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2016-2017学年河北省衡水市高一(下)期末理科数学试卷(A)含答案解析

1、2016-2017 学年河北省衡水市高一(下)期末数学试卷(理科)(A 卷)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)已知集合 A=1,2,3,4,B=y|y=3x 2,x A,则 AB= ( )A1 B4 C1,3 D1,42 (5 分)设变量 x,y 满足约束条件 ,则目标函数 z=2x+5y 的最小值为( )A 4 B6 C10 D173 (5 分)在ABC 中,如果 ,B=30,b=2,则ABC 的面积为( )A4 B1 C D24 (5 分)已知点 A(1,3) ,B (4,1) ,则与向量 同方向的

2、单位向量为( )A B C D5 (5 分)已知等差数列a n中,前 n 项和为 Sn,若 a2+a8=10,则 S9=( )A36 B40 C42 D456 (5 分)a ,b 为正实数,若函数 f(x)=ax 3+bx+ab1 是奇函数,则 f(2)的最小值是( )A2 B4 C8 D167 (5 分)若圆(x3) 2+(y+5) 2=r2 上的点到直线 4x3y2=0 的最近距离等于1,则半径 r 的值为( )A4 B5 C6 D98 (5 分)函数 y=loga(x+2)1(a0,a1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 m0,n0,则 + 的最小值为(

3、 )A3 +2 B3+2 C7 D119 (5 分)若 cos( ) = ,则 sin2=( )A B C D10 (5 分)如图是一几何体的三视图,正视图是一等腰直角三角形,且斜边BD 长为 2;侧视图为一直角三角形;俯视图为一直角梯形,且 AB=BC=1,则此几何体的体积是( )A B C D111 (5 分)已知等差数列前 n 项和为 Sn且 S130,S 120,则此数列中绝对值最小的项为( )A第 5 项 B第 6 项 C第 7 项 D第 8 项12 (5 分)已知ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点,连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2

4、EF,则 的值为( )A B C D二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案直接答在答题纸上13 (5 分)已知关于 x 的不等式 的解集是 则a= 14 (5 分)在锐角ABC 中,AB=3 ,AC=4 ,若ABC 的面积为 3 ,则 BC 的长是 15 (5 分)实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最小值为 16 (5 分)已知数列a n中,a 1=1,a n=2an1+2n(n2) ,则 an= 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17 (10 分)已知函数 f( x)=4tanxsin( x)

5、cos(x ) (1)求 f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论 f(x)在区间 , 上的单调性18 (12 分)已知数列a n是首项为正数的等差数列,a 1a2=3,a 2a3=15(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn=(a n+1)2 ,求数列b n的前 n 项和 Tn19 (12 分)如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,ACB=90 BC=CC1=a,AC=2a(1)求证:AB 1BC 1;(2)求二面角 BAB1C 的正弦值20 (12 分)已知圆 C 的方程:x 2+y22x4y+m=0,其中 m5(1)若圆 C 与直线 l:x+2y4=0 相交于 M,N 两点,且

6、|MN|= ,求 m 的值;(2)在(1)条件下,是否存在直线 l:x2y+c=0,使得圆上有四点到直线 l 的距离为 ,若存在,求出 c 的范围,若不存在,说明理由21 (12 分)在ABC 中,内角 A,B ,C 所对的边分别为 a,b ,c ,已知A= ,b 2a2= c2(1)求 tanC 的值;(2)若ABC 的面积为 3,求 b 的值22 (12 分)已知函数 f( x)=log 4(4 x+1)+2kx(kR )是偶函数(1)求 k 的值;(2)若方程 f(x)=m 有解,求 m 的取值范围2016-2017 学年河北省衡水市高一(下)期末数学试卷(理科) (A 卷)参考答案与试

7、题解析一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)已知集合 A=1,2,3,4,B=y|y=3x 2,x A,则 AB= ( )A1 B4 C1,3 D1,4【解答】解:把 x=1,2,3,4 分别代入 y=3x2 得:y=1,4,7,10,即B=1,4,7,10,A=1,2,3,4,AB=1,4,故选:D2 (5 分)设变量 x,y 满足约束条件 ,则目标函数 z=2x+5y 的最小值为( )A 4 B6 C10 D17【解答】解:作出不等式组 表示的可行域,如右图中三角形的区域,作出直线 l0:2x+5y=0

8、 ,图中的虚线,平移直线 l0,可得经过点( 3,0)时,z=2x +5y 取得最小值 6故选:B3 (5 分)在ABC 中,如果 ,B=30,b=2,则ABC 的面积为( )A4 B1 C D2【解答】解:在ABC 中,由 ,可得 a= c,又B=30,由余弦定理,可得: cosB=cos30= = = ,解得 c=2故ABC 是等腰三角形,C=B=30,A=120 故ABC 的面积为 = ,故选 C4 (5 分)已知点 A(1,3) ,B (4,1) ,则与向量 同方向的单位向量为( )A B C D【解答】解:已知点 A(1,3) ,B (4,1) , =(4,1) (1,3)=( 3,

