1、第 15 讲 全等三角形与尺规作图A组 基础题组一、选择题1.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如下,则说明CAD=BAD 的依据是( )A.SSS B.SASC.ASA D.AAS2.(2018河北)尺规作图要求:.过直线外一点作这条直线的垂线;.作线段的垂直平分线;.过直线上一点作这条直线的垂线;.作角的平分线.下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图:则正确的配对是( )A.,B.,C.,D.,3.(2016浙江丽水)用直尺和圆规作 RtABC 斜边 AB上的高线 CD,以下四个作图中,作法错误的是( )4.在ABC 中,ABC=45,AC=4,H 是高 AD和 BE的交点,则线段 BH的长
2、度为( )A. B.4 C.2 D.56 35.如图,在ABC 中,C=90,B=30,边 AB的垂直平分线 DE交AB于点 E,交 BC于点 D,CD=3,则 BC的长为( )A.6 B.6 C.9 D.33 36.如图,AD 是ABC 的角平分线,DE,DF 分别是ABD 和ACD 的高,得到下列四个结论:OA=OD;ADEF;当BAC=90时,四边形AEDF是正方形;AE+DF=AF+DE.其中正确的是( )A. B. C. D.7.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形 ABCD是一个筝形,其中 AD=CD,AB=CB,某同学在探究筝形的性质时,得到如下结论:ACBD;AO
3、=CO= AC;ABDCBD.12其中正确的结论有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个二、填空题8.(2018德州)如图,OC 为AOB 的平分线.CMOB,OC=5,OM=4.则点C到射线 OA的距离为 . 9.如图,AB=12 m,CAAB 于 A,DBAB 于 B,且 AC=4 m,P点从 B向 A运动,每分钟走 1 m,Q点从 B向 D运动,每分钟走 2 m,P、Q 两点同时出发,运动 分钟后CAP 与PQB 全等.10.(2017江苏淮安)如图,在 RtABC 中,ACB=90,点 D、E 分别是 AB,AC的中点,点 F是 AD的中点.若 AB=8,则 EF= . 三、解答
4、题11.(2018河北,23,9 分)如图,A=B=50,P 为 AB中点,点 M为射线 AC上(不与点 A重合)的任意一点,连接 MP,并使 MP的延长线交射线 BD于点 N,设BPN=.(1)求证:APMBPN;(2)当 MN=2BN时,求 的度数;(3)若BPN 的外心在该三角形的内部,直接写出 的取值范围.12.(2018泰安)如图,ABC 中,D 是 AB上一点,DEAC 于点 E,F是AD的中点,FGBC 于点 G,与 DE交于点 H,若 FG=AF,AG平分CAB,连接 GE,GD.(1)求证:ECGGHD;(2)小亮同学经过探究发现:AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结
5、论;(3)若B=30,判定四边形 AEGF是不是菱形,并说明理由.B组 提升题组一、选择题1.(2018南京)如图,ABCD,且 AB=CD,E、F 是 AD上两点,CEAD,BFAD.若 CE=a,BF=b,EF=c,则 AD的长为( )A.a+c B.b+cC.a-b+c D.a+b-c2.数学活动课上,四位同学围绕作图问题“如图,已知直线 l和直线l外一点 P,用直尺和圆规作直线 PQ,使 PQl 于点 Q”.分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是( )3.如图,G,E 分别是正方形 ABCD的边 AB,BC的点,且AG=CE,AEEF,AE=EF,现有如下结论:BE= GE;AGEE
6、CF;FCD=45;GBEECH.12其中,正确的结论有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题4.如图,RtABC 中,A=90,C=30,BD 平分ABC 且与 AC边交于点 D,AD=2,则点 D到边 BC的距离是 . 5.如图,ABC 中,ADBC,CEAB,垂足分别为 D、E,AD、CE 交于点 H,请你添加一个适当的条件: ,使AEHCEB. 6.如图,在正方形 ABCD中,对角线 AC与 BD相交于点 O,E为 BC上一点,CE=5,F 为 DE的中点.若CEF 的周长为 18,则 OF的长为 .三、解答题7.如图,ABC 是直角三角形,且ABC=90,四边形 BC
7、DE是平行四边形,E 为 AC中点,BD 平分ABC,点 F在 AB上,且 BF=BC.求证:(1)DF=AE;(2)DFAC.第 15 讲 全等三角形与尺规作图A组 基础题组一、选择题1.A 从角平分线的作法可得,AFD 与AED 的三边全部相等,则AFDAED.故选 A.2.D 根据尺规作图的方法可知正确的配对是,.故选 D.3.D A.根据作图的方法可知,CD 是 RtABC 斜边 AB上的高线,不符合题意.B.根据“直径所对的圆周角是直角”知 CD是 RtABC 斜边 AB上的高线,不符合题意.C.根据相交圆的公共弦的性质可知 CD是斜边 AB上的高线,不符合题意.D.无法证明 CD是
