1、2016-2017 学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分）1 （5 分）直线 y= x2 的倾斜角大小为 2 （5 分）若数列a n满足 a1=1，且 an+1=2an，n N*，则 a6 的值为 3 （5 分）直线 3x4y12=0 在 x 轴、y 轴上的截距之和为 4 （5 分）在ABC 中，若 a= ，b= ，A=120，则 B 的大小为 5 （5 分）不等式（x1） （x+2 ）0 的解集是 6 （5 分）函数 y=sinxcosx 的最大值为 7 （5 分）若函数 y=x+ ，x （ 2，+） ，则该函数的最小值为 8 （5
2、 分）如图，若正四棱锥 PABCD 的底面边长为 2，斜高为 ，则该正四棱锥的体积为 9 （5 分）若 sin（+ ）= ，（ ， ） ，则 cos 的值为 10 （5 分）已知 a，b，c 是三条不同的直线， 是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为 若 ac ，bc，则 ab； 若 ，则 ；若 a，b，则 ab； 若 a， ，则 11 （5 分）设等比数列a n的公比 q，前 n 项和为 Sn若 S3，S 2，S 4 成等差数列，则实数 q 的值为 12 （5 分）已知关于 x 的不等式（x 1） （x 2a） 0（aR ）的解集为 A，集合B=（2 ，3） 若 BA，则 a 的取值范
3、围为 13 （5 分）已知数列a n满足 a1=1，且 an+1an=2n，n N*，若 +193n 对任意 nN*都成立，则实数 的取值范围为 14 （5 分）若实数 x，y 满足 xy 0，且 + =1，则 x+y 的最小值为 二、解答题（共 6 小题，满分 90 分）15 （14 分）已知 sin= ， （ ，） （1）求 sin（ ）的值；（2）求 tan2 的值16 （14 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，CA=CB，M ，N，P 分别为AB，A 1C1，BC 的中点求证：（1）C 1P平面 MNC；（2）平面 MNC平面 ABB1A117 （14 分）已知三角形的顶点分
4、别为 A（ 1，3） ，B（3，2） ，C （1，0）（1）求 BC 边上高的长度；（2）若直线 l 过点 C，且在 l 上不存在到 A，B 两点的距离相等的点，求直线 l的方程18 （16 分）如图，在圆内接ABC，A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，满足acosC+ccosA=2bcosB（1）求 B 的大小；（2）若点 D 是劣弧 上一点，AB=3 ，BC=2，AD=1，求四边形 ABCD 的面积19 （16 分）某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画如图，该电梯的高 AB 为 4 米，它所占水平地面的长 AC 为 8 米该广告画最高点 E 到地面的距离为
5、 10.5 米最低点 D 到地面的距离 6.5 米假设某人的眼睛到脚底的距离 MN 为 1.5 米，他竖直站在此电梯上观看 DE 的视角为 （1）设此人到直线 EC 的距离为 x 米，试用 x 表示点 M 到地面的距离；（2）此人到直线 EC 的距离为多少米，视角 最大？20 （16 分）已知等差数列a n和等比数列b n，其中a n的公差不为 0设 Sn是数列a n的前 n 项和若 a1，a 2，a 5 是数列b n的前 3 项，且 S4=16（1）求数列a n和b n的通项公式；（2）若数列 为等差数列，求实数 t；（3）构造数列a1， b1，a 2，b 1，b 2，a 3，b 1，b 2
6、，b 3，a k，b 1，b 2， ，b k，若该数列前n 项和 Tn=1821，求 n 的值2016-2017 学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分）1 （5 分）直线 y= x2 的倾斜角大小为 60 【解答】解：由题意得：直线的斜率是：k= ，设倾斜角等于 ，则 0180，且 tan= ，=60，故答案为 602 （5 分）若数列a n满足 a1=1，且 an+1=2an，n N*，则 a6 的值为 32 【解答】解：数列a n满足 a1=1，且 an+1=2an， nN*，则 a6=125=32故答案为：32
