1、第 16 讲 等腰三角形与证明A 组 基础题组一、选择题1.下列命题错误的是( )A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形D.对角线互相垂直的矩形是正方形2.如图,等边OAB 的边长为 2,则点 B 的坐标为( )A.(1,1)B.( ,1)3C.( , )3 3D.(1, )33.平面直角坐标系中,已知 A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点 C,使ABC 为等腰三角形,则满足条件的点 C 的个数是( )A.5 B.6C.7 D.84.(2017 滨州)如图,在ABC 中,AB=AC,D 为 BC 上一点,且DA=D
2、C,BD=BA,则B 的大小为( )A.40 B.36C.30 D.25二、填空题5.如图,ABC 是等边三角形,BD 平分ABC,点 E 在 BC 的延长线上,且 CE=1,E=30,则 BC= . 三、解答题6.(2017 肥城模拟)已知:如图,ABC 中,ABC=45,CDAB 于 D,BE平分ABC,且 BEAC 于 E,与 CD 相交于点 F,H 是 BC 边的中点,连接DH 与 BE 相交于点 G.(1)求证:BF=AC;(2)求证:CE= BF.127.(2018 淄博)(1)操作发现:如图 1,小明画了一个等腰三角形 ABC,其中 AB=AC,在ABC 的外侧分别以 AB,AC
3、 为腰作了两个等腰直角三角形 ABD,ACE,分别取 BD,CE,BC 的中点 M,N,G,连接 GM,GN.小明发现了:线段 GM 与 GN 的数量关系是 ;位置关系是 ; (2)类比思考:如图 2,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角三角形,其中 ABAC,其他条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由;(3)深入研究:如图 3,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究.向ABC 的内侧分别作等腰直角三角形 ABD,ACE,其他条件不变,试判断GMN 的形状,并给予证明.B 组 提升题组一、选择题1.已知直线 y=- x+3 与坐标轴分别交于点 A,B,
4、点 P 在抛物线 y=-3(x- )2+4 上,能使ABP 为等腰三角形的点 P 的个数是( )13 3A.3 B.4C.5 D.6二、填空题2.(2017 泰安宁阳模拟)“在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行”这个命题的条件是 ,结论是 , 它是一个 命题. 3.有一面积为 5 的等腰三角形,它的一个内角是 30,则以它的腰3长为边长的正方形的面积为 . 三、解答题4.动手操作题:如图,在一张长为 7 cm,宽为 5 cm 的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为 4 cm 的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上),求剪下的等腰三角形的面积.第
5、 16 讲 等腰三角形与证明A 组 基础题组一、选择题1.C 2.D3.A 如图,当 AB=AC 时,以点 A 为圆心,AB 长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点 B 除外),即 O(0,0),C0(0,4),其中点 C0与 A、B 两点共线,不符合题意;当 AB=BC 时,以点 B 为圆心,AB 长为半径作圆,与坐标轴有两个交点,均符合题意;当 AC=BC 时,作 AB 的垂直平分线,与坐标轴有两个交点,均符合题意.所以满足条件的点 C 有 5 个,故选 A.4.B 根据题目中给定的条件,可以判定ADC、ABD 和ABC 均为等腰三角形,设C=x,则B=x,ADB=2x(三角形中两内角和为等
