1、第23讲 与圆有关的计算,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一 弧长与扇形的面积 1.如果弧长为l,圆心角为n,圆的半径为R,那么弧长的计算公 式为 l= . 2.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫 做扇形.若扇形的圆心角为n,所在圆的半径为R,弧长为l,面积为S,则S= 或 lR . 温馨提示 扇形面积公式S扇形= lR与三角形面积公式十分类似,可把扇形想象为曲边三角形,把弧长l看作底边长,把R看作底边上的高.,知识点二 圆柱和圆锥 1.圆柱的侧面展开图是矩形,如果圆柱的底面圆的半径是r,高是l, 则S圆柱侧= 2rl ;S圆柱全= 2rl+2r2 ;V圆柱= r
2、2l . 2.如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开,那么它的侧面展开 图是一个扇形,扇形的弧长等于 圆锥底面圆的周长 .如果圆锥母线长为l,底面半径为r,高为h,则圆锥侧面积S= rl ;S圆锥全= rl+r2 ;V圆锥= r2h .,知识点三 阴影部分的面积 1.规则图形:按规则图形的面积公式求. 2.不规则图形:采用“化归”的数学思想方法,把不规则图形的面 积采用“割补法”“等积变形法”“平移法”等转化为规则图 形的面积.,泰安考点聚焦,考点一 弧长与扇形的面积 例1 (2018淄博)如图,O的直径AB=6,若BAC=50,则劣弧AC 的长为 ( D )A.2 B. C. D.,解析 如图
3、,连接CO,BAC=50,AO=CO=3, ACO=50,AOC=80, 劣弧AC的长为 = . 故选D.,变式1-1 (2017烟台)如图,ABCD中,B=70,BC=6,以AD为直 径的O交CD于点E,则 的长为 ( B ) A. B. C. D. ,解析 连接OE,如图所示.四边形ABCD是平行四边形, D=B=70,AD=BC=6, OA=OD=3, OD=OE,OED=D=70, DOE=180-270=40, 的长= = .故选B.方法技巧 在解答有关弧长或扇形面积的计算问题时,熟记计 算公式是解题的关键.,考点二 与圆锥有关的计算 例2 (2018仙桃)一个圆锥的侧面积是底面积的
4、2倍,则该圆锥侧 面展开图的圆心角的度数是 ( B ) A.120 B.180 C.240 D.300,解析 设圆锥的母线长为R,底面半径为r,圆锥侧面展开图的圆心 角为n, 圆锥的底面周长=2r,底面积=r2, 圆锥的侧面积= 2rR=rR. 圆锥的侧面积是底面积的2倍, rR=2r2, R=2r. 扇形的弧长=圆锥的底面周长, =2r, =2r, n=180,故选B.,变式2-1 (2017泰安)工人师傅用一张半径为24 cm,圆心角为150 的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为 2 cm . 解析 扇形的半径为24 cm,圆心角为150, 扇形的弧长= =20(cm), 圆锥的
5、底面周长=扇形的弧长=20 cm, 圆锥的底面半径=202=10(cm). 圆锥的母线长=扇形的半径=24 cm, 圆锥的高= = =2 (cm).,方法技巧 注意区别圆锥的底面半径与侧面展开图中扇形的 半径.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆 的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.,考点三 不规则图形的面积 例3 (2017济宁)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=BC=1,将Rt ABC绕点A逆时针旋转30后得到RtADE,点B经过的路径为 ,则图中阴影部分的面积是( A )A. B. C. - D.,解析 ACB=90,AC=BC=1, AB= ,S扇形ABD= =
6、 . 又RtABC绕A点逆时针旋转30后得到RtADE, RtADERtABC, S阴影部分=SADE+S扇形ABD-SABC=S扇形ABD= .故选A.,变式3-1 (2018威海)如图,正方形ABCD中,AB=12,点E为BC中点, 以CD为直径作半圆CFD,点F为半圆CFD的中点,连接AF,EF,图中 阴影部分的面积是 ( C )A.18+36 B.24+18 C.18+18 D.12+18,解析 作FHBC,交BC的延长线于H,连接AE,如图,点E为BC的中点,点F为半圆的中点, BE=CE=CH=FH=6, AE= =6 , 易得RtABERtEHF, FE=AE=6 ,AEB=EF
7、H, 而EFH+FEH=90, AEB+FEH=90, AEF=90. 图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆-SABE-SAEF=1212+ 62- 126- 6 6 =18+18. 故选C. 方法技巧 在计算不规则图形的面积时,常常把不规则图形的 面积转化成规则图形的面积的和或差.转化时常用的方法:(1)割 补法;(2)拼凑法;(3)等积变形法;(4)构造方程法等.,一、选择题 1.(2018德州)如图,从一块直径为2 m的圆形铁皮上剪出一个圆心 角为90的扇形.则此扇形的面积为 ( A )A. m2 B. m2 C. m2 D.2 m2,随堂巩固训练,2.若一个圆锥的侧面展开图是半
8、径为18 cm,圆心角为240的扇 形,则这个圆锥的底面半径为 ( C ) A.6 cm B.9 cm C.12 cm D.18 cm 3.(2017淄博)如图,半圆O的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一 条直角边完全重合,若BC=4,则图中阴影部分的面积是 ( A ) A.2+ B.2+2 C.4+ D.2+4,4.如图,扇形DOE的半径为3,边长为 的菱形OABC的顶点A,C,B 分别在OD,OE, 上,若把扇形DOE围成一个圆锥,则此圆锥的高 为 ( D )A. B.2 C. D.,二、填空题 5.(2018郴州)如图,圆锥的母线长为10 cm,高为8 cm,则该圆锥的 侧面展开图(扇
9、形)的弧长为 12 cm.(结果用表示),解析 由题意可知圆锥的底面半径为 =6 cm. 圆锥侧面展开图的弧长=圆锥的底面周长=26=12 cm.,6.(2017青岛)如图,直线AB,CD分别与O相切于B,D两点,且AB CD,垂足为P,连接BD,若BD=4,则阴影部分的面积为 2-4 .,解析 如图,连接OB,OD.直线AB,CD分别与O相切于B,D两点,ABCD, OBP=P=ODP=90, OB=OD,四边形BODP是正方形, BOD=90. BD=4,OB= =2 阴影部分的面积=S扇形BOD-SBOD= - 2 2 =2-4. .,7.如图,P为O直径AB上的一个动点,点C,D为半圆
10、的三等分点, 若AB=12,则图中阴影部分的面积为 6 .,解析 连接OC,OD,CD.COD和CPD同底等高, SCOD=SCPD, 点C,D为半圆的三等分点, COD=1803=60, 阴影部分的面积=S扇形COD= =6.,三、解答题 8.圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂蚁要从底面圆周上一点 B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,求它爬行的最短路线.,解析 圆锥的底面半径为1, 其底面周长等于2. 设圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角为n, 根据圆锥的底面周长等于展开后扇形的弧长得2= ,解得n=6 0, 展开图中的扇形的圆心角为60. 圆锥的侧面展开图如图所示. OBB为正三角形. 故它爬行的最短路线长为BB=OB=6.,