1、第18讲 直角三角形与三角函数,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一 直角三角形的性质和判定 1.直角三角形的性质 (1)直角三角形的两个锐角 互余 . (2)在直角三角形中,30的角所对的直角边等于斜边的 一半 . (3)勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平 方 . (4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 .,2.直角三角形的判定 (1)有两个锐角 互余 的三角形是直角三角形. (2)如果三角形的两直角边长为a,b,斜边长为c,且满足 a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形.温馨提示 (1)勾股定理阐述的是直角三角形中三边之间的数量 关系,即在直角三角
2、形中,已知两边长度能够运用勾股定理求第三 边的长度;(2)勾股定理逆定理的作用:可以判断一个三角形是不 是直角三角形;证明两条线段垂直.,知识点二 锐角三角函数 1.锐角三角函数的定义 如图,在RtABC中,C=90,A、B、C的对边分别 为a、b、c,则A的正弦sin A= = ,A的余弦cosA= = ,A的正切tan A= = .,温馨提示 (1)sin A、cos A、tan A表示的是一个整体,是指两条线段的比,没有单位. (2)锐角三角函数的大小仅与角的大小有关,与该角所处的直角三 角形的大小无关.,2.特殊角的三角函数值,温馨提示 30、45、60角的正弦值的分母都是2,分子分别
3、是1、 、 ,由此可知,随着角的度数的增大,正弦值逐渐增大;同理可得,随着角的度数的增大,余弦值逐渐减小. 3.三角函数之间的关系 (1)同角三角函数之间的关系:sin2+cos2=1,tan = . (2)互余两角的三角函数之间的关系:若A +B=90,则sin A =cosB,sin B=cos A.,知识点三 解直角三角形 1.解直角三角形的定义:由直角三角形中除直角外的已知元素,求 出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.,2.直角三角形的边角关系 在RtABC中,C=90,A、B、C的对边分别为a、b、c. (1)三边之间的关系:a2+b2=c2; (2)两个锐角之间的关系:A+B=
4、 90 ; (3)边角之间的关系: sin A= ,cos A= ,tan A= , sin B= ,cos B= ,tan B= . 温馨提示 解直角三角形的思路可概括为“有斜(斜边)用弦(正 弦、余弦)、无斜用切(正切)、宁乘勿除、取原避中”.,知识点四 解直角三角形的实际应用 1.解直角三角形应用中常见的术语,2.解直角三角形在实际问题中应用的一般步骤 (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三 角形的问题); (2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数解直角三角形.,泰安考点聚焦,考点一 直角三角形的性质和判定 例1 如图,在直角O的内部有一滑动杆AB,当端点A沿直线
5、AO向 下滑动时,端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动,如果滑动杆从 图中AB处滑动到AB处,那么滑动杆的中点C所经过的路径是 ( B )A.直线的一部分 B.圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分,解析 连接OC、OC,如图,AOB=90,C为AB中点, OC= AB= AB=OC, 当端点A沿直线AO向下滑动时,AB的中点C到O的距离始终为 定长, 滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧. 故选B.,考点二 锐角三角函数 例2 如图,在ABC中,C=90,AB=5,BC=3,则cos A的值是 ( D )A. B. C. D.,解析 根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可, AB=
6、5,BC=3,AC=4,cos A= = .故选D.,变式2-1 在ABC 中,若角A,B满足 +(1-tan B)2= 0,则C 的大小是 ( D ) A.45 B.60 C.75 D.105,解析 由题意得,cos A= ,tan B=1, 则A=30,B=45, 则C=180-30-45=105.故选D.,考点三 解直角三角形 例3 (2016泰安)如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速 航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68方向上,航行2小时后到达N 处,观测灯塔P在西偏南46方向上,若该船继续向南航行至离灯塔 最近位置,则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin 6 80
7、.927 2,sin 460.719 3,sin 220.374 6,sin 440.694 7) ( B ) A.22.48海里 B.41.68海里 C.43.16海里 D.55.63海里,解析 过点P作PGMN于G.依题意可知MN=60海里,PMN=22,PNG=44. MPN=PMN, NP=MN=60海里. 在RtPNG中,sinPNG= , PG=PNsinPNG=PNsin 44600.694 741.68(海里). 此时轮船离灯塔的距离约为41.68海里,故选B.,变式3-1 如图,轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20 方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东50方向上,
8、轮船航行 40分钟到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东10方向上,则C处与 灯塔A的距离是 ( D )A.20海里 B.40海里 C. 海里 D. 海里,解析 如图,作AMBC于M.由题意得,DBC=20,DBA=50,BC=60 =40海里,NCA=10 ,则ABC=DBA-DBC=50-20=30. BDCN,BCN=DBC=20, ACB=ACN+BCN=10+20=30, ACB=ABC=30, AB=AC,AMBC于M, CM= BC=20海里. 在RtACM中, AMC=90,ACM=30, AC= = = (海里). 故选D.,温馨提示 根据例题和变式训练可以发现,一般解直角三角
9、形类 题目的处理,可以看做是“割补”思想的拓展,即把原图形通过 “割补”,处理成有“公共边”的两个直角三角形,具体题目中, 再根据公共边的“已知”或“未知”决定进行直接运算或者设 未知数x.,一、选择题 1.(2017浙江温州)如图,一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13 米,已知cos = ,则小车上升的高度是 ( A )A.5米 B.6米 C.6.5米 D.12米,随堂巩固训练,2.如图,在ABC中,C=90,B=30,AD是ABC的角平分线, DEAB,垂足为E,DE=1,则BC= ( C )A. B.2 C.3 D. +2,3.(2018泰安)如图,M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4)
10、,点P是 M上的任意一点,PAPB,且PA、PB与x轴分别交于A、B两点,若 点A、点B关于原点O对称,则AB的最小值为 ( C )A.3 B.4 C.6 D.8,二、填空题 4.(2018泰安)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,将矩形ABCD沿 BE折叠,点A落在A处,若EA的延长线恰好过点C,则sinABE的值 为 .,解析 由折叠知AB=AB=6,在RtABC中,根据勾股定理得AC=8,设AE=x,则AE=x,在RtDEC中,DE2+DC2=EC2,即(10-x)2+62=(8 +x)2,解得x=2,即AE的长为2.在RtAEB中,求得sinABE= .,5.(2018滨州)
11、在ABC中,C=90,若tan A= ,则sin B= . 解析 如图所示: C=90,tan A= , 设BC=x,则AC=2x,故AB= x, 则sin B= = = .,三、解答题 6.(2018德州)如图,两座建筑物的水平距离BC为60 m.从C点测得A 点的仰角 为53,从A点测得D点的俯角为37,求两座建筑物的高度. 参考数据:sin 37 ,cos 37 ,tan 37 ,sin 534,cos 53 ,tan 35,解析 过点D作DEAB于点E,则DE=BC=60 m,在RtABC中,tan 53= , = , AB=80 m. 在RtADE中,tan 37= , = , AE=45 m, BE=CD=AB-AE=35 m. 答:两座建筑物的高度分别为80 m和35 m.,