6、于第三个角的外角),BAD=2x,根据三角形内角和 180,解得 x=36,所以答案为 B.二、填空题5.答案 2解析 ABC 是等边三角形,ABC=ACB=60,BA=BC.BD 平分ABC,DBC=E=30,BDAC,BDC=90,BC=2DC.ACB=E+CDE,CDE=E=30,CD=CE=1,BC=2CD=2.故答案为 2.三、解答题6.证明 (1)CDAB,ABC=45,BCD 是等腰直角三角形.BD=CD.DBF=90-BFD,DCA=90-EFC,且BFD=EFC,DBF=DCA.在 RtDFB 和 RtDAC 中,=,=,=, RtDFBRtDAC(ASA),BF=AC.(2
7、)BE 平分ABC,ABE=CBE.在 RtBEA 和 RtBEC 中,=,=,=,RtBEARtBEC(ASA).CE=AE= AC.12由(1)知 BF=AC,CE= BF.127.解析 (1)MG=NG;MGNG,连接 BE,CD 相交于 H,ABD 和ACE 都是等腰直角三角形,AB=AD,AC=AE,AB=AC,BAD=CAE=90,CAD=BAE,ACDAEB(SAS),CD=BE,ADC=ABE,BDC+DBH=BDC+ABD+ABE=BDC+ABD+ADC=ADB+ABD=90,BHD=90,CDBE,点 M,G 分别是 BD,BC 的中点,MG CD,12同理:NG BE,1
8、2MG=NG,MGNG,故答案为 MG=NG,MGNG.(2)成立,理由如下:连接 CD,BE,相交于 H,同(1)的方法得,MG=NG,MGNG.(3)等腰直角三角形.连接 EB,DC 并延长,使其相交于 H,M,N,G 分别是 BD,CE,BC 的中点,MGCD,MG= CD,NGBE,NG= BE,12 12同(1)的方法得,ABEADC,AEB=ACD,BE=DC,CEH+ECH=AEH-AEC+180-ACD-ACE=ACD-45+180-ACD-45=90,MG=NG,DHE=90,MGNG.B 组 提升题组一、选择题1.A 以点 B 为圆心,线段 AB 长为半径作圆,交抛物线于点
9、 C、M、N,连接 AC、BC,如图所示.令一次函数 y=- x+3 中 x=0,则 y=3,3点 A 的坐标为(0,3).令一次函数 y=- x+3 中 y=0,3即- x+3=0,解得 x= .3 3点 B 的坐标为( ,0).AB=2 .3 3由题意知抛物线的对称轴为 x= ,3点 C 的坐标为(2 ,3),3AC=2 =AB=BC,3ABC 为等边三角形.令 y=- (x- )2+4 中 y=0,13 3即- (x- )2+4=0,13 3解得 x=- 或 x=3 .3 3点 M 的坐标为(- ,0),点 N 的坐标为(3 ,0).3 3ABP 为等腰三角形分三种情况:当 AB=BP
10、时,以 B 点为圆心,AB 的长度为半径作圆,与抛物线交于C、M、N 三点;当 AB=AP 时,以 A 点为圆心,AB 的长度为半径作圆,与抛物线交于C、M 两点;当 AP=BP 时,作线段 AB 的垂直平分线,与抛物线交于 C、M 两点.能使ABP 为等腰三角形的点 P 的个数是 3.故选 A.二、填空题2.答案 同一平面内两直线垂直于同一条直线;这两条直线平行;真3.答案 20 或 203解析 在等腰ABC 中,设 AB=AC=x.当顶角A=30时,如图 1,作CDAB,垂足为 D.sin 30= = ,12CD= x, x x=5 ,12 12 12 3x 2=20 ,3即以它的腰长为边
11、长的正方形的面积为 20 ;3当底角B=ACB=30时,如图 2,作 CDBA,交 BA 的延长线于 D.DAC=B+ACB=60,sin 60= = ,CD= x,32 32 x x=5 ,12 32 3x 2=20,即以它的腰长为边长的正方形的面积为 20.综上,以它的腰长为边长的正方形的面积为 20 或 20.3三、解答题4.解析 分三种情况计算:(1)当 AE=AF=4 cm 时,如图 1:S AEF = AEAF= 44=8(cm2);12 12(2)当 AE=EF=4 cm 时,如图 2:则 BE=5-4=1 cm,BF= = = cm,2-2 42-12 15S AEF = AEBF= 4 =2 (cm2);12 12 15 15(3)当 AE=EF=4 cm 时,如图 3:则 DE=7-4=3 cm,DF= = = cm,2-2 42-32 7S AEF = AEDF= 4 =2 (cm2).12 12 7 7故剪下的等腰三角形的面积为 8 cm2或 2 cm2或 2 cm2.15 7