1、第 22 讲 与圆有关的位置关系A组 基础题组一、选择题1.O 的半径 r=5 cm,圆心到直线的距离 OM=4 cm,在直线上有一点 P,且PM=3 cm,则点 P( )A.在O 内B.在O 上C.在O 外D.可能在O 上或在O 内2.下列语句中,正确的是( )A.长度相等的弧是等弧B.在同一平面上的三点确定一个圆C.三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等3.(2018福建)如图,AB 是O 的直径,BC 与O 相切于点 B,AC交O于点 D.若ACB=50,则BOD 等于 ( )A.40 B.50C.60 D.804.如图,PA,PB 切O 于
2、A,B两点,APB=80,C 是O 上不同于 A,B的任一点,则ACB 等于( )A.80 B.50或 130C.100 D.405.(2018重庆)如图,已知 AB是O 的直径,点 P在 BA的延长线上,PD与O 相切于点 D,过点 B作 PD的垂线交 PD的延长线于点 C.若O的半径为 4,BC=6,则 PA的长为( )A.4 B.2 3C.3 D.2.56.如图,点 I和 O分别是ABC 的内心和外心,则AIB 和AOB 的关系为( )A.AIB=AOBB.AIBAOBC.2AIB- AOB=18012D.2AOB- AIB=180127.如图,在矩形 ABCD中,AB=4,AD=5,A
3、D,AB,BC 分别与O 相切于 E,F,G三点,过点 D作O 的切线交 BC于点 M,切点为 N,则 DM的长为( )A. B.133 92C. D.24313二、填空题8.直角三角形的两条直角边长分别是 5 cm和 12 cm,则它的外接圆半径为 ,内切圆半径为 . 9.(2018江苏连云港)如图,AB 是O 的弦,点 C在过点 B的切线上,且 OCOA,OC 交 AB于点 P,已知OAB=22,则OCB= . 三、解答题10.(2018东营)如图,CD 是O 的切线,点 C在直径 AB的延长线上.(1)求证:CAD=BDC;(2)若 BD= AD,AC=3,求 CD的长.2311.(20
4、17东营)如图,在ABC 中,AB=AC,以 AB为直径的O 交 BC于点 D,过点 D作O 的切线 DE,交 AC于点 E,AC的反向延长线交O 于点 F.(1)求证:DEAC;(2)若 DE+EA=8,O 的半径为 10,求 AF的长.B组 提升题组一、选择题1.下图是一块三角形余料,已知 AB=20 cm,BC=7 cm,AC=15 cm,现将余料裁剪成一个圆形材料,则该圆的最大面积是( )A. cm 2 B.2 cm 2 C.4 cm 2D.8 cm 22.如图,O 的半径为 2,点 A的坐标为(2,2 ),直线 AB为O 的切3线,B 为切点,则 B点的坐标为( )A. B. C.
5、D.(-32,85) (- 3,1) (-45,95) (-1,3)二、填空题3.(2018安徽)如图,菱形 ABOC的边 AB,AC分别与O 相切于点 D,E.若点 D是 AB的中点,则DOE= . 4.(2018山西)如图,在 RtABC 中,ACB=90,AC=6,BC=8,点 D是AB的中点,以 CD为直径作O,O 分别与 AC,BC交于点 E,F,过点 F作O 的切线 FG,交 AB于点 G,则 FG的长为 . 三、解答题5.(2018菏泽)如图,ABC 内接于O,AB=AC,BAC=36,过点 A作ADBC,与ABC 的平分线交于点 D,BD与 AC交于点 E,与O 交于点F.(1
6、)求DAF 的度数;(2)求证:AE 2=EFED;(3)求证:AD 是O 的切线.6.(2018广东)如图,四边形 ABCD中,AB=AD=CD,以 AB为直径的O 经过点 C,连接 AC、OD 交于点 E.(1)证明:ODBC;(2)若 tanABC=2,证明:DA 与O 相切;(3)在(2)的条件下,连接 BD交O 于点 F,连接 EF,若 BC=1,求 EF的长.7.(2017衡阳)如图,已知ABC 内接于O,AB 为O 的直径,BDAB,交 AC的延长线于点 D.(1)E为 BD的中点,连接 CE,求证:CE 是O 的切线;(2)若 AC=3CD,求A 的大小.8.(2017威海)已
