1、26.2.3 求二次函数的表达式知识点 1 一般式已知抛物线上三个一般点的坐标1经过点(3，1)，(1 ，1)和(0，2)的抛物线所对应的函数表达式为( )Ayx 22x2 Byx 22x2Cy x22x2 Dyx 2 x12 122已知二次函数 yax 2bx，阅读下面的表格信息，由此可知 y 与 x 之间的函数关系式是_x -1 1y 0 23.若抛物线 yax 2bx c 经过点(1，12) ，(0，5) 和(2，3)，则 abc 的值为_4教材例 7 变式 2018普陀区一模已知一个二次函数的图象经过 A(0，3)，B(1，0) ，C(m，2m3) ， D(1，2)四点，求这个函数的表
2、达式以及点 C 的坐标知识点 2 顶点式已知抛物线的顶点坐标或对称轴5抛物线 yx 2bx c 如图 26239 所示，则此抛物线所对应的二次函数表达式为( )图 26239Ayx 24x20By x24x20Cy x24x12Dyx 24x126若当 x1 时，某二次函数有最大值 5，且该二次函数的图象与 y 轴交于点(0 ，2)，则其表达式为_7已知一个二次函数的图象的顶点坐标为(1，2) ，且过点 (1，3)(1)求这个二次函数的关系式；(2)写出该抛物线的开口方向、对称轴知识点 3 两点式已知抛物线与 x 轴的交点或交点的横坐标 8抛物线 yx 2bx c 如图 26240 所示，则
3、bc 的值等于( )图 26240A8 B9C10 D119已知某二次函数的图象经过点 A(1，0) ，B(2，0)和 C(3，4) ，求该二次函数的表达式10已知某二次函数的图象如图 26241 所示，则这个二次函数的表达式为( )图 26241Ay3( x1) 23By 3(x1) 23Cy 3(x1) 23Dy3( x1) 2311某抛物线的形状、开口方向与抛物线 y x24x 3 相同，顶点坐标为( 2，1)，12则该抛物线的函数关系式为( )Ay (x2) 21 By (x2) 2112 12Cy (x2) 21 Dy (x2) 2112 12122017古冶区期中已知抛物线 yax
4、 2bx 经过点 A(3，3)，且该抛物线的对称轴经过点 A，则该抛物线的表达式为( )Ay x22x By x22x13 13Cy x22x Dy x22x13 1313已知二次函数 yax 2bxc 的图象经过原点及点(2，2)，且图象与 x 轴的另一个交点到原点的距离为 4，那么该二次函数的表达式为_14已知二次函数 yax 2bxc 中自变量 x 和函数值 y 的部分对应值如下表：x 32 112 0 12 1 32y 54 294 254 0 74则该二次函数的表达式为_15如图 26242，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(1，2)，AOB 的面积是 2.(1)求点
5、B 的坐标；(2)求过点 A，O ，B 的抛物线所对应的函数表达式图 26242162018杭州已知二次函数 yax 2bx(ab)(a，b 是常数， a0) (1)判断该二次函数图象与 x 轴的交点的个数，并说明理由；(2)若该二次函数图象经过 A(1，4)，B(0，1) ，C (1， 1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；(3)若 ab0，点 P(2，m)( m0)在该二次函数图象上，求证：a0.17如图 26243，抛物线 y x2bx c 经过 A( ，0)，B(0 ，3)两点，此抛13 3物线的对称轴为直线 l，顶点为 C，且 l 与直线 AB 交于点 D.(1)求此抛物线
6、所对应的函数表达式；(2)直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；(3)连结 BC，求证：BCDC .图 26243详解详析1A2yx 2x 解析 把 x1，y0 和 x1，y2 代入 yax 2bx ，得解得 a1，b1 ，a b 0，a b 2， )所以 y 与 x 之间的函数关系式为 yx 2x.30 解析 由题意得 c 5，所以抛物线的表达式为 yax 2bx5，把点(1，12)和(2， 3)的坐标分别代入得 a b 5 12，4a 2b 5 3， )解得 所以 abc1650.a 1，b 6， )4解：设这个函数的表达式为 yax 2bx c，把 A(0，3) ， B(1，0)，D(1，
7、2) 的坐标代入，得 c 3，a b c 0，a b c 2， )解得 a 2，b 1，c 3， )这个函数的表达式为 y2x 2x 3.点 C(m，2m3)在抛物线上，2m 2m 32m 3，解得 m1 ，m 22.32当 m 时，2m30；当 m2 时，2m37，32点 C 的坐标为 或(2，7)( 32， 0)5C 解析 由 解得 故所求的函数表达式为 b2（ 1） 2， 62 6b c 0， ) b 4，c 12， )yx 24x 12.故选 C.6y3x 26x 2 解析 由题意设该二次函数的表达式为 ya(x1) 25，又该二次函数的图象与 y 轴交于点(0 ，2) ，将(0，2)
