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2018年湖南省长沙市中考数学模拟试卷(三)含答案解析

1、2018 年湖南省长沙市中考数学模拟试卷(三)一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的请在答题卡中填涂符合题意的选项本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分)1 (3 分) 的倒数是( )A3 B3 C D2 (3 分)中国古代建筑中的窗格图案美观大方,寓意吉祥,下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是( )A B C D3 (3 分)某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验,班平均分和方差分别为 甲 =82 分, 乙 =82 分,S 甲 2=245,S 乙 2=190,那么成绩较为整齐的是( )A甲班 B乙班 C两班一样整齐 D无法确定4 (3

2、分)不等式组 的解集在数轴上表示为( )A B CD5 (3 分)若函数 y= 的图象在其所在的每一象限内,函数值 y 随自变量 x的增大而增大,则 m 的取值范围是( )Am 2 Bm0 Cm 2 Dm06 (3 分)若二次根式 有意义,则 x 的取值范围为( )Ax Bx Cx Dx7 (3 分)若点 A 的坐标为(6,3) ,O 为坐标原点,将 OA 绕点 O 按顺时针方向旋转 90得到 OA,则点 A的坐标是( )A (3 , 6) B (3,6) C ( 3,6) D (3,6)8 (3 分)已知 x=3 是关于 x 的方程 2xa=1 的解,则 a 的值是( )A 5 B5 C7

3、D29 (3 分)五边形的外角和等于( )A180 B360 C540 D72010 (3 分)如图,在梯形 ABCD 中,ABCD,AD=BC,点 E、F 、G、H 分别是AB,BC,CD,DA 的中点,则下列结论一定正确的是( )AHGF= GHE BGHE=HEF CHEF=EFG DHGF= HEF11 (3 分)如图,在平面直角坐标系中,线段 AB 的端点坐标为 A(2,4) ,B(4 ,2) ,直线 y=kx2 与线段 AB 有交点,则 k 的值不可能是( )A 5 B2 C3 D512 (3 分)如图 1 表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上,其中分针上有一点 A,且当钟面显示

4、 3 点 30 分时,分针垂直于桌面,A 点 距桌面的高度为10 公分如图 2,若此钟面显示 3 点 45 分时,A 点距桌面的高度为 16 公分,则钟面显示 3 点 50 分时,A 点距桌面的高度为多少公分( )A B16+ C18 D19二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分)13 (3 分)因式分解:m 2mn= 14 (3 分)若一个角为 6030,则它的补角为 15 (3 分)著名画家达芬奇不仅画艺超群,同时还是一个数学家、发明家他曾经设计过一种圆规如图所示,有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计) ,一根没有弹性的木棒的两端 A、B 能在滑槽内自由滑动,将笔

5、插入位于木棒中点 P 处的小孔中,随着木棒的滑动就可以画出一个圆来若 AB=20cm,则画出的圆的半径为 cm16 (3 分)OAB 是以正多边形相邻的两个顶点 A,B 与它的中心 O 为顶点的三角形,若OAB 的一个内角为 70,则该正多边形的边数为 17 (3 分)小芳同学有两根长度为 5cm、10cm 的木棒,她想钉一个三角形相框,桌上有五根木棒供她选择(如图所示) ,从中任选一根,能钉成三角形相框的概率是 18 (3 分)如图,在梯形 ABCD 中,ADBC,AB=DC,AC 与 BD 相交于 P已知 A(4,6 ) ,B(2,2 ) ,D(8,6) ,则点 P 的坐标为 三、解答题(

6、本大题共 8 个小题,第 19、20 题每小题 6 分,第 21、22 题每小题 6 分,第 23、24 题每小题 6 分,第 25、26 题每小题 6 分,共 66 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19 (6 分)计算:( ) 12cos30+ +(3) 020 (6 分)先化简,后求值:已知:(x+1) 2(x2) (x+2) ,其中 ,并且 x 是整数21 (8 分)为迎接国庆 60 周年,某校举行以“祖国成长我成长”为主题的图片制作比赛,赛后整理参赛同学的成绩,并制作成图表如下:分数段 频数频率60x 7030 0.1570x 80m 0.4580x 9060 n90x

