1、第 27 讲 概率A 组 基础题组一、选择题1.(2017 辽宁沈阳)下列事件中,是必然事件的是( )A.将油滴入水中,油会浮在水面上B.车辆随机到达一个路口,遇到红灯C.如果 a2=b2,那么 a=bD.掷一枚质地均匀的硬币,一定正面向上2.下列事件是随机事件的是( )A.太阳从东方升起B.任意画一个三角形,其内角和是 360C.标准大气压下,温度降到 0 以下,水会结冰D.射击运动员射击一次,命中靶心3.(2018 山西)在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球,它们除颜色外都相同,随机从中摸出一个球,记下颜色后放回袋子中,充分摇匀后,再随机摸出一个球,两次都摸到黄球的概率是( )A.
2、B.49 13C. D.29 194.(2017 北京)下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:当投掷次数是 500 时,计算机记录“钉尖向上”的次数是 308,所以“钉尖向上”的概率是 0.616;随着试验次数的增加,“钉尖向上”的频率总在 0.618 附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“钉尖向上”的概率是 0.618;若再次用计算机模拟此试验,则当投掷次数为 1 000 时,“钉尖向上”的频率一定是 0.620.其中合理的是( )A. B. C. D.5.(2017 临沂)小明和小华玩“石头、剪刀、布”的游戏,若随机出手一次,则小华获胜的概率是( )A.
3、 B.23 12C. D.13 296.(2017 兰州)一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其他完全相同的小球,其中有 9 个黄球,每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在 30%,那么估计盒子中小球的个数 n 为( )A.20 B.24 C.28 D.307.(2018 河南)现有 4 张卡片,其中 3 张卡片正面上的图案是“ ”,1张卡片正面上的图案是“ ”,除此之外它们完全相同.把这 4 张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面图案相同的概率是( )A. B.916 34C. D.38 128.(2
4、017 东营)如图,共有 12 个大小相同的小正方形,其中阴影部分的 5 个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分,现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影,能构成这个正方体的表面展开图的概率是( )A. B. C. D.47 37 27 17二、填空题9.(2017 福建)一个箱子装有除颜色外都相同的 2 个白球,2 个黄球,1个红球.现添加同种型号的 1 个球,使得从中随机抽取 1 个球,这三种颜色的球被抽到的概率都是 ,那么添加的球是 . 1310.(2018 东营)有五张背面完全相同的卡片,其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形,将这五张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取一
5、张卡片,卡片上的图形是中心对称图形的概率是 . 11.(2018 北京)从甲地到乙地有 A,B,C 三条不同的公交线路.为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况,在每条线路上随机选取了 500 个班次的公交车,收集了这些班次的公交车用时(单位:分钟)的数据:公交车用时公交车用时的频数线路30t3535t4040t4545t50合计A 59 151 166 124 500B 50 50 122 278 500C 45 265 167 23 500早高峰期间,乘坐 (填“A”“B”或“C”)线路上的公交车,从甲地到乙地“用时不超过 45 分钟”的可能性最大. 12.(2017 浙
6、江杭州)一个不透明布袋里共有 3 个球(只有颜色不同),其中 2 个红球,1 个白球.从中任意摸出一个球,记下颜色后放回,搅匀,再任意摸出一个球,则两次摸出的球都是红球的概率是 .三、解答题13.(2018 江西)今年某市为创评“全国文明城市”称号,周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从 4 名女班干部(小悦、小惠、小艳和小倩)中通过抽签的方式确定 2 名女生去参加.抽签规则:将 4 名女班干部姓名分别写在 4 张完全相同的卡片正面,把四张卡片背面朝上,洗匀后放在桌面上,梁老师先从中随机抽取一张卡片,记下姓名,再从剩余的 3 张卡片中随机抽取第二张,记下姓名.(1)该班男生“小刚
