1、2016-2017 学年河北省衡水市高一（下）期末数学试卷（理科）（A 卷）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A=1，2，3，4，B=y|y=3x 2，x A，则 AB= （ ）A1 B4 C1，3 D1，42 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+5y 的最小值为（ ）A 4 B6 C10 D173 （5 分）在ABC 中，如果 ，B=30，b=2，则ABC 的面积为（ ）A4 B1 C D24 （5 分）已知点 A（1，3） ，B （4，1） ，则与向量 同方向的
2、单位向量为（ ）A B C D5 （5 分）已知等差数列a n中，前 n 项和为 Sn，若 a2+a8=10，则 S9=（ ）A36 B40 C42 D456 （5 分）a ，b 为正实数，若函数 f（x）=ax 3+bx+ab1 是奇函数，则 f（2）的最小值是（ ）A2 B4 C8 D167 （5 分）若圆（x3） 2+（y+5） 2=r2 上的点到直线 4x3y2=0 的最近距离等于1，则半径 r 的值为（ ）A4 B5 C6 D98 （5 分）函数 y=loga（x+2）1（a0，a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上，其中 m0，n0，则 + 的最小值为（
3、 ）A3 +2 B3+2 C7 D119 （5 分）若 cos（ ） = ，则 sin2=（ ）A B C D10 （5 分）如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为 2；侧视图为一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且 AB=BC=1，则此几何体的体积是（ ）A B C D111 （5 分）已知等差数列前 n 项和为 Sn且 S130，S 120，则此数列中绝对值最小的项为（ ）A第 5 项 B第 6 项 C第 7 项 D第 8 项12 （5 分）已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE=2
4、EF，则 的值为（ ）A B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案直接答在答题纸上13 （5 分）已知关于 x 的不等式 的解集是 则a= 14 （5 分）在锐角ABC 中，AB=3 ，AC=4 ，若ABC 的面积为 3 ，则 BC 的长是 15 （5 分）实数 x，y 满足 x2+y2+xy=1，则 x+y 的最小值为 16 （5 分）已知数列a n中，a 1=1，a n=2an1+2n（n2） ，则 an= 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分）已知函数 f（ x）=4tanxsin（ x）
5、cos（x ） （1）求 f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论 f（x）在区间 ， 上的单调性18 （12 分）已知数列a n是首项为正数的等差数列，a 1a2=3，a 2a3=15（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn=（a n+1）2 ，求数列b n的前 n 项和 Tn19 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACB=90 BC=CC1=a，AC=2a（1）求证：AB 1BC 1；（2）求二面角 BAB1C 的正弦值20 （12 分）已知圆 C 的方程：x 2+y22x4y+m=0，其中 m5（1）若圆 C 与直线 l：x+2y4=0 相交于 M，N 两点，且
6、|MN|= ，求 m 的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线 l：x2y+c=0，使得圆上有四点到直线 l 的距离为 ，若存在，求出 c 的范围，若不存在，说明理由21 （12 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，已知A= ，b 2a2= c2（1）求 tanC 的值；（2）若ABC 的面积为 3，求 b 的值22 （12 分）已知函数 f（ x）=log 4（4 x+1）+2kx（kR ）是偶函数（1）求 k 的值；（2）若方程 f（x）=m 有解，求 m 的取值范围2016-2017 学年河北省衡水市高一（下）期末数学试卷（理科） （A 卷）参考答案与试
7、题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A=1，2，3，4，B=y|y=3x 2，x A，则 AB= （ ）A1 B4 C1，3 D1，4【解答】解：把 x=1，2，3，4 分别代入 y=3x2 得：y=1，4，7，10，即B=1，4，7，10，A=1，2，3，4，AB=1，4，故选：D2 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+5y 的最小值为（ ）A 4 B6 C10 D17【解答】解：作出不等式组 表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线 l0：2x+5y=0
