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2018年河北省中考数学模拟试卷(4)含答案解析

1、2018 年河北省中考数学模拟试卷(4)一、选择题(本大题共 16 小题,共 42 分,1-10 小题,每小题 3 分,11-16 小题,每小题 3 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 (3 分)实数 , ,0, 1 中,无理数是( )A B C0 D 1来源:学*科*网 Z*X*X*K2 (3 分)已知=35,则 的余角是( )A35 B55 C65 D1453 (3 分)如图,由 8 个大小相同的正方体组成的几何体的主视图和俯视图,则这个几何体的左视图是( )A B C D4 (3 分)小明向如图所示的正方形 ABCD 区域内投掷飞镖,点 E 是以 AB 为直径的半

2、圆与对角线 AC 的交点如果小明投掷飞镖一次,则飞镖落在阴影部分的概率为( )A B C D5 (3 分)计算3(x2y)+4(x 2y)的结果是( )Ax 2y Bx+2y Cx2y D x+2y6 (3 分)将抛物线 y=2x2 向右平移 3 个单位,再向下平移 5 个单位,得到的抛物线的表达式为( )Ay=2(x 3) 25 By=2(x+3) 2+5 Cy=2(x3) 2+5 Dy=2(x +3) 257 (3 分)下列说法错误的是( )A角平分线上的点到角的两边的距离相等B直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C菱形的对角线相等D平行四边形是中心对称图形8 (3 分)一副三角板有两个直

3、角三角形,如图叠放在一起,则 的度数是( )A165 B120 C150 D1359 (3 分)如图,ABC 的三个顶点分别为 A(1, 3) ,B (5,3) ,C(5,5) ,若反比例函数 y= 在第一象限内的图象与ABC 有交点,则 k 的取值范围是( )A1 k 15 B3k15 C3k25 D15k 2510 (3 分)关于 x 的不等式组 的解集中至少有 5 个整数解,则整数a 的最小值是( )A3 B2 C1 D11 (2 分)已知函数 y=ax22ax1(a 是常数,a0) ,下列结论正确的是( )A当 a=1 时,函数图象经过点(1,1)B当 a=2 时,函数图象与 x 轴没

4、有交点C若 a0,函数图象的顶点始终在 x 轴的下方D若 a0,则当 x1 时,y 随 x 的增大而增大12 (2 分)如图所示,底边 BC 为 2 ,顶角 A 为 120的等腰ABC 中,DE 垂直平分 AB 于 D,则ACE 的周长为( )A2 +2 B2+ C4 D313 (2 分)我们知道方程 x2+2x3=0 的解是 x1=1, x2=3,现给出另一个方程(2x+3) 2+2(2x+3)3=0 ,它的解是( )Ax 1=1,x 2=3 Bx 1=1,x 2=3 Cx 1=1,x 2=3 Dx 1=1,x 2=314 (2 分)如图,D 是ABC 内一点,BDCD,A D=6,BD=4

5、 ,CD=3,E 、F、G、H 分别是 AB、AC、CD 、BD 的中点,则四边形 EFGH 的周长是( )A7 B9 C10 D1115 (2 分)如图,在O 中,AB 是O 的直径,AB=10, = = ,点 E 是点 D 关于 AB 的对称点,M 是 AB 上的一动点,下列结论: BOE=60;CED= DOB;DMCE;CM+DM 的最小值是 10,上述结论中正确的个数是( )A1 B2 C3 D416 (2 分)如图,动点 P 从(0 ,3)出发,沿箭头所示方向运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角当点 P 第 2018 次碰到矩形的边时,点 P 的坐标为( )A (1

6、 ,4 ) B (5,0) C (7,4) D (8,3)二、填空题(本大题共 3 小题,共 10 分,17-19 小题各 3 分,19 小题有 2 个空,每空 2 分)17 (3 分)比较大小:2 318 (3 分)如图,ABCD,AE 平分CAB 交 CD 于点 E,若C=50,则AED= 19 (4 分)一小球从距地面 1m 高处自由落下,每次着地后又跳回到原高度的一半再落下(1)小球第 3 次着地时,经过的总路程为 m;(2)小球第 n 次着地时,经过的总路程为 m三、解答题(本大题共 7 小题,共计 68 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20 (9 分)解不等式组: ,并

