

13、Q为 A1B1 上任意一点,E、F 为 CD 上两点,且 EF 的长为定值,则下面四个值中不是定值的是( )A点 P 到平面 QEF 的距离 B直线 PQ 与平面 PEF 所成的角C三棱锥 PQEF 的体积 DQEF 的面积【解答】解:A平面 QEF 即为对角面 A1B1CD,点 P 为 A1D1 的中点,点 P到平面 QEF 即到对角面 A1B1CD 的距离= 为定值;D点 Q 到直线 CD 的距离是定值 a,|EF|为定值,QEF 的面积=为定值;C由 AD 可知:三棱锥 PQEF 的体积为定值;B直线 PQ 与平面 PEF 所成的角与点 Q 的位置有关系,因此不是定值,或用排除法即可得出

14、综上可得:只有 B 中的值不是定值故选:B8 (5 分)如图,在三棱锥 PABC 中,APB=BPC=APC=90,O 在ABC 内,OPC=45,OPA=60,则OPB 的余弦值为( )A B C D【解答】解:已知如图所示:过 O 做平面 PBA 的垂线,交平面 PBC 于 Q,连接PQ则OPQ=90 45=45cosOPA=cosQPA cosOPQ,cosQPA= ,QPA=45 ,QPB=45cosOPB=cosOPQ cosQPB= 故选 C9 (5 分)已知函数 +2,则关于 x 的不等式 f(3x+1)+f (x )4 的解集为( )A ( ,+) B ( ,+) C ( ,+

15、) D ( ,+)【解答】解:设 g(x)=2016 x+log2016( +x)2016 x,g( x)=2016 x+log2016( +x) 2016x+=g(x) ;g(x )=2016 xln2016+ +2016xln20160;g (x)在 R 上单调递增;由 f( 3x+1)+f (x )4 得,g(3x+1)+2 +g(x )+24;g (3x +1)g (x) ;3x+1x;解得 x ;原不等式的解集为( ,+) 故选:D10 (5 分)当 0x 时,4 xlog ax,则 a 的取值范围是( )A (0 , ) B ( , 1) C (1, ) D ( ,2)【解答】解:

16、0x 时,1 4 x2要使 4xlog ax,由对数函数的性质可得 0a1,数形结合可知只需 2log ax,即 对 0x 时恒成立解得 a1故选 B11 (5 分)已知函数 f( x)=x 2+ex (x0)与 g(x)=x 2+ln(x+a)图象上存在关于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是( )A ( , ) B ( , ) C ( , ) D (, )【解答】解:由题意,存在 x0,使 f(x)g(x )=0,即 ex ln(x+a)=0 在(,0)上有解,令 m(x )=e x ln(x+a) ,则 m(x )=e x ln(x+a)在其定义域上是增函数,且 x时,m (x)0,若

17、 a0 时,xa 时,m(x )0,故 ex ln(x+a)=0 在(,0)上有解,若 a0 时,则 ex ln(x+a)=0 在(,0)上有解可化为e0 ln(a)0,即 lna ,故 0a 综上所述,a(, ) 故选:C12 (5 分)若 x1 满足 2x+2x=5,x 2 满足 2x+2log2(x1)=5,x 1+x2=( )A B3 C D4【解答】解:由题意 2x2+2log2(x 21)=5 所以 ,x1=log2(52x 1) 即 2x1=2log2(5 2x1)令 2x1=72t,代入上式得 72t=2log2(2t2)=2+2log 2(t 1)5 2t=2log2(t1)

18、与式比较得 t=x2于是 2x1=72x2即 x1+x2=故选 C二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13 (5 分)已知函数 f( x)= (a0) ,若 x1+x2=1,则 f(x 1)+f(x 2)= 1 ,并求出 = 【解答】解:函数 f(x )= (a0) ,x 1+x2=1,f( x1)+f( x2)=f(x 1)+f(1 x1)= += += =1, =1007+f( )=1007+ = 故答案为:1, 14 (5 分)如图所示几何体的三视图,则该几何体的表面积为 16+2 【解答】解:由已知中的三视图,可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,其直观图如