7、 10020 0.1请根据以上图表提供的信息,解答下列问题:(1)表中 m 和 n 所表示的数分别为: m= ,n= ;(2)请在图中,补全频数分布直方图;(3)比赛成绩的中位数落在哪个分数段;(4)如果比赛成绩 80 分以上(含 80 分)可以获得奖励,那么获奖率是多少 ?22 (8 分) 如图,AB 为 O 的弦,C 为劣弧 AB 的中点(1)若O 的半径为 5, AB=8,求 tanBAC ;(2)若DAC= BAC ,且点 D 在O 的外部,判断 AD 与O 的位置关系,并说明理由23 (9 分)某商场计划购进 A,B 两种新型节能台灯共 100 盏,这两种台灯的进价、售价如表所示:类

8、型 /价格 进价(元/ 盏) 售价(元/ 盏)A 型 30 45B 型 50 70(1)若商场预计进货款为 3500 元,则这两种台灯各购进多少盏?(2)若商场规定 B 型台灯的进货数量不超过 A 型台灯数量的 3 倍,应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多?此时利润为多少元?24 (9 分)在矩形 ABCD 中,将点 A 翻折到对角线 BD 上的点 M 处,折痕 BE交 AD 于点 E将点 C 翻折到对角线 BD 上的点 N 处,折痕 DF 交 BC 于点 F(1)求证:四边形 BFDE 为平行四边形;(2)若四边形 BFDE 为菱形,且 AB=2,求 BC 的长25 (10 分)已

9、知关于 x 的方程 x2(m+n +1)x+m(n0)的两个实数根为、,且 (1)试用含 、 的代数式表示 m 和 n;(2)求证:1;(3)若点 P( ,)在ABC 的三条边上运动,且 ABC 顶点的坐标分别为A(1 ,2 ) 、B ( ,1) 、C(1,1) ,问是否存在点 P,使 m+n= ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由26 (10 分)已知抛物线 y=x22x+a(a 0)与 y 轴相交于点 A,顶点为 M直线 y= xa 分别与 x 轴,y 轴相交于 B,C 两点,并且与直线 AM 相交于点 N(1)试用含 a 的代数式分别表示点 M 与 N 的坐标;(2)如图,

10、将NAC 沿 y 轴翻折,若点 N 的对应点 N恰好落在抛物线上,AN与 x 轴交于点 D,连接 CD,求 a 的值和四边形 ADCN 的面积;(3)在抛物线 y=x22x+a( a0)上是否存在一点 P,使得以 P,A ,C ,N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,试说明理由2018 年湖南省长沙市中考数学模拟试卷(三)参考答案与试题解析一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的请在答题卡中填涂符合题意的选项本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分)1 (3 分) 的倒数是( )A3 B3 C D【解答】解: 的倒数是 3,故选:B2

11、 (3 分)中国古代建筑中的窗格图案美观大方,寓意吉祥,下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是( )A B C D【解答】解:B 是轴对称图形又是中心对称图形,故选:B来源 :Zxxk.Com3 (3 分)某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验,班平均分和方差分别为 甲 =82 分, 乙 =82 分,S 甲 2=245,S 乙 2=190,那么成绩较为整齐的是( )A甲班 B乙班 C两班一样整齐 D无法确定【解答】解:由于乙的方差小于甲的方差,故成绩较为整齐的是乙班故选:B4 (3 分)不等式组 的解集在数轴上表示为( )A B CD【解答】解:根据大小小大中间找得出解集

12、为1x1,故选:B5 (3 分)若函数 y= 的图象在其所在的每一象限内,函数值 y 随自变量 x的增大而增大,则 m 的取值范围是( )Am 2 Bm0 Cm 2 Dm0【解答】解:函数 y= 的图象在其所在的每一象限内,函数值 y 随自变量x 的增大而增大,m+20,解得:m2,故选:A6 (3 分)若二次根式 有意义,则 x 的取值范围为( )Ax Bx Cx Dx【解答】解:由题意得,1+2x 0,解得 x 故选:C7 (3 分)若点 A 的坐标为(6,3) ,O 为坐标原点,将 OA 绕点 O 按顺时针方向旋转 90得到 OA,则点 A的坐标是( )A (3 , 6) B (3,6)

13、 C ( 3,6) D (3,6)【解答】解:由图知 A 点的坐标为(6,3) ,根据旋转中心 O,旋转方向顺时针,旋转角度 90,画图,点 A的坐标是( 3,6) 故选:A8 (3 分)已知 x=3 是关于 x 的方程 2xa=1 的解,则 a 的值是( )A 5 B5 C7 D2【解答】解:3 是关于 x 的方程 2xa=1 的解,3 满足关于 x 的方程 2xa=1,6 a=1,解得,a=5故选:B9 (3 分)五边形的外角和等于( )A180 B360 C540 D720【解答】解:五边形的外角和是 360故选:B10 (3 分)如图,在梯形 ABCD 中,ABCD,AD=BC,点 E