7、把解集在数轴上表示出来21 (9 分)如图,点 D,E 在ABC 的边 BC 上,连接AD,AEAB=AC;AD=AE;BD=CE以此三个等式中的两个作为命题的题设,另一个作为命题的结论,构成三个命题:; (1)以上三个命题是真命题的为 (直接作答) ;(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题,然后证明) 22 (9 分)某篮球运动员去年共参加 40 场比赛,其中 3 分球的命中率为0.25,平均每场有 12 次 3 分球未投中(1)该运动员去年的比赛中共投中多少个 3 分球?(2)在其中的一场比赛中,该运动员 3 分球共出手 20 次,小亮说,该运动员这场比赛中一定投中了 5 个 3

8、分球,你认为小亮的说法正确吗?请说明理由23 (9 分)如图,一次函数 y=k1x+b(k 10)与反比例函数 y= (k 20)的图象交于点 A(1,2) ,B(m, 1) (1)求这两个函数的表达式;(2)在 x 轴上是否存在点 P(n ,0) ,使ABP 为直角三角形,请你直接写出P 点的坐标24 (10 分)定义:有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形(1)如图 1,等腰直角四边形 ABCD,AB=BC,ABC=90,若 AB=CD=1,ABCD,求对角线 BD 的长若 ACBD,求证:AD=CD,(2)如图 2,在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=9,点

9、P 是对角线 BD 上一点,且BP=2PD,过点 P 作直线分别交边 AD,BC 于点 E,F,使四边形 ABFE 是等腰直角四边形,求 AE 的长25 (10 分)如图,已知抛物线 y=ax2+2x+c 与 y 轴交于点 A(0,6) ,与 x 轴交于点 B(6,0) ,点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点(1)求这条抛物线的表达式;(2)当点 P 移动到抛物线的什么位置时,使得PAB=90 ,求出此时点 P 的坐标;(3)当点 P 从 A 点出发沿线段 AB 上方的抛物线向终点 B 移动,在移动中,点P 的横坐标 以每秒 1 个单位长度的速度变动;与此同时,点 M 以每秒 1 个单

10、位长度的速度沿 AO 向终点 O 移动,点 P,M 移动到各自终点时停止当两个动点移动 t 秒时,求四边形 PAMB 的面积 S 关于 t 的函数表达式,并求 t 为何值时,S 有最大值,最大值是多少?26 (12 分)如图,这一会线段 AB=2,MN AB 于点 M,且 AM=BM,P 是射线MN 上一动点,E,D 分别是 PA,PB 的中点,过点 A,M,D 的圆与 BP 的另一交点 C(点 C 在线段 BD 上) ,连结 AC,DE (1)当APB=30时,求B 的度数;(2)求证:AB 2=BCPB;(3)在点 P 的运动过程中,当 MP=4 时,取四边形 ACDE 一边的两端点和线段

11、MP 上一点 Q,若以这三点为顶点的三角形是直角三角形,且 Q 为锐角顶点,求所有满足条件的 MQ 的值2018 年河北省中考数学模拟试卷(4)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共 16 小题,共 42 分,1-10 小题,每小题 3 分,11-16 小题,每小题 3 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 (3 分)实数 , ,0, 1 中,无理数是( )A B C0 D 1【解答】解:A、是无理数;B、是分数,是有理数,故选项错误;C、是整数,是有理数,选项错误;D、是整数,是有理数,选项错误故选:A2 (3 分)已知=35,则 的余角是( )A35 B55 C65

12、D145【解答】解:根据定义 的余角度数是 9035=55故选:B3 (3 分)如图,由 8 个大小相同的正方体组成的几何体的主视图和俯视图,则这个几何体的左视图是( )A B C D【解答】解:该组合体共有 8 个小正方体,俯视图和主视图如图,该组合体共有两层,第一层有 5 个小正方体,第二层有三个小正方体,且全位于第二层的最左边,左视图应该是两层,每层两个,故选:B4 (3 分)小明向如图所示的正方形 ABCD 区域内投掷飞镖,点 E 是以 AB 为直径的半圆与对角线 AC 的交点如果小明投掷飞镖一次,则飞镖落在阴影部分的概率为( )A B C D【解答】解:如图所示:连接 BE,可得,A

