1、 2019 届高三上学期第三次统考（期中）数学（理）试题（时间：120 分钟 满分：150 分）一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内)1已知集合 |(1)0Ax， |1xBe，则 ( )BACR）（A. ,) B. , C. (0,) D. 0,12已知函数 (sinfx，则不等式 (2fxfx的解集是 ( )A. 1(,)3 B. 1(,)3 C. (,3) D. (3,)3如图，直线 l和圆 c，当 l从 0开始在平面上绕点 O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过 90）时，它扫过
2、的圆内阴影部分的面积 S是时间 t的函数.这个函数图像大致是 ( )4.若关于 x 的方程13log2xa有解，则实数 a 的最小值为 （ ）A.4 B.8 C.6 D.25.要得到函数 2sinyx的图象，只需将函数2cos4yx的图象上所有的点 ( ) A.向左平行移动 4个单位长度 B.向右平行移动 8个单位长度C.向右平行移动 4个单位长度 D.向左平行移动 8个单位长度6在 ABC中，若 sin12cosinABCA， 则 BC的形状一定是（ ）A.等边三角形 B.不含 60的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 7.已知函数4sinco()2xfAs在 区间2,3上是增函数，
3、且在区间 0,上恰好取得一次最大值，则 的取值范围为 ( )A.0,1 B.30,4C.1,24D.1,8已知点 A（4 3，1） ，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 6至 OB，设点 C（4，0） ，COB=，则 tan 等于 ( )A 01 B 531 C 312 D 239.已知sin54，则cos2( )A.78B.78C.18D.1810若函数 cosfxkx在区间 2(,)63单调递增，则 k的取值范围是 ( )A 1,) B 1 C (1,) D 1(,)211.已知函数 2lnfxx与 singx有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数 g= （ ）A.sin2
4、xB.sin2xC.sin2xD.sin2x12.已知函数2(0),()ln.xef则下列关于函数 1(0)yfkx的零点个数的判断正确的是 ( )A.当 k0 时，有 3 个零点；当 k0 时，有 4 个零点；当 kb0)经过点 ，离心率为 .x2a2 y2b2 ），（ 21323(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 与 C 相切于点 T，且交两坐标轴的正半轴于 A，B 两点，求|AB|的最小值20 （本小题满分 12 分）我们常常称恒成立不等式: ，当且仅当 时等号成立）为“灵魂不等式” ，01lnx（ 1x它在处理某些函数问题中常常发挥重要作用.（1 ） 试证明这个不等式； （2 ）
5、设函数 ，且在定义域内恒有 求实数 a的值.xaxfln)(2 ,0)(xf21 （本小题满分 12 分）如图 1，四边形 ABCD为等腰梯形， 2,1ABDCB，将 ADC沿 折起，使得平面 平面 ， E为 的中点，连舒中高三统考理数 第 4 页 (共 4 页)接 ,DEB（如图 2）.（1）求证： CA；（2）求直线 与平面 D所成的角的正弦值.22.（本小题满分 12 分）已知函数 2()4fx， ()()2xgef.(1)设两点 1,A， 2,Bxf，且 10，若函数 ()fx的图象分别在点 AB、 处的两条切线互相垂直，求 的最小值；(2) 若对任意 ， ()fkgx恒成立，求实数
6、k的取值范围.,x舒城中学 2018-2019 学年度第一学期第三次统考高三理数（时间：120 分钟 满分：150 分）命题： 审题： 磨题：一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内) 1已知集合 ， ，则 ( )|(1)0Ax|1xBe()RABA. B. C. D. ,),(,)0,2已知函数 ，则不等式 的解集是( )(sinfx (2)fxfxA. B. C. D. 1(,)3,)(,3),3如图，直线 和圆 ，当 从 开始在平面上绕点 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过 ）lc
7、l0O90时，它扫过的圆内阴影部分的面积 是时间 的函数.这个函数图像大致是( )St4.若关于 x 的方程 有解，则实数 a 的最小值为（ ）13log2xaA.4 B.8 C.6 D.25.要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有的点 ( )2sinyx2cos4yxA.向左平行移动 个单位长度 B.向右平行移动 个单位长度48C.向右平行移动 个单位长度 D.向左平行移动 个单位长度6在 ABC中，若 sin12cosinABCA， 则 BC的形状一定是（ ）A.等边三角形 B.不含 60o的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 7.已知函数 在区间 上是增函数，且在区间 上恰
8、好4sinc()2xfA2,30,取得一次最大值，则 的取值范围为( )A. B. C. D.0,13,413,24,8已知点 A（4 ，1） ，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 至 OB，设点 C（4，0） ，6COB= ，则 tan 等于( )A B C D 031531312239.已知 ，则 ( )1sin543cos25A. B. C. D.788110若函数 在区间 单调递增，则 的取值范围是( )cosfxkx2(,)63kA B C D 1,)1,)21,1,)211.已知函数 与 有两个公共点，则在下列函数中满足条件的lnfxxsingx周期最大的函数 = （ ） gA.