7、知:AB 为O 的直径,AB=2,弦 DE=1,直线 AD与 BE相交于点 C,弦 DE在O 上运动且保持长度不变,O 的切线 DF交 BC于点 F.(1)如图 1,若 DEAB,求证:CF=EF;(2)如图 2,当点 E运动至与点 B重合时,试判断 CF与 BF是否相等,并说明理由.第 22 讲 与圆有关的位置关系A组 基础题组一、选择题1.B 2.D 3.D4.B 连接 OA,OB.PA,PB 切O 于 A,B两点,PAO=PBO=90.P=80,在四边形 APBO中,AOB=360-90-90-80=100.当点 C在优弧 AB上时,ACB= AOB=50.12当点 C在劣弧 AB上时,
8、ACB=180-50=130.故选 B.5.A 连接 DO,PD 与O 相切于点 D,PDO=90.BCPC,PCB=90,DOBC,PODPBC, = , = ,+4+846PA=4,故选 A.6.C 点 O是ABC 的外心,C= AOB.12点 I是ABC 的内心,IAB= CAB,IBA= CBA.12 12AIB=180-(IAB+IBA)=180- (CAB+CBA)12=180- (180-C)12=90+ C,122AIB=180+C,2AIB=180+ AOB,12即 2AIB- AOB=180.127.A 连接 OE,OF,ON,OG,在矩形 ABCD中,AD,AB,BC 分
9、别与O 相切于 E,F,G三点,AEO=AFO=OFB=BGO=90,A=B=90,CD=AB=4,四边形 AFOE,FBGO是正方形,AF=BF=AE=BG=2,DE=AD-AE=3.DM 是O 的切线,DN=DE=3,MN=MG,CM=5-2-MN=3-MN.在 RtDMC 中,DM 2=CD2+CM2,(3+NM) 2=(3-NM)2+42,NM= ,43DM=3+ = ,故选 A.43133二、填空题8.答案 6.5 cm;2 cm解析 直角边长分别为 5 cm和 12 cm,斜边长是 13 cm,这个直角三角形的外接圆的半径为 13=6.5(cm).12根据直角三角形内切圆的半径等于
10、两条直角边的和与斜边的差的一半,可得其内切圆的半径是 =2(cm).5+12-1329.答案 44解析 连接 OB,BC 是O 的切线,OBBC,OBA+CBP=90,OCOA,A+APO=90,OA=OB,OAB=22,OBA=OAB=22,APO=CBP=68,APO=CPB,CPB=CBP=68,OCB=180-68-68=44,故答案为 44.三、解答题10.解析 (1)证明:连接 OD,OB=OD,OBD=ODB.CD 是O 的切线,OD 是O 的半径,ODB+BDC=90.AB 是O 的直径,ADB=90.OBD+CAD=90,CAD=BDC.(2)C=C,CAD=BDC,CDBC
11、AD, = . = ,23 = .23AC=3,CD=2.11.解析 (1)证明:OB=OD,ABC=ODB.AB=AC,ABC=ACB,ODB=ACB,ODAC.DE 是O 的切线,OD 是半径,DEOD,DEAC.(2)如图,过点 O作 OHAF 于点 H,则ODE=DEH=OHE=90,四边形 ODEH是矩形,OD=EH,OH=DE.设 AH=x.DE+AE=8,OD=10,AE=10-x,OH=DE=8-(10-x)=x-2.在 RtAOH 中,由勾股定理知 AH2+OH2=OA2,即 x2+(x-2)2=102,解得 x1=8,x2=-6(不合题意,舍去).AH=8.OHAF,AH=
12、FH= AF,12AF=2AH=28=16.B组 提升题组一、选择题1.C 当该圆为三角形内切圆时面积最大,设内切圆半径为 r cm,则该三角形面积为 r(AB+BC+AC)=21r.根据已知条件易得ABC 的12面积 S=42 cm2,则可得 r=2,所以所求的最大面积为 4 cm 2.故选 C.2.D 过点 A作 ACx 轴于点 C,过点 B作 BDx 轴于点 D.O 的半径为 2,点 A的坐标为(2,2 ),3即 OC=2=xA,AC=2 =yA,3AC 是圆 O的切线,在 RtOCA 中,tanAOC= = = ,232 3AOC=60.又直线 AB为O 的切线,AOB=AOC=60.