19、下图所示:E 和 F 分别是 AB 和 CD 中点,作 EMAD,连接 PM,且 PD=PC,由三视图得,PE底面 ABCD,AB=4,CD=2,PEEF=2在直角三角形PEF 中, PF= =2 ,在直角三角形DEF 中,DE= = ,同理在直角梯形 ADEF 中,AD= ,根据AED 的面积相等得, ADME= AEEF,解得 ME= ,PE底面 ABCD,EM AD,PMAD,PEME,在直角三角形PME 中,PM= = ,该四棱锥的表面积 S= (4+2)2+ 42+ 22 +2 =16+2 故答案为:16+2 15 (5 分)点 M(x 1,y 1)在函数 y=2x+8 的图象上,当

20、 x12,5时,则的取值范围【解答】解:当 x12,5 时,可得 A(2,4) ,B(5, 2) 设 P( 1,1) ,则 kPA= = ,k PB= = , 的取值范围是 16 (5 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,ADPD,BC=1,PC=2 ,PD=CD=2,则二面角 APBC 的正切值为 【解答】解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,过 D 作平面 ABCD 的垂直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,在PDC 中,由于 PD=CD=2,PC=2 ,可得PCD=30,P 到平面 ABCD 的距离为 PCsin30= A(1,0 , 0) ,P(

21、0,1, ) ,B (1,2,0) ,C(0,2,0) ,=(1,1, ) , =( 1,3, ) , =(0,3, ) ,设平面 PAB 的法向量 =(x ,y,z) ,则 ,取 z=1,得 =( ) ,设平面 PBC 的法向量 =( a,b,c) ,则 ,取 c= ,得 =(2,1, ) ,设二面角 APBC 的平面角为 ,则 cos= = = ,sin= = ,tan= = 二面角 APBC 的正切值为 故答案为: 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 (12 分)过点(3,2)的直线 l 与 x 轴的正半轴,y 轴的正半轴分别交于A

22、,B 两点,当AOB 的面积最小时,求直线 l 的方程及AOB 面积【解答】解:设 A(a,0) ,B (0,b) ,则直线 l 的方程为: + =1把点 P(3 ,2)代入可得: + =1 (a,b 0) 12 ,化为 ab 24,当且仅当 a=6,b=4 时取等号S AOB = ab12,l 的方程为: + =1,即 4x+6y24=018 (12 分)已知一四棱锥 PABCD 的三视图如图所示,E 是侧棱 PC 上的动点()求四棱锥 PABCD 的体积()若点 E 为 PC 的中点,ACBD=O,求证:EO平面 PAD;()是否不论点 E 在何位置,都有 BDAE ?证明你的结论【解答】

23、 ()解:由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形,侧棱 PC底面 ABCD,且 PC=2(1 分)V PABCD= SABCDPC= (3 分)()证明:E、O 分别为 PC、BD 中点EOPA ,(4 分)又 EO平面 PAD,PA 平面 PAD(6 分)EO平面 PAD (7 分)()不论点 E 在何位置,都有 BDAE , (8 分)证明如下:ABCD 是正方形,BDAC,(9 分)PC底面 ABCD 且 BD平面 ABCD,BDPC,(10 分)又ACPC=C,BD平面 PAC, (11 分)不论点 E 在何位置,都有 AE平面 PAC,不论点 E

24、在何位置,都有 BDAE (12 分)19 (10 分)设直线 l 的方程为(a+1)x +y+2a=0(a R) (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程;(2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围【解答】解:(1)令 x=0,得 y=a2 令 y=0,得 (a 1) l 在两坐标轴上的截距相等, ,解之,得 a=2 或 a=0所求的直线 l 方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0(2)直线 l 的方程可化为 y=(a+1)x+a2l 不过第二象限, ,a1a 的取值范围为( ,120 (12 分)如图,在棱长为 1 的正方体中,P 是侧棱 CC1 上的一点,CP=m