8、 ，图中的虚线，平移直线 l0，可得经过点（ 3，0）时，z=2x +5y 取得最小值 6故选：B3 （5 分）在ABC 中，如果 ，B=30，b=2，则ABC 的面积为（ ）A4 B1 C D2【解答】解：在ABC 中，由 ，可得 a= c，又B=30，由余弦定理，可得： cosB=cos30= = = ，解得 c=2故ABC 是等腰三角形，C=B=30，A=120 故ABC 的面积为 = ，故选 C4 （5 分）已知点 A（1，3） ，B （4，1） ，则与向量 同方向的单位向量为（ ）A B C D【解答】解：已知点 A（1，3） ，B （4，1） ， =（4，1） （1，3）=（ 3，
9、4） ，| |= =5，则与向量 同方向的单位向量为 = ，故选 A5 （5 分）已知等差数列a n中，前 n 项和为 Sn，若 a2+a8=10，则 S9=（ ）A36 B40 C42 D45【解答】解：由等差数列的性质可得：a 1+a9=a2+a8=10，则 S9= = =45故选：D6 （5 分）a ，b 为正实数，若函数 f（x）=ax 3+bx+ab1 是奇函数，则 f（2）的最小值是（ ）A2 B4 C8 D16【解答】解：因为 f（x） =ax3+bx+ab1 是奇函数，所以 ，即 ，由 a，b 为正实数，所以 b= 0，所以 f（ x）=ax 3+ x，则 f（2）=8a +
10、2 =8（当且仅当 8a= ，即 a= 时取等号） ，故选：C7 （5 分）若圆（x3） 2+（y+5） 2=r2 上的点到直线 4x3y2=0 的最近距离等于1，则半径 r 的值为（ ）A4 B5 C6 D9【解答】解：由题意可得，圆心（3，5）到直线的距离等于 r+1，即| =r+1，求得 r=4，故选：A8 （5 分）函数 y=loga（x+2）1（a0，a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上，其中 m0，n0，则 + 的最小值为（ ）A3 +2 B3+2 C7 D11【解答】解：函数 y=loga（x+2）1（a0，a1）的图象恒过定点 A（1， 1） ，点
11、 A 在直线 mx+ny+1=0 上，其中 m0，n 0， mn+1=0，即 m+n=1则 + =（m+n ） =3+ + 3+2 =3+2 ，当且仅当 n= m=2时取等号故选：A9 （5 分）若 cos（ ） = ，则 sin2=（ ）A B C D【解答】解：法 1：cos（ ）= ，sin2=cos（ 2）=cos2（ ）=2cos 2（ ）1=2 1= ，法 2： cos（ ）= （sin +cos）= ， （1+sin2）= ，sin2=2 1= ，故选：D10 （5 分）如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为 2；侧视图为一直角三角形；俯视图为一直角梯
12、形，且 AB=BC=1，则此几何体的体积是（ ）A B C D1【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体，其直观图如图：根据三视图中正视图是一等腰直角三角形，且斜边 BD 长为 2，棱锥的高为1，底面直角梯形的底边长分别为 1、2，高为 1，底面面积为 = ，几何体的体积 V= 1= 故选 A11 （5 分）已知等差数列前 n 项和为 Sn且 S130，S 120，则此数列中绝对值最小的项为（ ）A第 5 项 B第 6 项 C第 7 项 D第 8 项【解答】解：S 13= = =13a70，S12= = =6（a 6+a7）0a 6+a70，a 70，|a 6|a7|=a6+a70
13、 ，|a 6|a 7|数列a n中绝对值最小的项是 a7故选 C12 （5 分）已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE=2EF，则 的值为（ ）A B C D【解答】解：如图，D、E 分别是边 AB、BC 的中点，且 DE=2EF， = = = = = 故选：C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案直接答在答题纸上13 （5 分）已知关于 x 的不等式 的解集是 则a= 2 【解答】解：由不等式判断可得 a0，所以原不等式等价于 ，由解集特点可得 a0 且 ，则 a=2故答案为：214
14、 （5 分）在锐角ABC 中，AB=3 ，AC=4 ，若ABC 的面积为 3 ，则 BC 的长是 【解答】解：因为锐角ABC 的面积为 3 ，且 AB=3，AC=4，所以 34sinA=3 ，所以 sinA= ，所以 A=60，所以 cosA= ，所以 BC= = = 故答案为： 15 （5 分）实数 x，y 满足 x2+y2+xy=1，则 x+y 的最小值为 【解答】解：由 x2+y2+xy=1，可得（x +y） 2=1+xy1+ ，解得：x+y ，当且仅当 x=y= 时取等号故答案为： 16 （5 分）已知数列a n中，a 1=1，a n=2an1+2n（n2） ，则 an= （2n1）2