7、3 （5 分）直线 3x4y12=0 在 x 轴、y 轴上的截距之和为 1 【解答】解：直线 3x4y12=0 化为截距式： =1，直线 3x4y12=0 在 x 轴、y 轴上的截距之和=4 3=1故答案为：14 （5 分）在ABC 中，若 a= ，b= ，A=120，则 B 的大小为 45 【解答】解：a= ，b= ，A=120 ，由正弦定理 ，可得：sinB= = = ，ba，B 为锐角，B=45故答案为：45 5 （5 分）不等式（x1） （x+2 ）0 的解集是 （2，1） 【解答】解：方程（x1） （x+2）=0 的两根为 1、 2，又函数 y=（x1 ） （x +2）的图象开口向上
8、，（x1） （x+2）0 的解集是（ 2，1） ，故答案为：（2，1） 6 （5 分）函数 y=sinxcosx 的最大值为 【解答】解：y=sinxcosx= 函数 y=sinxcosx 的最大值为 故答案为：7 （5 分）若函数 y=x+ ，x （ 2，+） ，则该函数的最小值为 4 【解答】解：x （ 2， +） ，x+20y=x+ =x+2+ 22 2=62=4，当且仅当 x=1 时取等号，故该函数的最小值为 4，故答案为：48 （5 分）如图，若正四棱锥 PABCD 的底面边长为 2，斜高为 ，则该正四棱锥的体积为 【解答】解：如图，正四棱锥的高 PO，斜高 PE，则有 PO= ，正
9、四棱锥的体积为 V= =2 ，故答案为： 9 （5 分）若 sin（+ ）= ，（ ， ） ，则 cos 的值为 【解答】解：sin（ + ）= ，利用和与差构造即可求解 （ ， ） ，+ （ ， ）cos（+ ）= 那么：cos=cos （+ ） =cos（+ ）cos +sin sin（ + ）= 故答案为： 10 （5 分）已知 a，b，c 是三条不同的直线， 是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为 若 ac ，bc，则 ab； 若 ，则 ；若 a，b，则 ab； 若 a， ，则 【解答】解：由 a，b，c 是三条不同的直线， 是三个不同的平面，知：在中，若 ac，bc，则 a 与
10、 b 相交、平行或异面，故错误； 在中，若 ， ，则 与 相交或平行，故错误；在中，若 a，b，则由线面垂直的性质定理得 ab，故正确；在中，若 a，则由面面平行的判定定理得 ，故正确故答案为：11 （5 分）设等比数列a n的公比 q，前 n 项和为 Sn若 S3，S 2，S 4 成等差数列，则实数 q 的值为 2 【解答】解：S 3，S 2，S 4 成等差数列，2S 2=S3+S4，2a 3+a4=0，可得 q=2故答案为：212 （5 分）已知关于 x 的不等式（x 1） （x 2a） 0（aR ）的解集为 A，集合B=（2 ，3） 若 BA，则 a 的取值范围为 （ ，1 【解答】解：
11、关于 x 的不等式（ x1） （x 2a）0（a R）的解集为 A，2a1 时，A=（，1） （2a，+） ，B A，2a 2，联立 ，解得 2a1 时，A=（，2a）（1，+） ，满足 BA，由 2a1，解得 a 综上可得：a 的取值范围为（，1故答案为：（，113 （5 分）已知数列a n满足 a1=1，且 an+1an=2n，n N*，若 +193n 对任意 nN*都成立，则实数 的取值范围为 （，8 【解答】解：a 1=1，且 an+1an=2n，nN *，即 n2 时，a nan1=2n1a n=（a nan1）+（a n1an2）+（a 2a1）+a 1=2n1+2n2+2+1=
12、=2n1 +193n，化为： =f（n ） +193n 对任意 nN*都成立，f（n ） min由 f（n）0 ，可得 n ，因此 n6 时，f（n）0；n7 时，f（n ）0f（n+1）f（n）= = 0，解得 n f（ 1）f（2）f（3）f（4）f（5）f（ 6） ，可得 f（ n） min=f（5 ）= 8则实数 的取值范围为（ ，8故答案为：（，814 （5 分）若实数 x，y 满足 xy 0，且 + =1，则 x+y 的最小值为 【解答】解：实数 x，y 满足 xy 0，且 + =1，则 x+y= = = = 当且仅当 y= ，x= 时取等号故答案为： 二、解答题（共 6 小题，满
13、分 90 分）15 （14 分）已知 sin= ， （ ，） （1）求 sin（ ）的值；（2）求 tan2 的值【解答】解：sin= ， （ ，） cos= = 可得：tan= （1）sin（ ）=sin coscos sin= = （2）tan2= = 16 （14 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，CA=CB，M ，N，P 分别为AB，A 1C1，BC 的中点求证：（1）C 1P平面 MNC；（2）平面 MNC平面 ABB1A1【解答】证明：（1）连接 MP，因为 M、P 分别为 AB，BC 的中点MPAC， MP= ，又因为在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACA 1C1，