8、代入函数表达式得 2a5，a3，所求的二次函数的表达式为 y3(x1) 25，即 y3x 26x2.7解：(1)设函数关系式为 ya(xh) 2k ，把顶点( 1，2)和点(1，3) 的坐标代入关系式，得 a ，h1，k2，所以这个二次函数的关系式为 y (x1) 22.54 54(2)由(1)的函数关系式可得：抛物线的开口向下，对称轴为直线 x1.8B 解析 由图象可知，抛物线与 x 轴交于点( 1，0)和(5，0) ，所以解得 则 bc9. 1 b c 0， 25 5b c 0， ) b 4，c 5， )9解：因为 A，B 两点是二次函数的图象与 x 轴的交点，所以设二次函数的表达式为ya
9、( x 1)(x2)，将点 C(3， 4)的坐标代入，得(31)(3 2)a4，解得 a2，所以该二次函数的表达式为 y2( x1)(x2)2x 26x4.10A 解析 由图象知，抛物线的顶点坐标是(1，3) ，所以可设抛物线的表达式为ya(x1) 23. 因为抛物线经过点(0 ，0)，所以 a3，即 y3(x1) 23.故选 A.11C 解析 已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式 ya(xh) 2k ，又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线 y x24x 3 相同，所以 a ，所以该抛物线的函数关系12 12式是 y (x2) 21.1212A 解析 抛物线 yax 2bx 经过点 A(3，3
10、)，且该抛物线的对称轴经过点A，该抛物线的顶点坐标是( 3，3) ， 解得 ，该抛物线的表达式为 y x22x.故选 A. b2a 3，0 b24a 3， ) a 13，b 2， ) 1313y x22x 或 y x2 x12 16 23解析 二次函数图象与 x 轴的另一个交点到原点的距离为 4，这个交点的坐标为(4，0)或(4，0) 当这个交点的坐标为(4， 0)时，解得c 0，4a 2b c 2，16a 4b c 0， ) a 12，b 2，c 0， )该二次函数的表达式为 y x22x ；12当这个交点的坐标为(4，0)时，解得c 0，4a 2b c 2，16a 4b c 0， ) a
11、16，b 23，c 0， )该二次函数的表达式为 y x2 x.16 23故这个二次函数的表达式为 y x22x 或 y x2 x.12 16 2314yx 2x 2解析 由表格可知该二次函数的图象的顶点坐标为 ，所以可设其表达式为( 12， 94)ya 2 ，再任选一组 x，y 的值代入，求出字母 a 的值即可，如把 代入，得(x 12) 94 (12， 54) a ，解得 a1，所以该二次函数的表达式为 y ，即54 (12 12)294 (x 12)294yx 2x2；或设其表达式为 yax 2bxc ，再选取三组 x，y 的值代入，也可以求得结果为 yx 2x 2.15解：(1)由题意
12、得 2OB2，OB2，12点 B 的坐标为(2，0) (2)设抛物线所对应的函数表达式为 yax ，将(1，2)代入，得 a1(12)2，(x 2)解得 a ，故抛物线所对应的函数表达式为 y x(x2)，即 y x2 x.23 23 23 4316解：(1)b 24a(a b)b 24ab4a 2(2ab) 20，二次函数图象与 x 轴的交点的个数为两个或一个(2)当 x1 时，yab( ab) 01，二次函数图象不经过点 C.把点 A(1，4)，B(0，1)的坐标分别代入，得解得4 a b （ a b） ， 1 （ a b） ， ) a 3，b 2， )该二次函数的表达式为 y3x 22x
13、 1.(3)证明：当 x2 时，m4a2b(ab)3ab0.ab0，ab0.相加，得 2a0，a0.17解：(1)抛物线 y x2bxc 经过 A( ，0) ，B(0，3)两点，13 3 解得13（ 3） 2 3b c 0，c 3， ) b 2 33，c 3. )此抛物线所对应的函数表达式为 y x2 x3.13 2 33(2)由(1)可得此抛物线的对称轴为直线 x ，顶点坐标为( ，4)3 3(3)证明：设过 A，B 两点的直线所对应的函数表达式为 ykxb，将 A，B 两点的坐标分别代入，得 解得 故直线 AB 所对应的函数表达式为 y 3k b 0，b 3， ) k 3，b 3， )x 3， 当 x 时，y 6，点 D 的纵坐标为6，DC 2.3 3 | 6| | 4|过点 B 作 BE l 于点 E，则 BE ，CE431.由勾股定理得3BC 2，（ 3） 2 12BCDC.