7、被抽中”是 事件,“小悦被抽中”是 事件(填“不可能”或“必然”或“随机”);第一次抽取卡片,“小悦被抽中”的概率为 ; (2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果,并求出“小惠被抽中”的概率.14.(2018 淄博)“推进全科阅读,培育时代新人”,某学校为了更好地开展学生读书节活动,随机调查了八年级 50 名学生最近一周的读书时间,统计数据如下表:时间/小时6 7 8 9 10人数 5 8 12 15 10(1)写出这 50 名学生读书时间的众数、中位数、平均数;(2)根据上述表格补全下面的条形统计图;(3)学校欲从这 50 名学生中,随机抽取 1 名学生参加上级部门组织的读书
8、活动,其中抽到的学生读书时间不少于 9 小时的概率是多少?B 组 提升题组一、选择题1.甲口袋中有 2 个白球、1 个红球,乙口袋中有 1 个白球、1 个红球,这些球除颜色外无其他差别.分别从每个口袋中随机摸出 1 个球.下列事件中,概率最大的是( )A.摸出的 2 个球颜色相同B.摸出的 2 个球颜色不相同C.摸出的 2 个球中至少有 1 个红球D.摸出的 2 个球中至少有 1 个白球2.(2017 淄博)在一个不透明的袋子里装有四个小球,球上分别标有6,7,8,9 四个数字,这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏,甲先从袋中任意摸出一个小球,将小球上的数字记为 m,再由乙猜这个
9、小球上的数字,记为 n.如果 m,n 满足|m-n|1,那么就称甲、乙两人“心领神会”,则两人“心领神会”的概率是( )A. B. C. D.38 58 14 123.一个袋中装有红、黄、白球各 2 个,为了确保一次从中取出的球 3种颜色都有,则最少要取出( )A.6 个球 B.5 个球C.4 个球 D.3 个球4.(2017 株洲)三名学生坐在仅有的三个座位上,起身后重新就座,恰好有两名同学没有坐回原来的座位的概率是( )A. B. C. D.19 16 14 125.如图,ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,EF、GH 过点 O,且点E、H 在边 AB 上,点 G、F 在边 CD
10、 上,向ABCD 内部投掷飞镖(每次均落在ABCD 内,且落在ABCD 内任何一点的机会均等)恰好落在阴影区域的概率为( )A. B.12 13C. D.14 18二、填空题6.在一个不透明的盒子中有 12 个白球,若干个黄球,它们除了颜色不同外,其余均相同,若从中随机摸出一个球是黄球的概率是 ,则黄球13的个数是 . 7.(2017 台州)三名运动员参加定点投篮比赛,原定出场顺序是:甲第一个出场,乙第二个出场,丙第三个出场.由于某种原因,要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序,则抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率为 . 三、解答题8.(2018 泰安)为增强学生的安全意识,我市某
11、中学组织初三年级 1 000 名学生参加了“校园安全知识竞赛”活动,随机抽取了一个班学生的成绩进行整理,分为 A,B,C,D 四个等级,并把结果整理绘制成条形统计图与扇形统计图(部分),请依据如图提供的信息,完成下列问题:(1)请估计本校初三年级等级为 A 的学生人数;(2)学校决定从得满分的 3 名女生和 2 名男生中随机抽取 3 人参加市级比赛,请求出恰好抽到 2 名女生和 1 名男生的概率.9.(2017 陕西)端午节“赛龙舟,吃粽子”是中华民族的传统习俗.节日期间,小邱家包了三种不同馅的粽子,分别是:红枣粽子(记为 A),豆沙粽子(记为 B),肉粽子(记为 C),这些粽子除了馅不同,其
12、余均相同.粽子煮好后,小邱的妈妈在一个白盘中放入了两个红枣粽子,一个豆沙粽子和一个肉粽子;在一个花盘中放入了两个肉粽子,一个红枣粽子和一个豆沙粽子.根据以上情况,请你回答下列问题:(1)假设小邱从白盘中随机取一个粽子,恰好取到红枣粽子的概率是多少?(2)若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子,再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子,请用列表法或画树状图的方法,求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率.10.(2017 甘肃兰州)甘肃省省会兰州,又名金城.在金城,黄河母亲河通过自身文化的演绎,衍生和流传了独特的“金城八宝”美食,“金城八宝”中甜品类有:味甜汤糊“灰豆子”、醇香