8、 RtABC 斜边上的高线,符合题意.故选 D.4.B ABC=45,ADBC,在等腰直角三角形 ABD中,AD=BD,又ADB=ADC=90,BHD+DBH=90=EBC+C,BHD=C,BHDACD,BH=AC=4.5.C 由垂直平分线的性质定理得 BD=AD,B=BAD=30,AD 平分BAC.在 RtADC 中,AD=2CD=6,即 BD=6.BC=BD+CD=9.6.D 如果 OA=OD,则结合已知条件易证得四边形 AEDF是矩形,则BAC=90,但由题中条件得不到BAC=90,所以不正确.首先根据全等三角形的判定方法,判断出AEDAFD,则 AE=AF,DE=DF.然后根据全等三角
9、形的判定方法,判断出AEOAFO,则AOE=AOF=90,即 ADEF,所以正确.如果BAC=90,则四边形 AEDF的四个角都是直角,四边形 AEDF是矩形,结合 DE=DF,判断出四边形 AEDF是正方形,故正确.根据AEDAFD,得到AE=AF,DE=DF,进而得到 AE+DF=AF+DE,故正确.故选 D.7.D 在ABD 与CBD 中, =,=,=,ABDCBD(SSS),故正确.ADB=CDB,在AOD 与COD 中, =,=,=, AODCOD(SAS),AOD=COD=90,AO=OC= AC,12ACBD,故正确.故选 D.二、填空题8.答案 3解析 过 C作 CFAO.OC
10、 为AOB 的平分线,CMOB,CM=CF.OC=5,OM=4,CM=3,CF=3.故答案为 3.9.答案 4解析 CAAB 于 A,DBAB 于 B,A=B=90,设运动 x分钟后CAP 与PQB 全等,则 BP=x m,BQ=2x m,AP=(12-x)m,分两种情况:若 BP=AC,则 x=4,此时 AP=12-4=8 m,BQ=8 m,AP=BQ,CAPPBQ(SAS);若 BP=AP,则 12-x=x,解得 x=6,此时 BQ=12 m,BQAC,CAP 与PQB 不全等.综上所述:运动 4分钟后CAP 与PQB 全等.10.答案 2解析 D 为 AB的中点,AB=8,在 RtABC
11、 中,CD=4,又E、F 分别为 AC,AD的中点,根据三角形中位线定理,得 EF=2.三、解答题11.解析 (1)证明:P 为 AB中点,PA=PB.又A=B,MPA=NPB,APMBPN.(2)由(1)得 PM=PN,MN=2PN,又MN=2BN,PN=BN,=B=50.(3)4090.BPN 的外心在该三角形的内部,BPN 是锐角三角形,BPN 和BNP 都为锐角,又B=50,40BPN90,即 4090.12.解析 (1)证明:AF=FG,FAG=FGA,AG 平分CAB,CAG=FAG,CAG=FGA,ACFG.又DEAC,FGDE,又FGBC,DEBC,ACBC,C=DHG=90,
12、CGE=GED,F 是 AD的中点,FGAE,H 是 ED的中点,FG 是线段 ED的垂直平分线,GE=GD,GDE=GED,CGE=GDE,ECGGHD.(2)证明:过点 G作 GPAB 于点 P,GC=GP,CAGPAG,AC=AP.由(1)得 EG=DG,RtECGRtGPD,EC=PD,AD=AP+PD=AC+EC.(3)四边形 AEGF是菱形,理由如下:B=30,ADE=30,AE= AD,AE=AF=FG.12由(1)得 AEFG,四边形 AEGF是菱形.B组 提升题组一、选择题1.D2.A 根据垂线的作法,选项 A错误.故选 A.3.B 四边形 ABCD是正方形,B=DCB=90
13、,AB=BC,AG=CE,BG=BE,由勾股定理得:BE= GE,错误;22BG=BE,B=90,BGE=BEG=45,AGE=135,GAE+AEG=45,AEEF,AEF=90,BEG=45,AEG+FEC=45,GAE=FEC,在GAE 和CEF 中, =,=,=, GAECEF,正确;AGE=ECF=135,FCD=135-90=45,正确;BGE=BEG=45,AEG+FEC=45,FEC45,GBE 和ECH 不相似,错误.故选 B.二、填空题4.答案 2解析 过 D作 DEBC 于 E.BD 平分ABC,A=90,DE=AD=2.故点 D到边 BC的距离为 2.5.答案 AH=C
14、B(或 EH=EB或 AE=CE)解析 ADBC,CEAB,垂足分别为 D、E,AEC=BEC=ADB=90,B+BCE=90,B+BAD=90,BCE=BAD,AH=CB 或 EH=EB或 AE=CE,可证AEHCEB.6.答案 72解析 四边形 ABCD是正方形,BO=DO,BC=CD,BCD=90.在RtDCE 中,F 为 DE的中点,CF= DE=EF=DF.CEF 的周长为1218,CE+CF+EF=18.又CE=5,CF+EF=18-5=13,DE=DF+EF=13,DC= =12,BC=12,BE=12-5=7.在132-52BDE 中,BO=DO,F 为 DE的中点,OF 为BDE 的中位线,OF= BE= .12 72三、解答题7.证明 (1)延长 DE交 AB于点 G,连接 AD.四边形 BCDE是平行四边形,EDBC,ED=BC.点 E是 AC的中点,ABC=90,AG=BG,DGAB.AD=BD,BAD=ABD.BD 平分ABC,ABD=BAD=45,即BDE=ADE=45.又 BF=BC,BF=DE.在AED 与DFB 中, =,=,=, AEDDFB(SAS),AE=DF,即 DF=AE.(2)设 AC与 FD交于点 O.由(1)知,AEDDFB,AED=DFB,DEO=DFG.DFG+FDG=90,DEO+EDO=90,EOD=90,即 DFAC.