14、AC=A 1C1且 N 是 A1C1 的中点，MPC 1N，MP=C 1N四边形 MPC1N 是平行四边形， C 1PMNC 1P面 MNC，MN 面 MNC，C 1P平面 MNC；（2）在ABC 中，CA=CB ，M 为 AB 的中点，CM AB 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，B 1B面 ABCCM面 ABC，BB 1CM由因为 BB1AB=B，BB 1，AB平面面 ABB1A1又 CM平面 MNC，平面 MNC平面 ABB1A117 （14 分）已知三角形的顶点分别为 A（ 1，3） ，B（3，2） ，C （1，0）（1）求 BC 边上高的长度；（2）若直线 l 过点 C，且在 l
15、上不存在到 A，B 两点的距离相等的点，求直线 l的方程【解答】解：（1）三角形的顶点分别为 A（ 1，3） ，B（3，2） ，C （1，0） ，BC 的斜率为 =1，故直线 BC 的方程为 y0=1（x1） ，即 xy1=0，故 BC 边上高的长度即点 A 到直线 BC 的距离，即 = （2）直线 l 过点 C，且在 l 上不存在到 A，B 两点的距离相等的点，直线 l垂直于线段 AB，故直线 l 的斜率为 = =4，故直线 l 的方程为 y0=4（x1） ，即 4xy4=018 （16 分）如图，在圆内接ABC，A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，满足acosC+ccosA=2b
16、cosB（1）求 B 的大小；（2）若点 D 是劣弧 上一点，AB=3 ，BC=2，AD=1，求四边形 ABCD 的面积【解答】解：（1）acosC+ccosA=2bcosB 由正弦定理，可得 sinAcosC+sinAcosA=2sinBcosB得 sinB=2sinBcosB0B， sinB0 ，cosB= ，即 B= （2）在ABC 中，AB=3 ， BC=2，B= 由余弦定理，cos = ，可得：AC= 在ADC 中，AC= ，AD=1，ABCD 在圆上，B= ADC= 由余弦定理，cos = = 解得：DC=2四边形 ABCD 的面积 S=SABC +SADC = ADDCsin +
17、 ABBCsin =2 19 （16 分）某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画如图，该电梯的高 AB 为 4 米，它所占水平地面的长 AC 为 8 米该广告画最高点 E 到地面的距离为 10.5 米最低点 D 到地面的距离 6.5 米假设某人的眼睛到脚底的距离 MN 为 1.5 米，他竖直站在此电梯上观看 DE 的视角为 （1）设此人到直线 EC 的距离为 x 米，试用 x 表示点 M 到地面的距离；（2）此人到直线 EC 的距离为多少米，视角 最大？【解答】解：（1）由题意可知 MG=CH=x，由CHN CAB 可得 ，即 ，NH= ，M 到地面的距离 MH=MN+N
18、H= （2）DG=CDCG=CDMH= ，同理 EG=9 ，tanDMG= = = ，tanEMG= = ，tan=tan（EMG DMG）= = = ，0x8，5x+ 2 =30 ，当且仅当 5x= 即 x=3 时取等号，当 x=3 时，tan 取得最大值，即 取得最大值20 （16 分）已知等差数列a n和等比数列b n，其中a n的公差不为 0设 Sn是数列a n的前 n 项和若 a1，a 2，a 5 是数列b n的前 3 项，且 S4=16（1）求数列a n和b n的通项公式；（2）若数列 为等差数列，求实数 t；（3）构造数列a1， b1，a 2，b 1，b 2，a 3，b 1，b
19、2，b 3，a k，b 1，b 2， ，b k，若该数列前n 项和 Tn=1821，求 n 的值【解答】解：（1）设a n的公差 d0a 1，a 2，a 5 是数列b n的前 3 项，且S4=16 ，即 ，4a 1+ =16，解得 a1=1，d=2，a n=1+（n1 ）2=2n1 b 1=1，b 2=3，公比 q=3b n=3n1（2）S n= =n2 = 数列 为等差数列， = + ，t 22t=0解得 t=2 或 0，经过验证满足题意（3）由（1）可得：S n=n2，数列b n的前 n 项和 An= = 数列A n的前 n 项和 Un= n= n数列 a1，b 1， a2，b 1，b 2，a 3，b 1，b 2，b 3，a k，b 1，b 2， ，b k，该数列前 k+ = 项和=k 2+ （ k1） ，3 7=2187，3 8=6561取 k=8，可得前 =36 项的和为： =1700，令 Tn=1821=1700+ ，解得 m=5n=36+5=41