1、第20讲 矩形、菱形、正方形,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系,知识点一 矩形,温馨提示 (1)矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形.它有2条 对称轴,对称中心是两条对角线的交点.(2)矩形的对角线把矩形 分成四个等腰三角形.,知识点二 菱形,温馨提示 (1)菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形.它有2条对称轴,分别是对角线所在的直线;对称中心是两条对角线的交 点.(2)菱形的对角线把菱形分为四个全等的直角三角形.,知识点三 正方形,温馨提示 (1)正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有4 条对称轴.(2)正方形的对角线把正方形分成四个
2、全等的等腰直角 三角形.,知识点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系1.平行四边形与特殊平行四边形的包含关系,2.从四边形到特殊平行四边形的演变关系温馨提示 依次连接四边形各边的中点所得到的新的四边形的 形状与原四边形的对角线有关系,若对角线相等,则新的四边形是 菱形;若对角线垂直,则新的四边形是矩形.,泰安考点聚焦,考点一 矩形的性质和判定 中考解题指导 口诀“矩形就是长方形,周长、面积仍然用,平行 四边形性质它均用,四角相等皆直角”;判定矩形首先要分清楚所 给的条件是四边形还是平行四边形,再确定矩形的判定方法.,例1,如图,在矩形ABCD中,DE平分ADC交BC于点E,EFAD交AD于
3、 点F,若EF=3,AE=5,则AD等于 ( C ) A.5 B.6 C.7 D.8,解析 四边形ABCD是矩形, ADC=90, EFAD,EFCD, FED=EDC, DE平分ADC, FDE=EDC, FED=FDE, DF=EF=3, EFAD,AFE=90, AE=5,EF=3,由勾股定理得AF=4, AD=AF+DF=4+3=7, 故选C.,变式1-1 (2017济南)如图,在矩形ABCD中,AD=AE,DFAE于点 F.求证:AB=DF.,证明 四边形ABCD是矩形, ADBC,B=90, AEB=DAF, DFAE,AFD=90, 在ABE和DFA中, ABEDFA, AB=D
4、F.,方法技巧 矩形是特殊的平行四边形,其特殊性在于内角均为 直角,故在应用其性质时常会和直角三角形相结合.,考点二 菱形的性质和判定 例2 (2017北京)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD BC,AD=2BC,ABD=90,点E为AD的中点,连接BE. (1)求证:四边形BCDE为菱形; (2)连接AC,若AC平分BAD,BC=1,求AC的长.,解析 (1)证明:AD=2BC,E为AD的中点, DE=BC. ADBC, 四边形BCDE是平行四边形. ABD=90,AE=DE, BE=DE, 四边形BCDE是菱形. (2)ADBC,AC平分BAD, BAC=DAC=BCA, A
5、B=BC=1.,AD=2BC=2,sinADB= , ADB=30, DAC=30,ADC=60, ACD=90. 在RtACD中,AD=2,CD=1, AC= .,变式2-1 (2018泰安)如图,在菱形ABCD中,AC与BD交于点O,E是 BD上一点,EFAB,EAB=EBA,过点B作DA的垂线,交DA的延 长线于点G. (1)DEF和AEF是否相等?若相等,请证明;若不相等,请说明理 由; (2)找出图中与AGB相似的三角形,并证明; (3)BF的延长线交CD的延长线于点H,交AC于点M.求证:BM2=MF MH.,解析 (1)DEF=AEF.理由如下: EFAB, DEF=EBA,AE
6、F=EAB, 又EAB=EBA, DEF=AEF. (2)EOAAGB.证明如下: 四边形ABCD是菱形, AB=AD,ACBD, GAB=ABE+ADB=2ABE. 又AEO=ABE+BAE=2ABE,GAB=AEO, 又AGB=AOE=90, EOAAGB. (3)证明:连接DM. 四边形ABCD是菱形,由对称性可知: BM=DM,ADM=ABM. ABCH,ABM=H, ADM=H. 又DMH=FMD, MFDMDH, = ,DM2=MFMH, BM2=MFMH. 方法技巧 要判断一个四边形是菱形,可以先说明它是平行四 边形,再说明它的一组邻边相等或对角线垂直;也可说明它的四条 边都相等
7、或它的对角线互相垂直平分.在具体问题中,要根据题目 给出的已知条件选择合适的方法.,考点三 正方形的性质和判定 例3 (2017济南)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, AB=3 ,E为OC上一点,OE=1,连接BE,过点A作AFBE于点F,与 BD交于点G,则BF的长是 ( A )A. B.2 C. D.,解析 四边形ABCD是正方形,AB=3 , AOB=90,AO=BO=CO=3. AFBE,EBO=GAO.在GAO和EBO中,GAOEBO,OG=OE=1, BG=2. 在RtBOE中,BE= = , BFG=BOE=90,GBF=EBO, BFGBOE, = ,即 =