14、、F 、G、H 分别是AB,BC,CD,DA 的中点,则下列结论一定正确的是( )AHGF= GHE B GHE=HEF CHEF=EFG DHGF= HEF【解答】解:连接 BD,E 、F、G、H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点,HE=GF= BD,HEGF,四边形 HEFG 是平行四边形,HGF= HEF,故选:D11 (3 分)如图,在平面直角坐标系中,线段 AB 的端点坐标为 A(2,4) ,B(4 ,2) ,直线 y=kx2 与线段 AB 有交点,则 k 的值不可能是( )A 5 B2 C3 D5【解答】解:把 A(2,4)代入 y=kx2 得,4= 2k2,解得 k=3,当

15、直线 y=kx2 与线段 AB 有交点,且过第二、四象限时,k 满足的条件为k3;把 B(4,2)代入 y=kx2 得,4k 2=2,解得 k=1,当直线 y=kx2 与线段 AB 有交点,且过第一、三象限时,k 满足的条件为k1 即 k 3 或 k1所以直线 y=kx2 与线段 AB 有交点,则 k 的值 不可能是 2故选:B12 (3 分)如图 1 表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上,其中分针上有一点 A,且当钟面显示 3 点 30 分时,分针垂直于桌面,A 点距桌面的高度为 10公分如图 2,若此钟面显示 3 点 45 分时,A 点距桌面的高度为 16 公分,则钟面显示 3 点 50

16、 分时,A 点距桌面的高度为多少公分( )来源:学。科。网A B16+ C18 D19【解答】解:连接 AA,当钟面显示 3 点 30 分时,分针垂直于桌面,A 点距桌面的高度为 10 公分AD=10,钟面显示 3 点 45 分时,A 点距桌面的高度为 16 公分,AC=16,AO=AO=6 ,则钟面显示 3 点 50 分时,AOA=30,AA=3,A 点距桌面的高度为:16+3=19 公分故选:D二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分)13 (3 分)因式分解:m 2mn= m(mn ) 【解答】解:m 2mn=m(mn ) 故答案为:m(mn) 14 (3 分)若一

17、个角为 6030,则它的补角为 11930 【解答】解:1806030=11930故答案为:1193015 (3 分)著名画家达芬奇不仅画艺超群,同时还是一个数学家、发明家他曾经设计过一种圆规如图所示,有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计) ,一根没有弹性的木棒的两端 A、B 能在滑槽内自由滑动,将笔插入位于木棒中点 P 处的小孔中,随着木棒的滑动就可以画出一个圆来若 AB=20cm,则画出的圆的半径为 10 cm 【解答】解:连接 OP,AOB 是直角三角形,P 为斜边 AB 的中点,OP= AB,AB=20cm,OP=10cm,故答案为:1016 (3 分)OAB 是以正多边形相邻的两个

18、顶点 A,B 与它的中心 O 为顶点的三角形,若OAB 的一个内角为 70,则该正多边形的边数为 9 【解答】解:当OAB=70时,AOB=40,则多边形的边数是:36040=9;当AOB=70时,36070 结果不是整数,故不符合条件故答案是:917 (3 分)小芳同学有两根长度为 5cm、10cm 的木棒,她想钉一个三角形相框,桌上有五根木棒供她选择(如图所示) ,从中任选一根,能钉成三角形相框的概率是 【解答】解:小芳已经有 5cm 和 10cm 的木棒,若要钉一个三角形相框,则另外一根木棒的长度大于 5cm 且小于 15cm,在所给 5 根木棒中,符合条件的有 6cm、10cm 、12

19、cm 这 3 根,所以从中任选一根,能钉成三角形相框的概率是 ,故答案为: 18 (3 分)如图,在梯形 ABCD 中,ADBC,AB=DC,AC 与 BD 相交于 P已知 A(4,6 ) ,B(2,2 ) ,D(8,6) ,则点 P 的坐标为 (6, ) 【解答】解:四边形 ABCD 是等腰梯形,A (4 , 6) ,B (2,2) ,D (8,6 ) ,C (10,2) ,设直线 AC 的解析式为 y=kx+b,则有 解得 ,直线 AC 的解析式为 y= x+ ,同法可得直线 BD 的解析式为 y= x+ ,由 ,解得 ,点 P 坐标为( 6, ) 故答案为(6, ) 三、解答题(本大题共