13、E=BE,AEB=90,且阴影部分面积=S CEB = SABC = S 正方形 ABCD,故小明投掷飞镖一次,则飞镖落在阴影部分的概率为: 故选:B5 (3 分)计算3(x2y)+4(x 2y)的结果是( )Ax 2y Bx+2y Cx2y D x+2y【解答】解:原式=3x+6y+4x8y=x2y,故选:A6 (3 分)将抛物线 y=2x2 向右平移 3 个单位,再向下平移 5 个单位,得到的抛物线的表达式为( )Ay=2(x 3) 25 By=2(x+3) 2+5 Cy=2(x3) 2+5 Dy=2(x +3) 25【解答】解:抛物线 y=2x2 的顶点坐标为(0,0) ,点( 0,0)

14、向右平移 3 个单位,再向下平移 5 个单位所得对应点的坐标为(3,5) ,所以平移得到的抛物线的表达式为 y=2(x3) 25故选:A7 (3 分)下列说法错误的是( )A角平分线上的点到角的两边的距离相等B直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C菱形的对角线相等D平行四边形是中心对称图形【解答】解:角平分线上的点到角的两边的距离相等,选项 A 正确;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,选项 B 正确;菱形的对角线互相垂直,但是不一定相等,选项 C 不正确;平行四边形是中心对称图形,选项 D 正确故选:C8 (3 分)一副三角板有两个直角三角形,如图叠放在一起,则 的度数是( )A165 B

15、120 C150 D135【解答】解:给图中标上1、2,如图所示1+45+90=180,1=45,1=2+30,2=15又2+=180,=165故选:A9 (3 分)如图,ABC 的三个顶点分别为 A(1, 3) ,B (5,3) ,C(5,5) ,若反比例函数 y= 在第一象限内的图象与ABC 有交点,则 k 的取值范围是( )A1 k 15 B3k15 C 3k25 D15k 25【解答】解:,ABC 的三个 顶点分别为 A(1,3) ,B(5,3) ,C(5,5) ,反比例函数 y= 在第一象限内的图象与ABC 有交点,13k 5 5,即 3k 25 ,故选:C10 (3 分)关于 x

16、的不等式组 的解集中至少有 5 个整数解,则整数a 的最小值是( )A3 B2 C1 D【解答】解: ,解得 xa,解得 x a则不等式组的解集是 ax a不 等式至少有 5 个整数解,则 a+ a4,解得 a a 的最小值是 2故选:B11 (2 分)已知函数 y=ax22ax1(a 是常数,a0) ,下列结论正确的是( )A当 a=1 时,函数图象经过点(1,1)B当 a=2 时,函数图象与 x 轴没有交点C若 a0 ,函数图象的顶点始终在 x 轴的下方D若 a0,则当 x1 时,y 随 x 的增大而增大【解答】解:A、当 a=1 时,函数解析式为 y=x22x1,当 x=1 时,y=1+

17、21=2,当 a=1 时,函数图象经过点(1,2) ,A 选项不符合题意;B、当 a=2 时,函数解析式为 y=2x2+4x1,令 y=2x2+4x1=0,则=4 24( 2)(1)=80,当 a=2 时,函数图象与 x 轴有两个不同的交点,B 选项不符合题意;C、 y=ax 22ax1=a(x1) 21a,二次函数图象的顶点 坐标为(1,1a) ,当1 a 0 时,有 a1,C 选项不符合题意;D、y=ax 22ax1=a(x1) 21a,二次函数图象的对称轴为 x=1若 a0,则当 x1 时, y 随 x 的增大而增大,D 选项符合题意故选:D12 (2 分)如图所示,底边 BC 为 2