13、软糯“甜胚子”、生津润肺“热冬果”、香甜什锦“八宝百合”;其他类有:青白红绿“牛肉面”、酸辣清凉“酿皮子”、清爽溜滑“浆水面”、香醇肥美“手抓羊肉”.李华和王涛同时去品尝美食,李华准备在“甜胚子、牛肉面、酿皮子、手抓羊肉”这四种美食中选择一种,王涛准备在“八宝百合、灰豆子、热冬果、浆水面”这四种美食中选择一种.(甜胚子、牛肉面、酿皮子、手抓羊肉分别记为 A、B、C、D;八宝百合、灰豆子、热冬果、浆水面分别记为 E、F、G、H)(1)用画树状图或列表的方法表示李华和王涛同时选择美食的所有可能结果;(2)求李华和王涛同时选择的美食都是甜品类的概率.11.(2017 湖北黄冈)我市东坡实验中学准备开
14、展“阳光体育活动”,决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动.为了了解学生对这五项活动的喜爱情况,随机调查了 m 名学生(每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种).根据以上统计图提供的信息,请解答下列问题:(1)m= ,n= ; (2)补全上图中的条形统计图;(3)若全校共有 2 000 名学生,请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球;(4)在抽查的 m 名学生中,有小薇、小燕、小红、小梅等 10 名学生喜欢羽毛球活动,学校打算从小薇、小燕、小红、小梅这 4 名女生中,选取 2 名参加全市中学生女子羽毛球比赛,请用列表法或画树状图法求同时选中小红、小燕的概率.(解答过程中,可将小薇、
15、小燕、小红、小梅分别用字母 A,B,C,D 代表)第 27 讲 概率A 组 基础题组一、选择题1.A 2.D3.A 列表:第一次第二次 黄 1 黄 2 白黄 1(黄1,黄1)(黄2,黄1)(白,黄 1)黄 2(黄1,黄2)(黄2,黄2)(白,黄 2)白(黄1,白)(黄2,白)(白,白)由表格可知,共有 9 种等可能结果,其中两次都摸到黄球的结果有 4种,P(两次都摸到黄球)= ,故选 A.494.B 不合理,0.616 是“钉尖向上”的频率;合理;不合理.5.C 画树状图得:共有 9 种等可能的结果,小华获胜的情况数是 3 种,小华获胜的概率是 = .3913故选 C.6.D 根据题意得 =3
16、0%,解得 n=30,9所以这个不透明的盒子里大约有 30 个除颜色外其他完全相同的小球.故选 D.7.D 记图案“ ”为字母“a”,图案“ ”为字母“b”,画树状图如下:共有 12 种等可能的结果,其中两张卡片正面图案相同的结果有 6 种,则所求概率为 = .故选 D.612128.A 设没有涂上阴影的小正方形分别为 A,B,C,D,E,F,G,如图所示,从这几个小正方形中任取一个涂上阴影共有 7 种情况,而能构成正方体的表面展开图的有 D,E,F,G,能构成这个正方体的表面展开图的概率是 .47故选 A.二、填空题9.答案 红球(或红色的)解析 再添加 1 个球,则箱子中共有 6 个球.因
17、为从中随机抽取 1 个球,三种颜色的球被抽到的概率都是 ,所以每种颜色的球都有 2 个,13故添加的球是红球.10.答案 45解析 中心对称图形有平行四边形、矩形、正方形、菱形,所以概率为 .4511.答案 C 解析 由表格可知,A,B,C 三条线路不超过 45 分钟的频数分别为376,222,477.因为 222376477,所以从甲地到乙地“用时不超过 45分钟”可能性最大的是乘坐 C 线路上的公交车.12.答案 49解析 分别用红 1,红 2 表示两个红球,用白表示白球.画树状图如下:由树状图可知共有 9 种等可能的结果,其中符合条件“两次摸出的球都是红球”的结果有 4 种,故所求概率为
18、 .49三、解答题13.解析 (1)不可能;随机; .14(2)解法一:根据题意,画出如下的树状图:由树状图可以得出,所有可能出现的结果共有 12 种,这些结果出现的可能性相等,“小惠被抽中”的结果共有 6 种,所以 P(小惠被抽中)= .61212解法二:根据题意,列出表格如下:小悦 小惠 小艳 小倩小悦小悦、小惠小悦、小艳小悦、小倩小惠小惠、小悦小惠、小艳小惠、小倩小艳小艳、小悦小艳、小惠小艳、小倩小倩小倩、小悦小倩、小惠小倩、小艳由上表可以得出,所有可能出现的结果共有 12 种,这些结果出现的可能性相等,“小惠被抽中”的结果共有 6 种,所以 P(小惠被抽中)= =612.1214.解析
