1、第 5 课时 二次函数最值的应用知识点 1 二次函数最值的一般应用1二次函数 yx 22x 6 有最 _值( 填“大”或“小”)，把函数关系式配方得_，其图象的顶点坐标为_，故其最值为_2某二次函数的图象如图 26230 所示，根据图象可知，当 x_时，该函数有最_值，这个值是_图 262303若抛物线 yax 2bx c 的开口向下，顶点坐标为(2，3)，则二次函数yax 2bxc 有( )A最小值3 B最大值3C最小值 2 D最大值 24已知二次函数 yax 2bxc(a0)的图象如图 26231 所示，当5x0 时，下列说法正确的是( )图 26231A函数有最小值5，最大值 0B函数有
2、最小值3，最大值 6C函数有最小值 0，最大值 6D函数有最小值 2，最大值 65若二次函数 yax 2bx 1 同时满足下列条件：图象的对称轴是直线 x1；最值是 15.则 a 的值为( )A14 B14 C28 D28知识点 2 二次函数的最值在实际生活中的应用6一小球被抛出后，它距离地面的高度 h(米) 和飞行时间 t(秒)满足函数关系式h5( t1) 2 6，则小球距离地面的最大高度是 ( )A1 米 B5 米 C6 米 D7 米7某公园一喷水管喷水时水流的路线呈抛物线形(如图 26232) 若喷水时水流的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数关系式是 yx 2 2x1.25，则
3、在喷水过程中水流的最大高度为( )图 26232A1.25 m B2.25 mC2.5 m D3 m8如图 26233，假设篱笆(虚线部分) 的长度为 16 m，则所围成矩形 ABCD 的最大面积是( )图 26233A60 m 2 B63 m 2 C64 m 2 D66 m 292017天门飞机着陆后滑行的距离 s(单位：米)关于滑行的时间 t(单位：秒)的函数关系式是 s60t t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为_ 秒3210手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为 60 cm，菱形的面积 S(cm2)随其中一条对角线的长 x(cm)的变化而变化(1)请
4、直接写出 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围)；(2)当 x 的值是多少时，菱形风筝的面积 S 最大？最大面积是多少？11用长 8 m 的铝合金条制成矩形窗框 (如图 26234)，使窗户的透光面积最大( 铝合金条的宽度忽略不计)，那么这个窗户的最大透光面积是( )图 26234A. m2 B. m2 C. m2 D4 m 26425 43 8312如图 26235，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，当三角尺 MPN 的直角顶点P 在 BC 边上移动时，直角边 MP 始终经过点 A，设三角尺的另一直角边 PN 与边 CD 相交于点 Q，则 CQ 的最大值为( )
5、图 26235A4 B. C. D.94 92 17413已知 M，N 两点关于 y 轴对称，且点 M 在双曲线 y 上，点 N 在直线 yx 312x上，设点 M 的坐标为(a，b) ，则二次函数 yabx 2(a b)x( )A有最大值，最大值为92B有最大值，最大值为92C有最小值，最小值为92D有最小值，最小值为92142017新疆如图 26236 ，在边长为 6 cm 的正方形 ABCD 中，点 E，F，G，H分别从点 A，B，C，D 同时出发，均以 1 cm/s 的速度向点 B，C ，D ，A 匀速运动，当点 E到达点 B 时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为_s 时
6、，四边形EFGH 的面积最小，其最小面积是_cm 2.图 2623615教材练习第 2 题变式如图 26237，矩形 ABCD 的周长为 20，求：(1)矩形 ABCD 的面积的最大值；(2)矩形 ABCD 的对角线的最小值图 2623716如图 26238，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y x2x4 与 x 轴交于点12A，B ，与 y 轴交于点 C.(1)求点 A，B ，C 的坐标；(2)若 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，AMC 的面积为 S，求S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值图 2623817某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可
7、在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为 6 千件，若在国内市场销售，则平均每件产品的利润 y1(元)与国内的销售数量 x(千件)之间的关系为 y1 15x 90（ 0 x 2） ， 5x 130（ 2 x 6） .)若在国外市场销售，则平均每件产品的利润 y2(元) 与国外的销售数量 t(千件)之间的关系为 y2 100（ 0 t 2） ， 5t 110（ 2 t 6） .)(1)用含 x 的代数式表示 t 为 t_；当 0x4 时，y 2 与 x 的函数关系式为y2_；当 4x _时，y 2100；(2)求该公司每年销售这种健身产品的总利润 w(千元) 与国内的销售数量 x(千件)的函