13、BOD=180-AOB-AOC=60.又OB=2,OD=1,BD= ,3即 B点的坐标为(-1, ).故选 D.3二、填空题3.答案 60解析 AB,AC 分别与O 相切于点 D,E,ODAB,OEAC.在菱形ABOC中,AB=BO,点 D是 AB的中点,BD= AB= BO,BOD=30,12 12B=60,又OBAC,A=120,在四边形 ADOE中,DOE=360-90-90-120=60.4.答案 125解析 如图,连接 OF,FG 为O 的切线,OFFG.RtABC 中,D 为 AB中点,CD=BD,DCB=B.OC=OF,OCF=OFC,CFO=B,OFBD,ABFG.O 为 CD
14、的中点,F 为 BC的中点,CF=BF= BC=4.12RtABC 中,AB= =10,2+2sinB= = ,35在 RtBGF 中,FG=BFsinB=4 = .35125三、解答题5.解析 (1)ADBC,D=CBD,AB=AC,BAC=36,ABC=ACB= (180-BAC)=72,12AFB=ACB=72,BD 平分ABC,ABD=CBD= ABC= 72=36,12 12D=CBD=36,BAD=180-D-ABD=180-36-36=108,BAF=180-ABF-AFB=180-36-72=72,DAF=BAD-BAF=108-72=36.(2)证明:CBD=36,FAC=C
15、BD,FAC=D,AED=AEF,AEFDEA, = ,AE 2=EFED.(3)证明:连接 OA、OF,ABF=36,AOF=2ABF=72,OA=OF,OAF=OFA= (180-AOF)=54,12由(1)知DAF=36,OAD=36+54=90,即 OAAD,又OA 为半径,AD 是O 的切线.6.解析 (1)证明:如图 1,连接 OC,则 OA=OC,图 1点 O在线段 AC的垂直平分线上,同理,点 D也在线段 AC的垂直平分线上,OD 是线段 AC的垂直平分线,ODAC,AE=EC,AB 为O 的直径,BCA=90,即 BCAC,ODBC.(2)证明:tanABC=2,BC= AC
16、,12由(1)得 E是 AC的中点,AE= AC,BC=AE.12AB=AD,RtABCRtDAE,BAC=ADE,OAD=BAC+EAD=ADE+EAD=90,ABAD,DA 与O 相切.(3)如图 2,连接 AF,则 AFBD,图 2BC=1,AC=ED=2,AD=CD=AB= = ,2+2 5AO=BO= AB= ,12 52OD= = .2+252AB=AD,ABAD,ABD 是等腰直角三角形,BD= AB= .2 10且 F是 BD的中点,FD= BD= ,12 102 = = ,105EDF=BDO,DEFDBO, = = ,105EF= BO= .105 227.解析 (1)证明
17、:连接 OC.AB 为O 的直径,ACB=DCB=90.E 为 BD的中点,BE=CE,EBC=ECB.OC=OB,OCB=OBC,ECB+OCB=EBC+OBC.BDAB,OCE=OBE=90,CE 是O 的切线.(2)设 CD=m,则 AC=3m.由(1)知ACB=DCB,又易得A=CBD,ACBBCD, = ,BC 2=ACCD,BC= m,3tan A= = ,33A=30.8.解析 (1)证明:如图 1,连接 OD,OE,AB=2,OA=OD=OE=OB=1.DE=1,OD=OE=DE,ODE 是等边三角形,ODE=OED=60.DEAB,AOD=ODE=60,EOB=OED=60,AOD 和BOE 是等边三角形,OAD=OBE=60,CDE=OAD=60,CED=OBE=60,CDE 是等边三角形.DF 是O 的切线,ODDF,EDF=90-60=30,DFE=90,DFCE,CF=EF.(2)相等,理由如下:如图 2,点 E运动至与点 B重合时,BC 是O 的切线,O 的切线 DF交 BC于点 F,BF=DF,BDF=DBF,AB 是直径,ADB=BDC=90,BDF+FDC=DBF+C=90,FDC=C,DF=CF,BF=CF.图 1图 2