19、 (1)观察表格,可知这组样本数据的平均数为(65+78+812+915+1010)50=8.34,故这组样本数据的平均数为 8.34.这组样本数据中,9 出现了 15 次,出现的次数最多,这组数据的众数是 9.将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数是8 和 9,这组数据的中位数为 (8+9)=8.5.12(2)补全图形如图所示.(3)读书时间是 9 小时的有 15 人,读书时间是 10 小时的有 10 人,读书时间不少于 9 小时的有 15+10=25 人,被抽到的学生读书时间不少于 9 小时的概率是 = .255012B 组 提升题组一、选择题1.D (1)将甲口袋中的
20、2 个白球,1 个红球分别记为白 1,白 2,红 1,将乙口袋中的 1 个白球、1 个红球分别记为白 3,红 2.分别从每个口袋中随机摸出 1 个球,所有可能出现的结果有(白 1,白 3),(白 1,红 2),(白 2,白 3),(白 2,红 2),(红 1,白 3),(红 1,红 2),共 6 种,它们出现的可能性相同.(2)摸出的 2 个球颜色相同的概率为 = ,摸出的 2 个球颜色不相同的3612概率为 = ,摸出的 2 个球中至少有 1 个红球的概率为 = ,摸出的 2 个3612 4623球中至少有 1 个白球的概率为 ,概率最大的是摸出的 2 个球中至56少有 1 个白球.2.B
21、画树状图如下:由树状图可知,共有 16 种等可能结果,其中满足|m-n|1 的有 10 种结果,两人“心领神会”的概率是 = ,101658故选 B.3.B 取出 3 个时可能为两个颜色,取出 4 个时可能为两个颜色,取出 5 个时则最少是三种颜色,为了确保一次从中取出的球 3 种颜色都有,则最少要取出 5 个球,故选 B.4.D 假设三名学生为 A,B,C,他们最开始对应的座位为 1,2,3,画树状图如下.故选 D.5.C 四边形 ABCD 为平行四边形,OEH 和OFG 关于点 O 中心对称,S OEH =SOFG ,S 阴影部分 =SAOB = SABCD,14飞镖恰好落在阴影区域的概率
22、为 = .故选 C.阴影部分14二、填空题6.答案 6解析 设黄球的个数为 x,根据题意得 = ,解得 x=6.经检验,x=612+13是原分式方程的解.黄球的个数为 6.7.答案 13解析 依题意可得甲、乙、丙三人出场顺序的情况有:甲乙丙,甲丙乙,乙丙甲,乙甲丙,丙甲乙,丙乙甲,共 6 种情况,符合条件的有乙丙甲,丙甲乙这 2 种情况,P= = ,故答案为 .2613 13三、解答题8.解析 (1)由题意得,所抽取班级的人数为 820%=40.该班等级为 A 的人数为 40-25-8-2=40-35=5.该校初三年级等级为 A 的学生人数约为 1 000 =1 000 =125.540 18
23、答:估计该校初三年级等级为 A 的学生人数为 125.(2)设两位得满分的男生为 m1,m2,三位得满分的女生为 g1,g2,g3.从这 5 名同学中选 3 名同学的所有可能结果为(m 1,m2,g1),(m1,m2,g2),(m1,m2,g3),(m1,g1,g2),(m1,g1,g3),(m1,g2,g3),(m2,g1,g2),(m2,g2,g3),(m2,g1,g3),(g1,g2,g3),共 10 种.其中,恰好有 2 名女生,1 名男生的结果为(m 1,g1,g2),(m1,g1,g3),(m1,g2,g3),(m2,g1,g2),(m2,g1,g3),(m2,g2,g3),共 6
24、 种.所以恰有 2 名女生,1 名男生的概率为 = .610359.解析 (1)由题意可得,小邱从白盘中随机取一个粽子,恰好取到红枣粽子的概率是 = .2412(2)列表如下:白盘花盘 A A B CA(A,A)(A,A)(B,A)(C,A)B(A,B)(A,B)(B,B)(C,B)C(A,C)(A,C)(B,C)(C,C)C(A,C)(A,C)(B,C)(C,C)由表可知,共有 16 种等可能的结果,其中满足题意的情况有 3 种.小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率是 .31610.解析 (1)列表如下:王涛李华 E F G HA(A,E)(A,F)(A,G)(A,H)B(B,E)(B,F)(B,G)(B,H)C(C,E)(C,F)(C,G)(C,H)D(D,E)(D,F)(D,G)(D,H)或画树状图如下:(2)根据(1)中表格或树状图,可知共有 16 种等可能的结果,而同时选择的美食都是甜品类的有 3 种结果,分别是(A,E),(A,F),(A,G).P(同时选择的美食都是甜品类)= .31611.解析 (1)100;5.(2)如图所示.(3)2 000 =400(名 ).20100答:该校约有 400 名学生喜爱打乒乓球.(4)依题意可画树状图如下:一共有 12 种等可能的结果,符合条件的有 2 种,P(同时选中小红、小燕)= = .21216