9、 B. C. D.sin2xsin2xsin2xsin2x12.已知函数 则下列关于函数 的零点个数的判断(0),()l.xef1(0)yfk正确的是( )A.当 k0 时，有 3 个零点；当 k0 时，有 4 个零点；当 kb0)经过点 ，离心率为 .x2a2 y2b2 ( 3，12) 32(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 与 C 相切于点 T，且交两坐标轴的正半轴于 A，B 两点，求|AB|的最小值20 （本小题满分 12 分）我们常常称恒成立不等式: ，当且仅当 时等号成立）为“灵魂不等式” ，01lnx（ 1x它在处理某些函数问题中常常发挥重要作用.（1 ） 试证明这个不等式；
10、（2 ） 设函数 ，且在定义域内恒有 求实数 的值.xaxfln)(2 ,0)(xfa21 （本小题满分 12 分）如图 ，四边形 为等腰梯形， ，将 沿 折起，1ABCD2,1ABDCBADC使得平面 平面 ， 为 的中点，连接 （如图 2）.EE（1）求证： ；（2）求直线 与平面 所成的角的B正弦值.22.（本小题满分 12 分）已知函数 ， .2()4fx()()2xgef(1)设两点 ， ，且 ，若函数 的图象分别在点 处1,A2,Bxf10()fxAB、的两条切线互相垂直，求 的最小值；(2) 若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.,x()fkgxk2018-2019 学年度第
11、一学期第三次统考高三理数参考答案BCDCB DCBAB AC13 83 145 15 16 3,212e17（1）f(x)= 2sin2x+ cos2x=sin(2x+ 3),则 f( 6)= 3,k2x+ 3k，k Z单调递增区间- 512+k , + k ,k .（2）由 x,4则 2x+ 35,6，sin(2x+ 3)- 12,1,所以值域为 - 12,1,18解（）证明：因为 2c22a 2b 2，所以 2ccosA2aco sC2c 2ab2 c2 a22bc a2 b2 c22ab b 4 分b2 c2 a2b a2 b2 c2b 2c2 2a2b（）由（）和正弦定理以及 sinB
12、sin(A C)得2sinCcosA2sin AcosCsin AcosCcos AsinC，即 sinCcosA3sin AcosC，又 cosAcosC0，所以 tanC3ta nA1，故 C45 8 分再由正弦定理及 sinA 得 c ，1010 asinCsiA 5于是 b22(c 2a 2)8，b2 ，从而 S absinC1 12 分21219解： (1)由题可知Error!则 a24b 2，椭圆 C 经过点 ，Error!解得Error!所以椭圆 C 的方程为 y 21.(3，12) x24(2)设直线 l 的方程为 1( m0，n0)，xm yn由方程组Error!消去 x 得
13、，( m24n 2)y22m 2nyn 2(m24)0.直线 l 与 C 相切，4m 4n24n 2(m24n 2)(m24) 0，化简得 m24n 2m 2n20， m2 ， n 2 .m 2 n2m 2 5m 24 9，m2m2 4 m2m2 4 4m2 4当且仅当 m24 时“”成立，即 m ，n .4m2 4 6 3| AB| 3，故| AB|的最小值为 3.m2 n220. 解析：（1）法 1（图象法）：在同一坐标系下作出曲线 和直线 ，发现它们均经过定点xfln)(1xy，且 ，即直线 是曲线 在定点 处的切线.)0,()(f 1xy )0,(故 ，当且仅当 时等号成立）. 6 分
14、0lnx（法 2（导数法）：令 ，则 .显然 在 内)0(ln)(g xx1)(g)(xg1,0单增，在 内单减， 因此 于是 .),1(.1max0即 ,当且仅当 时等号成立. 6 分0lnx（2）函数 的定义域是 . 因为 ，所以 等价于)(f)()ln()xaxf0)(xf，即 . 8 分lxaaxln当 时， . 由对数型灵魂不等式 知， ，因此 当11)1(ln1lx.a时， . 10 分0xlx由对数型灵魂不等式 知， ，因此 当 时，等号成立, )10(lnxlx.a.Ra综上可知，实数 的值是 12 分a121.解: （I）证明：在图 中，作 于 ，则 ，又 CHAB13,2H
15、A1,BC， 23,2CH分平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，4ADBCADBCAADC分又 平面 ， .5分（II）取 中点 ，连接 ，易得 两两垂直，以 所在直线分别为ACF,DE,FAD,FAED轴、x轴、 轴建立空间直角坐标系，如图所示，yz11330,0,0,0222EBC，1,DD7 分设 为平面 的法向量，则 ，即 ，取 .9,mxyzBC0 mBC0 3yxz1,03m分设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，11DE6sinco,4DE分直线 与平面 所成的角的正弦值为 .12BC64分22. 解析：（）因为 ，所以 ，故 ，2()fx()24fx12()fx即 ，且 ，
16、. 2 分12(4)1x140x0所以 2 21(4)()()()xx当且仅当 ，即 且 时，等号成立.所以函数 的图象1215x3()fx分别在点 处的两条切线互相垂直时， 的最小值为 1. 5 分AB、 2（） ， .2()4fx()()xge设函数 = = （ ） ，()Fx()kgfx22(1)4xkex2则 = = .24e由题设可知 0，即 .令 =0 得， = ， =2.(0)k()Fx1lnk2x 若 ，则2 0， ， 0， ，1ke12,()F1(,)0，即 在 单调递减，在 单调递增，故 在 = 取()Fx()x,)1(xx1最小值 .1而 = = 0，211()2()4xkex2114x1(2)x当 2 时， 0，即 恒成立. 8 分F()fkg若 ，则 = ，当 2 时， 0，()22xee()F 在(2,+)单调递增，而 =0，当 2 时， 0，)x()xx即 恒成立. 10 分fkg若 ，则 = = 0，当 2 时， 不可2e()F2ke2()ke ()fkgx能恒成立.综上所述， 的取值范围为1, . 12 分