20、 8 个小题,第 19、20 题每小题 6 分,第 21、22 题每小题 6 分,第 23、24 题每小题 6 分,第 25、26 题每小题 6 分,共 66 分解答应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19 (6 分)计算:( ) 12cos30+ +(3) 0【解答】解:原式=22 + +1,=2 + +1,=320 (6 分)先化简,后求值:已知:(x+1) 2(x2) (x+2) ,其中 ,并且 x 是整数【解答】解:原式=x 2+2x+1(x 24)=x2+2x+1x2+4=2x+5, 且 x 是整数,x=3,则原式=23+5=1121 (8 分)为迎接国庆 60 周年,某校举

21、行以“祖国成长我成长”为主题的图片制作比赛,赛后整理参赛同学的成绩,并制作成图表如下:分数段 频数频率60x 7030 0.1570x 80m 0.4580x 9060 n90x 10020 0.1请根据以上图表提供的信息,解答下列问题:(1)表中 m 和 n 所表示的数分别为: m= ,n= ;(2)请在图中,补全频数分布直方图;(3)比赛成绩的中位数落在哪个分数段;(4)如果比赛成绩 80 分以上(含 80 分)可以获得奖励,那么获奖率是多少?【解答】解:(1)根据统计表中,频数与频率的比值相等,即有 = =解可得:m=90,n=0.3 ;(2)图为:(3)根据中位数的求法,先将数据按从小

22、到大的顺序排列,读图可得:共 200 人,第 100、101 名都在 70 分 80 分,故比赛成绩的中位 数落在 70 分80 分;(4)读图可得比赛成绩 80 分以上的人数为 60+20=80,故获奖率为 100%=4 0%故答案为:(1)m=90, n=0.3;(2)略;(3)70 分80 分;(4)40%22 (8 分) 如图,AB 为 O 的弦,C 为劣弧 AB 的中点(1)若O 的半径为 5, AB=8,求 tanBAC ;(2)若DAC= BAC ,且点 D 在O 的外部,判断 AD 与O 的位置关系,并说明理由【解答】解:(1)如图,AB 为O 的弦,C 为劣弧 AB 的中点,

23、AB=8,OCAB 于 E, ,又AO=5, ,CE=OCOE=2,在 RtAEC 中, ;(2)AD 与 O 相切理由如下:来源:Z,xx,k.ComOA=OC,C=OAC,由(1)知 OCAB,C + BAC=90又BAC=DAC,OAC +DAC=90 ,AD 与O 相切23 (9 分)某商场计划购进 A,B 两种新型节能台灯共 100 盏,这两种台灯的进价、售价如表所示:类型 /价格 进价(元/ 盏) 售价(元/ 盏)A 型 30 45B 型 50 70(1)若商场预计进货款为 3500 元,则这两种台灯各购进多少盏?(2)若商场规定 B 型台灯的进货数量不超过 A 型台灯数量的 3

24、倍,应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多?此时利润为多少元?【解答】解:(1)设商场应购进 A 型台灯 x 盏,则 B 型台灯为(100x)盏,根据题意得,30x+50(100 x)=3500 ,解得 x=75,所以,100 75=25,答:应购进 A 型台灯 75 盏,B 型台 灯 25 盏;(2)设商场销售完这批台灯可获利 y 元,则 y=(4530)x+(7050) (100x) ,=15x+200020x,=5x+2000,即 y=5x+2000,B 型台灯的进货数量不超过 A 型台灯数量的 3 倍,100x 3x,x25,k=50,y 随 x 的增大而减小,x=25 时,y

25、 取得最大值,为 525+2000=1875(元)答:商场购进 A 型台灯 25 盏,B 型台灯 75 盏,销售完这批台灯时获利最多,此时利润为 1875 元24 (9 分)在矩形 ABCD 中,将点 A 翻折到对角线 BD 上的点 M 处,折痕 BE交 AD 于点 E将点 C 翻折到对角线 BD 上的点 N 处,折痕 DF 交 BC 于点 F(1)求证:四边形 BFDE 为平行四边形; 来源:Zxxk.Com(2)若四边形 BFDE 为菱形,且 AB=2,求 BC 的长【解答】 (1)证明:四边形 ABCD 是矩形,A=C=90 ,AB=CD,AB CD ,ABD=CDB,由折叠的性质可得:

26、ABE=EBD= ABD ,CDF= CDB,ABE=CDF,在ABE 和CDF 中,ABECDF(ASA) ,AE=CF,四边形 ABCD 是矩形,AD=BC,ADBC,DE=BF ,DEBF,四边形 BFDE 为平行四边形;解法二:证明:四边形 ABCD 是矩形,A=C=90 ,AB=CD,AB CD ,ABD=CDB,EBD= FDB,EB DF,EDBF,四边形 BFDE 为平行四边形(2)解:四边形 BFDE 为菱形,BE=ED, EBD=FBD= ABE ,四边形 ABCD 是矩形,AD=BC, ABC=90,ABE=30,来源:Zxxk.ComA=90,AB=2,AE= = ,B

27、E=2AE= ,BC=AD=AE +ED=AE+BE= + =2 25 (10 分)已知关于 x 的方程 x2(m+n +1)x+m(n0)的两个实数根为、,且 (1)试用含 、 的代数式表示 m 和 n;(2)求证:1;(3)若点 P(,)在ABC 的三条边上运动,且 ABC 顶点的坐标分别为A(1 ,2 ) 、B ( ,1) 、C(1,1) ,问是否存在点 P,使 m+n= ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由【解答】解:(1)、 为方程 x2(m+n +1)x+m=0(n 0 )的两个实数根,判别式=(m +n+1) 24n=(m+n 1) 2+4n0,且 +=m+n+1,

28、=n,于是 m=,n=+m1=+1;(2)(1) (1)=1 ( +)+=n 0(n0) ,又 ,1;(3)若使 m+n 成立,只需 +=m+n+1= ,当点 M(,) 在 BC 边上运动时,由 B( ,1 ) ,C(1,1) ,得 1,=1,而 = = 1= 1,故在 BC 边上存在满足条件的点,其坐标为( ,1)所以不符合题意舍去;即在 BC 边上不存在满足条件的点当点 M(,)在 AC 边上运动时,由 A(1,2 ) ,C (1,1) ,得 =1,1 2,此时 = = 1= ,又因为 1 2,故在 AC 边上存在满足条件的点,其坐标为(1, ) ;当点 M(,)在 AB 边上运动时,由

29、A(1,2 ) ,B( ,1) ,得 1,1 2,由平面几何知识得, = ,于是 =2,由 解得 = ,= ,又因为 1,1 2 ,故在 AB 边上存在满足条件的点,其坐标为( , ) 综上所述,当点 M(,)在ABC 的三条边上运动时,存在点(1, )和点( , ) ,使 m+n= 成立26 (10 分)已知抛物线 y=x22x+a(a 0)与 y 轴相交于点 A,顶点为 M直线 y= xa 分别与 x 轴,y 轴相交于 B,C 两点,并且与直线 AM 相交于点 N(1)试用含 a 的代数式分别表示点 M 与 N 的坐标;(2)如图,将NAC 沿 y 轴翻折,若点 N 的对应点 N恰好落在抛

30、物线上,AN与 x 轴交于点 D,连接 CD,求 a 的值和四边形 ADCN 的面积;(3)在抛物线 y=x22x+a( a0)上是否存在一点 P,使得以 P,A ,C ,N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,试说明理由【解答】解:(1)M(1,a 1) ,N ( a, a) ;(2)由题意得点 N 与点 N关于 y 轴对称,N( a, a) 将 N的坐标代入 y=x22x+a 得: a= a2+ a+a,a 1=0(不合题意,舍去) , N(3, ) ,点 N 到 y 轴的距离为 3A(0, ) ,N(3 , ) ,直线 AN的解析式为 ,它与 x 轴的交点为

31、 D( )点 D 到 y 轴的距离为 S 四边形 ADCN=SACN +SACD = 3+ = ;(3)存在 ,理由如下:当点 P 在 y 轴的左侧时,若 ACPN 是平行四边形,则 PN AC,则把 N 向上平移2a 个单位得到 P,坐标为( a, a) ,代入抛物线的解析式,得: a= a2 a+a,解得 a1=0(不舍题意,舍去) ,a 2= ,则 P( , ) ;当点 P 在 y 轴的右侧时,若 APCN 是平行四边形,则 AC 与 PN 互相平分,则 OA=OC,OP=ON 则 P 与 N 关于原点对称,则 P( a, a) ;将 P 点坐标代入抛物线解析式得: a= a2+ a+a,解得 a1=0(不合题意,舍去) ,a 2= ,则 P( , ) 故存在这样的点 P( , )或 P( , ) ,能使得以 P,A ,C ,N 为顶点的四边形是平行四边形