1、1.5 第 1 课时 利用二次函数解决拱桥问题、面积问题知识要点分类练 夯实基础知识点 1 利用二次函数解决拱桥问题1河北省赵县赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图 151所示的平面直角坐标系，其函数表达式为 y x2.当水面离桥拱顶部的距离 DO 是 4 m 时，水面宽度 AB125为( )图 151A20 m B10 m C 20 m D10 m2. 如图 152，已知桥拱形状为抛物线，其函数表达式为 y x2，当水位线在 AB14位置时，水面的宽度为 12 m，这时水面离桥拱顶部的距离是 _图 1523. 如图 15 3，小河上有一拱桥 ，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB
2、和矩形的三边 AE，ED，DB 组成已知河底 ED 是水平的，ED16 m，AE 8 m，抛物线的顶点 C 到 ED 的距离是 11 m试以 ED 所在的直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数表达式图 153知识点 2 利用二次函数解决面积问题4某种正方形合金板材的成本 y(元) 与它的面积成正比， 设其边长为 x 厘米，当 x3时，y18，那么当正方形合金板材的成本为 72 元时，其边长为( )A6 厘米 B12 厘米C24 厘米 D36 厘米5用一条长为 40 cm 的绳子围成一个面积为 a cm2 的长方形，a 的值不可能为( )A20 B40 C
3、100 D1206把一根长为 100 cm 的铁丝分为两段，并把每一段都弯成一个正方形，设其中一个正方形的边长为 x cm，则另一个正方形的边长为_ cm，设这两个正方形的面积的和为 y cm2，则 y 与 x 之间的函数表达式为_；当两个正方形的边长分别为_，_时，两个正方形的面积的和最小，最小是_7某小区要用篱笆围成一直角三角形花坛，花坛的斜边利用足够长的墙，两条直角边所用的篱笆长的和恰好为 17 米围成的花坛是图 154 所示的直角三角形 ABC，其中ACB90. 设 AC 边的长为 x 米，直角三角形 ABC 的面积为 S 平方米(1)求 S 和 x 之间的函数表达式 (不要求写出自变
4、量 x 的取值范围 )；(2)根据小区的规划要求，所修建的直角三角形花坛的面积是 30 平方米，则直角三角形的两条直角边的长各为多少米？图 154规律方法综合练 提升能力8图 155 是一个长 100 m、宽 80 m 的矩形草坪，现欲在草坪中间修两条互相垂直且宽为 x m 的小路，这时草坪的面积 y (m2)与宽 x(m)之间的函数表达式是( )图 155Ayx 220x8000(0x80) Byx 2180x8000(0x80)Cyx 2180x8000(0x80) Dyx 220x8000(0x80)9某公园草坪的防护栏是由 100 段形状相同的抛物线组成的为了牢固起见，每段防护栏需要每
5、隔 0.4 m 加设一根不锈钢的支柱 ，防护栏的最高点距底部 0.5 m(如图 156)，则防护栏不锈钢支柱的总长度至少为( )图 156A50 m B 100 m C160 m D200 m10小明在某次投篮中，球的运行路线是抛物线 y x23.5 的一部分，如图15157 所示，若该球命中篮圈中心，则他与篮底的距离 l 是( )图 157A4.6 m B 4.5 m C4 m D3.5 m11某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够长) ，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为 50 m设饲养室的长为 x(m)，占地面积为 y(m2)(1)如图 158，问饲养室的长 x 为多少
6、时，占地面积 y 最大？(2)如图，现要求在图中所示位置留一个 2 m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的长比(1)中饲养室的长多 2 m 就行了”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确图 158拓广探究创新练 冲刺满分12如图 159，隧道的截面由抛物线和矩形的一部分构成，矩形的长是 12 m，宽是 4 m按照图中所示的直角坐标系 ，抛物线可以用 y x2bxc 表示，且抛物线上的16点 C 到墙面 OB 的水平距离为 3 m，到地面 OA 的距离为 m.172(1)求该抛物线表示的函数的表达式，并计算出拱顶 D 到地面 OA 的距离(2)一辆货车装载一长方体集装箱后高
7、为 6 m，宽为 4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)现要在抛物线形拱壁上安装两排灯，使它们离地面的高度相等如果灯离地面的高度不超过 8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？图 159教师详解详析1C29 m 解析 根据题意，当 x6 时，原式 629，即水面离桥拱顶部的距14离是 9 m.3解：如图所示由题，知抛物线的顶点坐标为(0，11)，B(8，8)，设抛物线的函数表达式为 yax 211，将点 B(8，8) 代入抛物线的函数表达式得 a ，所以抛物线的函数表达式为364y x211.3644A 解析 设 y 与 x 之间的函数表达式为 y kx2，把 x3
8、，y18 代入可得9k18，k2，y 2x 2.把 y72 代入上式得 2x272，解得 x6.正方形的边长不能为负数，x6.故选 A.5D 解析 设围成的长方形的长为 x cm，则由题意，得ax x220x . 10，a 有最大值，即当 x10 时，a 最大(20 x)100.120100，a 的值不可能为 120.故选 D.6(25x) y 2x250x625 12.5 cm 12.5 cm 312.5 cm2 解析 一个正方形的边长为 x cm，则另一个正方形的边长为 (1004x) (25x)cm，则 yx 2(25 x)1422x 250x625.y 2x 250x6252(x12.
9、5) 2312.5 ，当一个正方形的边长为 12.5 cm， 另一个正方形的边长为 2512.512.5(cm)时，两个正方形的面积的和最小，最小为312.5 cm2.7解：(1)两条直角边所用的篱笆长的和恰好为 17 米， 围成的花坛是直角三角形ABC，其中 ACB90，AC 边的长为 x 米，BC(17x)米又直角三角形 ABC 的面积为 S 平方米，S ACBC x(17x ) x2 x.12 12 12 172(2)当 S30 时， x2 x30，12 172整理，得 x217x 600，解得 x112，x 25.直角三角形的两条直角边的长分别为 12 米和 5 米8C 9.C 10.
10、B11解：(1)yx (x25) 2 ，50 x2 12 6252当 x25 时，y 最大，即当饲养室的长为 25 m 时， 占地面积 y 最大(2)yx (x26) 2338，50 （ x 2）2 12当 x26 时，y 最大，即当饲养室的长为 26 m 时，占地面积 y 最大262512，小敏的说法不正确12解：(1)由题意，得点 B 的坐标为(0 ，4)，点 C 的坐标为 ，(3， 172) 解得4 1602 b0 c，172 1632 b3 c， ) b 2，c 4， )该抛物线表示的函数的表达式为 y x22x 4.16y x22x 4 (x6) 210，16 16拱顶 D 到地面 OA 的距离为 10 m.(2)当 x6410 时，y x22x 4 1022104 6，16 16 223这辆货车能安全通过(3)当 y8 时， x22x 4 8，即 x212x240，16x 1x 212，x 1x224，两排灯的水平距离最小是|x1 x2| 4 (m)（ x1 x2） 2 （ x1 x2） 2 4x1x2 122 424 144 96 3