9、4) ,| |= =5,则与向量 同方向的单位向量为 = ,故选 A5 (5 分)已知等差数列a n中,前 n 项和为 Sn,若 a2+a8=10,则 S9=( )A36 B40 C42 D45【解答】解:由等差数列的性质可得:a 1+a9=a2+a8=10,则 S9= = =45故选:D6 (5 分)a ,b 为正实数,若函数 f(x)=ax 3+bx+ab1 是奇函数,则 f(2)的最小值是( )A2 B4 C8 D16【解答】解:因为 f(x) =ax3+bx+ab1 是奇函数,所以 ,即 ,由 a,b 为正实数,所以 b= 0,所以 f( x)=ax 3+ x,则 f(2)=8a +

10、2 =8(当且仅当 8a= ,即 a= 时取等号) ,故选:C7 (5 分)若圆(x3) 2+(y+5) 2=r2 上的点到直线 4x3y2=0 的最近距离等于1,则半径 r 的值为( )A4 B5 C6 D9【解答】解:由题意可得,圆心(3,5)到直线的距离等于 r+1,即| =r+1,求得 r=4,故选:A8 (5 分)函数 y=loga(x+2)1(a0,a1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 m0,n0,则 + 的最小值为( )A3 +2 B3+2 C7 D11【解答】解:函数 y=loga(x+2)1(a0,a1)的图象恒过定点 A(1, 1) ,点

11、 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 m0,n 0, mn+1=0,即 m+n=1则 + =(m+n ) =3+ + 3+2 =3+2 ,当且仅当 n= m=2时取等号故选:A9 (5 分)若 cos( ) = ,则 sin2=( )A B C D【解答】解:法 1:cos( )= ,sin2=cos( 2)=cos2( )=2cos 2( )1=2 1= ,法 2: cos( )= (sin +cos)= , (1+sin2)= ,sin2=2 1= ,故选:D10 (5 分)如图是一几何体的三视图,正视图是一等腰直角三角形,且斜边BD 长为 2;侧视图为一直角三角形;俯视图为一直角梯

12、形,且 AB=BC=1,则此几何体的体积是( )A B C D1【解答】解:由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体,其直观图如图:根据三视图中正视图是一等腰直角三角形,且斜边 BD 长为 2,棱锥的高为1,底面直角梯形的底边长分别为 1、2,高为 1,底面面积为 = ,几何体的体积 V= 1= 故选 A11 (5 分)已知等差数列前 n 项和为 Sn且 S130,S 120,则此数列中绝对值最小的项为( )A第 5 项 B第 6 项 C第 7 项 D第 8 项【解答】解:S 13= = =13a70,S12= = =6(a 6+a7)0a 6+a70,a 70,|a 6|a7|=a6+a70

13、 ,|a 6|a 7|数列a n中绝对值最小的项是 a7故选 C12 (5 分)已知ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点,连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF,则 的值为( )A B C D【解答】解:如图,D、E 分别是边 AB、BC 的中点,且 DE=2EF, = = = = = 故选:C二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案直接答在答题纸上13 (5 分)已知关于 x 的不等式 的解集是 则a= 2 【解答】解:由不等式判断可得 a0,所以原不等式等价于 ,由解集特点可得 a0 且 ,则 a=2故答案为:214

14、 (5 分)在锐角ABC 中,AB=3 ,AC=4 ,若ABC 的面积为 3 ,则 BC 的长是 【解答】解:因为锐角ABC 的面积为 3 ,且 AB=3,AC=4,所以 34sinA=3 ,所以 sinA= ,所以 A=60,所以 cosA= ,所以 BC= = = 故答案为: 15 (5 分)实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最小值为 【解答】解:由 x2+y2+xy=1,可得(x +y) 2=1+xy1+ ,解得:x+y ,当且仅当 x=y= 时取等号故答案为: 16 (5 分)已知数列a n中,a 1=1,a n=2an1+2n(n2) ,则 an= (2n1)2

15、 n1 【解答】解:a n=2an1+2n(n2) , =1,可得数列 是等差数列,公差为 1,首项为 = = ,解得 an=(2n1)2 n1n=1 时也成立a n=(2n 1) 2n1故答案为:(2n1)2 n1三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17 (10 分)已知函数 f( x)=4tanxsin( x)cos(x ) (1)求 f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论 f(x)在区间 , 上的单调性【解答】解:(1)f(x )=4tanxsin( x)cos(x ) xk+ ,即函数的定义域为x |xk+ ,k Z,则 f(x)=4t