18、,顶角 A 为 120的等腰ABC 中,DE 垂直平分 AB 于 D,则ACE 的周长为( )A2 +2 B2+ C4 D3【解答】解:过 A 作 AFBC 于 F,AB=AC,A=120 ,B= C=30,BF=CF= , = ,AB=AC=2,DE 垂直平分 AB,BE=AE,AE +CE=BC=2 ,ACE 的周长 =AC+AE+CE=AC+BC=2+2 ,故选:A13 (2 分)我们知道方程 x2+2x3=0 的解是 x1=1, x2=3,现给出另一个方程(2x+3) 2+2(2x+3)3=0 ,它的解是( )Ax 1=1,x 2=3 Bx 1=1,x 2=3 Cx 1=1,x 2=3

19、 Dx 1=1,x 2=3【解答】解:把方程(2x+3 ) 2+2(2x +3) 3=0 看作关于 2x+3 的一元二次方程,所以 2x+3=1 或 2x+3=3,所以 x1=1,x 2=3故选:D14 (2 分)如图,D 是ABC 内一点,BDCD,AD=6 ,BD=4,CD=3,E 、F、G、H 分别是 AB、AC、CD 、BD 的中点,则四边形 EFGH 的周长是( )A7 B9 C10 D11【解答】解:BDDC, BD=4,CD=3,由勾股定理得:BC= =5,E 、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点,HG= BC=EF,EH=FG= AD,AD=6 ,EF=HG=2

20、.5,EH=GF=3,四边形 EFGH 的周长是 EF+FG+HG+EH=2(2.5+3)=11故选:D15 (2 分)如图,在O 中,AB 是O 的直径,AB=10, = = ,点 E 是点 D 关于 AB 的对称点,M 是 AB 上的一动点,下列结论: BOE=60;CED= DOB;DMCE;CM+DM 的最小值是 10,上述结论中正确的个数是( )A1 B2 C3 D4【解答】解: = = ,点 E 是点 D 关于 AB 的对称点, = ,DOB=BOE=COD= =60,正确;CED= COD= =30= ,正确; 的度数是 60, 的度数是 120,只有当 M 和 A 重合时,MD

21、E=60,CED=30,只有 M 和 A 重合时,DM CE ,错误;做 C 关于 AB 的对称点 F,连接 CF,交 AB 于 N,连接 DF 交 AB 于 M,此时CM+DM 的值最短,等于 DF 长,连接 CD, = = = ,并且弧的度数都是 60,D= =60, CFD= =30,FCD=18060 30=90,DF 是O 的直径,即 DF=AB=10,CM+DM 的最小值是 10,正确;故选:C来源 :学科网16 (2 分)如图,动点 P 从(0 ,3)出发,沿箭头所示方向运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角当点 P 第 2018 次碰到矩形的边时,点 P 的坐标为

22、( )A (1 ,4 ) B (5,0) C (7,4) D (8,3)【解答】解:如图,经过 6 次反弹后动点回到出发点(0,3) ,20186=3362,当点 P 第 2018 次碰到矩形的边时为第 336 个循环组的第 2 次反弹,点 P 的坐标为(7,4) 故选:C二、填空题(本大题共 3 小题,共 10 分,17-19 小题各 3 分,19 小题有 2 个空,每空 2 分)17 (3 分)比较大小:2 3【解答】解:在两个负数中,绝对值大的反而小,可求出2 3故答案为:18 (3 分)如图,ABCD,AE 平分CAB 交 CD 于点 E,若C=50,则AED= 115 【解答】解:A

23、BCD,C + CAB=180,C=50,CAB=180 50=130,AE 平分CAB,EAB=65,ABCD,EAB+AED=180,AED=18065=115,故答案为:11519 (4 分)一小球从距地面 1m 高处自由落下,每次着地后又跳回到原高度的一半再落下(1)小球第 3 次着地时,经过的总路程为 2.5 m;(2)小球第 n 次着地时,经过的总路程为 3 ( ) n2 m【解答】解:(1)由题意可得,小球第 3 次着地时,经过的总路程为:1+ =2.5(m) ,故答案为:2.5;(2)由题意可得,小球第 n 次着地时,经过的总路程为:1+2=3( ) n2,故答案为:3( )