15、 n1 【解答】解：a n=2an1+2n（n2） ， =1，可得数列 是等差数列，公差为 1，首项为 = = ，解得 an=（2n1）2 n1n=1 时也成立a n=（2n 1） 2n1故答案为：（2n1）2 n1三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分）已知函数 f（ x）=4tanxsin（ x）cos（x ） （1）求 f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论 f（x）在区间 ， 上的单调性【解答】解：（1）f（x ）=4tanxsin（ x）cos（x ） xk+ ，即函数的定义域为x |xk+ ，k Z，则 f（x）=4t
16、anxcosx（ cosx+ sinx）=4sinx（ cosx+ sinx）=2sinxcosx+2 sin2x=sin2x+ （ 1cos2x）=sin2x cos2x=2sin（2x ） ，则函数的周期 T= ；（2）由 2k 2x 2k+ ，k Z，得 k xk + ，kZ，即函数的增区间为k ，k + ，k Z，当 k=0 时，增区间为 ， ，kZ ，x ， ，此时 x ， ，由 2k+ 2x 2k + ，kZ，得 k+ x k+ ，k Z，即函数的减区间为k + ，k+ ，kZ，当 k=1 时，减区间为 ， ，k Z，x ， ，此时 x ， ，即在区间 ， 上，函数的减区间为 ，
17、，增区间为 ， 18 （12 分）已知数列a n是首项为正数的等差数列，a 1a2=3，a 2a3=15（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn=（a n+1）2 ，求数列b n的前 n 项和 Tn【解答】解：（1）设数列a n的公差为 d，因为 a1a2=3，a 2a3=15解得 a1=1，d=2，所以 an=2n1（2）由（1）知 bn=（a n+1）2 =2n22n4=n4n，Tn=141+242+343+n4n4Tn=142+243+（n 1）4 n+n4n+1，两式相减，得3T n=41+42+43+4nn4n+1= n4n+1= ，所以 Tn= 19 （12 分）如图，在直三棱
18、柱 ABCA1B1C1 中，ACB=90 BC=CC1=a，AC=2a（1）求证：AB 1BC 1；（2）求二面角 BAB1C 的正弦值【解答】 （1）证明：ABCA 1B1C1 是直三棱柱，CC 1 平面 ABC，则 ACCC 1又ACBC ， BCCC 1=C，AC平面 B1BCC1，则 ACBC 1，BC=CC 1，四边形 B1BCC1 是正方形，BC 1 B1C，又 ACB 1C=C，BC 1平面 AB1C，则 AB1BC 1；（2）解：设 BC1B 1C=O，作 OPAB 1 于点 P，连结 BP由（1）知 BOAB 1，而 BOOP=O，AB 1平面 BOP，则 BPAB 1，OP
19、B 是二面角 BAB1C 的平面角OPB 1 ACB1， ，BC=CC 1=a， AC=2a，OP= ， = 在 RtPOB 中，sinOPB= ，二面角 BAB1C 的正弦值为 20 （12 分）已知圆 C 的方程：x 2+y22x4y+m=0，其中 m5（1）若圆 C 与直线 l：x+2y4=0 相交于 M，N 两点，且 |MN|= ，求 m 的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线 l：x2y+c=0，使得圆上有四点到直线 l 的距离为 ，若存在，求出 c 的范围，若不存在，说明理由【解答】解：（1）圆的方程化为（x1） 2+（y2） 2=5m，圆心 C（1， 2） ，半径 ，则圆心 C
20、（1， 2）到直线 l：x+2y 4=0 的距离为：（3 分）由于 ，则 ，有 ， ，解得 m=4 （6 分）（2）假设存在直线 l：x2y+c=0，使得圆上有四点到直线 l 的距离为 ，（7 分）由于圆心 C（ 1，2 ） ，半径 r=1，则圆心 C（1， 2）到直线 l：x2y +c=0 的距离为：，（10 分）解得 （13 分）21 （12 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，已知A= ，b 2a2= c2（1）求 tanC 的值；（2）若ABC 的面积为 3，求 b 的值【解答】解：（1）A= ，由余弦定理可得：，b 2a2= bcc2，又 b2a2=
21、 c2 bcc2= c2 b= c可得 ，a 2=b2 = ，即 a= cosC= = = C （0，） ，sinC= = tanC= =2或由 A= ，b 2a2= c2可得：sin 2Bsin2A= sin2C，sin 2B = sin2C， cos2B= sin2C，sin =sin2C，sin =sin2C，sin2C=sin 2C，tanC=2（2） = =3，解得 c=2 =322 （12 分）已知函数 f（ x）=log 4（4 x+1）+2kx（kR ）是偶函数（1）求 k 的值；（2）若方程 f（x）=m 有解，求 m 的取值范围【解答】 （本小题满分 12 分）解：（1）由函数 f（x）是偶函数可知， f（ x）=f（x） ，log 4（4 x+1）+2kx=log 4（4 x+1）2kx，即 log4 =4kx，log 44x=4kx，x=4kx ，即（1+4k ）x=0 ，对一切 xR 恒成立，k= （6 分）（2）由 m=f（x）=log 4（ 4x+1） x=log4 =log4（2 x+ ） ，2 x0，2 x+ 2，mlog 42= 故要使方程 f（x）=m 有解，m 的取值范围为 ，+） （12 分）