16、anxcosx( cosx+ sinx)=4sinx( cosx+ sinx)=2sinxcosx+2 sin2x=sin2x+ ( 1cos2x)=sin2x cos2x=2sin(2x ) ,则函数的周期 T= ;(2)由 2k 2x 2k+ ,k Z,得 k xk + ,kZ,即函数的增区间为k ,k + ,k Z,当 k=0 时,增区间为 , ,kZ ,x , ,此时 x , ,由 2k+ 2x 2k + ,kZ,得 k+ x k+ ,k Z,即函数的减区间为k + ,k+ ,kZ,当 k=1 时,减区间为 , ,k Z,x , ,此时 x , ,即在区间 , 上,函数的减区间为 ,

17、,增区间为 , 18 (12 分)已知数列a n是首项为正数的等差数列,a 1a2=3,a 2a3=15(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn=(a n+1)2 ,求数列b n的前 n 项和 Tn【解答】解:(1)设数列a n的公差为 d,因为 a1a2=3,a 2a3=15解得 a1=1,d=2,所以 an=2n1(2)由(1)知 bn=(a n+1)2 =2n22n4=n4n,Tn=141+242+343+n4n4Tn=142+243+(n 1)4 n+n4n+1,两式相减,得3T n=41+42+43+4nn4n+1= n4n+1= ,所以 Tn= 19 (12 分)如图,在直三棱

18、柱 ABCA1B1C1 中,ACB=90 BC=CC1=a,AC=2a(1)求证:AB 1BC 1;(2)求二面角 BAB1C 的正弦值【解答】 (1)证明:ABCA 1B1C1 是直三棱柱,CC 1 平面 ABC,则 ACCC 1又ACBC , BCCC 1=C,AC平面 B1BCC1,则 ACBC 1,BC=CC 1,四边形 B1BCC1 是正方形,BC 1 B1C,又 ACB 1C=C,BC 1平面 AB1C,则 AB1BC 1;(2)解:设 BC1B 1C=O,作 OPAB 1 于点 P,连结 BP由(1)知 BOAB 1,而 BOOP=O,AB 1平面 BOP,则 BPAB 1,OP

19、B 是二面角 BAB1C 的平面角OPB 1 ACB1, ,BC=CC 1=a, AC=2a,OP= , = 在 RtPOB 中,sinOPB= ,二面角 BAB1C 的正弦值为 20 (12 分)已知圆 C 的方程:x 2+y22x4y+m=0,其中 m5(1)若圆 C 与直线 l:x+2y4=0 相交于 M,N 两点,且 |MN|= ,求 m 的值;(2)在(1)条件下,是否存在直线 l:x2y+c=0,使得圆上有四点到直线 l 的距离为 ,若存在,求出 c 的范围,若不存在,说明理由【解答】解:(1)圆的方程化为(x1) 2+(y2) 2=5m,圆心 C(1, 2) ,半径 ,则圆心 C

20、(1, 2)到直线 l:x+2y 4=0 的距离为:(3 分)由于 ,则 ,有 , ,解得 m=4 (6 分)(2)假设存在直线 l:x2y+c=0,使得圆上有四点到直线 l 的距离为 ,(7 分)由于圆心 C( 1,2 ) ,半径 r=1,则圆心 C(1, 2)到直线 l:x2y +c=0 的距离为:,(10 分)解得 (13 分)21 (12 分)在ABC 中,内角 A,B ,C 所对的边分别为 a,b ,c ,已知A= ,b 2a2= c2(1)求 tanC 的值;(2)若ABC 的面积为 3,求 b 的值【解答】解:(1)A= ,由余弦定理可得:,b 2a2= bcc2,又 b2a2=

21、 c2 bcc2= c2 b= c可得 ,a 2=b2 = ,即 a= cosC= = = C (0,) ,sinC= = tanC= =2或由 A= ,b 2a2= c2可得:sin 2Bsin2A= sin2C,sin 2B = sin2C, cos2B= sin2C,sin =sin2C,sin =sin2C,sin2C=sin 2C,tanC=2(2) = =3,解得 c=2 =322 (12 分)已知函数 f( x)=log 4(4 x+1)+2kx(kR )是偶函数(1)求 k 的值;(2)若方程 f(x)=m 有解,求 m 的取值范围【解答】 (本小题满分 12 分)解:(1)由函数 f(x)是偶函数可知, f( x)=f(x) ,log 4(4 x+1)+2kx=log 4(4 x+1)2kx,即 log4 =4kx,log 44x=4kx,x=4kx ,即(1+4k )x=0 ,对一切 xR 恒成立,k= (6 分)(2)由 m=f(x)=log 4( 4x+1) x=log4 =log4(2 x+ ) ,2 x0,2 x+ 2,mlog 42= 故要使方程 f(x)=m 有解,m 的取值范围为 ,+) (12 分)