24、n2三、解答题(本大题共 7 小题,共计 68 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20 (9 分)解不等式组: ,并把解集在数轴上表示出来【解答】解:解不等式得:x3,解不等式得:x4,不等式组的解集是 3x4 ,在数轴上表示为 21 (9 分)如图,点 D,E 在ABC 的边 BC 上,连接 AD, AE AB=AC;AD=AE ; BD=CE 以此三个等式中的两个 作为命题的题设,另一个作为命题的结论,构成三个命题:; (1)以上三个命题是真命题的为 , , (直接作答) ;(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题,然后证明) 【解答】解:(1) , ,来源:学科网 ZXX

25、K(2)选择,证明:AB=AC,B= C,在ABD 和 ACE 中,ABD ACE(SAS) ,AD=AE22 (9 分)某篮球运动员去年共参加 40 场比赛,其中 3 分球的命中率为0.25,平均每场有 12 次 3 分球未投中(1)该运动员去年的比赛中共投中多少个 3 分球?(2)在其中的一场比赛中,该运动员 3 分球共出手 20 次,小亮说,该运动员这场比赛中一定投中了 5 个 3 分球,你认为小亮的说法正确吗?请说明理由【解答】解:(1)设该运动员共出手 x 个 3 分球,根据题意,得=12,解得 x=640,0.25x=0.25640=160(个) ,答:运动员去年的比赛中共投中 1

26、60 个 3 分球;(2)小亮的说法不正确;3 分球的命中率为 0.25,是 40 场比赛来说的平均水平,而在其中的一场比赛中,命中率并不一定是 0.25,所以该运动员这场比赛中不一定投中了 5 个 3 分球23 (9 分)如图,一次函数 y=k1x+b(k 10)与反比例函数 y= (k 20)的图象交于点 A(1,2) ,B(m, 1) (1)求这两个函数的表达式;(2)在 x 轴上是否存在点 P(n ,0) ,使ABP 为直角三角形,请你直接写出P 点的坐标【解答】解:(1)把 A( 1,2)代入 y= 得:2=k 2=2(1)=2y=把 B(m,1)代入 y= 得:m=2,B(2,1

27、)把(1,2) ,B(2,1 )分别代入 y=k1x+b 得:y= x+1(2)解:A(1,2) ,B(2, 1) ,P (n ,0) ,AB 2=18,AP 2=(n+1 ) 2+4,BP 2=(n 2) 2+1,ABP 为直角三角形,当ABP=90时,AB 2+BP2=AP2,18+(n 2) 2+1=(n+1) 2+4,n=3,P(3,0) ,当BAP=90时,AB 2+AP2=BP2,18+(n+1 ) 2+4=(n2) 2+1,n=3,P( 3,0) ,当APB=90时,AP 2+BP2=AB2,来源:学科网 ZXXK(n+1) 2+4+(n2) 2+1=18,n= ,P( ,0)或

28、( ,0)即:P 点的坐标( 3,0) 、 (3,0) 、 ( ,0)或( ,0) 24 (10 分)定义:有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形(1)如图 1,等腰直角四边形 ABCD,AB=BC,ABC=90,若 AB=CD=1,ABCD,求对角线 BD 的长若 ACBD,求证:AD=CD,(2)如图 2,在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=9,点 P 是对角线 BD 上一点,且BP=2PD,过点 P 作直线分别交边 AD,BC 于点 E,F,使四边形 ABFE 是等腰直角四边形,求 AE 的长【解答】解:(1)AB=CD=1,ABCD,四边形 ABCD 是平行

29、四边形,AB=BC,四边形 ABCD 是菱形,ABC=90 ,四边形 ABCD 是正方形,BD=AC= = 如图 1 中,连接 AC、BDAB=BC,AC BD,ABD=CBD,BD=BD,ABD CBD,AD=CD(2)若 EFBC ,则 AE EF,BFEF ,四边形 ABFE 表示等腰直角四边形,不符合条件若 EF 与 BC 不垂直,当 AE=AB 时,如图 2 中,此时四边形 ABFE 是等腰直角四边形,AE=AB=5当 BF=AB 时,如图 3 中,此时四边形 ABFE 是等腰直角四边形,BF=AB=5,DEBF,DE:BF=PD:PB=1:2,DE=2.5,AE=92.5=6.5,