8、,解得BF= ,故选A. 方法技巧 正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形,具备了矩 形和菱形的所有性质.同时,在解决以正方形为背景的问题时,常 与直角三角形、等腰三角形、相似三角形相结合进行解答,特别 注意角和角、边和边之间的数量关系和位置关系.,一、选择题 1.(2017临沂)在ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合), 过点D作DEAC,DFAB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正 确的是 ( D )A.若ADBC,则四边形AEDF是矩形,B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形 C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形 D.若AD平分BAC,则四边形AEDF是菱形 二
9、、填空题 2.(2017泰山模拟)矩形的两条对角线的一个夹角为60,两条对角 线的长度的和为8 cm,则这个矩形的一条较长边的长为 2 cm.,解析 如图,四边形ABCD是矩形, ABC=90,AC=BD=4 cm,OA=OC,OD=OB, OA=OB=2 cm,由题意得AOB=60, AOB是等边三角形, OA=OB=AB= AC=2 cm. 在RtABC中, 由勾股定理得BC= =2 cm. 这个矩形的一条较长边的长为2 cm.,3.(2017新泰模拟)边长为5 cm的菱形的一条对角线的长是6 cm, 则另一条对角线的长是 8 cm. 解析 如图,在菱形ABCD中,AB=5 cm,AC=6
10、 cm, 对角线互相垂直平分, AOB=90,AO=3 cm. 在RtAOB中,BO= =4 cm, BD=2BO=8 cm.,4.(2018滨州)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E、F分别在BC、CD上,若AE= ,EAF=45,则AF的长为 .,解析 取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,四边形ABCD是矩形, D=BAD=B=90, NF= x,AN=4-x, AB=2, AM=BM=1, AE= ,BE=1, ME= = , EAF=45, MAE+NAF=45, MAE+AEM=45, MEA=NAF, 又ANF=EMA=180-45=13
11、5, AMEFNA, = , = ,解得x= , AF= = .,5.(2017莱芜)如图,在矩形ABCD中,BEAC,BE交AC,AD于点F,E,若AD=1,AB=CF,则AE= .,解析 四边形ABCD是矩形, BC=AD=1,BAE=ABC=90, ABE+CBF=90. BEAC,BFC=90, BCF+CBF=90, ABE=FCB, 在ABE和FCB中,ABEFCB,BF=AE,BE=BC=1. BAF+ABF=90, ABF+AEB=90, BAF=AEB, BAE=AFB,ABEFBA, = , = , AE=AB2. 在RtABE中, 根据勾股定理得,AB2+AE2=BE2=
12、1,AE+AE2=1, AE0,AE= . 三、解答题 6.(2017莱芜模拟)如图,菱形ABCD中,BEAD,BFCD,垂足分别 为点E,F,AE=ED,求EBF的度数.,解析 如图,连接BD.,BEAD,AE=ED, AB=BD,四边形ABCD是菱形, AB=BC=CD=AD, AB=AD=BD,A=60, ADC=120,BEAD,BFCD, BED=BFD=90, EBF=60.,7.(2017青岛)如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中 点,连接CE,CF,OE,OF. (1)求证:BCEDCF; (2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形?请说明理 由.,解析 (1)证明:四边形ABCD是菱形, B=D,AB=BC=DC=AD, 点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点, AE=BE=DF=AF,OF= DC,OE= BC,OEBC.在BCE和DCF中, BCEDCF(SAS). (2)当ABBC时,四边形AEOF是正方形.理由如下: 由(1)得AE=OE=OF=AF,四边形AEOF是菱形. ABBC,OEBC, OEAB,AEO=90, 四边形AEOF是正方形.,