8、数关系式，并指出 x 的取值范围；(3)该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大利润为多少？详解详析1小 y(x1) 25 (1 ，5) 522 小 13B 解析 因为抛物线 yax 2bxc 的开口向下，所以顶点(2，3) 是抛物线的最高点，所以二次函数 yax 2bx c 有最大值3.4B 解析 根据图象，当5x0 时，图象的最高点的坐标是(2，6) ，最低点的坐标是( 5，3)，所以当 x2 时，y 有最大值 6；当 x5 时，y 有最小值3.5B 解析 根据题意，得 b2a 1，4a b24a 15， )解得 a14.6C 解析 高度 h(米) 和飞行时间
9、 t(秒)满足函数关系式 h5( t1) 26，当 t1 时，小球距离地面的高度最大，此时 h5(11) 266(米) 故选 C.7B 解析 y x 22x1.25( x1) 22.25，在喷水过程中水流的最大高度为 2.25 m故选 B.8C 解析 设 ABx m，则 BC(16x )m，于是矩形 ABCD 的面积SAB BCx(16x )16xx 2(x 216x )(x 216x 6464)(x8) 26464( x8) 2.因为(x 8) 20，则(x8) 20，所以 S 最大值 64.故选 C.920 解析 飞机停下时，也就是滑行最远时，故本题中需求出 s 最大时对应的 t值10解：
10、(1)S x(60x) x230x.12 12(2)在 S x230x 中，a 0，12 12S 有最大值当 x 30 时，b2a 302( 12)S 取得最大值，最大值为 450.4ac b24a4( 12)0 3024( 12)当 x 的值为 30 时，菱形风筝的面积 S 最大，最大面积是 450 cm2.11C 解析 设矩形窗户水平方向的边长为 x m，则竖直方向的边长为 m，(4 32x)故这个窗户的透光面积 Sx x24x ，所以这个窗户的最大透光(4 32x) 32 32(x 43)2 83面积是 m2.8312B 解析 设 BPx ，CQy，则 AP24 2x 2，PQ 2(6x
11、) 2y 2，AQ 2(4y)26 2.APQ 为直角三角形，AP 2PQ 2AQ 2，即 42x 2(6x) 2y 2(4y) 26 2，化简，得 y x2 x，14 32整理，得 y (x3) 2 ，14 94CQ 的最大值为 .94故选 B.13B 解析 M ，N 两点关于 y 轴对称，点 M 的坐标为 (a，b)，点 N 的坐标为(a，b )点 M 在反比例函数 y 的图象上，点 N 在一次函数 yx3 的图象上，12xb ，ba3，整理得 ab ，ab3，12a 12故二次函数 yabx 2(ab)x 可转化为 y x23x ，该函数的二次项系数为12 0，故此函数有最大值，最大值为
12、 .故选 B.12 92143 18 解析 设运动时间为 t s(0t 6) ，则 AEt cm，AH(6t)cm.根据题意，得 S 四边形 EFGH S 正方形 ABCD4S AEH 664 t(6t) 2t212t362(t3) 218，12当 t3 时，四边形 EFGH 的面积取最小值，最小值为 18.故答案为：3，18.15解：(1)设矩形的一边长为 x，则其邻边长为 10x，矩形 ABCD 的面积 Sx (10x)x 210x(x5) 225，当 x5 时，S 最大 25.即矩形 ABCD 的面积的最大值为 25.(2)设矩形的一边长为 x，则其邻边长为 10x，对角线长为 y，y
13、2x 2(10x )22x 220x1002(x5) 250，当 x5 时，y 最小 250，矩形 ABCD 的对角线的最小值为 5 .216解：(1)当 x0 时，y4，点 C 的坐标为(0 ，4)当 y0 时，x2x40，解得 x14 ，x 22，点 A 的坐标为(4，0)，点 B 的坐标为(2，0) 12(2)过点 M 作 MDx 轴于点 D，设点 M 的坐标为(m，n)，则ADm 4，MD n，n m2m 4，12SS AMD S 梯形 DMCOS ACO (m4)(n) (n4)(m) 442n2m 812 12 122 2m8(12m2 m 4)m 24m( 4m0)Sm 24m(
14、m2) 24，当 m2 时，S 最大值 4.17解：(1)6x 5x80 6(2)当 0x2 时，w(15x 90)x(5x80)(6x)10x 240x480；当 2x4 时，w (5x 130)x(5x80)(6x)10x 280x480；当 4x6 时，w (5x 130)x100(6x)5x 230x600.所以 w 10x2 40x 480（ 0 x 2） ， 10x2 80x 480（ 2 x 4） ， 5x2 30x 600（ 4 x 6） . )(3)当 0x2 时，w10x 240x48010(x2) 2440，此时，当 x2 时，w 最大值600；当 2x4 时，w 10x 280x48010(x4) 2640 ，此时当 x4 时，w 最大值640；当 4x6 时，w 5x 230x6005(x3) 2645，此时当 4x6 时，w 640.所以当 x4 时，w 最大值 640.所以该公司每年国内销售 4 千件、国外销售 2 千件时，可使公司每年的总利润最大，最大利润为 64 万元(或 640 千元 )