30、综上所述,满足条件的 AE 的长为 5 或 6.525 (10 分)如图,已知抛物线 y=ax2+2x+c 与 y 轴交于点 A(0,6) ,与 x 轴交于点 B(6,0) ,点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点(1)求这条抛物线的表达式;(2)当点 P 移动到抛物线的什么位置时,使得PAB=90 ,求出此时点 P 的坐标;(3)当点 P 从 A 点出发沿线段 A B 上方的抛物线向终点 B 移动,在移动中,点P 的横坐标以每秒 1 个单位长度的速度变动;与此同时,点 M 以每秒 1 个单位长度的速度沿 AO 向终点 O 移动,点 P,M 移动到各自终点时停止当两个动点移动 t 秒时,

31、求四边形 PAMB 的面积 S 关于 t 的函数 表达式,并求 t 为何值时,S 有最大值,最大值是多少?【解答】解:(1)根据题意,把 A(0,6) ,B (6,0)代入抛物线解析式可得:,解得: ,抛物线的表达式为 y= x2+2x+6,(2)如图 1,过 P 作 PCy 轴于点 C,OA=OB=6,OAB=45,当PAB=90时,PAC=45,PC=AC,设 PC=m,则 AC=m,故 P(m,6+m) ,来源: 学科网把 P 点坐标代入抛物线解析式可得:6+m= m2+2m+6,解得:m=0 或 m=2,经检验,P( 0,6)与点 A 重合,不合题意舍去,故所求 P 点坐标为:( 2,

32、8) ,y= x2+2x+6= (x2) 2+8,抛物线的顶点坐标为(2,8) ,此时点 P( 2,8)是抛物线的顶点(3)当两个动点移动 t 秒时,则 P(t, t2+2t+6) ,M (0,6t ) ,如图 2,作 PEx 轴于点 E,交 AB 于点 F,则 EF=EB=6t,F(t,6t ) ,FP= t2+2t+6(6 t)= t2+3t,点 A 到 PE 的距离竽 OE,点 B 到 PE 的距离等于 BE,S PAB = FPOE+ FPBE= FP(OE+BE )= FPOB= ( t2+3t)6= t2+9t,且 SAMB = AMOB= t6=3t,S=S 四边形 PAMB=S

33、PAB +SAMB = t2+12t= (t4) 2+24,当 t=4 时,S 有最大值,最大值为 2426 (12 分)如图,这一会线段 AB=2,MN AB 于点 M,且 AM=BM,P 是射线MN 上一动点,E,D 分别是 PA,PB 的中点,过点 A,M,D 的圆与 BP 的另一交点 C(点 C 在线段 BD 上) ,连结 AC,DE (1)当APB=30时,求B 的度数;(2)求证:AB 2=BCPB;(3)在点 P 的运动过程中,当 MP=4 时,取四边形 ACDE 一边的两端点和线段MP 上一点 Q,若以这三点为顶点的三角形是直角三角形,且 Q 为锐角顶点,求所有满足条件的 MQ

34、 的值【解答】解:(1)MNAB ,AM=BM,PA=PB,PAB=B,APB=30,B=75,(2)如图 1,连接 MD,MD 为PAB 的中位线,MD AP,MDB= APB,BAC=MDC=APB,又BAP=180APBB ,ACB=180 BAC B,BAP=ACB,BAP=B,ACB=B,AC=AB,由(1)可知 PA=PB,ABCPBA, = ,AB 2=BCPB;AC=AB;(3)如图 2,记 MP 与圆的另一个交点为 R,MD 是 RtMBP 的中线,DM=DP,DPM=DMP=RCD,RC=RP,ACR=AMR=90 ,AM 2+MR2=AR2=AC2+CR2,1 2+MR2=22+PR2,1 2+(4 PR) 2=22+PR2,PR= ,MR= ,当ACQ=90时,AQ 为圆的直径,Q 与 R 重合,MQ=MR= ;如图 3,当QCD=90时,在 RtQCP 中,PQ=2PR= ,MQ= ;如图 4,当QDC=90时,BM=1,MP=4, BP= ,DP= BP= ,cosMPB= = ,PQ= ,MQ= ;如图 5,当AEQ=90时,