25、(1)试确定 m,使直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 ;(2)在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q,使得对任意的 m,D 1Q 在平面 APD1上的射影垂直于 AP,并证明你的结论【解答】解:(1)连 AC,设 AC 与 BD 相交于点 O,AP 与平面 BDD1B1 相交于点 G,连接 OG,因为 PC平面 BDD1B1,平面 BDD1B1平面 APC=OG,故 OGPC,所以,OG= PC= 又 AOBD, AOBB 1,所以 AO平面 BDD1B1,故AGO 是 AP 与平面 BDD1B1 所成的角在 RtAOG 中,tanAGO= ,即 m= 所以,当 m= 时,

26、直线 AP 与平面 BDD1B1 所成的角的正切值为 4 (2)可以推测,点 Q 应当是 AICI 的中点,当是中点时因为 D1O1A 1C1,且 D1O1A 1A,A 1C1A 1A=A1,所以 D1O1平面 ACC1A1,又 AP平面 ACC1A1,故 D1O1AP 那么根据三垂线定理知,D 1O1 在平面 APD1 的射影与 AP 垂直21 (12 分)已知平行四边形 ABCD(如图 1) ,AB=4,AD=2 ,DAB=60,E 为AB 的中点,把三角形 ADE 沿 DE 折起至 A1DE 位置,使得 A1C=4,F 是线段 A1C的中点(如图 2) (1)求证:BF面 A1DE;(2

27、)求证:面 A1DE面 DEBC;(3)求二面角 A1DCE 的正切值【解答】解:(1)证明:如图,取 DA1 的中点 G,连 FG,GE;F 为 A1C 中点;GFDC ,且 ;四边形 BFGE 是平行四边形;BFEG,EG平面 A1DE,BF平面 A1DE;BF平面 A1DE;(2)证明:如图,取 DE 的中点 H,连接 A1H,CH;AB=4,AD=2,DAB=60,E 为 AB 的中点;DAE 为等边三角形,即折叠后DA 1E 也为等边三角形;A 1HDE,且 ;在DHC 中, DH=1,DC=4,HDC=60;根据余弦定理,可得:HC2=1+164=13,在A 1HC 中, , ,A

28、 1C=4; ,即 A1HHC,DE HC=H;A 1H面 DEBC;又 A1H面 A1DE;面 A1DE面 DEBC;(3)如上图,过 H 作 HODC 于 O,连接 A1O;A1H面 DEBC;A 1HDC ,A 1HHO=H;DC面 A1HO;DCA 1O,DCHO ;A 1OH 是二面角 A1DCE 的平面角;在 RtA 1HO 中, , ;故 tan ;所以二面角 A1DCE 的正切值为 222 (12 分)已知函数 g(x)=ax 22ax+1+b(a0, b1) ,在区间2,3 上有最大值 4,最小值 1,设 f(x )= (1)求 a,b 的值;(2)不等式 f(2 x)k2

29、x0 在 x1,1上恒成立,求实数 k 的取值范围;(3)方程 f(|2 x1|)+k( 3)有三个不同的实数解,求实数 k 的取值范围【解答】附加题:(本题共 10 分)解:(1)g( x)=a(x1) 2+1+ba,当 a0 时,g (x )在2,3上为增函数,故 ,可得 , 当 a0 时,g (x )在2,3上为减函数故 可得 可得 ,b1a=1,b=0即 g( x)=x 22x+1f(x)=x+ 2(3 分)(2)方程 f(2 x)k2 x0 化为 2x+ 2k2 x,k1 + 令 =t,k t22t+1,x1,1, t ,记 (t )=t 22t+1,(t) min=0,k0(6 分)(3)由 f(|2 x1|)+k( 3)=0得|2 x1|+ (2+3k)=0 ,|2x1|2(2+3k)|2 x1|+(1+2k)=0 ,|2 x1|0,令|2 x1|=t,则方程化为 t2(2+3k)t+(1+2k )=0( t0) ,方程|2 x1|+ (2+3k)=0 有三个不同的实数解,由 t=|2x1|的图象(如右图)知,t2( 2+3k)t+(1+2k)=0 有两个根 t1、t 2,且 0t 11t 2 或 0t 11,t 2=1,记 (t )=t 2(2+3k )t +( 1+2k) ,则 或 k0(10 分)